计数基本原理

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常见的计数原理有

常见的计数原理有
1. 加法原理（或称为和法则）：若一件事情可以分为k个步骤，第i个步骤可以有mi种选择，则所有步骤完成的总选择数是m1*m2*...*mk。

例如，有两个餐厅可以选择用餐，每个餐厅都有3种菜单可选，则总共有
3*3=9种选择。

2. 乘法原理（或称为积法则）：若一件事情可以分为k个独立的部分，第i个部分有mi种选择，则完成该事情的总选择数是m1*m2*...*mk。

例如，某班级有3个男生和4个女生，要从中选择一位班长和一位副班长，则总共有3*4=12种选择。

3. 排列：从n个元素中选择r个元素进行排列的方式数，记为A(n,r)。

可使用乘法原理计算，即A(n,r)=n(n-1)(n-2)...(n-r+1)。

例如，从5个人中选择3个人进行排队，可以有A(5,3)=5*4*3=60种方式。

4. 组合：从n个元素中选择r个元素进行组合的方式数，记为C(n,r)。

计算公式为C(n,r)=A(n,r)/r!，其中n!表示n的阶乘。

例如，从8个人中选择4个人进行分组，可以有C(8,4)=A(8,4)/4!=70种方式。

这些计数原理常用于解决组合数学、概率论等领域的问题。

计数原理-拔高难度-讲义

计数原理知识讲解一、基本计数原理1.加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．又称加法原理．2.乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理．3.加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．注：分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．典型例题一．选择题（共1小题）1．（2018•蚌埠三模）4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（）A．24种B．36种C．48种D．60种【解答】解：分两类，第一类，有3名被录用，有=24种，第二类，4名都被录用，则有一家录用两名，有=36，根据分类计数原理，共有24+36=60（种）故选：D．二．填空题（共1小题）2．（2018•梅州二模）某校开设10门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是98．【解答】解：∵A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，第一类A，B，C三门课都不选，有C73=35种方案；第二类A，B，C中选一门，剩余7门课中选两门，有C31C72=63种方案．∴根据分类计数原理知共有35+63=98种方案．故答案为：98．三．解答题（共9小题）3．（2018春•南阳期末）如图所示，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4，则：（1）以这12个点（包括A，B）中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？（2）以这10个点（不包括A，B）中的3个点为顶点，可作出多少个三角形？其中含点C1的有多少个？【解答】解：（1）构成四边形，需要四个点，且无三点共线，可以分成三类：①四个点从C1，C2，…，C6中取出，有C64个四边形；②三个点从C1，C2，…，C6中取出，另一个点从D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有C63C61个四边形；③二个点从C1，C2，…，C6中取出，另外二个点从D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有C62C62个四边形．故满足条件的四边形共有N=C64+C63C61+C62C62=360（个）．（2）类似于（1）可分三种情况讨论得三角形个数为C63+C61C42+C62C41=116（个）．其中含点C1的有C52+C51C41+C42=36（个）．4．（2018•江苏）设n∈N*，对1，2，……，n的一个排列i1i2……i n，如果当s＜t 时，有i s＞i t，则称（i s，i t）是排列i1i2……i n的一个逆序，排列i1i2……i n的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记f n（k）为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．（1）求f3（2），f4（2）的值；（2）求f n（2）（n≥5）的表达式（用n表示）．【解答】解：（1）记μ（abc）为排列abc得逆序数，对1，2，3的所有排列，有μ（123）=0，μ（132）=1，μ（231）=2，μ（321）=3，∴f3（0）=1，f3（1）=f3（2）=2，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f4（2）=f3（2）+f3（1）+f3（0）=5；（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，∴f n（0）=1．逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，f n（1）=n﹣1．为计算f n+1（2），当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f n+1（2）=f n（2）+f n（1）+f n（0）=f n（2）+n．当n≥5时，f n（2）=[f n（2）﹣f n﹣1（2）]+[f n﹣1（2）﹣f n﹣2（2）]+…+[f5（2）﹣f4（2）]+f4（2）=（n﹣1）+（n﹣2）+…+4+f4（2）=．因此，当n≥5时，f n（2）=．5．（2017秋•涞水县校级期中）有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求：（1）5位同学站成一排，有多少种不同的方法？（2）5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的方法？（3）将5位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？【解答】解：（1）5位同学站成一排共有=120．（2）5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，先用捆绑排甲乙，再和戊全排，形成3个空，插入丙丁即可．故有=24．（3）人数分配方式有①3，1，1有=60种方法②2，2，1有=90种方法所以，所有方法总数为60+90=150种方法．6．（2017春•宁江区校级期中）三个女生和五个男生排成一排．（1）如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？【解答】解：（1）女须全排在一起，把3个女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和5个男生全排，故有A33A66=4320种；（2）女生必须全分开，先排男生形成了6个空中，插入3名女生，故有A55A63=14400种；（3）两端都不能排女生，从男生中选2人排在两端，其余的全排，故有A52A66=14400种；（4）男生按固定顺序，从8个位置中，任意排3个女生，其余的5个位置男生按照固定顺序排列，故有A83=336种，（5）三个女生站在前排，五个男生站在后排，A33A55=720种7．（2016•东城区一模）现有两个班级，每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打只打一场比赛）．根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间如表所示，现只有一块比赛场地，各场比赛的出场顺序等可能．