导数中恒成立问题(最值问题)

导数中恒成立问题（最值问题）

恒成立问题是高考函数题中的重点问题，也是高中数学非常重要的一个模块，不管是小题，还是大题，常常以压轴题的形式出现。

知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边）

先来简单的（也是最本质的）如分离变量后，()a f x ≥恒成立，则有max ()a f x ≥ ()a f x ≤恒成立，则有min ()a f x ≤ （若是存在性问题，那么最大变最小，最小变最大） 1.对于单变量的恒成立问题

如：化简后我们分析得到，对[],x a b ∀∈，()0f x ≥恒成立，那么只需min ()0f x ≥ [],x a b ∃∈，使得()0f x ≥，那么只需max ()0f x ≥ 2.对于双变量的恒成立问题

如：化简后我们分析得到，对[]12,,x x a b ∀∈，12()()f x g x ≥，那么只需min max ()()f x g x ≥ 如：化简后我们分析得到，对[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈使12()()f x g x ≥，那么只需

min min ()()f x g x ≥

如：化简后我们分析得到，[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∈使12()()f x g x ≥，那么只需max min ()()f x g x ≥ 还有一些情况了，这里不一一列举，总之一句话（双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理一个变量，再处理另一个变量）

3.对于带绝对值的恒成立问题，我们往往先根据函数的单调性，去掉绝对值，再转变成恒成立问题（201

4.03苏锡常镇一模那题特别典型）

今天呢，我会花很多时间来讲解一道二次函数，因为二次函数是最本质的，（甚至我提出这样一个观点，所有导数的题目95%归根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论，3%是

ax b +与3ax b +这种形式根的讨论，2%是观察法得到零点，零点通常是1

1,,e e

之类）

，所以如果我们真正弄清楚了二次函数，那么对于千变万化的导数题，我们还会畏惧吗。

那么我们先从一道练习题说起

一．二次函数型（通常方法是讨论对称轴，根据图像求最值）

例题1.已知()f x =R ，求a 的取值范围

思考：① 引入定义域（非R ）

②参数在二次项，就需考虑是否为0

③引入高次（3次，4次，1

x ，ln x ，x e 等等）

④引入2a ，3a 等项（导致不能分离变量）

方法：1.一次函数，二次函数直接根据图像讨论最值(二次函数也可以分离变量)

2.对于高次或者特殊函数，一般分离变量求最值（分离变量后对函数求导，确定导函

数的正负情况，确定单调性，从而确定在已知定义域上的最值）

3.对于不能分离变量的，只能直接求导，对参数讨论，从而确定单调性，确定最值

变式：

①已知()f x ax b =+，若对任意的(,)x m n ∈，均有()0f x ≥，求a 的取值范围 ②已知2()25f x ax x =+-，若对任意的(3,2)x ∈-，均有()0f x ≥，求a 的取值范围 ③已知22()2(1)5f x ax a x =++-，若对任意的(3,2)x ∈-，均有()0f x ≥，求a 的取值范围 ④已知3()2(1)5f x ax a x =++-，若对任意的(3,2)x ∈-，均有()0f x ≥求a 的取值范围 ⑤已知32()2(9)5f x ax a x =+--，若对任意的(3,2)x ∈-，均有()0f x ≥求a 的取值范围 例题2.（改编）已知函数()122+-=x ax x f 在[]3,1上的最大值为()a M ，最小值为()a m ，又已知函数()()()a m a M a g -=，

（1）求()a g 的表达式；（2）指出()a g 的单调区间，并求出()a g 的最小值

答案：根据对a 是否为0以及对称轴的讨论，易知11,2()195,2

a a M a a a ⎧

-≤

⎪⎪=⎨

⎪->⎪⎩

195,311()1,131,1a a m a a a a a ⎧-≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩

，所以易知184,31112,()32

1196,1

284,1

a a a a g a a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎪+-<≤⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎪⎪->⎩ 所以()g a 在1(,)2-∞单调递减，在1(,)2+∞单调递增，所以当12x =时，()f x 有最小值1

2

点评：本题考察的主要是二次函数带参数在已知定义域上的最值问题的讨论

变式：1.对称轴不动（①定义域不动 ②定义域动（含参数）） 2.对称轴动（含参），定义域不动（考试最喜欢考）

3.对称轴动（含参），定义域动（含参） 但是参数还是同一个参数 方法：找出对称轴与定义域边界及定义域中值的临界点讨论即可

4.对称轴动（含参），定义域动（含参）

①参数不一样，那么或许可以看看题目中参数的范围，是否可以直接根据单调性求 ②参数不一样，参数也没范围，那么真不能做了

（13江苏）在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数1

y x

=

(x ＞0)图象上一动点．若点P ，A

之间的最短距离为，则满足条件的实数a 的所有值为__________．

解：设()0001,,0P x x x ⎛⎫

> ⎪⎝⎭

则

()

22

2

222200000200000111112++2=+-2+22

PA x a a x a x a x a x a x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

=-+-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝

⎭ 令()00

1

t 2x t x +

=≥ 则()222=(t)=t 2222PA f at a t -+-≥ 对称轴t a = 1.2a ≤时，

22min 2(2)242

2428PA f a a a a ==-+∴-+= 1a =- ， 3a =（舍去）

2.2a >时，

22min 2()2

28PA f a a a ==-∴-=

a =，

a =

综上1a =-

或a =点评：本题综合性较高，考查了带参数的二次函数在已知定义域上的最值问题（高一下学期必须学会），同时考查了换元思想，分类讨论的思想 是一道非常漂亮的题目

二．三次函数及特殊函数型（通常是求导后对二次函数的零点进行讨论，从而求最值）

先来几个比较特殊的题目，平时稍微长点心眼，多记记，就记住了

1.（原创）已知函数()0f x >且'()()0xf x f x ->，对所有满足条件的函数()f x ，始终有

3(2)(23)(1)f a a f >-+成立，求a 的取值范围

答案：由题可知0x =时，0(0)0f ->与题目()0f x >矛盾，所以显然有0x ≠ 所以由条件易知

()

f x x 单调递增，由题可知3(2)23(1)22

f a a f -+>始终成立，即 3(2)232(1)2

1

f a a f -+>

恒成立，因为()f x x 单调递增，又()f x x 是满足条件的所有函数， 所以(2)

2(1)

1

f f 的最小值总大于1，所以有32312a a -+≤，知a

的范围是12a --≤

或

112a -+≤≤ 点评：对于某些题中既有()f x 又有()'f x 的这种题型，我们不妨去联想它的原函数