立体几何平行垂直有关定理总结
立体几何常考定理总结(八大定理)
立体几何常考定理总结(八大定理)一、线面平行的判定定理：线线平行线面平行文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行、符号语言：关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线二、线面平行的性质定理：线面平行线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行、符号语言：关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。
三、面面平行的判定定理：线面平行面面平行文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行、符号语言：关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。
四、面面平行的性质定理: 面面平行线线平行、面面平行线面平行文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行、符号语言:关键点：找第三个平面与已知平面都相交，则交线平行文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面、符号语言:关键：只要是其中一个平面内的直线就行五、线面垂直的判定定理：线线垂直线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面、符号语言：关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直六、线面垂直的性质定理：线面垂直线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意一条直线、符号语言：关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直面面垂直文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直、（如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：关键点：在需要证明的两个平面中找线面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面、符号语言：关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。
常考定理总结(八大定理)
lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．，那么这条直线就和交线．．平行. 符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行． 符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点：找第三个平面与已知平面都相．．．．．．．．．．．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．．文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面. 符号语言：,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．一条直线. 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过．．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键．．点：在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。
立体几何常考定理的总结(八大定理)
lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．，那么这条直线就和交线．．平行. 符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行． 符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点：找第三个平面与已知平面都相．．．．．．．．．．．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．．文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面. 符号语言：,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．一条直线. 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过．．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：．．．．在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。
高中数学立体几何中平行垂直概念以及定理归纳
两平面平行，其中以平面内的任意一条直线必平行于另一平面。
两个平行平面中的一个平面与一条直线垂直，则另一平面也与此直线垂直。
线线垂直
线面垂直
面面垂直
定义：
定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线与此平面互相垂直。
线线平行
线面平行
面面平行
定义：如果两条共面直线无公共点，则这两条直线平行。
定义：如果一条直线与一个平面没有交点，则这条直线与此平面平行。
定义：平面与平面之间没有交点，则这两个平面平行。
判定：同位角相等，两直线平行；
内错角相等，两直线平行；
同旁内角互补，两直线平行；
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
如果两条直线同垂Байду номын сангаас与一个平面，那么这两条直线平行（6.3）
判定：若平面外一条直线与此平面中的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
判定：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
性质：两直线平行，同位角相等。
两直线平行，内错角相等。
两直线平行，同旁内角互补。
性质：如果平面外一条直线与此平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。
定义：两个平面相交，如果他们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
判定：
判定：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。
判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
性质：
性质：如果两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行。
性质：如果两平面垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。
立体几何公理定理总结
判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平 面平行，则这两个平面平行．
性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相 交，那么它们的交线平行．
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四．垂直
线线垂直：
平面上的判定 如果直线与平面垂直，则该直线与平面内任意
一条直线垂直．
线面垂直：定义：如果Fra bibliotek条直线垂直于一个平面内的任意 一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直.
线线位置关系：平行、相交、异面． 定理：空间中如果两个角的两边分别对应
平行，那么这两个角相等或互补. 线面位置关系：线在平面内、线与平面相
交、线与平面平行． 面面位置关系：平行、相交．
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三．平行
线面平行：
判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线 平行，则该直线与此平面平行 ．
性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直 线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．
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立体几何公理定理总结
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一．公理
公理1：如果一条直线上两点在一个平面 内，那么这条直线在此平面内.
公理2：过不在一条直线上的三点，有且 只有一个平面.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公 共点，那么它们有且只有一条过该点的 公共直线.
公理4：平行于同一条直线的两条直线平 行.
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二．空间位置关系
判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线 都垂直，则该直线与此平面垂直.