（Ⅰ）求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率；（Ⅱ）求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行；（Ⅲ）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可）．【解答】解：（I）三场比赛共有种方式，其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有1种，所以按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率为．（Ⅱ）令A表示女单比赛、B表示男单比赛、C表示混双比赛．按ABC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t1=20+25=45（分钟）．按ACB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t2=20+35=55（分钟）．按BAC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t3=20+25=45（分钟）．按BCA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t4=35+25=60（分钟）．按CAB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t5=35+20=55（分钟）．按CBA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t6=35+25=60（分钟）．且上述六个事件是等可能事件，每个事件发生概率为，所以平均等待时间为，（Ⅲ）按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛，可使等待的总时间最少8．（2016春•秀英区校级期末）6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？（只列式，不需计算结果）（1）任何2名女生都不相邻有多少种排法？（2）男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？（3）男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？（4）男甲在男乙的左边（不一定相邻）有多少种不同的排法？【解答】解：（1）任何两个女生都不得相邻，利用插空法，故有A66A74种．（2）男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故有A1010﹣2A99+A88种，（3）男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，=A107种，（4）由于男甲要么在男乙的左边，要么在男乙的右边，所以男甲在男乙的左边（不一定相邻）A1010．9．（2016春•九龙坡区校级期中）已知一个袋内有5只不同的红球，6只不同的白球．（1）从中任取4只球，红球的只数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一只红球记2分，取一只白球记1分，从中任取5只球，使总分不小于7分的取法有多少种？（3）在（2）条件下，当总分为8时，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻的排法种数是多少？【解答】解：（1）将取出4个球分成三类情况：①取4个红球，没有白球，C54种；②取3个红球1个白球，C53C61种；③取2个红球2个白球，C52C62种，∴C54+C53C61+C52C62=215种，（2）设x个红球y个白球，，或或．∴符合题意的取法种数有C52C63+C53C62+C54C61=381种．（3）总分为8分，则抽取的个数为红球3个，白球2个，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻，第一步先取球，共有C53C62=150种，第二步，再排，先选2个红球捆绑在一起，再和另外一个红球排列，把2个白球插入，共有A32A22A32=72根据分步计数原理可得，150×72=10800．10．（2016春•江阴市期中）将5个编号为1，2，3，4，5的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子中．（1）有多少种放法？（2）每盒至多一球，有多少种放法？（3）恰好有一个空盒，有多少种放法？（4）每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种方法？（5）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？（6）把5个不同的小球换成5个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？（注意：以上各小题要列出算式后再求值，否则扣分．）【解答】解：（1）本题要求把小球全部放入盒子，∵1号小球可放入任意一个盒子内，有5种放法．同理，2、3、4，5号小球也各有5种放法，∴共有55=3125种放法．（2）每盒至多一球，有A55=120种，（3）∵恰有一个空盒，则这5个盒子中只有4个盒子内有小球，且小球数只能是1、1、，1，2．先从5个小球中任选2个放在一起，有C25种方法，然后与其余3个小球看成四组，分别放入5个盒子中的4个盒子中，有A45种放法．∴由分步计数原理知共有C25A45=1200种不同的放法．（4）先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有C51=5种情况，例如：5号球放在5号盒子里，其余四个球的放法为（2，1，4，3），（2，3，4，1），（2，4，1，3），（3，1，4，2），（3，4，1，2），（3，4，2，1），（4，1，2，3），（4，3，1，2），（4，3，2，1）共9种，故将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法总数为9C51=45种，（5）不满足条件的情形：第一类，恰有一球相同的放法：C51×9=45，第二类，五个球的编号与盒子编号全不同的放法：5!（﹣+﹣）=44，∴满足条件的放法数为：A55﹣C51×9﹣5!（﹣+﹣）=120﹣45﹣44=31种（6）恰有一个空盒，则这5个盒子中只有4个盒子内有小球，则有一个盒子里有2个小球，故有C51C41=20种放法．11．（2016春•江阴市期中）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的正整数．（1）共有多少个四位数？其中偶数有多少个？（2）比4301大的四位数有多少个？（3））求所有这些四位数之和．注：以上结果均用数字作答．【解答】解：（1）由题意知，因为数字中有0，0不能放在首位，∴先安排首位的数字，从五个非0数字中选一个，共有C51种结果，余下的五个数字在三个位置进行全排列，共有A53种结果，根据分步计数原理知共有A15•A35=300；用0，1，2，3，4，5六个数字组成没有重复数字的四位偶数，则0不能排在首位，末位必须为0，2，4其中之一．所以可分两类，末位为0，则其它位没限制，从剩下的5个数中任取3个，再进行排列即可，共有A53=60个第二类，末位不排0，又需分步，第一步，从2或4中选一个来排末位，有C21=2种选法，第二步排首位，首位不能排0，从剩下的4个数中选1个，有4种选法，第三步，排2，3位，没有限制，从剩下的4个数中任取2个，再进行排列即可，共有12种．把三步相乘，共有2×4×12=96个最后，两类相加，共有60+96=156个（2）当首位是5时，其他几个数字在三个位置上排列，共有A53=60，当前两位是45时，共有A42=4×3=12个，当前两位是43时，共有A42=4×3=12个，去掉4301即可，即有12﹣1=11个．根据分类加法原理得到共有：60+12+12﹣1=83个（3）（1+2+3+4+5）×A53×103+（1+2+3+4+5）×C41A42×（102+10+1）=15×65328=979920。

