五年级奥数(仁华版)上 第九讲 数学游戏

拓展练习
• 如果是5×5的 方格呢？ • 我们仍然可以用 倒推法来分析
倒推法的相关题目
• 课本220页例2的拓展 5×5方格 • 习题的第3题8×8 方格 9×9 方格 • 练习册104的1、3、4、8、9、10
二、简化讨论法
甲乙两人玩下面的游戏，：有两堆玻璃球， 一堆8个一堆9个，甲乙两人轮流从中拿取， 每次在哪从同一堆拿，个数（大于0）不限。 规定拿到最后一个球的人为输。问如果甲 先拿，他有无必胜的策略？
一、倒推法
• 倒推法是解决游戏必胜策略问题的最常用 的一种方法。我们以两个例子来讨论什么 是倒推法： • 例1、有一个叫做抢“30”的游戏。甲、乙 二人轮流从1开始，每人每次只能报1个数 或两个数，谁先报到30，谁就获胜。问： 怎样才能取胜？
我们可以从下表或写出这30个数进行分析， 很直观：如果我们把30叫做获胜的数位 （简称胜位）前面的胜位一目了然
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
所以必胜得策略是：让对方先报数， 根据对方所报的数字报适当的数字，使 每一轮所报的数字数是3个。
换句话说，这时一个先报必输的游戏

解答思路
• 我们从结果往回分析：如果你想报出30，那么你 上一次必须报到27，这样，如果对方报28一个数， 你可以报29、30两个数；如果对方报28、29两个 数，你就报30一个数。 • 同理，你上上一次应报到24，再往上倒推，你应 当报出21、18、15、12、9、6、3， • 这样，如果你先报，你只能报1或者1、2，肯定 第一次报不到3，所以，先报无必胜，如果对方知 道这个秘密，你必输。 • 只有让对方先报，你根据对方报的数字报数，是 每一轮报的数字个数为3即可
（二）如果自己拿后变为（n，2）且n≥2
1、 如果拿后变成（2、2）自己必胜 。 对方必输： 对方拿走1个变成（2、1），自己可以从2中拿走1个变成 （1、1），己方胜；对方拿走2个变成（2，0）己方胜。 因此（2、2）是胜位。 2、如果己方拿后变成（3、2），（4、2）等，对方 可以拿后变成（2、2）占据胜位，自己必输；因此 （n、2）n＞2,是负位 （三）同理、己方拿后变成（3、3），自己可以占据 胜位；而（n、3）当n＞3 ，对方可以拿后变成（3、 3）占据胜位，自己必输；因此（n、3）n＞3,是负位
课堂小结
• 1、游戏对策问题一般是指两人或两人以上 参与的竞争性游戏中，寻找获取优胜办法 的问题。 无论对手怎样做都有相应的办法 可以获胜的对策就是必胜策略。 • 2、前瞻性 在进行操作的游戏中若要获胜， 必须一开始就掌握主动，使对手处于被动 状态中。 • 3、解题策略 列举法，倒推法、简化法
列举法的对应题目
二、自己拿后两堆都有： 1、如果拿后变成（1、1），对方不得不拿，拿走之后变为 （1,0）自己胜；是胜位。 2、如果自己拿后变为（2、1），（3、1）,只要对方只留下 （1、1），自己必输； 因此拿后变成（n、1）且n大于1时，对方只需在多的盒 中取走（n-1）即可形成（1,1），对方胜，自己必输。 2、如果拿后变成（2、2）自己必胜 。 对方必输：对方 拿走1个变成（2、1），拿走2个变成（2、0）都是必输 3、如果拿后变成（ 因此（ 2、2）是胜位。3、2），（4、2）等，对方可以 拿后变成（2、2）占据胜位，自己必输；因此（n、2） n＞2,是负位 4、如果拿后变成（3、3），自己可以占据胜位；而 （n、3）当n＞3 ，对方可以拿后变成（3、3）占据 胜位，自己必输；因此（n、3）n＞3,是负位
二、拿后两堆都有： 1、如果拿后变成（1、1），（2、1），（3、1）,只要对方 只留下（1、0），自己必输；因此拿后变成（n、1）自己 必输，对方胜变成 （n、1），对方只需将n个球那堆全部取 走，就能造成（1、0）对方胜，自己负位 2、如果拿后变成（2、2）自己必胜 。 对方必输：对方 拿走1个变成（2、1），拿走2个变成（2、0）都是必输 因此（2、2）是胜位。 3、如果拿后变成（3、2），（4、2）等，对方可以 拿后变成（2、2）占据胜位，自己必输；因此（n、2） n＞2,是负位 4、如果拿后变成（3、3），自己可以占据胜位；而 （n、3）当n＞3 ，对方可以拿后变成（3、3）占据 胜位，自己必输；因此（n、3）n＞3,是负位
第九讲 数学游戏
游戏对策问题
知识导航
• 1、游戏对策问题一般是指两人或两人以上 参与的竞争性游戏中，寻找获取优胜办法 的问题。 无论对手怎样做都有相应的办法 可以获胜的对策就是必胜策略。 • 2、前瞻性 在进行操作的游戏中若要获胜， 必须一开始就掌握主动，使对手处于被动 状态中。 • 3、解题策略 列举法，倒推法、简化法
