高等数学：4.3-2不定积分的积分法(2)分部积分法

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高数4.3 分部积分法

x

cos x sin x 2 C x
说明: 此题若先求出
再求积分反而复杂.
2 sin x 2 cos x cos x d x x f ( x) dx 2 x x
本节小结
分部积分公式
u v dx u v uv dx u v v du
例4 求 e x sin x dx . （课本例7）
解: 令
v e x , 则 v ex
x x e e sin x ∴ 原式 cos x dx
再令
x
v e x , 则 v ex
e sin x e x cos x e x sin x dx
故原式 =
2. 求不定积分解：方法1 (先分部 , 再换元)
d (e x 1)
令则
方法2 (先换元,再分部)
令则
故
3. 求 I sin ( ln x) dx 解: 令则 x et , d x et d t
I e t sin t d t
et sin t et cos t d t
为三角函数 , 但两次所设类型说明: 也可设必须一致 .
解题技巧: 把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的反: 反三角函数顺序, 前者为后者为例5（补充题）求解: 令
v 1 , 则
vx
原式 = x arccos x
x 1 x 2
对: 对数函数幂: 幂函数指: 指数函数三: 三角函数
et (sin t cos t ) I
1 t I e (sin t cos t ) C 2 1 x [sin(ln x) cos(ln x)] C 2

分部积分法word版

4.3 分部积分法前面介绍的基本积分法和换元积分法的共同特点是经过适当的变形或变换，将不易计算的不定积分转化为易于计算的另一种不定积分，达到化难为易，化未知为已知的目的．现在我们介绍另一种求不定积分的方法——分部积分法，用于求两种不同类型函数乘积的不定积分，这是与两个函数乘积的导数法则对应的积分方法．设函数)(x u u =，)(x v v =具有连续导数，因为两个函数乘积的导数公式为 v u v u uv '+'=')( 或 v u uv v u '-'=')( 于是，对上式两边求不定积分，得⎰⎰⎰'-'='vdx u dx uv dx v u )(即 ⎰⎰'-='vdx u uv dx v u（4.3.1）或⎰⎰-=vdu uv udv (4.3.2)上述公式叫做分部积分公式．例如：C e xe dx e xe de x dx xe x x x x x x +-=-==⎰⎰⎰【注】：（1）分部积分法主要用于解决被积函数是两类不同类型函数的乘积的不定积分。

如dx xe x ⎰，dx x x ⎰sin ，dx x x ⎰ln ，dx x e x ⎰sin 等等。

（2）关键是选择合适的u 和dv ，选取原则：（a ）v 要容易求出。

（b ）du v ⎰比dv u ⎰容易求出。

例如：x x x x de x e x x d e dx xe ⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=222212121 不合适。

（3）步骤：运用分部积分公式求不定积分⎰dx x f )(的主要步骤是把被积函数)(x f 分解为两部分因式相乘的形式，其中一部分因式看作ｕ，另一部分因式看作v '，而后套用公式，这样就把求不定积分⎰'dx v u 的问题转化为求不定积分⎰'vdx u 的问题．()dx x f ⎰()()dx x v x u ⎰'= 确定()x u 和()x v '()()x dv x u ⎰= 凑微分()()()()x du x v x v x u ⎰-= 使用分部积分公式 ()()()()dx x u x v x v x u ⎰'-= 求微分()()()C x F x v x u +-= 求积分【例1】求下列不定积分（1）dx x x ⎰cos （2）dx xe x ⎰2 （3）()dx x x ⎰+sin 12解：（1）C x x x dx x x x x d x dx x x ++=-==⎰⎰⎰cos sin sin sin sin cos（2）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-===⎰⎰⎰⎰dx e xe de x x d xe dx xe xx x x x 222222121221 ()C e xe x d e xe x x x x +-=-=⎰2222412124121 （3）()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=+-=+⎰⎰⎰1cos cos 1cos 1sin 12222x d x x x x d x dx x x()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=++-=++-=⎰⎰⎰dx x x x x x d x x dx x x x x sin sin 21sin 21cos 2cos 1222()C x x x x +-++-=cos 2sin 212【注】：【练习】（1）dx xx ⎰3cos （2）dx e x x ⎰2解：（1）C x x x dx x x x x d x x dx x x +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰⎰⎰3sin 93cos 33cos 3cos 333cos 33cos（2）xx x x x x x xde x e x dx xe e x dx e e x de x dx e x ⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-==22222222C e xe e x dx e xe e x xx x x x x +--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎰2222【例2】求下列不定积分（1）dx x x ⎰ln （2）dx x x ⎰arctan （3）dx x ⎰arcsin解：（1）dx x x x x d x x x dx x dx x x ⎰⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==21ln 21ln ln 21ln 21ln 2222 C x x x +-=2241ln 21 （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰⎰⎰x d x x x dx x dx x x arctan arctan 21arctan 21arctan 222 ⎰+-=dx x x x x 222121arctan 21dx x x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=2211121arctan 21 C x x x x ++-=arctan 2121arctan 212 （3）⎰⎰⎰--=-=dx xx x x x d x x x dx x 21arcsin arcsin arcsin arcsin()C x x x x d xx x +-+=--+=⎰2221arcsin 11121arcsin【注】【练习】（）()()()()dx x x x x x d x x x dx x⎰⎰⎰+-+=+-+=+222222121ln 1ln 1ln 1ln()()⎰+--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=C x x x x dx x x x arctan 221ln 11121ln 222【例3】求下列不定积分（1）⎰⎰=x x de dx e sin sin )(sin sin x d e x e x x ⎰-=⎰-=xdx e x e x x cos sin⎰-=x x xde x e cos sin )cos cos (sin ⎰--=x d e x e x e x x x ⎰--=xdx e x x e x x sin )cos (sin (注意循环形式)所以有 sin (sin cos ).2xxe e dx x x C =-+⎰注：（2）dx x ⎰sin解：令t x =，则2t x =，tdt dx 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-==⎰⎰⎰⎰dt t t t t d t dt t t dx x cos cos 2cos 2sin 2sinC x x x C t t t ++-=++-=sin 2cos 2sin 2cos 2（3）x d x xd x x d x x dx x x x 2233csc 21sin 121sin sin sin cos ⎰⎰⎰⎰-=-== C x x x dx x x x +--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎰cot 21csc 21csc csc 21222【练习】（1）2222223cos 21sin 21sin x d x dx x x dx x x ⎰⎰⎰-==C x x x dx x x x ++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎰2222222sin 21cos 21cos cos 21（2）()()()()x d x x x x d x dx x x ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ⎰⎰⎰-==()()()Cx x x dx x x x dx xx x x x +-=-=-=⎰⎰ln ln ln ln ln ln ln 1ln 1ln ln ln ln【练习】设()x f 有一个原函数x x ln ，则()='⎰dx x f x解：()()()()dx x f x xf x df x dx x f x ⎰⎰⎰-==' 因为()x f 有一个原函数x x ln 所以()C x x dx x f +=⎰ln()()()()C x x x x dx x f x xf x df x dx x f x +-=-=='⎰⎰⎰ln ln 2⎰-+dx x 3211.1练习： ⎰-+12.2x dx（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

