绝对值的意义及应用
绝对值的意义与求法
绝对值的意义与求法
嘿，朋友们！今天咱们来聊聊绝对值。
绝对值这个概念啊，可太重要啦！
先来说说绝对值的意义吧。
绝对值就像是一个东西的“绝对价值”。
打个比方，你可以把它想象成一个人不管往哪个方向走，他离原点的距离。
比如说数字 5，它的绝对值就是 5 呀，因为 5 离原点的距离就是 5 个单位。
那-5 呢？它的绝对值也是 5 哦！是不是很神奇？这就好像一个人不管是向前走 5 步还是向后走 5 步，离原点的距离都是 5 步呀！
那怎么求绝对值呢？这其实很简单啦！如果是正数，那它的绝对值就是它本身，就像刚才说的 5。
如果是负数，那就把负号去掉就好啦，比如-5 的绝对值就是 5。
那 0 呢？0 的绝对值当然就是 0 啦！是不是一点都不难呀？
再深入一点想想，绝对值在我们生活中也有很多类似的情况呢！比如说温度，不管是零上 5 度还是零下 5 度，它们和 0 度的差距不都是 5 度吗？这就有点像绝对值的概念呀！
而且，绝对值在数学里的作用可大啦！它可以帮我们比较大小，不管正数负数，只看绝对值的大小就能知道谁离原点更远。
还有很多数学问题都要用到绝对值呢！
绝对值是不是很有趣很有用呢？它就像是一把神奇的钥匙，能打开很多数学难题的大门！所以呀，大家可一定要好好理解和掌握绝对值哦！。
绝对值的意义及应用(复习讲义)01
绝对值知识精讲绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值号. ②一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值： ①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-；（2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =⋅；a ab b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离．【例题精讲】模块一、绝对值的性质【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ）A ．±2 B．2 C ．-2 D ．4【例2】下列说法正确的有（ ） ①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．A ．②④⑤⑥B ．③⑤C ．③④⑤D ．③⑤⑥【例3】如果a 的绝对值是2，那么a 是（ ）A ．2B ．-2C ．±2 D．12± 【例4】若a ＜0，则4a +7|a |等于（ ）A ．11aB ．-11aC ．-3aD ．3a【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）A ．1，0B ．正数C ．非正数D ．非负数【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【例7】若1-=x x，则x 是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数【例8】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞aB ．1+a ＞a ＞1-b ＞-bC ．1+a ＞1-b ＞a ＞-bD ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a【例9】已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4【例10】a ＜0，ab ＜0，计算|b -a +1|-|a -b -5|，结果为（ ）A．6 B．-4 C．-2a+2b+6 D．2a-2b-6【例11】若|x+y|=y-x，则有（）A．y＞0，x＜0 B．y＜0，x＞0C．y＜0，x＜0 D．x=0，y≥0或y=0，x≤0【例12】已知：x＜0＜z，xy＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（）A．是正数 B．是负数 C．是零 D．不能确定符号【例13】给出下面说法：（1）互为相反数的两数的绝对值相等；（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；（3）若|m|＞m，则m＜0；（4）若|a|＞|b|，则a＞b，其中正确的有（）A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4）C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）若|a|=-a，则|a-1|-|a-2|= ________【例17】已知数,,a b c 的大小关系如图所示，则下列各式：①()0b a c ++->；②0)(>+--c b a ；③1=++c c b b a a ；④0>-a bc ； ⑤b c a b c b a 2-=-++--．其中正确的有 ．（请填写番号）当a 、b 、c 都是正数时，M = ______； 当a 、b 、c 中有一个负数时，则M = ________；当a 、b 、c 中有2个负数时，则M = ________；当a 、b 、c 都是负数时，M =__________ ．模块二 绝对值的非负性1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为02. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =【例1】若42a b -=-+，则_______a b +=ca0b【巩固】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋【例2】()2120a b ++-=，分别求a b ，的值模块三 零点分段法零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．【例1】阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况： ⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：（1）分别求出2x +和4x -的零点值（2）化简代数式24x x++-【巩固】化简12x x+++【巩固】化简12m m m+-+-的值【巩固】化简523x x++-．【课堂检测】1. 若a的绝对值是12，则a的值是（）A．2 B．-2 C．12D．12±2. 若|x|=-x，则x一定是（）A．负数 B．负数或零 C．零 D．正数3. 如果|x-1|=1-x，那么（）A．x＜1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥14. 若|a-3|=2，则a+3的值为（）A．5 B．8 C．5或1 D．8或45. 若x＜2，则|x-2|+|2+x|=_______________6. 绝对值小于6的所有整数的和与积分别是__________【家庭作业】1. -19的绝对值是________2. 如果|-a |=-a ，则a 的取值范围是（ ）A.a ＞0 B ．a ≥0 C ．a ≤0 D ．a ＜07. 若3230x y -++=，则y x的值是多少？。
