深圳金源学校数学一元一次方程单元培优测试卷

一、初一数学一元一次方程解答题压轴题精选（难）1．如图，动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，运动到3秒钟时，两点相距15个单位长度．已知动点A、B的运动速度比之是3∶2（速度单位：1个单位长度/秒）．（1）求两个动点运动的速度；（2）A、B两点运动到3秒时停止运动，请在数轴上标出此时A、B两点的位置；（3）若A、B两点分别从（2）中标出的位置再次同时开始在数轴上运动，运动的速度不变，运动的方向不限，问：运动到几秒钟时，A、B两点之间相距4个单位长度？【答案】（1）解：设点B的速度为2x个单位长度/秒，则点A的速度为3x个单位长度/秒，根据题意得：3×（2x+3x）=15，解得：x=1，∴3x=3，2x=2，答：动点A的运动速度为3个单位长度/秒，动点B的运动速度为2个单位长度/秒；（2）解：3×3=9，2×3=6，∴运动到3秒钟时，点A表示的数为﹣9，点B表示的数为6；（3）解：设运动的时间为t秒，当A、B两点向数轴正方向运动时，有|3t﹣2t﹣15|=4，解得：t1=11，t2=19；当A、B两点相向而行时，有|15﹣3t﹣2t|=4，解得：t3= 或t4= ，答：经过、、11或19秒，A、B两点之间相距4个单位长度．【解析】【分析】（1）根据已知：动点A、B的运动速度比之是3∶2，因此设点B的速度为2x个单位长度/秒，则点A的速度为3x个单位长度/秒，根据两点相距15，列方程，求解即可。

（2）根据两点的运动速度，就快求出A、B两点运动到3秒时停止运动，就可得出它们的位置。

（3）设运动的时间为t秒，分两种情况：当A、B两点向数轴正方向运动时；当A、B两点相向而行时，分别根据A、B两点之间相距4个单位长度，列方程求出t的值。

2．你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你原因和方法．（1）阅读下列材料：问题：利用一元一次方程将化成分数．设．由，可知，即．（请你体会将方程两边都乘以10起到的作用）可解得，即．填空：将写成分数形式为________ ．（2）请仿照上述方法把小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程.【答案】（1）（2）解：设 =m，方程两边都乘以100，可得100× =100x由=0.7373…，可知100× =73.7373…=73+0.73即73+x=100x可解得x= ，即 =【解析】【分析】解：(1)设0.4˙=x，则4+x=10x，∴x= .故答案是：；（2）理解该材料的关键在于：将循环小数扩大的倍数在于循环小数的循环节，释放一个循环节后，循环小数的大小仍不变.3．某织布厂有150名工人，为了提高经济效益,增设制衣项目,已知每人每天能织布30m,或利用所织布制衣4件,制衣一件需要布1.5m,将布直接出售，每米布可获利2元，将布制成衣后出售，每件可获利25元，若每名工人每天只能做一项工作，且不计其他因素，设安排x名工人制衣.（1）一天中制衣所获利润P是多少(用含x的式子表示);（2）一天中剩余布所获利润Q是多少 (用含x的式子表示);.（3）一天当中安排多少名工人制衣时，所获利润为11806元?【答案】（1）解：由题意得，P=25×4×x=100x.故答案是：100x；（2）解：由题意得,Q=[(150−x)×30−6x]×2=9000−72x.故答案是：(9000−72x)；（3）解：根据题意得解得答:应安排100名工人制衣.【解析】【分析】（1）根据一天的利润=每件利润×件数×人数，列出代数式；（2）安排x名工人制衣，则织布的人数为（150-x），根据利润=（人数×米数-制衣用去的布）×每米利润，列代数式即可；（3）根据总利润=11806，列方程求解即可.4．仔细阅读下列材料.“分数均可化为有限小数或无限循环小数”，反之，“有限小数或无限小数均可化为分数”.例如： =1÷4=0.25； = =8÷5=1.6； =1÷3= ，反之，0.25= = ；1.6= = = .那么，怎么化成分数呢？解：∵ ×10=3+ ，∴不妨设 =x，则上式变为10x=3+x，解得x= ，即 = ；∵ = ，设 =x，则上式变为100x=2+x，解得x= ，∴ = =1+x=1+ =（1）将分数化为小数： =________， =________；（2）将小数化为分数：=________；=________。