• 解：如果甲先拿，有必胜的策略。甲的具 体拿法是：从m个玻璃球的盒子里拿走 （m-n)个，使两堆数目相等，都是n个。 • 此后，乙从一个盒子里拿球，甲就从另一 个盒子里拿球，如果乙拿走几个，甲也从 另一盒子里拿走几个，保持（n、n) ；总能 使两个盒子里变成（1、1）的情况。
第二课时
• 上一次我们探讨了解决游戏问题的最重 要的两种方法——倒推法和简化法， • 今天，我们再来探讨另一种常用的方 法——列举法
根据题目中的条件，把所有 可能的结果一一列举出来， 加以分析，称为列举法。 我们看下面的例子： 甲乙二人玩轮流从右图中选 数的游戏，每人可以选三 个数，谁选的数在同一直 线上（即和为15 ）谁就获 胜。问：先选的人有没有 必胜的方案
三、列举法
8 3
4
1 5
9
6 7
2
拓展练习
如果去掉中间红色的条件， 先选的人有必胜的策略吗？ 甲乙二人玩轮流从右图中选 数的游戏，谁选的数在同 一直线上（即和为15 ）谁 就获胜。问：先选的人有 没有必胜的方案
8 3
4
1 5
9
6 7
2
课本上的例1、
在一个3×3的方格纸中，甲 乙二人轮流（甲先）王方格 纸中填写1、3、4、5、6、7、 8、9、10九个数中的一个， 数字不能重复。最后，甲的 得分是不计中间行的上下两 行六个数的和，乙的得分是 不计中间列的左右两列六个 数之和，得分多者为胜。请 你为甲找出一种必胜的策略。
• 课本第224页1、2 • 练习册第103页2、6、7
简化、从简单的情况分析
我们用m、n表示两堆的数目，从以下情 况分析：
一、自己拿后变成其中一个盒子里为0，即（n、0） 时 对方必胜 由此可知（n、0）对方只需取完就可获胜。 对方胜，自己负位
二、自己拿后两个盒子里都有： （一）如果自己拿后变为（n，1）且n≥1： 1、 如果拿后变成（1、1），对方不得不拿，拿走之后变 为（1,0）自己胜；是胜位。 2、 如果自己拿后变为（2、1），（3、1）,只要对方只留 下 （1、1），自己必输； 因此拿后变成（n、1）且n大于1时，对方只需在多的盒 中取走（n-1）即可形成（1,1），对方胜，自己必输。是负 位
结论
综上所述：对于先拿的一方，拿后两个盒子中玻璃 球的个数相等，就能占据胜位。
因此，先拿者有必胜的策略。具体做法是：
第一次必须先从玻璃球多的盒子里拿球，使两个盒 子中的玻璃球相等；
然后，对方从其中一个盒子里拿几个，自己就从另 一个盒子里拿同样多的数目，使两个盒子里的玻 璃球数目总是相等，直到最后获胜。
倒推法
• 我们再来看一个例子（课 本219页例2） • 在4×4的方格纸上有一粒 石子，它放在左下角的方 格里，甲乙二人玩游戏， 由甲开始，二人交替移动 这粒石子，每次在哪向上、 向右或向右上移动一格， 谁把石子移到右上角谁胜。 问：甲能取胜吗？有没有 必胜策略？
我们用倒推法来分析取胜策略
• 解：甲第一次应向右上方移 动一格到（2，2）的位置， 然后视乙移动的情况而定： 乙向上移到（2，3），也向 上移到一格到（2，4），乙 向右移动一格到（3，2）也 向右移动一格到（4，2）。 即：甲走了第一步后，乙朝 那个方向走，甲也向那个方 向走，即可获胜。 • 此题为先走必胜。
简化、从简单的情况分析
我们用m、n表示两堆的数目，从以下情 况分析：
一、自己拿后变成其中一堆为0，即（n、0） 时 1、拿后变成 （1、0） 自己胜位 对方必输
2、拿后变成 （2、0），（3、0），（4、0）时，对 方只需留下一个即可占据胜位，因此是负位。 由此可知（n、0）其中n＞1 ，对方只需从n个 球中取走（n－1）个球就能造成（1、0）对方胜，自 己负位
结论
• 由此可知： • 1、当两堆球的个数为（1、0）， 或（n、 n）n＞1，先拿的必输； • 2、当个数不相等但不是（1、0）或两堆各 有1个球时，先拿的必胜。取胜的方法是： 当为（n、0）时，拿走n－1个球；当为（n、 1）时，拿走n个球；否则从多的一堆中拿 走一些，使两堆个数相等。
• 解：如果甲先拿，有必胜的策略。甲的具 体拿法是：从9个玻璃球那堆中拿走1个， 使两堆数目相等，都是8个。 • 此后，乙从一堆拿球，甲就从另一堆拿球， 如果乙把一堆球全部拿走，甲就比乙少拿1 个即可（就剩下一个球）；如果乙使得一 堆球就剩下一个，甲就把另一堆全拿走； 如果乙拿走几个，甲也从另一堆拿走几个， 保持（n、n) n＞2；总能使两堆求变成（1、 0）或（2、2）的情况。
a d g b e h c f i
我们来分析
• • • • • • • • 甲的得分 a b c a＋b＋c＋g＋h＋i d e f ＝(a＋g＋c＋i)＋ (b＋h) g h i 乙的得分 a＋c＋d＋f＋g＋i ＝(a＋g＋b＋i)＋ (d＋f) 以下阅读课本217页到 可以看出，取胜的关键是： 219页。 b ＋ h与d ＋ f的大小