绝对值的几何意义公式(二)
绝对值的几何意义公式(二)绝对值的几何意义公式绝对值在数学中是一个重要的概念，它表示一个数与零之间的距离。
在几何意义上，绝对值可以表示为一条有向线段的长度。
本文将列举一些与绝对值相关的公式，并给出解释和示例。
绝对值的定义绝对值是一个数的非负值，表示该数离零的距离。
绝对值的定义如下：|x| = x，如果x ≥ 0 |x| = -x，如果x < 0绝对值的几何意义公式1. 绝对值的定义表示根据绝对值的定义，可以将绝对值表示为一条线段的长度。
公式： |x| = AB，其中A是原点，B是点x的坐标位置示例：考虑点A(0, 0)和点B(3, 0)，则|3| = AB = 3。
2. 绝对值的线段平移绝对值函数|x - a|表示点x距离a的距离。
公式： |x - a| = PA，其中P是点a的坐标位置示例：考虑点P(2, 0)，点Q(5, 0)，则|Q - 2| = PQ = 3。
3. 绝对值的线段缩放绝对值函数|kx|表示点x与原点的距离缩放到原来的k倍。
公式： |kx| = k * |x|示例：对于点A(2, 0)，如果k = 3，则|3x| = 6.4. 绝对值的线段合并绝对值函数|x - a| + |x - b|表示点x到a，b两点的距离之和。
公式： |x - a| + |x - b| = PA + PB示例：对于点A(2, 0)和点B(6, 0)，则|5x - 16| + |3x - 8| = PA + PB。
5. 绝对值的线段交换绝对值函数|a - x| = |b - x|表示点x与a，b两点的距离相等。
公式： |a - x| = |b - x|示例：对于点A(2, 0)和点B(6, 0)，则|2 - x| = |6 - x|。
总结绝对值的几何意义公式在解决各种几何问题中起到了重要的作用。
通过几何意义公式，我们可以更好地理解绝对值的概念，并将其运用于实际问题中。
这些公式包括绝对值的定义表示、线段平移、线段缩放、线段合并和线段交换。
绝对值的性质及运用
基本要求：借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值略高要求：会利用绝对值的知识解决简单的化简问题【知识点整理】绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.求字母a 的绝对值：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-；（2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =⋅；a a b b=(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离．【例题精讲】模块一、绝对值的性质【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ）A ．±2B ．2C ．-2D ．4【例2】下列说法正确的有（ ）①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相绝对值反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．A ．②④⑤⑥B ．③⑤C ．③④⑤D ．③⑤⑥【例3】如果a 的绝对值是2，那么a 是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．12± 【例4】若a ＜0，则4a +7|a |等于（ ）A ．11aB ．-11aC ．-3aD ．3a【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）A ．1，0B ．正数C ．非正数D ．非负数【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【例7】若1-=x x，则x 是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数【例8】已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4【例9】给出下面说法：（1）互为相反数的两数的绝对值相等；（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；【例11】已知数,,a b c 的大小关系如图所示，则下列各式：①()0b a c ++->；②0)(>+--c b a ；③1=++cc b b a a ；④0>-a bc ；⑤b c a b c b a 2-=-++--．其中正确的有 ．（请填写番号）当a 、b 、c 中有2个负数时，则M = ________； 当a 、b 、c 都是负数时，M =__________ ．模块二 绝对值的非负性1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为02. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =【例1】 若42a b -=-+，则_______a b +=【巩固】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋【例2】()2120a b ++-=，分别求a b ，的值【课堂检测1】1. 若a 的绝对值是12，则a 的值是（ ） A ．2 B ．-2 C ．12 D ．12± 2. 若|x |=-x ，则x 一定是（ ）A ．负数B ．负数或零C ．零D ．正数3. 如果|x -1|=1-x ，那么（ ）A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x ≤1D ．x ≥14. 若|a -3|=2，则a +3的值为（ ）A ．5B ．8C ．5或1D ．8或4【课堂检测2】1. -19的绝对值是________2. 如果|-a |=-a ，则a 的取值范围是（A ．a ＞0B ．a ≥0C ．a ≤0D ．a ＜03. 对值大于1且不大于5的整数有 __________个．7. 若3230x y -++=，则x的值是多少？模块三 零点分段法1. 零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．【例1】阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：（1）别求出2x +和4x -的零点值（2）化简代数式24x x ++-【巩固】 1、化简12x x +++ 2、化简12m m m +-+-的值3、化简523x x ++-．。