求不定积分的几种方法

求不定积分的几种方法摘要:求不定积分的方法有很多种,针对不同类型的函数采用最适合的方法往往会起到事半功倍的效果,本文就不定积分的求解方法进行了归类，结合实例讨论了这些方法在不定积分求解中的可行性，对快速正确求解不定积分有一定意义。

关键词：不定积分直接积分法分部积分法方程法Abstract: There are many kinds of methods to solve the indefinite integral. For different types of function using the most suitable method often can play a multiplier effect. In this paper, indefinite integral solutions are divided into several different types and the feasibility of the method of indefinite integral is discussed by integrating the practical examples, which is of certain significance to rapidly, correctly solving indefinite integral.Key words: indefinite integral; direct integration method; integration by parts; equation method不定积分是一元微积分中非常重要的内容之一，是积分学中最基本的问题之一，又是求定积分的基础，牢固掌握不定积分的理论和运算方法，不仅能使学生进一步巩固所学的导数和微分概念，而且也将为学习定积分，微分方程和多元函数的积分学以及其他课程打好基础，因此切实掌握求不定积分的方法非常重要。

[全]高等数学之不定积分的计算方法总结[下载全]

高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法，是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。

不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以掌握不定积分的计算方法很重要。

不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查，考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。

不定积分的求法的理解和应用要多做习题，尤其是综合性的习题，才能真正掌握知识点，并应用于考研。

不定积分的计算方法主要有以下三种：
（1）第一换元积分法，即不定积分的凑微分求积分法；
（2）第二换元积分法
（3）分部积分法
常见的几种典型类型的换元法：
常见的几种典型类型的换元法
题型一：利用第一换元积分法求不定积分例1：
分析：
解：
题型二：利用第二换元积分法求不定积分例2：
解：
题型三：利用分部积分法求不定积分
分析：
例3：
解：。

高教社2024高等数学第五版教学课件-4.3 分部积分法

例1 求 න
解
‫) ( ׬ = ׬‬′ = − ‫)(׬‬′
= − න
= + + .
注例1如果采用下面的方法，即
2
2 ′
2

න = න ∙ ( ) = − න()′ ∙
1
1
2
1) ]+ ‫׬‬

2 1+(2+1)2
1
2
1) ]+ arctan
2
1
[ 1
4
2 +
+ (2 + 1)2 ] + .
解法二(先用换元法,再用分部积分法,最后再使用凑微分)
令 = 2 + 1， =
−1
，则
2
−1
න 2 + 1 = න (
∴ ‫ ׬‬

= 2
(
− 2 + 2) + .
例10 求 න(2 + 1)
解法一(先用分部积分法,再用第一类换元法——凑微分)
‫( ׬‬2 + 1) = (2 + 1)-‫( ׬‬2 + 1)
2
= 2 + 1 − න
解
‫ ׬‬2 = ‫ ׬‬2 ( )
= 2 − න ( 2 ) = 2 − 2 න
= 2 + 2 න ( ) = 2 + 2( − ‫) ׬‬
= − + .
例3 求‫ ׬‬
解令 = , = =
2
,
2