第一节计数的基本原理

＋4＝13(种)．
(2)由分步计数原理可知，不同的选法共有N＝6×3×4＝
72(种)．
典例解析
(3)选两个不同类型的节目，可分为3类：第1类选歌曲和小品，有6×4＝24(种)选法；第2类选歌曲和舞蹈，有6×3＝18(种)选法；第3类选舞蹈和小品，有3×4 ＝12(种)选法．由分类计数原理可知，共有不同的选法种数为N＝24＋18＋12＝54(种)
同步精练
4．已知函数y＝kx＋b，k，b∈{0，1，2，3，4}，则一次
函数的个数是( A )
A．20
B．25
C．16
D．30
【提示】 k不能取0，只能从1，2，3，4中任取一个，而b没有限制，所以每一个k，对应着5个b，所以一共有 4×5＝20个一次函数．故选A.
同步精练
5．某班排练了5个小品节目，2个舞蹈节目，3个歌曲节目，从中任选两个不同类型的节目参加学校文艺汇演，有
解：(1)根据分步计数原理得4×5×7＝140(种)． (2)先分类再分步红白，红绿，白绿都可完成任务，即4×5＋4×7＋5×7＝83(种)．
同步精练
12．(1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？
(2)有4名学生争夺数学、物理、化学竞赛的冠军，可能有多少种不同的结果？
(2)第一步：选百位上的数字，从1，2，3，4，5中任选一个，有5种选法；
第二步：选十位上的数字，从第一步中剩余的4个数和0中任选一个，有5种选法；
第三步：选个位上的数字，从剩余的4个数中任选一个，有4种选法；
由分步计数原理可知，共可以组成没有重复数字的三位数5×5×4＝100(个)．
典例解析
典例解析
②根据分步计数原理，第一步，个位上的数需从1，3，5， 7中选一个数字，有4种选法；第二步，千位上的数需从剩余的6个非零数字中选一个，有6种选法；百位、十位上依次有6种和5种选法．故组成没有重复数字的四位奇数共有 N＝4×6×6×5＝720(个)．

计数的基本原理

甲地
乙地
分析: 完成由甲地到乙地这件事有三类办法：
第一类办法乘火车，有2种不同走法，
第二类办法乘汽车，有3种不同走法第三类办法乘轮船，有4种不同走法。
因此，在一天中，此人由甲地到乙地不同的走法共有 2+3+4=9 种。
计数的基本原理
一、分类计数原理如果完成一件事，有n类办法。在第1类办法
中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有
说明 N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
关键词是“分类”，各类办法之间相互独立,每种方法都能单独的完成这件事，要计算所有方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理。
1. 某商业大厦有东、西、南3个大门，某人从一个门进从另一个门出，共有多少种不同的走法？
N＝3 × 2＝6（种）
2.把3封不同的信投到2个不同的信箱中，共有多少种不同的投法？
N＝2 ×2×2＝8（种）
练一练
1.用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字
给教室里的座位编号，总共能够编来自多少种不同的号码？这件事情。
每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能单独完成这件事情，缺少任何一步也不能完成这件事情，只有每个步骤都完成了，才能完成这件事情。
区别三
各类办法是并列的、独立的
各步之间是相互关联的
作业
如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3 条路；从甲地到丙地有4条路可以走，从丙地到丁地有2条路。从甲地到丁地共有多少种不同地走法？
例1 书架上层有不同的数学书15本，中层有不同的语文书
18本，下层有不同的物理书7本。现要从书架上任取一本书，问有多少种不同的取法？