绝对值知识讲解
绝对值知识讲解-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII绝对值知识讲解一、知识框架图二、基础知识1、绝对值的概念（1）定义：一个数的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。
数a 的绝对值记作a ，读作a 的绝对值。
（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。
（3）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离。
离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。
（4）绝对值的非负性：由于距离总是正数或0，故有理数的绝对值不可能是负数，即对于任意有理数a ，总有a ≥0.2、绝对值的求法 绝对值是一种运算，这个运算符号是“”。
求一个数的绝对值，就是想办法去掉这个绝对值符号，对于任意有理数a ，有：a （a ＞0）（1） 0（a=0）a （a ＜0）a （a ≥0）（2）a -（a ＜0） a （a ＞0）（3）a -（a ≤0）这就说，去掉绝对值符号不是随便就能完成的，要看绝对值里面的数是什么性质的数。
若绝对值里面的数是非负数，那么这个数的绝对值就是它本身，此时绝对值“”符号就相当于“（ ）”的作用，如125--=）（125--=415=-。
由于这里2－1是正数，故去掉绝对值符号后12-=（2－1）；若绝对值里面的数是负数，那么这个负数的绝对值就是这个负数的相反数这时去掉绝对值时，就要把绝对值里面的数添上括号，再在括号前面加上负号“－”。
3、利用绝对值比较两个数的大小两个负数，绝对值大的反而小。
比较两个负数的大小，可按照下列步骤进行：（1）先求出两个负数的绝对值；（2）比较这两个绝对值的大小；（3）写出正确的判断结果。
三、例题讲解例1求下列各数的绝对值（1）21；（2）31-；（3）434-；（4）331 分析：运用绝对值的意义来求解。
解：（1）21=21；（2）31-=3131=--）（；（3）434434434=--=-）（；（4）3313=31 点评：解答本题首先要弄清楚绝对值的意义，准确列出代数式，再运用绝对值的意义求出结果，切不可写作31-=31-=31. 例2计算：（1）2.1--；（2））（3---；（3）023+---. 分析：本题关键是确定绝对值里面的数的性质，再按照绝对值的意义去掉绝对值负号。
绝对值知识讲解及经典例题
第三讲绝对值2.一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越_____.3.－32的绝对值是_____. 4.绝对值最小的数是_____.5.绝对值等于5的数是_____，它们互为_____.6.若b＜0且a=|b|，则a与b的关系是______.7.一个数大于另一个数的绝对值，则这两个数的和一定_____0（填“＞”或“＜”）.8.如果|a|＞a，那么a是_____.9.绝对值大于2.5小于7.2的所有负整数为_____.10.将下列各数由小到大排列顺序是_____.11.12.13.（1）14.（1）（3）15.16.若A.正数B.负数C.非负数D.非正数17.下列说法正确的是（）A.一个有理数的绝对值一定大于它本身B.只有正数的绝对值等于它本身C.负数的绝对值是它的相反数D.一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数18.下列结论正确的是（）A.若|x|=|y|，则x=－yB.若x=－y，则|x|=|y|C.若|a|＜|b|，则a＜bD.若a＜b，则|a|＜|b|19.某班举办“迎七一”知识竞赛，规定答对一题得10分，不答得0分，答错一题扣10分，今有甲、乙、丙、丁四名同学所得分数，分别为+50，+20，0，－30，请问哪个同学分数最高，哪个最低，为什么？最高分高出最1A．a的相反数大于b的相反数B．a的相反数小于b的相反数C．a，b的相反数的大小比较要根据a，b的正负情况确定D．无法比较a，b的相反数的大小=．(第13题)7．已知a，b，c在数轴上的位置如图，且a b(1)比较a+b与c的大小及a+b与c的大小；(2)判断b+c与a+c的符号．8．下表记录了我国几个城市某天的平均气温．。
绝对值知识点
绝对值知识点绝对值（⼀）【预习引领】两辆汽车从同⼀处O 出发,分别向东、西⽅⾏驶10km,到达A 、B 两处．（1）它们的⾏驶路线相同吗（2）它们⾏驶路程的远近相同吗答:（1）不相同；(2)相同.【要点梳理】知识点⼀:绝对值的意义1.绝对值的⼏何意义：⼀般地，数轴上表⽰数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作a ，读作：a 的绝对值.例1 利⽤数轴求下列各数的绝对值.（1）2+，15，5.3；（2）0；（3）5-，2.3-，312.答:(1)2+=2;51=51; 5.3=5.3； (2) 0=0; (3) 5-=5; 2.3-=; 312=312. 2.绝对值的代数意义：⼀个正数的绝对值是它本⾝；⼀个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.例2 直接写出下列各数的绝对值.6，8-， 3.9-，52，10，0， 6-，8，3.9，52-，10- 答: 6=6, 8-=8, 9.3-=, 25=25;10=10; 0=0;6-=6, 8=8, 9.3=, 25-=25;10-=10; 0=0;⼩结：（1）对任⼀个有理数，绝对值只能为正数或0，不可能为负数，即0a ≥.（2）两个互为相反数的绝对值，绝对值相等的两个数 .（3）绝对值为正数的有理数有类，它们；绝对值为0的有理数是 .答:(2)相等,相等或互为相反数.(3)两，正数与负数；0；例3 判断下列说法哪些是正确的：（1）符号相反的数互为相反数；（2）符号相反且绝对值相等的两个数互为相反数；（3）⼀个数的绝对值越⼤，表⽰它的点在数轴上越靠右；（4）不相等的两个数，其绝对值也不相等；（5）绝对值最⼩的有理数是0．答案：（2）（5）知识点⼆：绝对值的求法()()(),00,0,0a a a a a a >??==??-例4 求下列各数的绝对值：162-，1325-，3π-，2．答案：216-=216；21535321-=-；33-=-ππ；2=2;例5 填空：（1）绝对值⼩于4的正整数有 .（2）绝对值⼤于2⽽⼩于5的所有整数是 .（3）如果⼀个数的绝对值是13，那么这个数是．（4）若x x =-，则x 为数.答案：（1）3，2，1；（2）±3，±4；（3）±13；（4）负数与0；例6 计算下列各式：⑴52---⑵30.7724-÷ 答：（1）原式=5－2=3；（2）原式=÷432=；☆例8 ⑴若0a b +=，则a = ，b = . ⑵若73120x y -+-=，则x = ，y = .