高等数学（上）第四章不定积分

第四章不定积分内容：不定积分的概念和性质、换元积分法、分部积分法、几种特殊类型函数的积分、简单无理函数的积分、积分表的使用。

要求：理解不定积分的概念和性质，掌握不定积分的基本公式、换积分法和分部积分法，理解有理函数的积分，了解简单无理函数的积分重点：不定积分的概念和性质；不定积分的基本公式；换元积分法、分部积分法、难点：凑微分、三角代换法、分部积分法到目前为止，我们已经学会了对函数作如下运算：四则、复合、求导. 在四则运算中, 加减法互为逆运算, 积商也互为逆运算; 我们能将简单函数复合, 也能将复合函数分解. 于是, 我们自然会想到这点: 既然我们能求得任一函数的导数, 我们当然也想知道谁的导数是一个任意给定的函数呢? 即研究求导的逆运算.例: 对于变速直线运动, 若已知位移函数)(t s s =, 则即时速度)(t s v '=, 反之, 若已知)(t v v =, 能否求得位移函数?§1. 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念1. 原函数定义: 设)(),(x F x f 在区间I 上有定义, 若∀x ∈I, 有)()(x f x F =' (或dx x f x dF )()(=)则称)(x F 为)(x f 在I 上的原函数.例: -sinx 是cosx 的原函数, x ln 是x1的原函数. 我们自然会提出三个问题:(1) 是不是任一函数都有有原函数. (2) 一个函数的原函数是否唯一.(3) 若不唯一, 不同的原函数间的关系. 逐一回答:(1) 定理: 若)(x f 在I 上连续, 则存在)(x F , 使得)()(x f x F ='. (2) 常数的导数为0. 若)()(x f x F =', 则())()(x f C x F ='+. (3) 若)()()(x G x f x F '==', 则()0)()(='-x F x G . 回忆中值定理得到的重要结果, 可得:Cx F x G Cx F x G +==-)()()()(综合(2), (3), 得出结论: 若)(x F 是)(x f 的一个原函数, 则 1°所有的)(x F +C 也是)(x f 的原函数. 2°)(x f 的任一原函数也写成)(x F +C.即})({C x F +(C 为任意常数)是)(x f 的所有原函数的集合. 命名之. 2. 不定积分定义: 函数)(x f 的全体原函数称为)(x f 的不定积分, 记作⎰dx x f )(.若)()(x f x F =', 则⎰dx x f )(=)(x F +C.⎰: 积分符号; )(x f 被积函数; dx x f )(被积表达式;x : 积分变量; C: 积分常量. 例1.C x xdx C x dx x +=+=⎰⎰sin cos ,4143例2. 证明:C x dx x +=⎰ln 1.证一: ⎩⎨⎧<->=0)ln(0ln ln x x x xx()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-->='0101ln x xx x x证二: 2ln ln x x =为简便, 记C x dx +=⎰ln 1.(曲线族中任意一条曲线都可由另一条曲线经过上下平移而得到, 表现在图形上, 即: 所有平行于y 轴的虚线被相同的两条积分曲线所截得的长度都相同.)3. 不定积分与导数、微分的关系()()Cx F x dF C x F dx x F dxx f dx x f dx f dx x f +=+='=='⎰⎰⎰⎰)()(,)()()2()()(),()()1(不定积分与导数、微分互为逆运算. 注2: 导数是一个函数, 不定积分是一族函数.二、基本积分公式由导数公式，可直接得出积分公式Caa dx a C e dx e C x xdx x C x xdx x C x xdx dx x C x xdx dx x Cx xdx C x xdx Cx dx x Cx dx x Cx dx x C x dx x C kx kdx xxx x +=+=+-=⋅+=⋅+-==+==+-=+=+=-+=++=-≠++=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+ln )13()12(csc cot csc )11(sec tan sec )10(cot csc sin 1)9(tan sec cos 1)8(cos sin )7(sin cos )6(arcsin 11)5(arctan 11)4(ln 1)3()1(11)2()1(2222221μμμμ三、不定积分的运算法则[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰±±±=±±±=dxx f dx x f dx x f dx x f x f x f dxx f k dx x kf n n )()()()()()()2()()()1(2121.例1.⎰⎰+--+dxx x xdxx e x )213114()2()cos 52()1(2 例2.()⎰⎰-=dx x xdx 1sec tan22例3. ⎰⎰+-+=+dt t t dt t t 22221111例4. ⎰⎰+=dt xx x x dt x x 222222cos sin cos sin cos sin 1§2. 换元积分法积分的许多方法都是来源于求导（微分）公式，凑微分法来源于复合函数求导公式，或者说是一阶微分形式不变性.一、第一类换元法（凑微分法）(){}()⎰⎰⎰=='=='⇒'=⋅'=+='⇒'⋅='⋅='⋅'='duu f dx x x f du u F dx x F x F d C x F dx x x f x x f u u f u u F x F x u x x u f u F xx u x)()()]([)()]([)]([)]([()()]([)()]([)()()]([)()()()(ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ定理设)(u f 有原函数，)(x u ϕ=可导，则)()()()]([)()]([x u duu f x d x f dx x x f ϕϕϕϕϕ=⎰⎰⎰=='此定理的实质是将对变量x 的积分转化为对x 的函数)(x ϕ的积分.1. b ax x +=)(ϕ例1.⎰xdx 2sin 2不能对⎰xdx 2sin 直接积分, 但若令u=2x, 则可对⎰udu sin 直接积分, 只需将原积分中的“dx ”转化为“du ”即“d(2x)”.Cx C u udu x xd xdx xu +-=+-===⎰⎰⎰=2cos cos sin )2(2sin 2sin 22 熟练后可省略例2. []⎰⎰⋅++=+21)12()12sin()12sin(x d x dx x 例3. ⎰-dx x 100)45(, ⎰-dx x 23)45(若是二或三次方, 或许可以考虑二项展开, 但对于100次或是非正整数次方显然不适用.例4.⎰⎰+→+dx x dx x a 222111例5.⎰⎰-→-dx xdx xa 222111一般地, ⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f a dx b ax f . 2.b ax x +=2)(ϕ例6. ⎰dx xe x 22 例7.⎰-dx x a x2一般地,⎰⎰++=+)()(21)(222b ax d b ax f adx b ax xf . 利用1111+++=μμμμdx x dx x , 我们常用的凑微分法有: ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅⋅-=⋅⋅=⋅xd f dx x fxd f dx x f dx f dx f x 2131232例8.