选修4-4 坐标系与参数方程知识点及经典例题

坐标系与参数方程

*选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：

1．坐标系：

① 理解坐标系的作用.

② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.

③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.

④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.

2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.

第一讲

一、平面直角坐标系

伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').

0(,y y 0),

(x,x :μμλλϕ的作用

下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

方法1：求伸缩变换后的图形。

由伸缩变换公式解出x、y,代入已知曲线方程就可求得伸缩变换后的曲线方程。

例:：在一个平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。

方法2：待定系数法求伸缩变换。

求伸缩变换时，先设出变换，再代入原方程或变换后的方程，求出其中系数即可。

例：在同一平面直角坐标系中,求下列图形变换的伸缩变换:

二、极坐标

1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

2.点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM .

极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.

3.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

4.极坐标与直角坐标的互化：

如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)．

(1)极坐标化直角坐标

(2)直角坐标化极坐标

⎩

⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y

x （x ≠0）.

)

0(n t ,

sin ,

cos ,

222≠===+=x x

y

a y x y x θθρθρρ

方法3：极坐标与直角坐标的互化

例：

（1）点M ()

322--，

的极坐标是 （2）点M ⎪⎭

⎫ ⎝⎛π32,2的直角坐标是

练：

三、简单曲线的极坐标方程

1.圆的极坐标方程：

(1)特殊情形如下表：

圆心位置

极坐标方程

图 形

圆心在极点(0，0)

ρ＝r

(0≤θ<2π)

圆心在点(r ，0)

ρ＝2r cos_θ

(－π2≤θ<π2) 圆心在点(r ，π

2)

ρ＝2r sin_θ (0≤θ<π) 圆心在点(r ，π)

ρ＝－2r cos_θ

(π2≤θ<3π2) 圆心在点(r ，3π

2)

ρ＝－2r sin_θ (－π<θ≤0)

(2)一般情形：设圆心C (ρ0，θ0)，半径为r ，M (ρ，θ)为圆上任意一点，则|CM |＝r ，

∠COM ＝|θ－θ0|，根据余弦定理可得圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2

＝0

即

)cos(2002

022θθρρρρ--+=r

2.直线的极坐标方程：

(1)特殊情形如下表：

直线位置 极坐标方程

图 形

过极点，倾斜角为α

(1)θ＝α(ρ∈R ) 或θ＝α＋π(ρ∈R )

(2)θ＝α(ρ≥0) 和θ＝π＋α(ρ≥0)

过点(a ，0)，且与极轴

垂直

ρcos_θ＝a

⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2

<θ<π2

过点⎝ ⎛⎭

⎪⎫

a ，π2，且与极

轴平行

ρsin_θ＝a (0<θ<π)

过点(a ，0)倾斜角为α

ρsin(α－θ)＝a sin α

(0<θ<π)

(2)一般情形，设直线l 过点P (ρ0，θ0)，倾斜角为α，M (ρ，θ)为直线l 上的动点，则在△OPM 中利用正弦定理可得直线l 的极坐标方程为 ρsin(α－θ)＝ρ0sin(α－θ0)．

方法4：直角坐标方程与极坐标方程的互化

方法5：极坐标系下的运算

方法6：曲线极坐标方程的求法

四、柱坐标系与球坐标系简介（了解）

1、柱坐标系

(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组（ρ，θ，z）(z∈R)表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0，0≤θ<2π，z∈R．