（3）将小数化为分数，需要写出推理过程.【答案】（1）1.8；（2）；（3）解：设 =x，则100x=95+x，解得：x= =1+ =【解析】【解答】(1)9÷5=1.8，22÷7= ；(2)设0. x，根据题意得：10x＝5+x，解得：x ；设0. x，则10x＝6+x，解得：x ．．故答案为：．【分析】（1）由已学过的知识可知：分数均可化为有限小数或无限循环小数；是一个有限小数，是一个无限循环小数；（2）由阅读材料可求解；（3）由阅读材料可知，设循环节为x，即 =x，由材料可得方程 100x=95+x，解方程即可求解。

5．如图，在数轴上点A表示数a，点C表示数c，且 .我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记.比如，点A与点B之间的距离记作AB．（1）求AC的值；（2）若数轴上有一动点D满足CD＋AD=36，直接写出D点表示的数；（3）动点B从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点A，C在数轴上运动，点A、C的速度分别为每秒 3个单位长度，每秒4个单位长度，运动时间为t秒.①若点A向右运动，点C向左运动，AB=BC，求t的值.②若点A向左运动，点C向右运动，2AB－m×BC的值不随时间t的变化而改变，请求出m的值.【答案】（1）解：∵|a+10|+（c-20）2=0，∴a+10=0，c-20=0，∴a=-10，c=20（2）解：当点D在点A的左侧，∵CD+AD=36，∴AD+AC+AD=36，∴AD=3，∴点D点表示的数为-10-3=-13；当点D在点A，C之间时，∵CD+AD=AC=30≠36，∴不存在点D，使CD+AD=36；当点D在点C的右侧时，∵CD+AD=36，∴AC+CD+CD=36，∴CD=3，∴点D点表示的数为20+3=23；综上所述，D点表示的数为-13或23（3）解：①∵AB=BC，∴|（1+t）-（-10+3t）|=|（1+t）-（20-4t）|∴t= 或；②∵2AB-m×BC=2×（11+4t）-m（19+3t）=（8-3m）t+22-19m，且2AB-m×BC的值不随时间t的变化而改变，∴8-3m=0，∴m= .【解析】【分析】（1）根据非负性可求出答案；（2）分三种情况：当点D在点A的左侧；当点D在点A，C之间时；当点D在点C的右侧时；进行讨论可求D点表示的数；（3）①用t的代数式表示AB，BC，列出等式可求解；②用t的代数式表示AB，BC，代入代数式可求解；6．一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：．我们称使得成立的一对数，为“相伴数对”，记为 .（1）若是“相伴数对”，求的值；（2）若是一个“相伴数对”，请将所满足的等式化为，其中均为整数的形式（如）；（3）若是“相伴数对”，求代数式的值．【答案】（1）解：根据题意得：，解得b＝；（2）解：根据题意得：，即，∴，∴；（3）解：∵是“相伴数对”，∴，∴，∴原式.【解析】【分析】（1）根据“相伴数对”的定义列出方程求解即可；（2）根据“相伴数对”的定义列出等式，然后去分母，化简即可；（3）由（2）可得，变形得，然后对所求式子进行化简，代入计算即可.7．已知a是最大的负整数，b、c满足（b-3）2+|c+4|=0，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．（1）点A表示的数为________，点B表示的数为________，点C表示的数为________；（2）若动点P从C出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒2个单位长度，运动几秒后，点P到点B为5个单位长度？（3）在数轴上找一点M，使点M到A、B、C三点的距离之和等于13，请写出所有点M 对应的数，并写出求解过程．【答案】（1）-1；3；-4（2）解：设点P运动t秒时到点B为5个单位长度，分以下两种情况：①点P在点B左边距离点B5个单位，则有：2t+5=3-（-4）解得t=1②点P在点B右边距离点B5个单位，则有：2t-5=3-（-4）解得t=6故当点P运动1秒或6秒后，点P到点B为5个单位长度（3）解：点B与点C之间的任何一点时到A、B、C三点的距离之和都小于13，因此点M的位置只有以下两种情况，设点M所表示的数为m，则：①点M在点C左边时，可得：-4-m-1-m+3-m=13 解得m=-5②点M在点B右边时，可得：m+4+m+1+m-3=13，解得m=故点M对应的数为-5或．【解析】【解答】解：（1）∵a是最大的负整数∴a=-1∵（b-3）2≥0，|c+4|≥0，而（b-3）2+|c+4|=0∴b=3，c=-4故答案为：-1；3；-4．