⎰dx x x 1tan 122例9.⎰dx xe x33. 其它类型例10. ⎰⎰=dx xxxdx cos sin tan , ⎰xdx cot 例11.⎰+dx x x 21arctan把对x 积分转化为对)(x ϕ积分，即)()(x d f dx f x ϕϕ⋅→⋅'，这实际上也是一个积分过程，只是这个积分较为直接明了，因此，所有积分公式都可以被考虑用于凑微分.如:⎰⎰⋅=⋅x d f dx f x ln 14. 综合性凑微分(先变形, 再凑) ① 代数变形例12. ⎰-dx x x2例13. C ax ax a dx x a C a x ax a dx a x +-+=-++-=-⎰⎰ln 211,ln 2112222例14.⎰⎰++=++dx x dx x x 2)3(1116122例15.⎰⎰-+=--dx x x dx x x )1)(3(12312总之: ⎰⎪⎩⎪⎨⎧→→→++arctanln12不可分解因式可分解因式dx c bx ax 例16.⎰⎰+-=--dx x dx xx 22)1(21211例17．⎰⎰+=dx x xdx 212cos cos 2例18. C x x x dx x xdx +++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰832sin 414sin 321212cos cos 24例19. ⎰⎰--=x d x xdx cos )cos 1(sin 23例20. ⎰⎰--=x xd x xdx x cos cos )cos 1(cos sin2223例21.⎰⎰+=dx xx xdx x 22sin 8sin 3cos 5sin总结之:⎰⎰⎰→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++积分化和差公式平方和公式并换元倍角公式降次dx Bx Ax Bx Ax Bx Ax dx x x dx x x n n n ncos cos sin sin cos sin )3(cos sin )2(cos sin )1(121222例22.⎰xdx csc()Cx x xx C x x C x x C x x x d x dx xx dx x xdx ++-=+-=+-+-=+-+-=++-=--===⎰⎰⎰⎰)cot ln(csc sin cos 1ln cos 1cos 1ln 21cos 1cos 1ln 211cos 1cos ln 21cos cos 11sin sin sin 1csc 2222 Cx x xdx C x x xdx ++-=++=⎰⎰)cot ln(csc csc )tan ln(sec sec 总结: 三角函数微分、积分公式记忆： (1) 弦函数↔ 弦函数; 切函数↔ 割函数 (2) 正函数→ 正号; 余函数→ 负号例23.⎰⎰⎰-=--=+dx x xdx x x dx x 22cos sin 1sin 1sin 1sin 11在积分过程中, 分母中的正减号是积分的障碍.二、第二类换元法（变量置换法）定理设)(t x ψ=是单调且可导的函数，0)(≠'t ψ. 又设)()]([)(t t f t g ψψ'=有原函数, 则[]⎰⎰-='=)(1)()]([)(x t dt t t f dx x f ψψψ.事实上:[]C t G dt t g dt t t f t d t f dxx f x t t x +=='=⋅=⎰⎰⎰⎰-==)()(1)()()()]([)]([)]([)(ψψψψψψ第二类换元的实质是将f (x )复杂式变简单或将明显不可积变为可积. 1. 三角代换例1.⎰+dx x 112Ct t tdt t t d t dxx t x ++=⋅==+⎰⎰⎰=)tan ln(sec sec sec 1)(tan sec 1112tan 2不定积分是被积变量的函数, 故需写成x 的函数. 而用反函数代入的方法显然很繁琐.1tan tan x t t x =⇒=, 即在直角三角形中, t 是一个锐角, x 是其对边, 1是其邻边.⎰⎰+++=++++=++==C x a x dx a x C x x dx x x t t )ln(1)1ln(1111cos 1sec 2222222例2.⎰-dx ax 221xCa x x C aa x a x C t t tdtt t t a d t a dxax xa t ta x +-+=+-+=++=⋅==-==⎰⎰⎰)ln()ln()tan ln(sec tan sec tan 1)sec (tan 12222cos sec 22积分公式:⎰++±=±C x a x dx a x )ln(12222例3．⎰-dx x a 2C ax a a x a x a C t t t a dt t a tdtat td adx x a ax t t a x +-⋅+=++=+===-⎰⎰⎰⎰==)(arcsin 2)cos sin (2)2cos 1(2cossin cos 22222222sin sin 2三角代换的实质：用六角形公式消去根式(或分母)中平方和、平方差.2. 根式代换例4.⎰++dx x 1211Cx x C t t dt t t t d t dxx t x t x +++-+=++-=+-+=-+=++⎰⎰⎰=+-=)121ln(12)1ln(11121111211212212例5.⎰+xx dx)1(322a x -xCt t dt t t dt t t xx t x tx +-=+-+=+=+⎰⎰⎰==arctan 661116)1(1)1(22632366例3.dx xx⎰-+11 （选讲、习题课）法一：()dt t t t td t xxt t x ⎰⎰+=+-==-++-=2222111114)121(22 法二：()⎰⎰⎰⎰⎰+=--=-=--=--==dt t dt tt dt t t dx x x dx x x t x )sin 1(sin 1sin 1sin 1cos 111122sin 222法三：()()⎰⎰⎰⎰-+-=-+=-+=2222221121111111x d x dx xdx xx dx x x§3.分部积分法由导数的乘法公式:())()()()()()(x g x f x g x f x g x f '+'=',可知)()(x g x f 是)()()()(x g x f x g x f '+'的一个原函数,即[])()()()()()()()()()()()()()()()()()(x df x g x g x f x dg x f dx x g x f x g x f dx x g x f C x g x f dx x g x f x g x f ⎰⎰⎰⎰⎰-=⇔'-='⇒+='+' 其实质是将被积函数看作两个函数的乘积,将其中一个函数先凑到d 的后面(做一部分积分),从而变形为求另一个函数的积分.简言之,将被积表达式写成d 前面一部分,d 后面一部分,再交换前后两部分的位置.分部积分公式:⎰⎰⎰⎰'-=-=='dx u v uv vdu uv udv dx v u 例1.⎰xdx x sinx,sinx 都可以放到d 的后面去,但是,变形后的结果截然不同:前者变形为求⎰xdx xsin 2,后者变形为求⎰xdx cos ,显然选择后者.注: 选择u,v(d 前函数,d 后函数)的原则: (1)v 明显可求(2)简单比v u u v ''(即新得到的积分比原积分简单) 例2.⎰dx xe x例3. ⎰dx e x x 2例4.