答案：（1）0，0；（2）7，4；【课堂操练】 1.152-的绝对值是，0的绝对值是，绝对值为2的数是 . 1. 215，0，±2； 2. 1.5-= ,10-= , 2+= , 2.5-+= .，10，2，－；3.⑴⼀个数的绝对值和相反数都是它本⾝，这个数是；⑵绝对值⼩于3.2的整数有；⑶123-的相反数是，绝对值是；⑷使5=x 成⽴的x 的值是 .3.（1）0；（2）3，2，1，0，－1，－2，－3；（3）4.在数轴上到数3所表⽰的点距离为5的点所表⽰的数是 .或－2；5.绝对值相等的两个数在数轴上对应的两点之间的距离为6，则这两个数为 . 5．3与－3；6.若0m >，则m m += ；若0m <，则m m += ；若0m =，则m m += .6．2m ，0，0；7. （2011北京市，1，4分）34-的绝对值是( ) A ．43-B ．43C ．34-D ． 348．（2011浙江丽⽔，4，3分）有四包真空⼩包装⽕腿，每包以标准克数(450克)为基数，超过的克数记作正数，不⾜的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表⽰实际克数最接近标准克数的是（）A ．＋2B ．－3C ．＋3D ．＋49.若1a a=，则a （） A ．是正数或负数；B ．是正数；C ．是有理数；D ．是正整数.9．B10.计算下列各题: ⑴216-+-;⑵20082008--.10．（1）原式=21+6=27；（2）原式=2008－2008=0；☆11．若73120x y -+-=，求x 、y 的值.11．由题意可知，x －7=0，3y －12=0，解得：x=7；y=4；12.某摩托车配件⼚⽣产⼀批圆形的橡胶垫，从中抽取6件进⾏⽐较，⽐标准直径长的毫⽶记作正数，⽐标准直径短的毫⽶记作负数，检查记录如下表：（1）找出哪个些零件的质量相对好⼀些，⽤绝对值的知识加以解释.（2）若规定与标准直径相差不超过为合格品，则6件产品中有⼏件是不合格品12．（1）第4个；绝对值越⼩，说明此配件与标准配件越接近；（2）第1个与第5个不合格，所以共有2件是不合格的产品；【课后盘点】1. （2011浙江省⾈⼭，1，3分）－6的绝对值是（）A. －6 C.61 D.－61 1．B2.⼀个有理数的相反数与⾃⾝的绝对值的和（）A ．可能是负数；B ．必是正数；C ．必为⾮负数；D ．必为0.2．C3．式⼦3π--等于（）A ．3π-B ．3π+ C.3π- D ．3π--3．C4.某运动员在东西⾛向的公路上练习跑步，跑步情况记录如下：（向东为正，单位：⽶）1000，－1200，1100，－800，1400，则该运动员跑步的总路程为（）A ．1500⽶B ．5500⽶C ．4500⽶D ．3700⽶4．B5．绝对值等于本⾝的数是（）A ．正数B ．负数C ．⾮负数D ．⾮正数5．C6．下列结论中，正确的是（）A ．a +⼀定是正数B ．a +和a -⼀定不相等C ．a 和a --互为相反数D ．()a +-和a --⼀定相等6．C7．代数式33+-x 的最⼩值是（）A ．0B ．2 D ．57．C8．下列结论中，正确的是（）A ．0a --<B ．若a b =-，则a b = C. 0a >D ．若a 、b 互为相反数，则1a b=- 8．B9.若a a =，则a 为数；若a a =-，则a 为数.9．⾮负数；⾮正数；10.当4a <时，4a -= .10．4－a ；11. （2011湖南常德，1，3分）2______.-=11．212.若53x -=，则x = ；若4m -=-，则m = ；12．8或2；4或－4；13．若1a >，则1a -= ，21a -= ；若1a <，则1a -= ，1a --= .13．a －1，2a －1；1－a ，a －1；14.若110a b ++-=，则a b += .14．0；15.计算：⑴9322-?+ ⑵37148-÷- 15．（1）原式=?3229=24；（2）原式=87143÷=52； 16.已知30x =，4y =-，求3x y -.16．3x y -=30－3×4=18；17.已知2340a b c -+-+-=，求23a b c ++的值.17．由题意可得，a=2，b=3，c=4，则23a b c ++=2+2×3+3×4=20；18.正式的⾜球⽐赛，对所⽤⾜球的质量有严格规定，下⾯是6个⾜球的检测结果.（⽤正数记超过规定质量的克数，⽤负数记不⾜规定质量的克数）－25，+10，－20，+30，+15，－40请指出哪个⾜球的质量好⼀些，并⽤绝对值的知识说明原因.18．第⼆个。
绝对值的代数意义
绝对值的代数意义绝对值是一种常见的数学运算符号，用来表示一个数的大小而不考虑它的正负号。
在代数中，绝对值有着重要的意义。
定义我们可以这样定义一个数的绝对值：对于任意实数x，x的绝对值记作| x |，表示x离原点的距离。
绝对值的定义表明，无论输入的数是正数、负数还是零，它的绝对值都是非负的。
代数意义表示数的大小绝对值的一大代数意义是表示数的大小。
通过取绝对值，我们可以消去数的正负号，只保留其大小信息。
比如，对于-5和5来说，它们的绝对值都是5，代表它们的大小相同。
确定数的相等绝对值的另一个代数意义是用来确定数的相等。
两个数的绝对值相等表示它们的数值相等，无论它们的正负号是否相同。
这也让我们能够比较不同符号的数。
比如，| -7 | 等于 | 7 |，即-7和7在绝对值上相等，表示它们的数值相同。
计算距离绝对值还可以用来计算两个数之间的距离。
给定两个实数a和b，它们之间的距离可以表示为 | a - b |。
无论a和b是否是正数或负数，在绝对值的定义下，距离计算总是非负的。
解决不等式绝对值在解决不等式时也具有重要作用。
考虑一个简单的例子，| x | < a，其中x是一个实数，a是一个正数。
这个不等式的解集可以分为两部分，当x在-a和a 之间时，| x | 小于a；当x小于-a或大于a时，| x | 大于a。
因此，我们可以利用绝对值来解决这样的不等式问题。
总结绝对值在代数中具有重要的意义。
它可以用来表示数的大小，确定数的相等，计算距离，以及解决不等式。
通过绝对值的概念，我们可以更好地理解和处理数学问题，使数学运算更加灵活和简洁。
绝对值的代数意义使我们能够处理不同符号的数，并对它们的大小、相等和距离进行有效的比较。
掌握绝对值的概念和运用，对于学习代数和解决实际问题都具有重要的帮助。
(完整版)绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
绝对值的代数意义和几何意义
绝对值的代数意义和几何意义
绝对值是数学中使用最广泛的概念之一，在代数中，它被定义为数值或表达式的绝对值，容易被视为一种量度，它可以衡量一个数的大小，而不必考虑它的符号。
一、代数意义
1. 绝对值是数值和表达式的数学量度，衡量数值的大小，不受它的符号（正负）的影响。
即|x| = x,如果x>0；|x| = -x,当x<0时。
2. 绝对值函数y=|x|是一个凸函数，它的图象关于y轴对称，当x变化时，y曲线上各点的变化率一定为正。
3. 两个相等负数的绝对值相等，因此绝对值函数不满足函数的单值定理。