性质：垂直于同一个平面的两条直线平行．
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面面垂直：
定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角 是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
完整版)立体几何中平行与垂直证明方法归纳
完整版)立体几何中平行与垂直证明方法归纳本文系统总结了立体几何中平行与垂直证明方法，适合高三总复时学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。
以下是常见证明方法：一、“平行关系”常见证明方法一）直线与直线平行的证明1.利用平行四边形的对边互相平行的特性；2.利用三角形中位线性质；3.利用空间平行线的传递性（即公理4）；4.利用直线与平面平行的性质定理；5.利用平面与平面平行的性质定理；6.利用直线与平面垂直的性质定理；7.利用平面内直线与直线垂直的性质；8.利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点。
二）直线与平面平行的证明1.利用直线与平面平行的判定定理；2.利用平面与平面平行的性质推论；3.利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点。
三）平面与平面平行的证明1.利用平面与平面平行的判定定理；2.利用某些空间几何体的特性；3.利用定义：两个平面没有公共点。
二、“垂直关系”常见证明方法一）直线与直线垂直的证明1.利用直角三角形的两条直角边互相垂直的特性；2.看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直；3.利用直线与平面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。
1.利用空间几何体的特性：例如长方体侧棱垂直于底面。
2.观察直线与平面所成角度：若直线与平面所成角为90度，则该直线垂直于平面。
3.利用直线与平面垂直的判定定理：若一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线垂直于此平面。
4.利用平面与平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，则在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。
5.利用常用结论：例如若一条直线平行于一个平面的垂线，则该直线也垂直于此平面。
立体几何基础平行与垂直的性质与判定
立体几何基础平行与垂直的性质与判定立体几何基础——平行与垂直的性质与判定立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的对象是在三维空间内的图形和物体。
在立体几何中，平行和垂直是两个基本概念，它们在判断和解决几何问题时起着重要的作用。
本文将介绍平行与垂直的性质和判定方法，帮助读者更好地理解立体几何的基础知识。
一、平行的性质与判定平行是指在同一平面内，两条直线永不相交的性质。
在立体几何中，我们常用平行性质来推导和证明定理。
以下是一些与平行相关的性质和判定方法。
1. 平行线性质：（1）平行线上的对应角相等：如果两条平行线被一条横截线所交，那么对应的角都是相等的。
（2）平行线上的内错角互补：如果两条平行线被一条横截线所交，那么内错角互补，即相互补充的角和为180度。
（3）平行线上的同旁内角相等：如果两条平行线被一条横截线所交，那么同旁内角相等，即相邻的内角相等。
2. 判定平行线的方法：（1）两条线段平行的充要条件是斜率相等：如果两条线段的斜率相等，那么它们是平行的。
（2）两个向量平行的充要条件是比值相等：如果两个向量的坐标分量比值相等，那么它们是平行的。
（3）两条直线互相垂直的充要条件是斜率乘积为-1：如果两条直线的斜率乘积为-1，那么它们互相垂直。
二、垂直的性质与判定垂直是指两条直线或线段在交点处互相成直角的性质。
垂直的性质在几何证明中经常被用到，下面是关于垂直的一些性质和判定方法。
1. 垂直线性质：（1）垂直线上的对应角互补：如果两条垂直线被一条横截线所交，那么对应的角互补，即相互补充的角和为90度。
（2）垂直线上的内角相等：如果两条垂直线被一条横截线所交，那么内角相等，即相邻的内角相等。
2. 判定垂直线的方法：（1）两条线段垂直的充要条件是斜率乘积为-1：如果两条线段的斜率乘积为-1，那么它们是垂直的。
（2）两个向量垂直的充要条件是内积为0：如果两个向量的内积为0，那么它们是垂直的。
三、平行和垂直在实际中的应用平行和垂直的性质在日常生活和工程实践中有广泛的应用。
立体几何证明定理及性质总结
一．直线和平面的三种位置关系：1。
线面平行2. 线面相交l符号表示：符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。
方法二:用面面平行实现.mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβαmlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现。
若αα⊥⊥ml,，则ml//。
2.线面平行:方法一:用线线平行实现。
ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二:用面面平行实现.αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂3.面面平行：方法一：用线线平行实现. 方法二：用线面平行实现βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系:1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
方法二：用面面垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥lABACAABACABlACl,αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥llmlm,2。
面面垂直:l方法一：用线面垂直实现。
方法二：计算所成二面角为直角.βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现.m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二:三垂线定理及其逆定理.PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭。
立体几何平行与垂直定理总结
P
A
O
步骤 2：计算线段 PO 的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换
点法)方法二：坐标法。 d AP cos n AP n AP n
n α A θ
m
P O
2．线面距、面面距均可转化为点面距。 3．异面直线之间的距离 方法一：转化为线面距离。
如图，m 和 n 为两条异面直线， n 且
cos θ1 BO AB cos θ BC AB cos θ2 BC OB
∴ cos cos 1 cos 2
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
一． 距离问题。 1．点面距。 方法一：几何法。 步骤 1： 过点 P 作 PO 于 O， 线段 PO 即为所求。
(一) 二面角及其平面角 (1)定义：在棱 l 上取一点 P，两个半平面内分别作 l 的垂线（射线）m、n，则 射线 m 和 n 的夹角 为二面角 —l— 的平面角。 (2)范围： [0,180] (3)求法： 方法一：定义法。 步骤 1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。 步骤 2：解三角形，求出二面角的平面角。 方法二：截面法。 步骤 1：如图，若平面 POA 同时垂直于平面 和 ，则交线(射线)AP 和 AO 的 夹角就是二面角。 步骤 2：解三角形，求出二面角。