⎰xdx x ln 2例5. ⎰xdx ln , ⎰xdx 2ln例6. ⎰xdx arcsin例7. ⎰xdx e xsin例8. ⎰=xdx x I sec tan 2(选讲)⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--=+-=-=-==⋅==xdxI x x xdx x x x xdx x x x xd x x xxd xdx x x xdxx I sec sec tan sec )1(tan sec tan sec sec tan tan sec sec tan sec tan sec tan tan sec tan 232 注2.分部积分法主要类型:dxe ax ax x e ax ax d x dxe ax ax x ax n ax n ax n ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅⎰⎰⎰-sin cos sin cos cos sin )1(1\函数类型不变求导后积分后降次求导dx x ax ax x n ⎰⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅类型趋同求导后类型不变积分后ln arctan arcsin )2(dx x d x ax ax n ⎰⎰→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→+幂函数1ln arctan arcsin方程二次分部积分函数类型不变求导后积分→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅→⎭⎬⎫⎩⎨⎧→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⎰⎰⎰⎰dx bx bx e dx bx bx e e d bx bx dxbx bx e ax ax ax ax cos sin sin cos cos sin cos sin )3(\例9.⎰dx ex例10. dx xexdx e xx⎰⎰-=22cos 1sin 2例11. dx xe dx x e xx ⎰⎰=22sin cos sin 例12. ()dx x x xdx x ⎰⎰-=1sec tan 22 例13. ⎰=dx x I )sin(ln例14.⎰+++dx xx x 221)11ln(不定积分小结一积分公式(分类分组) 1．幂函数类⎪⎩⎪⎨⎧-≠⎰⎰dx xdx x 11(μμ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+⎰⎰dx ax dx ax 222211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±-⎰⎰dx a x dx x a 222211 2．指数函数类⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰dx a dxe xx3．三角函数类⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰xdx xdx cos sin⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰x d x x d x s e c t a n⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰x d x x d x c s c c o t⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰xdx xdx 22csc sec⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰x d x x x d x x c s c c o t s e c t a n 二、凑微分法)()()()]([)()]([x u duu f x d x f dx x x f ϕϕϕϕϕ=⎰⎰⎰=='常用的凑微分法有:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅⋅-=⋅⋅=⋅⋅=⋅+⋅=⋅xd f dx x fx d f dx x f dx f dx f x dx f dx xf b ax d f a dx f 213121)(12322⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅=⋅xxdef dx f e x d f dx f x x d f dx xfcos sin ln 二、变量置换法[])()(1)()]([)]([)]([)(x t t x dt t t f t d t f dx x f -==⎰⎰⎰'=⋅=ψψψψψψ 常用代换:1. 三角代换⎰⎰⎰⎰⎰⎰====-=+=-tdtt t a f a dx a x f tdtt a f a dx x a f tdtt a f a dx x a f ta x ta x ta x tan sec )tan ()(sec )sec ()(cos )cos ()(22sec 22222tan 2222sin 222. 根式代换⎰⎰--=+=⋅=++dt t t t f anmdxb ax b ax f nm n m ab tx b ax t mn nmnm 1),(),( 三、分部积分法⎰⎰⎰⎰'-=-=='dx u v uv vdu uv udv dx v u分部积分法主要类型:dxe ax ax x e ax ax d x dxe ax ax x ax n ax n ax n ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅⎰⎰⎰-sin cos sin cos cos sin )1(1\函数类型不变求导后积分后降次求导dx xax ax x n ⎰⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅ 类型趋同求导后类型不变积分后ln arctan arcsin )2(dx x d x ax ax n ⎰⎰→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→+幂函数1ln arctan arcsin方程二次分部积分函数类型不变求导后积分→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅→⎭⎬⎫⎩⎨⎧→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⎰⎰⎰⎰dx bx bx e dx bx bx e e d bx bx dxbx bx e axax ax axcos sin sin cos cos sin cos sin )3(\ 注2:有些函数经过变形、代换后成为上述类型.注3:选择u,v(d 前函数,d 后函数)的原则:留在d 前的函数求导后变易, 进入d 的函数积分后不变难.四、特殊函数积分归类归类1:⎰⎪⎩⎪⎨⎧→→→++arctan ln 12平方和平方差dx c bx ax 归类2:⎰⎩⎨⎧→<→>→++arcsin 0012a a dx c bx ax 三角代换归类3:⎰⎰⎰→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++积分化和差公式平方和公式并换元倍角公式降次dx Bx Ax Bx Ax Bx Ax dx x x dx x x n n n ncos cos sin sin cos sin )3(cos sin )2(cos sin )1(121222 归类4：有理函数.。