计数原理知识点总结高中

计数原理知识点总结高中一、基本原理计数原理的基本原理包括加法原理和乘法原理。

1. 加法原理加法原理是指当一个事件可以分解为几个不相容的部分时，这个事件的总数等于各部分的事件数之和。

加法原理可以用于求解排列组合等问题。

举例: 一个班上有男生20人、女生25人，那么班上的学生总数为20+25=45人。

2. 乘法原理乘法原理是指当一个事件要发生的步骤可以划分为若干个子事件时，这个事件发生的总次数等于各子事件发生次数的乘积。

举例: 要在4x4的格子中按照某种规则走，从左上角到右下角，每一步只能向右或者向下移动，那么一共有6步，每一步有两种选择，那么总共有2^6=64种不同的走法。

二、排列组合排列和组合是计数原理中的两个重要概念，它们是用来计算不同元素的排列和组合的方法。

1. 排列在数学中，排列的定义是指从若干不同的元素中取出一部分进行排列，排列的顺序是有意义的。

对于n个元素中取出m个元素进行排列，共有n(n-1)(n-2)...(n-m+1)种排列，记作A(n,m)。

2. 组合组合是指从若干不同的元素中取出一部分进行组合，组合的顺序是没有意义的。

对于n个元素中取出m个元素进行组合，共有C(n,m) = n!/((n-m)!m!)种组合。

排列和组合在实际问题中有着广泛的应用，比如在组合学、密码学等领域，都会涉及到排列和组合的计算。

因此，掌握排列和组合的相关知识是非常重要的。

三、分配原理分配原理是指把若干个不同的物体分给若干个相异的盒子的方法，它与排列和组合有着密切的联系。

分配原理也是计数原理中的重要内容之一，可以在实际问题中得到广泛的应用。

举例: 有10个苹果和3个盒子，要求将这10个苹果分给这3个盒子，每个盒子至少有一个苹果，求分法的总数。

按照分配原理，将10个苹果放入3个盒子，总共有${{10-1}\choose{3-1}}=36$种不同的分法。

分配原理在实际问题中也有着广泛的应用，比如在计算机科学中的任务调度、网络流量控制等方面都会用到分配原理的相关知识。

计数的基本原理

计数的基本原理计数是我们日常生活中经常会遇到的一个概念，无论是在工作中、学习中，甚至是在日常生活中，我们都会用到计数。

而计数的基本原理，是我们进行计数的前提和基础，了解计数的基本原理对我们正确进行计数具有重要意义。

首先，计数的基本原理包括了两个重要的概念，一是一一对应的原理，二是顺序排列的原理。

一一对应的原理是指，在进行计数时，每一个被计数的对象都要和一个自然数相对应，不能漏掉，也不能重复计数。

这意味着在进行计数时，我们需要对被计数的对象进行逐一对应，确保每一个对象都被正确计数到。

而顺序排列的原理则是指在进行计数时，被计数的对象需要按照一定的顺序进行排列，不能随意打乱顺序。

这两个原理是进行计数的基本前提，也是我们在日常生活中进行计数时必须要遵守的规则。

其次，了解计数的基本原理对我们进行正确的计数具有重要意义。

在工作和学习中，我们经常需要进行数据的统计和计数，而如果我们没有正确理解计数的基本原理，很容易出现错误的统计结果。

比如在进行库存盘点时，如果没有按照一一对应的原理进行盘点，就有可能漏掉一些库存商品；又比如在进行考试成绩统计时，如果没有按照顺序排列的原理进行统计，就有可能造成统计数据的混乱。

因此，了解计数的基本原理对我们进行正确的统计和计数非常重要。

最后，除了在工作和学习中，计数的基本原理也贯穿在我们日常生活的方方面面。

比如在购物时，我们需要对购买的商品进行计数和核对；又比如在做菜时，我们需要对食材进行计数和配比。

了解计数的基本原理，能够帮助我们在日常生活中更加准确地进行计数，避免出现错误和混乱。

总之，计数的基本原理是我们进行计数的基础和前提，了解和遵守计数的基本原理对我们进行正确的计数具有重要意义。

在工作、学习和日常生活中，我们都需要运用计数的基本原理，以确保我们的统计和计数结果准确无误。

希望通过本文的介绍，能够让大家更加深入地了解计数的基本原理，从而在实际应用中运用得更加得心应手。

计数的基本原理

计数的基本原理
计数的基本原理是将某个事件或物体的数量进行统计和计算。

无论是在日常生活中还是科学研究中，计数都是一种常见的方法。

其基本原理可以概括为以下几点：
1. 确定计数单位：在进行计数之前，需要明确确定计数单位。

计数单位可以是个体、组织或者其他可以独立计数的实体。

例如，在统计一群人的数量时，计数单位可以是个人。

2. 进行实际计数：在确定计数单位后，可以通过实际观察、记录或者其他方法进行计数。

实际计数可以是逐个计数，也可以是通过间接测量或抽样方法进行估算。

3. 记录计数结果：将实际计数的结果进行记录。

一般情况下，计数结果可以用数字表示。

记录计数结果的目的是为了更好地理解和分析数据。

4. 分析计数数据：对计数数据进行进一步分析，可以得到有关数量的信息。

通过计数数据的分析，可以发现规律、探索规律背后的原因，并从中获得更深入的认识。

计数的基本原理在各个领域和学科中都有广泛应用。

在数学中，计数是数论的重要内容之一，涉及到各种计数方法和技巧。

在统计学和数据分析中，计数是一种常用的数据描述和分析方法。

在科学研究和工程设计中，计数可以帮助研究人员对实验结果进行准确的统计和计量。

无论是在日常生活中还是专业领域中，计数都是一种重要的基本技能。

计数的基本原理

计数的基本原理
计数是一种常见的数学概念，用于确定事物的数量或数量的大小。

其基本原理是利用数数的方法，对所要计数的对象进行逐一排列或标记，然后在最后进行统计。

计数可以应用于各个领域，例如人口普查、库存管理、实验数据统计等。

在进行计数时，我们可以使用不同的计数单位，如个、张、件、本等，根据对象的特征来选择合适的单位。

例如在统计人口数量时，可以使用“人”作为计数单位；在统计书籍数量时，可以使用“本”作为计数单位。

通过使用适当的计数单位，可以更准确地表达数量的大小。

进行计数时，要注意遵循一定的计数原则。

首先，每个对象只能被计数一次，以确保不会重复计算；其次，每次计数都应该准确无误，以避免遗漏或错误统计；最后，要对计数结果进行整理和总结，以便对数量进行分析和解读。