4. 当x ≠ 0时，|x|不能表示为0，因为如果这样的话，将会发生抵消，而它的本来
意义就是衡量数值大小。
二、几何意义
1. 在几何中，它表示一点到原点的距离，也表示函数的最大值或最小值。
2. 对于向量的绝对值，表示的是向量的模长或长度，它是一个实数。
3. 绝对值用来描述点(x，y)到原点(0，0)之间的距离，即|(x，y)|=根号[x2 +y2]。
4. 对于复平面中点(z)，其绝对值|z| = 根号[(a+bi)2] = 根号[a2+b2]。
以上可以看出，绝对值在代数和几何中都有着各自独特而重要的意义，它们在理解数学概念中都具有十分重要的作用。
绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
绝对值的意义 谢
一、 绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。
也可以写成： ()()()||0a a a a a a ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
二、 典型例题例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ A ）A ．-3aB ． 2c －aC ．2a －2bD ． b例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ C ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。
例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。
那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。
解：设甲数为x ，乙数为y由题意得：y x 3=，0)()(=--+-+=--+++y x z y z x y x z y z x1)1(+=--xx201020081861641421⨯+⋯⋯+⨯+⨯+⨯（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若x在原点左侧，y在原点右侧，即x<0，y>0，则4y=8 ，所以y=2 ,x= -6若x在原点右侧，y在原点左侧，即x>0，y<0，则-4y=8 ，所以y=-2,x=6（2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x、y在原点左侧，即x<0，y<0，则-2y=8 ，所以y=-4,x=-12若x、y在原点右侧，即x>0，y>0，则2y=8 ，所以y=4,x=12例4．（整体的思想）方程xx-=-20082008的解的个数是（ D ）A．1个B．2个C．3个D．无穷多个例5．（非负性）已知|a b－2|与|a－1|互为相互数，试求下式的值．()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b++++++++++分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|a b－2|=|a－1|=0，解得：a=1,b=2在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果．同学们可以再深入思考，例6．观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离可以表示为．分析：点B表示的数为―1，所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。
绝对值教学反思
绝对值教学反思引言概述：绝对值是数学中的一种重要概念，它在实际生活中有着广泛的应用。
然而，在教学实践中，我们往往忽略了绝对值教学的一些关键问题。
本文将对绝对值教学进行反思，探讨如何更好地教授绝对值概念和运算，以提高学生的理解和应用能力。
一、绝对值的基本概念1.1 确定绝对值的定义绝对值是一个数到原点的距离，它表示一个数离原点的远近。
在教学中，我们应该明确告诉学生绝对值的定义，匡助他们理解绝对值的本质。
1.2 绝对值的性质绝对值有一些重要的性质，如非负性、正负性、加法性和乘法性等。
我们应该引导学生通过实例和推理来理解和掌握这些性质，以便在解决问题时能够正确运用。
1.3 绝对值的几何意义绝对值的几何意义是数轴上一个点到原点的距离，这一点对于学生来说往往比较抽象。
我们可以通过绘制数轴和点的位置，让学生直观地感受绝对值的几何意义，从而更好地理解和应用。
二、绝对值的运算规则2.1 绝对值的非负性绝对值永远是非负的，这一点对于学生来说比较容易理解。
我们可以通过一些简单的例子和练习，匡助学生巩固这一概念，避免在实际运算中浮现错误。
2.2 绝对值的加法和减法绝对值的加法和减法是学生在学习中往往浮现错误的地方。
我们应该引导学生通过拆分绝对值的定义，将绝对值的加法和减法转化为正数的加法和减法，从而避免混淆和错误。
2.3 绝对值的乘法和除法绝对值的乘法和除法也是学生容易混淆的地方。
我们可以通过实例和推理，匡助学生理解绝对值的乘法和除法规则，从而正确运用绝对值进行运算。
三、绝对值的应用3.1 绝对值在数轴上的表示绝对值可以用来表示一个数在数轴上的位置，这在解决实际问题时非常实用。
我们可以通过一些实际问题，引导学生将问题转化为数轴上的绝对值表示，从而更好地解决问题。
3.2 绝对值在方程和不等式中的应用绝对值在方程和不等式中有着广泛的应用。
我们应该通过一些实例和练习，匡助学生掌握使用绝对值解决方程和不等式的方法和技巧，提高他们的解题能力。
绝对值基础知识讲解
５.倒数比较法：如果两个数都大于0,那么倒数大的反而小.
【典型例题】
类型一、绝对值的概念
1．求下列各数的绝对值.
,－0．3,０,
【思路点拨】 ,-０.3,０， 在数轴上位置距原点有多少个单位长度,这个数字就是各数的绝对值.还可以用绝对值法则来求解．
2．已知一个数的绝对值等于2０0９,则这个数是_＿_＿__＿＿.
【答案】200９或－２009
【解析】根据绝对值的定义,到原点的距离是20０９的点有两个，从原点向左侧移动20０９个单位长度,得到表示数－2０09的点;从原点向右侧移动20０９个单位长度，得到表示数2０09的点．
【总结升华】已知绝对值求原数的方法:(1）利用概念；(2）利用数形结合法在数轴上表示出来.无论哪种方法都要注意若一个数的绝对值是正数,则此数有两个,且互为相反数．
【答案与解析】因Βιβλιοθήκη |2-m|＋|ｎ-3|=０且|2－ｍ|≥0，|ｎ－３|≥０
所以|2-m|＝０，|ｎ-3|＝０
即2－m=0，ｎ-３＝0
所以m=２,n＝3
故m-２ｎ＝2-２×３＝-4.
【总结升华】若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0,即｜a|+|b|+…＋｜m|=０时,则a＝b=…=m=0.
类型四、绝对值的实际应用
绝对值（基础）知识讲解
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绝对值（基础）