不定积分的分部积分法

x e sin xdx.
x x e sin x d x sin x d e
e x sin x - e x d(sin x)
x x e sin x cos x d e e sin x - e cos xdx x x
e x sin x - (e x cos x - e x d cos x )
这两个公式称为分部积分公式.
•分部积分过程
,
uv vdx dx udv uv- vdu uv d uv uv u vdx vdx .. uv vu x udv u vdu u
分部积分过程： u vdx u dv uv - v du = uv - vu dx = 例1 求 x cos xdx. 解
例5 (3) 求 arccos xdx x arccos x - xd arccos x
分部积分过程： u vdx u dv uv - v du = uv - uv dx =
1 1 1 2 2 2 1 例3 求 x ln xdx ln xdx x ln x - x dx 例4 2 2 2 x 1 ln xdx 2 1 x 2 ln x - 1 x 2 1 dx x ln xdx 例 4 解：原式 = 2 2 2 x
内容小结
1、分部积分公式：
u v dx u dv u v - v du
2 、分部积分： uvdx uv - vudx中u, v的确定原则：
“反对幂指三” , 前 u 后
1 x 2 arctan x - 1 x 1 arctan x C . 2 2 2
分部积分过程： u vdx u dv uv - v du = uv - uv dx =

§4.3 不定积分的分部积分法

2
不能这样选择
u
和
dv .
微积分第4章不定积分
4.3 不定积分的分部积分法
由此可见, 运用分部积分法的关键在于恰当地选择 u 和 dv 一般选择 u 和 (1)
.
dv
的原则是:
v
要容易求得;
(2) 积分 vdu 要容易计算. 按“反函数，对数函数，幂函数，通常根据被积函数的表达式，
指数函数，三角函数”的顺序，排前者取为 u
（4.3.1）
udv uv vdu
udv
或
uvdx uv vudx
公式(4.3.1)称为不定积分的分部积分公式.
当求有困难, 而求
vdu
比较容易时, 分部积分法就
可以发挥作用了.
微积分第4章不定积分
4.3 不定积分的分部积分法
例1
解
x xe dx 求
e x cos x e x sin x e x sin xdx
移项有
2 e x sin xdx e x cos x e x sin x C1
1 x e sin xdx 2 e (sinx cos x ) C
x
从而
有些不定积分需要综合运用换元积分法与分部积分法才能求出结果.
1 2 1 1 1 2 1 x2 x arctan x ( 1 )dx x arctanx dx 2 2 2 2 1 x 2 2 1 x 1 2 x 1 x arctanx arctanx C 2 2 2
微积分第4章不定积分
4.3 不定积分的分部积分法
x sinx ( cos x ) C x sin x cos x C .

高等数学课程标准

《高等数学》课程标准课程名称：《高等数学》课程分类：公共基础课建议学时：64（理论课学时数：58学时，实践课学时数：6学时）学分：3.5学分适应对象：电子与计算机类专业、机电与汽车类专业、经济管理类专业建设团队：黄吉聪、赖江基、张美花、林水香、崔尚魏、袁青等；一、总论（一）课程定位1．课程性质《高等数学》课程是高职高专一门重要的公共基础课程。

本课程是在各相关专业人才培养目标确定的基础上，根据“必须、够用”原则及各专业对各种数理理论、知识、方法以及量化思维需求的基础上设置的。

2．课程价值和功能本课程的开设旨在培养和提升各专业学生进行专业学习和终身学习所必须的数理基础和数理思维。

通过本课程的学习，使学生初步掌握必须、够用的数理理论、知识、方法以及培养学生的逻辑思维能力、科学理论理解能力、量化解决相关专业问题能力和继续深造的学习与自主学习能力等。

本课程在各专业的课程体系中居于基础服务性的地位，主要为后续的各专业课程教学提供必要的数理准备，其所服务的专业、课程如下图所示：（二）改革理念1．基本理念本课程以“必须、够用”为改革基本理念，注重让学生学习掌握必要的数理知识和数理方法，培养量化的分析问题和解决问题的能力。

2．改革重点本课程的改革重点主要有三个：各专业教学内容的遴选、教学模式和教学方法、适量的课程实训；3．预期目的初步打算经过大约一年的课程建设和课程改革，使本课程的教学内容能大体符合各专业人才培养的要求，并能摸索实践出符合我校实际的教学模式和教学方法，最后能增加适量的课程实训，以提高学生量化的分析问题和解决问题的能力。

二、课程目标（一）总目标1．让学生掌握微积分的基本知识和基本运算技能，为各专业的后继课程学习提供必要的工具；2．让学生初步掌握函数思想、极限思想、微分思想和定积分思想等数学思想；3．初步培养学生量化分析问题和量化解决问题的能力；（二）分目标1．数理知识：函数、极限、导数、微分、不定积分、定积分、常微分方程初步、数学软件；2．应用能力：极限应用、导数与微分应用、积分应用；3．量化分析与解决问题能力：数学建模初步；三、教学内容、学习要求及建议学时本课程总学时为64，每周4课时，具体教学内容、学习要求和学时安排如下：四、实施建议（一）教与学1．教学方法本课程的教法多种多样，但教无定法，主要有以下几种方法：讲授法讲练法、启发法、问题引导教学法、以练测赛促学法等。

求不定积分的方法与技巧

求不定积分的方法与技巧作者：贡云梅陈贝来源：《读书文摘（下半月）》2017年第08期摘要：随着知识的更新和时代的发展，我国的教育教学工作取得了巨大的成就，其中高等数学的研究工作也有很大的进步，高等数学对于学科研究具有至关重要的作用。

微积分可以说是高等代数中一个非常重要的部分，而不定积分又是它的重中之重，处于核心部分。

然而求解不定积分不是那么简单，本文简单介绍了不定积分的定义和性质，在定义和性质的基础上重点研究求解不定积分的方法和技巧，从而学生更好的掌握解不定积分积分方法和技巧，使之遇到不同的不定积分知道如何入手。

本文详细讲解了高等数学中的各种不定积分方法和技巧，希望在一定程度上为学习者提供帮助。

关键词：不定积分；换元积分法；分部积分法；待定系数1前言为了更好地提高思维逻辑和利用数学手段分析解决问题的能力，学习高等数学是理工科大学生必修的基础理论课之一，而微分学与积分学是高等数学中最重要的部分，二者互为逆运算。

一般的，都是先讲授微分学再讲授积分学，微分学给积分学提供了必要的知识储备。

大家都知道不定积分是积分学的关键，是求定积分的基础，对于不定积分的定义、性质、理论和技巧的牢固掌握，不仅能够促使学生巩固所学的导数和微分的概念，在一定程度上更好地进行复习熟记工作，而且在学习定积分、微分方程和多元函数的积分学等学科的过程中要求定积分的运算熟练。