在实际应用中，计数经常与其他数学概念和方法相结合，如加法、减法、乘法、除法等。

通过使用这些运算方法，可以对数量进行进一步的计算和处理，得到更多有用的信息。

总之，计数作为一种基本的数学原理，能够帮助我们准确地了解和统计事物的数量。

通过遵循计数原则和运用适当的计数单位，我们可以对各种对象进行有效的计数，并进一步应用计算方法进行数量的处理和分析。

计数原理和排列

区别一
完成一件事共有n类办法，关键词是“分类”
完成一件事共分n个步骤，关键词是“分步”
区别二
每类办法都能完成这件事
任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有每个步骤都完成了，才能完成这件事
区别三
各类办法都是互斥的、并列的、独立的
各步之间是相互关联的、互相依存的
一、分类计数原理问题
(3)法一按末位是0,2,4分为三类：第一类：末位是0的有4×4×3＝48个；第二类：末位是2的有3×4×3＝36个；第三类：末位是4的有3×4×3＝36个．则由分类加法计数原理有N＝48＋36＋36＝120(个)．
(二) 排列
1．排列的概念:一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
第一步：选取左边第一个位置上的数字，有6种选取方法第二步：选取左边第二个位置上的数字，有5种选取方法；第三步：选取左边第三个位置上的数字，有4种选取方法；第四步：选取左边第四个位置上的数字，有3种选取方法．由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有6×5×4×3＝360(个)．
(2)分步解决．第一步：首位数字有5种选取方法；第二步：百位数字有5种选取方法；第三步：十位数字有4种选取方法；第四步：个位数字有3种选取方法．由分步乘法计数原理知，可组成四位整数有5×5×4×3＝300(个)．
【解析】A ＝4×3＝12；A ＝3×2×1＝6.
【解析】＝＝ .【答案】
排列的列举问题
例1：写出下列问题的所有排列．
【自主解答】 (1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有33种不同的分配方案．则满足条件的不同的分配方案有43－33＝37(种)．故选C.

计数原理

第一章．计数原理一．两个基本计数原理分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…..在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+….mn种不同的方法。

分布计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1个有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，….做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+….+mn种不同的方法。

二．排列一般的，从n个不同的元素中取出m(m≦n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列。

排列数三．组合一般的，从n个不同的元素中取出m(m≦n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

组合数㈠简单问题直接法例一．某班级有男生40人，女生20人，⑴从中任选一人去领奖，有多少种不同的选法？60⑵从中任选男女各一人去参加座谈会，有多少种不同的选法？800例二．五名学生报名参加思想体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？1024例三．七个人做两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，有多少种不同的坐法？5040㈡相邻问题捆绑法例一．七个小孩拍照留念，其中三个是女孩，四个是男孩，⑴若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法720⑵若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，则有多少种排法288㈢不相邻问题插空法例一．七个小孩拍照留念，其中三个是女孩，四个是男孩，⑴若三个女孩要互不相邻，有多少种排法1440⑵若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种排法144例二．8张椅子排成一排，有四个人就坐，每个人一个座位，恰有3个连续的空位的做法共有几种480例三．5名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法有几种例四．七人排成一排，甲乙两人必须相邻，且甲乙都不与丙相邻，则有不同的排法几种？960㈣特殊元素或特殊位置的优先考虑例一．4个男生，3个女生排队，⑴甲不站中间也不站两端，共有多少种排法？2880⑵甲乙中间至少有2个人，有多少种排法2400⑶甲必须在已的右边，有多少种排法2520例二．从6人中选出4人分别到莨山，韶山，衡山，张家界4个旅游景点游览，要求每个景点只有一人游览，每人只游览一个景点，且这6人中甲不去衡山景点，乙不去韶山景点，则不同的安排方法有几种252例三．从6名运动员中选出4人参加4*100米接力，⑴若甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，则有多少种排法252⑵若甲乙都不跑第一棒，则有多少种排法240⑶若甲乙不跑中间两棒，则有多少种排法144例四．将五列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道，b列车不停在第二轨道，那么不同的停车方法有几种78例五．要排出某一天中语文，数学，政治，英语，体育，艺术，6门课各一节的课程表，要求数学课排在前三节，英语课不排在第六节，则不同的排法有几种？288㈤涂色问题例一．在矩形的绿地四角各方一盆花，现有6种不同颜色的花，若要求同一边的两端摆放不同的颜色，则不同的摆放方式有多少种630例二．将三种作物种在5块试验田里，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法有多少种□□□□□42例三．在田字格中用四种颜色涂，要求相邻的格子颜色不能相同，有多少种不同的涂法㈥几何问题例一．平面内有12个点，任何3点不在同一直线上，以每3点为顶点画一个三角形，一共可画多少个三角形220例二．平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可得到多少个不同的三角形216例三．∠A的两条边除A点分别有3给点和四个点，则有这些点，共能构成多少个不同的三角形42例四．从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作为三角形，其中直角三角形有多少个？48例五．共有11层台阶，一个人可以一次走一个台阶或两个台阶，⑴若他恰在第七步走完，共可以有多少种走法35⑵若他要在7步内走完，共可以有多少种走法41例六．甲乙丙3人到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上得人不区分站的位置，则不同的站法有几种？例七．某市有7条南北向街道，5条东西向街道，⑴图中共有多少个矩形210⑵从A点到B点最短路线的走法有多少种？210㈦分组分配例一．对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品，一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现，则这样的测试方法有几种可能576例二．某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级，且每班安排两名，则不同的安排方案有几种？90例三．从7名男运动员和5名女运动员中，选出4名进行男女混合双打乒乓球比赛，则不同的配组方法有几种420例四．共有8个人，其中6个人会英语，有5个人会法语，现从中选出6个人，3个人翻译英语，3个人翻译法语，共有多少种可能？55例五．若7个人身高都不同，从中取出6人，站成2排，每排3人，要求每一列前排比后排的人矮，共有几种站法？630㈦至多至少恰好间接法例一．袋中有5双不同的鞋子，从中取出4只⑴恰好有2双，共有几种可能？10⑵恰好有2只成双，共有几种可能120⑶至少有2只成双，有几种可能130⑷每只都不成双，有几种可能？80例二．将7名学生分配到甲乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方式有几种？112例三．设有编号12345的五个球和编号为12345的五个盒子，现将五个球放入盒子内，要求每个盒子内放一个球，⑴若恰有两个球的编号与盒子编号相同，则这样的投放方法有几种20⑵若至多有两个球的编号与盒子相同，则这样的投放方法有多少种？109三个人站成一排，要调整位置，每个人都不站在自己的位置上，有2种方法。