【学习目标】
1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；
绝对值的几何意义
绝对值的几何意义绝对值的几何意义研究目标】1.认识并应用绝对值的几何意义2.梳理绝对值的化简方法专题简介】绝对值是整个七年级代数中难点之一。
在暑假，我们已经对绝对值的相关知识与专题进行了代数角度的研究研究。
现在，我们回归绝对值的定义本质，从几何角度出发，重新认识和理解绝对值。
专题分类】1.绝对值的几何意义2.最值问题3.方程不等式模块一：绝对值的几何意义知识导航通过前面的研究，我们已经熟悉了绝对值的代数意义，如|a-b|=a b(a≥b)这让我们看到一个含绝对值式子的第一反应就是，我可以把它拆开。
例如，当这个式子出现在我们眼前，它就被我们强迫症般地在脑海中变成了|x-1|=x1(x≥1)诚然，这种利用代数意义进行的转换在做绝对值化简时是必要且实用的，但在做最值类题型时反而绕了，转换为距离更简单。
实际上，我们已经多次接触了绝对值的几何意义，前面的研究中更是大量用到了绝对值来表示数轴上点的距离。
因此，当我们看到要“表示数轴上的距离”时，会不自觉地想到“可以用绝对值来表示”。
反过来，我们也应该认识到，当一个绝对值式子出现时，它也代表着距离。
例如，|a|表示数轴上数a对应的点到原点的距离，|m-n|的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离。
因此，当|x-1|这个式子出现在我们眼前，它还应该被我们强迫症般地在脑海中变成“这表示数轴上x对应的点与1对应的点之间的距离”。
引例】1.|-1-2|的几何意义是数轴上表示-1的点与表示2的点之间的距离，则|-1-2|=3.2.|x-π|的几何意义是数轴上表示x的点与表示π的点之间的距离；x-π|=1的几何意义是数轴上表示x的点与表示π的点之间的距离是1.3.|a-b|的几何意义是数轴上表示a的点与表示b的点之间的距离，且|a-b|=|b-a|；a+b|的几何意义是数轴上表示a的点与表示-b的点之间的距离，且|a+b|=|-b-a|。
4.|x+2|的几何意义是数轴上表示x的点与表示-2的点之间的距离；若|x+2|=2，则x=-4或x=0.当x=-1时，|x-5|+|x+2|=10；当x=π时，|x-5|+|x+2|=2π-3.例1】（1）数轴上四个点的位置关系如图，且他们表示的数分别为p，q，r，s，若|p-r|=10，|p-s|=12.练1】有理数a、b、c、d各自对应着数轴上的X、Y、Z、R四个点，且满足以下三个条件：①|b-d|>|a-b|、|a-c|、|a-d|、|b-c|、|c-d|；②|a-d|+|a-c|=|c-d|；③c是a、b、c、d中第二大的数。
绝对值几何意义应用
q n 10, p m 85 则l n p_____________ ；若15 5绝对值几何意义应用一、几何意义类型：类型一、a a 0:表示数轴上的点a到原点0的距离；类型二、a b b a :表示数轴上的点a到点b的距离(或点b到点a的距离)；类型三、a b a ( b) b ( a):表示数轴上的点a到点b的距离(点b到点a的距离)；类型四、x a:表示数轴上的点x到点a的距离；类型五、x a x ( a):表示数轴上的点x到点a的距离.二、例题应用：例1. ( 1 )、x 4的几何意义是数轴上表示x的点与表示___________ 的点之间的距离，若x 4=2，贝yx .(2)、x 3的几何意义是数轴上表示x的点与表示__________ 的点之间的距离，若x 3 1，贝y(3)、如图所示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为m n、p、q.若m q 15& p n 1 n3则点A，B，C 在数轴上的位置关拓展：已知a、b、c、d均为有理数, |a b 9]c d(4)、不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点为A, B，C,如d c的值.解析:a b) c d | l a bc d 9 16 25 且 a b c d \ 25.a b9,cd | 16 ba d c 9 16 7.例2. (1 )、①当x _2 x 3取最大值，最大时，x 3取最小值；②当时，值为(2)、①已知x 3 x 2 7，利用绝对值在数轴上的几何意义得疔个单位餐険人JL 个单位虬康二~O 寸 亠刀②已知5，利用绝对值在数轴上的几何意义丄个处位战度③已知X 3 x 2 4 ,利用绝对值在数轴上的几何意义得________ ；-2 O 3拓展：若2a 7 2a 1 8,贝V整数a的个数是4 .倉个单位长度④当X满足_______ 条件时，利用绝对值在数轴上的几何意义I x 3 x 2取得最小值，这个最小值是_________ .由上题③图可知，X 2 x 3 5，故而当2 X 3时，最小值是5.⑤若x 3 x 2 a时，探究a为何值，方程有解？无实数解？档案：a 5; a<5.特别要注意的是：当x在2 x 3这个范围内任取一个数时，都有x 3 x 2 5例题拓展：①若X 3 X 2>a恒成立，则a满足什么条件？答案：a<5.②若x 3 x 2<a无实数解，则a满足什么条件？答案：a < 5.③若X 3 X 2>a恒成立，则a满足什么条件？答案：a V 5.由上图当x < 2时，x 3 x 2 5 ；当x > 3时，x 3 x 2 5 ；当2 V x V 3 ,5 V x 3 x 2V 5，所以 5 < x 3 x 2< 5.则 a V 5.④若x 3 x 2<a时，则a满足什么条件？答案：a>5.拓展应用：已知x 1 x 2 y 2|y 1 z 3 |z * 36，求x 2y 3z的最大值和最小值.解析：|x 1|x 2 3, |y 2 |y 1 3 , |z 3 z 14x 1 x 2 y 2 y 1 z 3 z 1 36x 1 x 2 3 y 2 y 1 3 z 3 z 1 41x2, 1 y 2 , 1 z 32 2y 4,3 3z 9 6 x 2y 3y 15(3)、当x满足_________ 条件时，x 2 x 1 x 3取最小值，这个最小值是____ .特别要注意的是:当X 在1 X 3这个范围内任取一个数时，都有11(5)、当x 满足 ________ 条件时， X 2 x 1 X 3 X 5 X 7取最小值，x 2 x 1 x 3 > 5故而x 2 x 1 x 3 5,这个最小值是 5 .(4)、当x 满足 _________ 条件时，x 2 x 1 X 3 X 5取最小值，这个最小值是 ________ .内 |x 2 X 1 X 3 |x 5 > 11,故而 X 2 |x 1 |x 3 |x 5 11 ,这个最小值是11 .这个最小值是 _________18，其他范围内故而x 2 18,这个最小值是 18小结：有a 1,92,a35a 2n 1( 2n个正数，且满足a 1 < a 2V a3V …由以上图形可知：当 他范围内x 5 x 7> 13，故而 x 2 |x 1 x 3 |x 5|x 713,这个最小值是13.