【分析】（1）由题目中的条件可直接得出点A对应的数，根据平方与绝对值的非负性可得出B与C对应的数；（2）由点P到点B为5个单位长度，可两种情况，点P在点B左边及点P在点B右边，分别列方程即可求得；（3）分情况讨论，当点M在点C左边及当点M在点B右边，分别列方程可求得；而当点M在点C及点B之间时错误．8．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板(∠M=30°)的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边0M与OC都在直线AB 的上方．（1）将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC．①求t的值；②此时0N是否平分∠AOC?请说明理由；（2）在(1)问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠MON?请说明理由；（3）在(2)问的基础上，经过多长时间OC平分∠MOB?请画图并说明理由．【答案】（1）解：①∵∠AON+∠BOM=90°，∠COM=∠MOB，∵∠AOC=30°，∴∠BOC=2∠COM=150°，∴∠COM=75°，∴∠CON=15°，∴∠AON=∠AOC-∠CON=30°-15°=15°，解得：t=15°÷3°=5秒；②是，理由如下：∵∠CON=15°．∠AON=15°，∴ON平分∠AOC（2）解：5秒时OC平分∠MON，理由如下：∵∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM，∵∠MON=90°，∴∠CON=∠COM=45°，∴三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，∴∠AOC-∠AON=45°，可得：6t-3t=15°，解得：t=5秒：（3）解：OC平分∠MOB∴∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM，∴三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，∴∠COM为 (90°-3t)，∵OC平分∠MOB，可得：180°-(30°+6t)= (90°-3t)，解得：t= 秒；如图：【解析】【分析】（1）①根据角平分线结合已知条件可得∠COM=75°，从而求得∠CON=∠AON=15°，根据旋转即可求得时间t；②由①知∠CON=∠AON=15°，从而可得ON平分∠AOC.（2）根据角平分线结合已知条件可得∠CON=∠COM=45°，根据题意可设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，由∠AOC-∠AON=45°，列出方程，解之即可.（3）根据题意可设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，由角平分线和邻补角可得180°-(30°+6t)= (90°-3t)，解之即可.9．某城市开展省运会，关心中小学生观众，门票价格优惠规定见表.某中学七年级甲、乙两个班共86人去省运会现场观看某一比赛项目，其中乙班人数多于甲班人数，甲班人数不少于35人.如果两班都以班级为单位分别团体购买门票，则一共应付8120元.购票张数 1～40张 41～80张 81张（含81张）以上平均票价（元/张） 100 90 80买门票能节省多少钱？（2）问甲、乙两个班各有多少名学生？（3）如果乙班有m（0＜m＜20，且m为整数）名学生因事不能参加，试就m的不同取值，直接写出最省钱的购买门票的方案？【答案】（1）解：一起购买门票，所需费用为：80×86＝6880（元），能节省8120﹣6880＝1240（元），答：联合起来购买门票能节省1240元钱（2）解：设甲班有x人，86×90＝7740（元），7740＜8120，∴35≤x≤40，40＜86﹣x≤80，根据题意得：100x+90（86﹣x）＝8120，解得：x＝38，86﹣x＝48，答：甲班有38人，乙班有48人（3）解：若0＜m＜6时，此时总人数大于等于81人，则最省钱的购买门票的方案为：购买（86﹣m）张，当m≥6时，若90（86﹣m）＞81×80，解得：m＜14，即6≤m＜14时，最省钱的购买门票的方案是：购买81张，若90（86﹣m）＝81×80，解得：m＝14，即m＝14时，最省钱的购买门票的方案是：购买81张或72张，若14＜m＜20时，最省钱的购买门票的方案为：购买（86﹣m）张，综上可知：当0＜m＜6或14＜m＜20时，购买（86﹣m）张最省钱，当m＝14时，购买72或81张最省钱，当6≤m＜14时，购买81张最省钱【解析】【分析】（1）依据表格中的数据计算出联合购票的钱数，与分别购买团体票的钱数之间的差为节省出来的钱；（2）依题意设甲班有x人，并且x≥35，确定x的取值范围，假设两班人数都是41人到80人之间，则方程无解；因为乙班人数多于甲班人数，所以甲班人数在35≤x≤40 乙班人数在40＜86﹣x≤80，列方程解方程即可.