计数原理的规律是什么

计数原理的规律是什么
计数原理的规律可以概括为以下几点:
一、计数原理的基本内容
计数原理是组合数学中的基本原理,它揭示了在确定条件下进行计数时所遵循的规律。

主要内容有:
1.乘法原理:执行任务有m种方法,再执行第二个任务有n种方法,那么执行整个任务共有m×n种方法。

2.加法原理:一个任务可以通过m种方法实现,还可以通过n种方法实现,那么这个任务共有m+n种实现方法。

3.排列组合转换:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的排列个数为
A(n,m)=n!,组合个数为C(n,m)=n!/m!(n-m)!。

二、组合计数规律
1.交换律:从n个元素中取m个与从n个元素中取n-m个的组合数相等。

2.互补规律:从n个元素取出m个与取出n-m个的组合数之和为所有的组合数
C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n。

三、计数原理的应用
计数原理在概率统计、编码密码、排序组合等许多领域都有广泛应用。

运用计数规律可以提高计数效率,避免重复计算。

综上,计数原理揭示了计数中元素排列组合与算法的一般规律。

掌握这些规律为各种复杂计数问题提供了基本思路。

在实际应用中必须根据具体情况灵活运用。

基本的计数原理

基本的计数原理计数是我们日常生活中不可或缺的一种能力，它涉及到我们对事物的量化和统计。

基本的计数原理是指在离散数学中，用于计算组合和排列的原理。

本文将介绍基本的计数原理及其应用。

一、基本的计数原理是指组合和排列的计数原则：1. 组合计数原理：组合是指从n个不同的元素中选取r个元素形成一个子集，其中元素的顺序不重要。

组合计数原理可以表示为C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)，其中n表示元素的总数，r表示选取的元素数量。

2. 排列计数原理：排列是指从n个不同的元素中选取r个元素形成一个有序的集合，其中元素的顺序重要。

排列计数原理可以表示为P(n, r) = n! / (n-r)!，其中n表示元素的总数，r表示选取的元素数量。

这两个计数原理是解决组合问题和排列问题的基础，通过运用组合和排列计数原理，我们可以更方便地解决实际问题。

二、基本的计数原理的应用基本的计数原理在不同领域都有广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用场景：1. 考试成绩排名：假设一场考试有n个学生参加，我们希望计算出某个学生的排名。

根据排列计数原理，我们可以计算出有多少种可能的排名情况，从而确定该学生的排名。

2. 同学小组分配：假设班级有n个学生，老师要将他们分为r个小组，每个小组人数可以不同。

根据组合计数原理，我们可以计算出不同分组情况的数量，从而帮助老师进行合理的分组安排。

3. 彩票中奖概率计算：彩票中奖的概率可以通过排列计数原理来计算。

假设彩票有n个号码，每次开奖选取r个号码，根据排列计数原理，我们可以计算出中奖的可能性。

4. 字符串的排列组合：在计算机领域，字符串的排列组合常常用于密码破解或者生成字典等场景。

通过排列组合计数原理，我们可以计算出字符串可能的组合情况。

以上仅是基本的计数原理应用的一些例子，实际应用场景非常广泛，涵盖了各个学科和行业。

总结：基本的计数原理是离散数学中重要的概念，用于计算组合和排列的原理。

基本计数原理概念及例题

111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mAA C A A A 基本计数原理分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的方法，在第二类办法中有M 2种不同的方法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的方法，那么完成这件事情共有M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。

2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N 个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有M 2不同的方法，……，做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M 1M 2...M N 种不同的方法。

3、排列：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照．．一定顺序．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列4、排列数：从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示。

),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m∈≤-=+--=Λ 5、公式：，11--=m n m n nA A 6、组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