(6)、当x 满足 ________ 条件时，X 2 |x 1 X 3 |x 5 |x 7 |x 8取最小值，这个最小值是> 18,< a2n 1x = 3 时，|x 2 |x 1 |x 3 |x 5|x 713,其3>1人1. 求x a1x a2x a3 a2n 1的最小值，以及取得这个最小值所对应的x的值或范围;答案是：当X=_an1_时，x a1 x a2X a3X a2m取得最小值，这个最小值是a n1 a1a n 1 a2a n 1 a3a n 1 a2n 12.求X a1 X a2 X a3X a2n的最小值，以及取得这个最小值所对应的x的值或范围；答案是：当4 X a n1时，x a1x a2x a3x a2n取得最小值，这个最小值是3n a1 a 】na2a】n a3a n a2n或者a n1 4a n 1 a2a n 1 a3a n 1 a2n三、判断方程根的个数例3、方程199+ 2| = 1996共有（）个解.A..4;B. 3; C . 2; D . 1解：当x在—99〜—1之间（包括这两个端点）取值时，由绝对值的几何意义知，199| = 98,+ 2| V98.此时，199+ 2| V 1996，故199 + 2| = 1996时，x必在—99〜—1之外取值，故方程有2个解，选（C）.四、综合应用若a v b v c v d ,问当x 满足 条件时，_条件时，例4、（第15届江苏省竞赛题，初一）已知+ 21-= 9— — 5| - |1，求y 最大值与最小值.解：原方程变形得+ 2— 1 — 51= 9,+ 2 — 1| >3, — 51| >6,而+ 2— 1 — 51| = 9,.•• + 2 — 1| = 3, — 51| = 6,二一2w x W 1, — 1 w y w 5, 故y 的最大值与最小值分别为6和—3.五、练习巩固x ax bx cx d 取得最小值.2、若a v b V c v d v e ,问当x 满足xaxbxcxd x e取得最小值.3、如图所示，在一条笔直的公路上有9个村庄，期中A 、B 、C D F 、G H K 到城市的距离分别为3、6、10、15、17、19、20、23千米，而村庄 E 正好是的 中点.现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应 建在什么位置？城市E------ •---- *• ------- •—・• • •・•--------------------------- —A B C D FGH K4、设x是实数，y X 1 X 1下列四个结论：①.y没有最小值；②.只有一个X使y取到最小值；③•有有限多个x（不只一个）使y取到最小值；④.有无穷多个X使y取到最小值。
绝对值知识讲解
绝对值知识讲解一、知识框架图绝对值绝对值的看法绝对值的求法比较两个数的大小二、基础知识1、绝对值的看法（ 1）定义：一个数的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离。
数 a 的绝对值记作a ，读作a的绝对值。
（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它自己；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。
（3）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离。
离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。
（4）绝对值的非负性：由于距离总是正数或0，故有理数的绝对值不可以能是负数，即对于任意有理数a，总有 a ≥0.2、绝对值的求法绝对值是一种运算，这个运算符号是“”。
求一个数的绝对值，就是想方法去掉这个绝对值符号，对于任意有理数a，有：a（ a＞ 0）（1） 0（ a=0）a（a＜ 0）a（ a≥ 0）（2）a（a＜ 0）a（ a＞ 0）（3）a（ a≤0）这就说，去掉绝对值符号不是任意就能完成的，要看绝对值里面的数是什么性质的数。
若绝对值里面的数是非负数，那么这个数的绝对值就是它自己，此时绝对值“”符号就相当于“（）”的作用，如 5 2 1 = 5 （2 1）= 5 1 4 。
由于这里2－1是正数，故去掉绝对值符号后2 1 =（2－1）；若绝对值里面的数是负数，那么这个负数的绝对值就是这个负数的相反数这时去掉绝对值时，就要把绝对值里面的数添上括号，再在括号前面加上负号“－”。
3、利用绝对值比较两个数的大小两个负数，绝对值大的反而小。
比较两个负数的大小，可依照以下步骤进行：（ 1）先求出两个负数的绝对值； （ 2）比较这两个绝对值的大小；（ 3）写出正确的判断结果。
三、例题讲解例 1 求以下各数的绝对值 （ 1） 1；（ 2）1；（ 3） 4 3；（ 4） 312343解析：运用绝对值的意义来求解。
解：（1 ）1= 1 ；（ 2）1 = （ 1） 1 ；2 23 3 3（ 3） 43（ 4 3） 4 3 ；（ 4） 31314443 3议论：解答本题第一要弄清楚绝对值的意义，正确列出代数式， 再运用绝对值的意义求出结果，切不可以写作1 1 1=3= .33例 2 计算：（ 1）；（ 2）（ ；（ 3）32 0.3）解析：本题要点是确定绝对值里面的数的性质，再依照绝对值的意义去掉绝对值负号。
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绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
例3. 已知|x-2|+x与x-2+|x|互为相反数，求x的最大值．解：由题意得(|x-2|+x)+(x-2+|x|)＝0，整理得|x-2|+|x|+2x-2＝0令|x-2|＝0，得x＝2，令|x|＝0，得x＝0以0，2为分界点，分为三段讨论：(1)x≥2时，原方程化为x-2+x+2x-2＝0，解得x＝1，因不在x≥2的范围内，舍去。
(2)0≤x＜2时，原方程化为2-x+x+2x-2＝0，解得x＝0(3)x＜0时，原方程化为2-x-x+2x-2＝0，从而得x＜0综合(1)、(2)、(3)知x≤0，所以x的最大值为03. 整体参与运算过程．即整体配凑，借用已知条件确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值符号进行运算。
例4. 若|a-2|＝2-a，求a的取值范围。
解：根据已知条件等式的结构特征，我们把a-2看作一个整体，那么原式变形为|a-2|＝-(a-2)，又由绝对值概念知a-2≤0，故a的取值范围是a≤24. 运用绝对值的几何意义．即通过观察图形确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算．例5. 求满足关系式|x-3|-|x+1|＝4的x的取值范围．解：原式可化为|x-3|-|x-(-1)|＝4它表示在数轴上点x到点3的距离与到点-1的距离的差为4由图可知，小于等于-1的范围内的x的所有值都满足这一要求。