l l
α
β
l
方法二：计算所成二面角为直角。
(二)夹角问题。 (一) 异面直线所成的角：(1) 范围： (0,90] (2)求法：方法一：定义法。 步骤 1：平移，使它们相交，找到夹角。 步骤 2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)
a θ b c
a2 b2 c2 cos 余弦定理： (计算结果可能是其补角) 2ab
立体几何平行与垂直所有概念、公理、定理汇总
立体几何的概念、公理、定理（一）立体几何三公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．,A a A a公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
A、B、C不在同一直线上有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
A a 有且只有一个平面，使推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
a∩b＝A有且只有一个平面，使推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
a∥b＝A有且只有一个平面，使（二）空间直线公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
a∥bb∥c等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
cbaaA∈a，B∈aA∈，B∈aA∈aababcba//a c////////AB A BAC A C///BAC B A CA∈PP（三）直线和平面直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和 这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
定理 ：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面。
定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面， 它也垂直于另一个平面。
直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面， 那么这两条直线平行。
射影定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中， （1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； （2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； （3）垂线段比任何一条斜线段都短。
立体几何中平行与垂直证明方法归纳
a ∥
a∥
α
a a
β
3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点
（三）平面与平面平行的证明
常见证明方法：
1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
3
a ⊂ b ⊂
a ∩b P
a // b //
⇒ /性：如正方体的上下底面互相平行等
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。
a
b
ab
A
l
l a l b
l
b
Aa
4) 利用平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
5
l
a
a
a l
l
5) 利用常用结论：
① 一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。
在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点
（二）直线与平面平行的证明
1) 利用直线与平面平行的判定定理：
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
a
a
b a∥
a∥b
b
2) 利用平面与平面平行的性质推论：
两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。
a b ba
b a
α
4) 利用平面与平面垂直的性质推论：
如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这
两条直线互相垂直。
4
l a b al
bl
ab
β b
立体几何平行与垂直定理总结
(2)范围： [0,180] (3)求法： 方法一：定义法。
m
Pl n
步骤 1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。
步骤 2：解三角形，求出二面角的平面角。
方法二：截面法。
步骤 1：如图，若平面 POA 同时垂直于平面和 ，则交线(射线)AP 和 AO 的
夹角就是二面角。 步骤 2：解三角形，求出二面角。
直线。
P l且P l
αPl
4 平行于同一条直线的两条直线平行
由公理1，2得到三个推论 推论1 经过一条直线和这条直线外 一点，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只 有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只 有一个平面
(一):线线平行：
方法一：用线面平行实现。
l //
m
l
//
l
方法二：用面面平行实现。
l
m
//
l
l
//
β α
l
方法三：用平面法向量实现。
n
l
n 若 为 平 面 的 一 个 法 向 量 ， n l 且 α
l ,则 l // 。
(三)面面平行： 方法一：用线线平行实现。
l // l'
β
m // l, m
m'
且相交
//
l', m' 且相交
θ
O
步骤 2：解三角形，求出线面角。
n 方法二：向量法( 为平面 的一个法向量)。
n AP
sin cos n, AP n AP 方法三:等体积法求高.
(一) 二面角及其平面角
(1)定义：在棱 l 上取一点 P，两个半平面内分别作 l 的垂线（射线）m、n，则
立体几何证明平行和垂直
立体几何证明平行和垂直
在立体几何中，我们可以通过以下定理和性质来证明线段、平面、直线的平行和垂直关系：
1. 平行线定理：若两条直线与第三条直线交叉时，两个内角和等于180度，则这两条直线是平行的。
2. 垂直线定理：若两条直线相交时，相邻的内角是直角，则这两条直线是垂直的。
3. 垂直平分线定理：若一个直线通过一个线段的中点并与该线段垂直，则这条直线垂直于该线段。
4. 同位角定理：当一条直线与两条平行直线相交时，对应的同位角是相等的。
5. 垂直平分线性质：当一条直线垂直平分一条线段时，它同时垂直于该线段的两个中垂线。
6. 垂直平分线交角性质：当两条直线都垂直平分了同一条线段时，这两条直线是平行的。
根据以上定理和性质，我们可以利用构造图形、辅助线、角度计算等方法进行立体几何证明的平行和垂直关系。
这些证明通常涉及到直线与平面的交点、线段的中点、角度的大小等问题，需要根据给定的条件进行分析和推导。
需要注意的是，在立体几何证明中，除了以上的定理和性质，还可以利用立体几何中的其他相关定理和公式来辅助证明，具体证明方法也要根据具体情况灵活运用。
总之，立体几何的平行和垂直关系证明是一个比较重要的内容，需要熟悉相关定理和性质，并能够熟练运用各种证明方法来解决问题。
高中数学 -空间立体几何中的平行、垂直证明定理总结 (1)
l n
☺ 简称：线线垂直，线面垂直.