7、公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n-=+--==Λ )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ;m n n m n C C -= m n m n m n C C C 11+-=+ 8、二项式定理：()a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n +=++++++---011222…… 9、二项式通项公式展开式的通项公式：，……T C a b r n r nr n r r +-==101() 10、二项式系数C nr 为二项式系数（区别于该项的系数） 11、杨辉三角：()（）对称性：，，，……，1012C C r n n r n n r ==- （）系数和：…2C C C n n nn n 012+++= （3）最值：n 为偶数时，n ＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第n C n n n n2112+⎛⎝ ⎫⎭⎪+项，二项式系数为；为奇数时，为偶数，中间两项的二项式()系数最大即第项及第项，其二项式系数为n n C C n n n n +++=-+121211212 排列组合例题1．(2010?山东潍坊)6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为( )A ．40B ．50C ．60D ．70[答案] B[解析] 先分组再排列，一组2人一组4人有C26＝15种不同的分法；两组各3人共有C36A22＝10种不同的分法，所以乘车方法数为25×2＝50，故选B.2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种[答案] C[解析] 恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A33A24＝72种排法，故选C.3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )A ．6个B ．9个C ．18个D ．36个[答案] C[解析] 注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C13＝3(种)选法，即1231,1232,1233，而每种选择有A22×C23＝6(种)排法，所以共有3×6＝18(种)情况，即这样的四位数有18个．4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( )A ．2人或3人B ．3人或4人C ．3人D ．4人[答案] A[解析] 设男生有n 人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2nC18－n ＝30，解得n ＝5或n ＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有( )A ．45种B ．36种C ．28种D ．25种[答案] C[解析] 因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C28＝28种走法．6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有( )A ．24种B ．36种C ．38种D ．108种[答案] B[解析] 本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C13种分法，然后再分到两部门去共有C13A22种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C13种方法，由分步乘法计数原理共有2C13A22C13＝36(种)．7．组合数Crn(n>r≥1，n，r∈Z)恒等于()A.r＋1n＋1Cr－1n－1 B．(n＋1)(r＋1)Cr－1n－1C．nrCr－1n－1 D.nrCr－1n－1[答案]D[解析]∵Crn＝n！r！×(n－r)！＝n×(n－1)！r×(r－1)！×[(n－1)－(r－1)]！＝nrCr－1n－1，故选D.8．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()A．33 B．34C．35 D．36[答案]A[解析]①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12?A33＝12个；②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12?A33＋A33＝18个；③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13＝3个．故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A.9．(2010?四川理，10)由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是()A．72 B．96C．108 D．144[答案]C[解析]分两类：若1与3相邻，有A22?C13A22A23＝72(个)，若1与3不相邻有A33?A33＝36(个)故共有72＋36＝108个．10．(2010?北京模拟)如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有()A．50种B．60种C．120种D．210种[答案]C[解析]先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A25种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16?A25＝120种，故选C.二、填空题11．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)[答案]2400[解析]先安排甲、乙两人在后5天值班，有A25＝20(种)排法，其余5人再进行排列，有A55＝120(种)排法，所以共有20×120＝2400(种)安排方法．12．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)[答案]1260[解析]由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C49?C25?C33＝1260(种)排法．13．(2010?江西理，14)将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．[答案]1080[解析]先将6名志愿者分为4组，共有C26C24A22种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共有A44种分法，故所有分配方案有：C26?C24A22?A44＝1 080种．14．(2010?山东济宁)要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．[答案]72[解析]5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，∴有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种．三、解答题15．(1)计算C98100＋C199200；(2)求20C5n＋5＝4(n＋4)Cn－1n＋3＋15A2n＋3中n的值．[解析](1)C98100＋C199200＝C2100＋C1200＝100×992＋200＝4950＋200＝5150.(2)20×(n＋5)！5！n！＝4(n＋4)×(n＋3)！(n－1)！4！＋15(n＋3)(n＋2)，即(n＋5)(n＋4)(n＋3)(n＋2)(n＋1)6＝(n＋4)(n＋3)(n＋2)(n＋1)n6＋15(n＋3)(n＋2)，所以(n＋5)(n＋4)(n＋1)－(n＋4)(n＋1)n＝90，即5(n＋4)(n＋1)＝90.所以n2＋5n－14＝0，即n＝2或n＝－7.注意到n≥1且n∈Z，所以n＝2.[点拨]在(1)中应用组合数性质使问题简化，若直接应用公式计算，容易发生运算错误，因此，当m>n2时，特别是m接近于n时，利用组合数性质1能简化运算．16．(2010?东北师大附中模拟)有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？[解析]因为相邻的两个二极管不能同时点亮，所以需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上，共有C36种亮灯办法．然后分步确定每个二极管发光颜色有2×2×2＝8(种)方法，所以这排二极管能表示的信息种数共有C36×2×2×2＝160(种)．17．按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？(1)各组人数分别为2,4,6个；(2)平均分成3个小组；(3)平均分成3个小组，进入3个不同车间．[解析](1)C212C410C66＝13 860(种)；(2)C412C48C44A33＝5 775(种)；(3)分两步：第一步平均分三组；第二步让三个小组分别进入三个不同车间，故有C412C48C44A33?A33＝C412?C48?C44＝34 650(种)不同的分法．18．6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？(1)任何2名女生都不相邻有多少种排法？(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？(3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？[解析](1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A66?A47种不同排法．(2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A99种排法，若甲不在末位，则甲有A18种排法，乙有A18种排法，其余有A88种排法，综上共有(A99＋A18A18?A88)种排法．方法二：无条件排列总数A1010－甲在首，乙在末A88甲在首，乙不在末A99－A88甲不在首，乙在末A99－A88甲不在首乙不在末，共有(A1010－2A99＋A88)种排法．(3)10人的所有排列方法有A1010种，其中甲、乙、丙的排序有A33种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法有A1010A33种．(4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有12A1010种排法．。

计数原理及举例

计数原理及举例一、两个原理：1．加法原理。

一般地，如果完成一件事情需要n 类办法，在第一类办法中，有1m 种不同方法，在第二类办法中有2m 种不同方法，…，在第n 类办法中，有n m 种不同方法。

那么完成这件事共有n m m m +++ 21种方法。

上述原理称为加法原理。

2．乘法原理。

如果完成一件需要n 个步骤，做第一步有1m 种方法，做第二步有2m 种方法，…，做第n 步有n m 种方法，那么完成这件事共有n m m m ⨯⨯⨯ 21 种方法。

上述原理称为乘法原理。

让我们来看一个简单的例子。

如下图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有4条路，从甲地到丁地有3条路，从丁地到丙地也有3条路。

问：从甲地到丙地共有多少种不同的走法？此题中，首先可根据加法原理，把从甲到丙的走法分为两类。

① 由甲过乙至丙，② 由甲过丁至丙。

而这两类办法中，都需要两个步骤，要应用乘法原理来算，最后总的方法为： 2×4+3×3=17（种）。

下面让我们来看几个具体的题。

例1：有一堆火柴共12根，如果规定每次取1~3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？此题要用到加法原理：要拿第n 根火柴，可以从第（n-3）、（n-2）及（n-1）根三种基础上来考虑。