所以原式的解为x ≤-1五. 有关绝对值知识的应用1. 如果根据已知条件或题目中的隐含条件可以确定绝对值符号内的数(或代数式)为“负”值或“非负”值，则由绝对值的定义可直接写出其结果.例6. 设x ，y ，a 是实数，并且|x|＝1-a ，|y|＝(1-a)(a-1-a 2)，试求|x|+y+a 2+1的值等于______．解：显然|x|≥0，|y|≥0，∴由|x|≥0得1-a ≥0，由|y|≥0得1-a ≤0，∴1-a ＝0，从而x ＝0，y ＝0，a ＝1∴原式＝|0|+0+12+1＝22. 如果根据已知或题目自身不能确定绝对值符号内的代数式为“负”或“非负”，就应分别对各种情况进行讨论。
讨论的方法有：(1)直接利用绝对值的性质，去掉绝对值符号，把式子转化为不含绝对值的式子进行讨论。
例7. 已知|a|＝3，|b|＝2，求a+b 的值。
解：∵|a|＝3，|b|＝2，∴ a ＝3或-3，b ＝2或-2因此a ，b 的取值应分四种情况：a ＝3，b ＝2或a ＝3，b ＝-2或a ＝-3，b ＝2或a ＝-3，b ＝-2，从而易求a+b 的值分别为5，1，-1，-5解这类问题，要正确组合，全面思考，谨防漏解。
(2)采用零点分区间法，求出绝对值的零点，把数轴分成相应的几个区间进行讨论(所谓绝对值的零点就是使绝对值符号内的代数式等于零的字母所取值在数轴上所对应的点)。
例8. 化简：|1-3x|+|1+2x|．解：由031=-x 和021=+x 得两个零点：31=x 和21-=x ，这两个点把数轴分成三部分：（1）当21-<x 时，031>-x ，021<+x ∴ 原式;5)]21([)31(x x x -=+-+-=（2）当3121<≤-x 时，031>-x ，021≥+x ∴ 原式x x x -=++-=2)21()31(；（3）当31≥x 时，031≤-x ，021>+x ， ∴原式＝-(1-3x)+(1+2x)＝5x ．3. 利用绝对值的几何意义解含绝对值的方程，这样既直观，又简便。
因为|x|的几何意义是表示数轴上点x 到原点的距离，因此|x-a|的几何意义是表示点 x 到点 a 的距离．由此可知，方程 |x-a|＝k 的解是x ＝a+k 或 x ＝a-k(k ≥0)例9. |x-2|+|x-1|+|x-3|的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解：设A(1)，B(2)，C(3)，P(x)，如图所示，求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值，即是在数轴上求一点P ，使AP+BP+PC 为最小，显然，当P 与B 重合，即x ＝2时，其和有最小值2，故应选(B)4. 利用“一个实数的绝对值是一个非负数”这一性质解题，可使问题化难为易。
在运用这一性质时，常与非负数的性质：“有限个非负数的和为零时，则每一个非负数必为零”联用。
例10. 若|m+1|+|2n+1|＝0，那么m 2003-n 4＝______．六. 绝对值化简与求值的基本方法例11. 若a 、b 互为相反数，cd 互为负倒数．则|a+b+cd|＝____________．(96年泰州市初中数学竞赛)解：由题设知a+b ＝0，cd ＝-1，则|a+b+cd|＝|0-1|＝1例12. 若|x-y+2|与|x+y-1|互为相反数，则xy 的负倒数是________．(95年希望杯邀请赛初一培训题)解：由题设知|x-y+2|≥0，|x+y-1|≥0，但二者互为相反数，故只能x-y+2＝0，x+y-1＝0 解得21-=x ，23=y ，43-=xy ∴其负倒数是34 例13. 已知a 、b 是互为相反数，c 、d 是互为负倒数，x 的绝对值等于它的相反数的2倍，则x 3+abcdx+a-bcd 的值是_______．(94年希望杯邀请赛初一试题)解：由题设知a+b ＝0，cd ＝-1．又x 的绝对值等于它的相反数的2倍，∴x ＝0，∴原式＝03+0+a-b ·(-1)＝a+b ＝0例14. 化简|x+1|+|x-2|令x +1＝0，x-2＝0，得x ＝-1与x ＝2，故可分段定正负再去符号．(1)当x ＜-1时，原式＝-(x+1)-(x-2)＝-2x+1；(2)当-1≤x ＜2时，原式＝(x+1)-(x-2)＝3；(3)当x ≥2时，原式＝x+1+(x-2)＝2x-1说明：例14中没有给定字母任何条件，这种问题应先求零点，然后分区间定正负再去绝对值符号，这种方法可归纳为：“求零点，分区间，定性质，去符号”。
例15. 设x 是实数，y ＝|x-1|+|x+1|。
下列四个结论：Ⅰ.y 没有最小值；Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值；Ⅲ.有有限多个x(不只一个)使y 取到最小值；Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值。
其中正确的是( )．A ．ⅠB ．ⅡC ．ⅢD ．Ⅳ(1993年全国初中数学竞赛试题)解：原问题可转化为求x 取哪些值时，数轴上点x 到点1与点-1的距离之和为最小。
从数轴上可知，区间[-1，1]上的任一点x 到点1与点-1的距离之和均为2；区间[-1，1] 之外的点x 到点1与点-1的距离之和均大于2，所以函数y ＝|x-1|+|x+1|当-1≤x ≤1时，取得最小值2，故选(D)七. 绝对值与非负数我们称不是负数的有理数为非负有理数，简称非负数。
当我们说x 是一个非负数时，用数学符号表示就是x ≥0.值得注意的是，有的同学们往往用x ＞0表示任意一个非负数，而忘掉等号！这是因为他们错将非负数理解为负数的相反数了！尽管只是丢掉一个零，在数轴上只差一个点，但就全体有理数而言，却是丢掉了三类有理数中的一类。
也就是说，|x|表示数轴上坐标为x 的点与原点的距离。
我们看到，任何有理数的绝对值都是一个非负数，而任何一个非负数都可表示为某数的绝对值。
即对任意有理数x 有|x|≥0，这一点至关重要。
只有牢牢掌握绝对值总是非负数并且清楚地认识到什么是非负数，才会正确地处理各种问题。
例16. 若a 为任意实数，则下列式子中一定成立的是( )．A ．|a|＞0B ．|a|＞a C. aa 1> D. 01>+a 对这个问题的分析首先要注意到绝对值都是非负数，而非负数包括零。
如此就很容易淘汰掉A 、B ，而C 需从a 的取值范围来讨论，如21=a ，则C 不对，至于D 有非负数的性质：“一个非负数加上一个正数，得正数”，即可知其正确。
例17. 已知a ＜0＜c ，ab ＞0，|b|＞|c|＞|a|，化简|a+c|+|b+c|-|a-b|．解：分析这个题目的关键是确定a+c 、b+c 、a-b 的符号，根据已知可在数轴上标出a 、b 、c 的大致位置，如图所示：很容易确定a+c＞0，b+c＜0，a-b＞0，由绝对值的概念，原式＝(a+c)-(b+c)-(a-b)＝a+c-b-c-a+b＝0用数轴上的点来表示有理数，用这样的点与原点的距离来表示有理数的绝对值，这里运用了数形结合的思想。