因此决定了不定积分在数学计算中的重要地位，至还会对其他的课程有一定的影响。

在高等数学中，不定积分的积分方法和技巧有很多，因此归纳总结其积分方法对于学科研究起着重要的作用。

虽然求不定积分的过程没有固定的格式也没有特定的步骤，但是求不定积分的方法具有灵活性和技巧性，这种技巧性大大优于微分运算。

本文在这个基础之上总结归纳了求不定积分的方法和技巧，为以后的学习做铺垫。

2不定积分的积分技巧不定积分的积分方法最主要的是四种，即直接积分法、第一换元积分法（凑微分法）、第二换元积分法和分部积分法，这四种积分方法在教科书中都有详细的论述，而且这四种积分方法规定了不定积分方法的大方向，而且是进行不定积分运算的总原则，但是不定积分的积分方法具有灵活性，所以在发展的过程中积分方法也要不断地提高技巧，在这个原则上进行改进是我们不断努力的方向，因为不定积分的积分方法也要做到与时俱进，而在这个大方向上进行改进和拓展是我们的一项任务。

《高等数学》教学大纲

《高等数学》教学大纲一、课程的性质与任务1、课程的性质：《高等数学》是高职高专院校计划中的一门重要的基础理论课，它是专业技术类课程的基础课，同时担负着培养学生严谨的思维、求实的作风、创新的意识等任务，即高等数学课程既要传授学生数学知识，更要培养学生数学素养。

2、课程的任务：通过本门课程的学习，切实理解基本概念和基本理论，了解其背景和意义，在此基础上掌握基本的计算方法和技巧，注重培养熟练的运算能力和处理一些简单实际问题的能力；同时，使抽象思维和逻辑推理的能力得到一定的提高。

二、教学基本要求1.获得函数、极限与连续的基本知识、基本理论和基本方法；2.获得导数与微分的基本知识、基本理论和基本方法；3.获得微分中值定理与导数应用的基本知识、基本理论和基本方法；4.获得一元函数微积分学的系统的基本知识、基本理论和基本方法；5.获得线性代数的初步知识。

三、教学条件计算机电子教室进行教学，学生每人一台高性能计算机。

四、教学内容及学时安排五、教法说明本课程要实现教、学、做相结合，采用理论和实训教学相结合，以能力培养为中心和出发点，在教学的过程中，注重发挥学生的主观能动性，精讲多练，启发学生思考，培养学生分析问题的能力和实际的设计能力。

让学生针对上课使用的实例进行改进，加强学习效果。

注重理论和实际的联系。

六、考核方式及评分办法本课程考核采用平时成绩和期末考试相结合的方法, 其中平时成绩主要包括出勤、课后作业提交和考查三个部分，平时考核着重于基本概念掌握，通过平时作业和考查考核学生对知识的理解和掌握。

平时成绩占总成绩的30%。

本课程采用考试形式考试，主要考察学生是否掌握高等数学关于函数，极限，导数和微分方面的知识，考试成绩占总成绩的70%。

七、教材与参考书1、教材：《高等数学（工专）》，吴纪桃、漆毅主编，北京大学版社出版，2006年8月2、主要参考书：《高等数学（工本）》，陈兆斗、高瑞，北京大学出版社[M],2006年8月第一版《高等数学》第四版，同济大学数学教研室，高等教育出版社[M]，2001年12月。

高等数学-第4章 4.3 分部积分法

§4.3 分部积分法前面我们介绍了直接积分法和换元积分法，但对于某些不定积分，用前面介绍的方法往往不能奏效，如：⎰xdx x cos 、⎰dx xe x 、⎰xdx ln 等．为此，本节将利用两个函数乘积的微分运算法则，推出一种新的求不定积分的方法——分部积分法．设函数()x u u =、()x v v =均可微，根据两个函数乘积的微分法则，有()udv vdu uv d +=。

移项得 ()vdu uv d udv -=，两边积分得 ()⎰⎰⎰-=vdu uv d dv u ⎰-=vdu uv ，即 udv uv vdu =-⎰⎰ 。

上式叫做不定积分的分部积分公式．例1 求积分⎰dx xe x ．解选取x u =，)(x x e d dx e dv ==，则x e v =，于是⎰dx xe x =()C x e c e xe dx e xe e xd x x x x x x +-=+-=-=⎰⎰1)(。

如果选取xe u =，)2(2x d xdx dv ==，则221x v =，于是 22211222x xx x x xe dx e d x e x e dx ⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰。

上式右边的积分⎰dx e x x 221比左边的积分⎰dx xe x 更复杂。

可见，dv u 和的选择不当将直接影响到积分的计算．所以在用分部积分法求积分时，关键是在于恰当地选取dv u 和，选取dv u 和一般要考虑以下两点：（1）v 要容易求得．（2）⎰vdu 要比⎰udv 容易积出．例2 求积分⎰xdx x cos ．解选取x u =，)(sin cos x d xdx dv ==，则x v sin =，于是cos (sin )sin sin sin cos x xdx xd x x x xdx x x x C ==-=++⎰⎰⎰。