（3）依据题意分类讨论：①总人数在81人以上时，即0＜m＜6时，求出（86﹣m）张；②当总人数小于81，当总价款又大于团购81张的总价款时，即6≤m＜14时，按81张购买即可；③当总人数小于81，当平均票价为90元的总价款等于团购81张的总价款时，即m＝14时，有两种方式购买81张或72张；④当总人数小于81，平均票价为90元是最省钱方式，即14＜m＜20时，得出（86﹣m）张.10．将从1开始的正整数按一定规律排列如下表：（1）数40排在第________行，第________列；数2018排在第________行，第________列；（2）探究如图“+”框中的5个数：①设这5个数中间的数为a，则最小的数为________，最大的数为________；②若这5个数的和是240，求出这5个数中间的数；________③这5个数的和可能是2025吗，若能，求出这5个数中间的数，若不能，请说明理由.________【答案】（1）5；4；225；2（2）a﹣9；a+9；解：根据题意可得：a﹣9+a﹣1+a+a+1+a+9＝240∴a＝48；根据题意可得：a﹣9+a﹣1+a+a+1+a+9＝2025∴a＝405∵405÷9＝45∴405是第9列的数，∴这5个数的和不可能是2025.【解析】【解答】（1）解：∵40÷9＝4 (4)∴数40排在第5行第4列∵2018÷9＝224 (2)∴数2018排在第225行第2列故答案为5，4，225，2（ 2 ）①设中间的数为a，其他四个数分别为a﹣9，a﹣1，a+1，a+9则最小的数a﹣9，最大的数为a+9故答案为：a﹣9，a+9【分析】(1）由题意可求解；（2）①设中间的数为a，由数列的规律可得其他四个数分别为a−9，a−1，a＋1，a＋9，即可得最小的数和最大的数；②根据题意列出方程，求解即可；③根据题意列出方程，可求a为405，可得a是9的倍数，则a在第9列，则这5个数的和不可能是2025．11．已知|a+4|+（b﹣2）2＝0，数轴上A、B两点所对应的数分别是a和b（1）填空：a＝________，b＝________（2）数轴上是否存在点C，C点在A点的右侧，且点C到A点的距离是点C到B点的距离的2倍？若存在，请求出点C表示的数；若不存在，请说明理由（3）点P以每秒2个单位的速度从A点出发向左运动，同时点Q以3个单位每秒的速度从B点出发向右运动，点M以每秒4个单位的速度从原点O点出发向左运动.若N为PQ 的中点，当PQ＝16时，求MN的长.【答案】（1）﹣4；2（2）解：设C点表示的数为x，根据题意得，①当点C在A、B之间时，有c+4＝2（2﹣c），解得，c＝0；②当点C在B的右侧时，有c+4＝2（c﹣2），解得，c＝8.故点C表示的数为0或8（3）解：设运动的时间为t秒，根据题意得，2t+3t+AB＝16，即2t+3t+6＝16，解得，t＝2，∴运动2秒后，各点表示的数分别为：P：﹣4﹣2×2＝﹣8，Q：2+3×2＝8，M：0﹣4×2＝﹣8，N：（-8+8）÷2=0，∴MN＝0﹣（﹣8）＝8.【解析】【解答】（1）解：由题意得，a+4＝0，b﹣2＝0，解得，a＝﹣4，b＝2，故答案为：﹣4；2【分析】（1）根据“几个非负数和为0，则这几个数都为0”可列方程求解；（2）由题意分两种情况：点C在A、B之间和点C在B的右侧．可列方程求解；（3）设运动时间为t秒，根据PQ＝16可列关于t的方程求得t，于是可求得运动后的M、N点表示的数．12．如图是一种数值转换机的运算程序．（1）若输入的数x=1，y=-1，则输出的数为________；若输入的数x=3，y=-5，则输出的数为________；若输入的数x=n，y=-n，则输出的数为________；（2）若输入的数x=2，输出的数为20，求输入的数y．【答案】（1）1；17；n2（2）解：由图可知：输出数为：，∵x=2，输出的数为20，∴=20，解得：y=±6.【解析】【解答】解：（1）由图可知：输出数为：，∵x=1，y=-1，∴==1；∵x=3，y=-5，∴==17；∵x=n，y=-n，∴==n 2；故答案为：1,，17，n2.【分析】（1）由图可知输出数为：，分别将x、y的值代入，计算即可得出答案.（2）由图可知输出数为：，，分别将x、输出的数代入，计算即可求得y值.。