复习定理
空间中的垂直
2．直线与平面垂直性质
判定：如果一条直线和一个平面垂直,则称这条直线和这 个平面内任意一条直线都垂直.
l m
l
m
☺ 简称：线面垂直，线线垂直.
复习定理
空间中的垂直
3．平面与平面垂直判定
判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个 平面互相垂直.
(1)求证：BC1∥平面 CA1D； (2)求证：平面 CA1D⊥平面 AA1B1B. 证明：(1)连结AC1交A1C于E，连结DE．
∵AA1C1C为矩形，则E为AC1的中点． 又D是AB的中点，
∴在△ABC1中，DE∥BC1.
E
又DE⊂平面CA1D，
BC1⊄平面CA1D，
∴BC1∥平面CA1D.
证明：(2)∵AC＝BC， D为AB的中点， ∴在△ABC中，AB⊥CD.
空间中的平行与垂直 定理总结
复习定理
空间中的平行
1.直线与平面平行的判定
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则 该直线与此平面平行．
a
b
a
//
b
a // b
☺ 简称：线线平行，线面平行.
复习定理
空间中的平行
2.直线与平面平行的性质
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行．
①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若α⊥γ,β⊥γ,
则α∥β；
③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若α∥β,β∥γ,
m⊥α,则m⊥γ.
正确的命题是( C)
A.①③
B.②③
C.①④
D.②④
解析 ②中平面α与β可能相交，③中m与n可以
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立体几何有关平行垂直定理总结 BHS
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1
线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.
（线线平行⇒线面平行）
2
线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. （线面平行⇒线线平行）
3
面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.
（线面平行⇒面面平行）
4
面面平行的性质如果两个平面平行，那么其中一个
平面内的任何一条直线都平行于另
外一个平面
（面面平行⇒线面平行）
a
a
αβ
β
α
⎫
⇒
⎬
⊂⎭
∥
∥
5
面面平行定理的推论如果一个平面内有两条相交直线分别平行另一个平面的两条相交直线，那么这两个平面平行. （线线平行⇒面面平行）
6
面面平行性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行.
（面面平行⇒线线平行）
7
线面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
（线线垂直⇒线面垂直）
8
线面垂直的定义如果一条直线垂直于一个平面，那
么这条直线就垂直于这个平面内的
任何一条直线。
（线面垂直⇒线线垂直）
a
a b
b
α
α
⊥⎫
⇒⊥
⎬
⊂⎭
9
面面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一
条垂线，那么这两个平面互相垂直.
（线面垂直⇒面面垂直）
b
aβ
α
b
a
β
α
O
//
///
//
//,//
,
,
a a
b b
a b O
a b O
a b
a b
//
a/
b/
b
a
β
α
O
10
面面垂直的
性质定理
如果两个平面垂直，那么在一个平
面内垂直于它们交线的直线必定垂
直于另一个平面.
（面面垂直⇒线面垂直）
b
a a
a b
αβ
αβ
αα
⊥⎫
⎪
=⎪
⎪
⊂⇒⊥
⎬
⎪
⊥
⎪
⎪⎭
11
线线平行
⇒
线面垂直
如果两条平行直线中的一条直线垂
直于一个平面，那么另一条直线也
垂直这个平面.
a b
b
a
α
α
⎫
⇒⊥
⎬
⊥⎭
∥
12
线面垂直
⇒
线线平行
垂直于同一个平面的两条直线平行
a
a b
b
α
α
⊥⎫
⇒
⎬
⊥⎭
∥
13
线面垂直
⇒
面面平行
垂直于同一条直线的两个平面平行
a
a
α
αβ
β
⊥⎫
⇒
⎬
⊥⎭
∥
14
面面平行
⇒
线面垂直
两个平行平面中如果有一个平面垂
直于一条直线，那么另外一个平面
也垂直于这条直线
2．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
3．推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。
4．异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
5．两异面直线所成的角：过空间任意一点引两条直线分别平行（或重合）于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）。
范围为( 0°，90°]
6．斜线线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
直线
和平面所成角的取值范围为[0°，90°]
7．二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内
分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
8．几何体的表面积和体积。