为了简化写法，应用分部积分公式时，dv u 和可默记在心里不必写出，可通过凑微分，将积分()f x dx ⎰变成udv ⎰的形式，然后使用公式。

数学不定积分

3. df ( x) f ( x) C
4. kf ( x)dx k f ( x)dx, ( k 0为常数 )
5. ( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx 此性质可推广到有限多个的情形。
求不定积分的基本思想：化繁为简——将所求积分化为基本积分公式中的积分。
；称为积分号 f ( x)称为积分函数；x称为积分变量； f ( x)dx称为积分表达式；称为积分常数。 C
即：函数f ( x)的不定积分就是 ( x)的一个原函数 f 再加上任意常数。 C
例2：求 x dx。
2
3 x x 2 2 解：因为 ) x ，所以 x dx C。 ( 3 3
第四章不定积分
4.1 不定积分的概念与性质 4.2 换元积分法与分部积分法 4.3 有理函数的不定积分
4.1 不定积分的概念与性质
一、不定积分的概念
1、原函数的概念 2、不定积分的概念 3、不定积分的几何意义
二、基本积分公式
三、不定积分的性质
在第二章我们研究了已知 f，如何求 f 的导数 f 的表达式。我们现在来研究第二章求导问题的逆问题。
作业：（） (e x 3 cos x)dx 1 （3） ( x 1)( x 3 1)dx
（2） ( x 2 3 x 2)dx （4) 2 x e x dx
（5） sec x(sec x t an x)dx
1 4 （6） ( 2 2 x 1 x 2 2 sin x)dx
3
检验积分结果正确与否的基本方法是：
积分结果的导函数被积函数。
练习：教材。
3、不定积分的几何意义-----(见教材)

高等数学分部积分法

所以
ex sin x ex cosx ex sin xdx ,
eHale Waihona Puke xsinxdx
1 2
e
x
(sin
x
cos
x)
C
.
分部积分过程：uvdx udv uv vduuv uvdx .
例例88 求 sec3 xdx .
解因为
sec3 xdx sec xsec2 xdx sec xd tan x sec x tan x sec x tan2 xdx sec x tan x sec x(sec2 x 1)dx
1) v 容易求得 ;
容易计算 .
分部积分过程：uvdx udv uv vduuv uvdx .
例例11 xcosxdx xd sin x xsin x sin xdx
x sin xcos xC .
例例22 xexdx xdex xex exdx xex ex C .
2 xe x 2e x C 2e x ( x 1)C .
•可用分部积分法的积分小结 (1)被积函数为幂函数与三角函数或指数函数的积:
xcosxdx , xexdx , x2exdx
(2)被积函数为幂函数与对数函数或反三角函数的积:
xln xdx , arccosxdx , xarctan xdx
§4.3 分部积分法
•分部积分公式
设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数. 那么,
(uv)uvuv,
移项得
uv(uv)uv.
对这个等式两边求不定积分, 得
uvdx uv uvdx ,或 udv uv vdu ,
这两个公式称为分部积分公式. •分部积分过程
uvdx udv uv vduuv uvdx .

不定积分赋值法

不定积分赋值法不定积分是高等数学中的一个重要概念，它是求导的逆运算。

在数学中，不定积分的求解方法有很多种，其中一种比较常用的方法是不定积分赋值法。

不定积分赋值法是一种基于积分的性质和定理的求解方法。

它的基本思想是将一个复杂的不定积分转化为一个已知的不定积分，然后通过对已知不定积分的赋值来求解原不定积分。

不定积分赋值法可以分为以下几类：一、基本积分公式法基本积分公式是指一些常见函数的不定积分公式，如幂函数、三角函数、指数函数等。

通过对这些函数的不定积分公式的熟练掌握，可以将一个复杂的不定积分转化为一个已知的不定积分，从而求解原不定积分。

例如，对于函数f(x)=sinx^2，我们可以将其转化为已知的不定积分sinx的形式，即f(x)=1/2∫sinx^2' dx，然后通过对sinx的不定积分赋值来求解原不定积分。

二、换元积分法换元积分法是指通过变量代换将一个复杂的不定积分转化为一个简单的不定积分，从而求解原不定积分。

换元积分法的关键在于选择合适的变量代换，使得原不定积分可以转化为一个已知的不定积分。

例如，对于函数f(x)=1/(x^2+1)，我们可以通过变量代换x=tanθ，将其转化为已知的不定积分arctanx的形式，即f(x)=∫1/(1+tan^2θ)dθ=arctanx+C，然后通过对arctanx的不定积分赋值来求解原不定积分。

三、分部积分法分部积分法是指通过对不定积分的积分式进行分部积分，将一个复杂的不定积分转化为一个已知的不定积分，从而求解原不定积分。

分部积分法的关键在于选择合适的分部积分式，使得原不定积分可以转化为一个已知的不定积分。

例如，对于函数f(x)=x^2e^x，我们可以通过分部积分将其转化为已知的不定积分e^x的形式，即f(x)=x^2e^x-2∫xe^x dx，然后通过对e^x的不定积分赋值来求解原不定积分。

不定积分赋值法是求解不定积分的一种重要方法，它可以帮助我们将一个复杂的不定积分转化为一个已知的不定积分，从而求解原不定积分。

41不定积分的概念与基本积分公式

x c
1 dx 1 c
x2
x
x
xdx
3
x 2 dx

2
5
x2

c
5
返回
1 dx
xx
3
x 2 dx

1
2x 2
c
练习:求不定积分
(1) 3x dx 3x c ln 3
axdx

1 ln a
ax

C
exdx ex C
(2) 3x exdx (3e)xdx (3e) x c 1 ln 3

1
1 x 1

C
练习1

1 dx 2 x
x c
1 x2
dx

1 x

c
(ln x ) 1 x
(ax ) ax ln a
(ex ) ex
1 x
dx

ln
x

C
axdx

1 ln a
ax

C
exdx ex c
练习2
( cos x) sin x
(arcsin x) 1 1 x2
(arctan
x)

1
1 x2
dx arcsin x C 1 x2
1 1 x2
dx

arctan
x

C
基本积分公式若F (x) f (x), 则 f (x)dx F(x) c
kdx kx C dx x c
2
称函数F(x) 1 x2为函数 f (x) x的一个原函数，