如果拿第(n-3)根有a 种办法，拿第（n-2）根有b 种办法，拿第(n-1)根有c 种办法，因此拿第n 根共有（a+b+c ）种办法。

因此只要知道拿1根、2根、3根的火柴数就可以得到具体的种数。

1，2，4，7，13，24，44，81，149，274，504，927，…例2：从2，3，4，5，6，10，11，12这八个数中，取出两个数组成一个最简真分数，共有多少种取法？此题显然是根据分子或分母的情况来分类，最后种数为15种。

例3：在下图中，从A 点沿实线走最短路径到B 点，有多少种走法？甲乙丁丙AB P35种，可从图上逐个标注数字，除左边和下边都是1外，其余每个点的种数在计算时都是一个加法原理的应用。

计数的基本原理

计数的基本原理计数是我们日常生活中经常会遇到的一个概念，无论是在工作中还是在生活中，我们都会涉及到各种各样的计数工作。

而计数的基本原理是什么呢？在本文中，我们将深入探讨计数的基本原理，从而更好地理解计数的本质。

首先，我们需要明确计数的定义。

计数是指对事物的数量进行明确的表示和记录。

在日常生活中，我们可以用数字、符号或者其他方式来表示数量，从而进行计数。

而计数的基本原理即是通过对事物的数量进行明确的表示和记录，从而实现对数量的准确把握和掌控。

其次，要了解计数的基本原理，我们需要了解计数的对象。

计数的对象可以是任何事物的数量，比如人的数量、物品的数量、时间的数量等等。

不同的计数对象可能会有不同的计数方式和方法，但是其基本原理是相通的，即对数量进行明确的表示和记录。

接下来，我们需要了解计数的基本方法。

计数的基本方法包括直接计数和间接计数两种方式。

直接计数是指直接对事物的数量进行明确的表示和记录，比如我们数数一群人的数量；而间接计数则是通过其他手段来推断数量，比如通过测量来推断物品的数量。

不同的计数对象可能需要采用不同的计数方法，但是其基本原理是相通的，即对数量进行明确的表示和记录。

此外，我们还需要了解计数的基本规则。

计数的基本规则包括准确性、一致性和完整性三个方面。

准确性是指计数结果应当准确无误，不应有误差；一致性是指同样的数量应当得到相同的计数结果；完整性是指对所有的数量都应当进行计数，不应有遗漏。

遵循这些基本规则，才能保证计数的准确性和可靠性。

总的来说，计数的基本原理是通过对事物的数量进行明确的表示和记录，从而实现对数量的准确把握和掌控。

了解计数的基本原理，有助于我们更好地进行计数工作，提高工作效率和准确性。

希望本文能够帮助您更好地理解计数的基本原理，从而在工作和生活中更好地运用计数的方法和技巧。

计数知识点归纳总结

计数知识点归纳总结计数是数学中非常重要的一部分，它涉及到我们日常生活中的许多实际问题，如时间、距离、数量等等。

在学习计数的过程中，我们将会接触到各种各样的计数方法和技巧。

在这篇文章中，我将为大家总结一下计数的一些重要知识点，希望可以帮助大家更好地理解和掌握计数的相关内容。

一、基本计数原理基本计数原理是计数问题中最基本的原理。

它包括了两个基本的规则：加法原理和乘法原式。

1.1 加法原理加法原理是指如果一个事件可以分解为两个或多个互不相容的事件的并集，那么这个事件的发生次数等于这些事件的发生次数之和。

换句话说，如果A和B是两个互不相容的事件，那么A和B的并集的发生次数等于A的发生次数加上B的发生次数。

例如，一个班级有30个男生和20个女生，那么班级一共有多少个学生？答案是30+20=50，这里使用了加法原理。

1.2 乘法原理乘法原理是指如果一个事件可以分解为两个或多个独立事件的交集，那么这个事件的发生次数等于这些事件的发生次数的乘积。

换句话说，如果A和B是两个独立事件，那么A和B的交集的发生次数等于A的发生次数乘以B的发生次数。

例如，一个由3位数字组成的密码，每位数字可以是0到9之间的任何一个数字，那么一共有多少种可能的密码？答案是10*10*10=1000，这里使用了乘法原理。

二、排列和组合排列和组合是计算一组事物的不同排列和组合方式的方法。

在计数中，排列和组合经常会被用到。

2.1 排列排列是指从一组事物中抽取一部分进行排列，要求这些事物之间有顺序之分。

例如，从1、2、3、4这4个数字中抽取3个数字进行排列，一共有多少种排列方式？答案是4*3*2=24种，这里使用了排列的计算方法。

2.2 组合组合是指从一组事物中抽取一部分进行组合，不要求事物之间有顺序之分。

例如，从1、2、3、4这4个数字中抽取2个数字进行组合，一共有多少种组合方式？答案是4*3/2=6种，这里使用了组合的计算方法。

三、计数的应用计数不仅仅是一门理论学科，它还涉及到许多实际问题的解决。

计数基本原理

常见的计数原理有

最新《计数的基本原理》第一课时说课稿

计数原理-拔高难度-讲义

第一节 计数的基本原理

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计数原理知识点总结高中

计数的基本原理

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第一节计数的基本原理