初中数学教程平面直角坐标系中的轴对称

15.1轴对称图形

第2课时平面直角坐标系中的轴对称

教学目标

【知识与能力】

1. 能够作轴对称图形；

2. 能够经过探索利用坐标来表示轴对称；

3. 能够用轴对称的知识解决相应的数学问题。

【过程与方法】

在探索问题的过程中体会知识间的关系，感受平面直角坐标系与生活的联系。

【情感态度价值观】

培养学生的应用意识和探究精神。

教学重难点

【教学重点】

1. 能够作轴对称图形；

2. 能够经过探索利用坐标来表示轴对称；

3. 能够用轴对称的知识解决相应的数学问题。

【教学难点】

用轴对称知识解决相应的数学问题。

课前准备

课件、教具等。

教学过程

一、情境导入

十一黄金周，北京吸引了许多游客．一天，小红在天安门广场玩，一位外国友人向小红问西直门的位置，可小红只知道东直门的位置，不过，小红想了想，就准确地告诉了他．你知道为什么吗？

结合老北京的地图向学生介绍：老北京城关于中轴线成轴对称设计，东直门、西直门就关于中轴线对称．如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴，就可以在这个平面图上建立直角坐标系，各个景点的地理位置就可以用坐标表示出来．

提问：这些景点关于坐标轴的对称点你可以找出来吗？这些对称点的坐标与已知点的坐标有什么关系呢？

二、合作探究

探究点一：关于坐标轴对称的点的坐标特点

【类型一】 求已知点关于x 轴(或y 轴)对称的点的坐标

例1 如图，点A 关于y 轴的对称点的坐标是( )

A ．(5，3)

B ．(3，5)

C ．(5，－3)

D ．(3，－5)

解析：根据“关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可．由图可知，点A 的坐标是(－5，3)，所以，点A 关于y 轴的对称点的坐标是(5，3)．故选A.

方法总结：本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．

【类型二】 利用两点成轴对称的性质求整式或字母的值

例2 在平面直角坐标系中，点A 关于x 轴对称的点的坐标为(7x ＋6y －13，y ＋x －4)，点A 关于y 轴对称的点的坐标为(4y －2x －2，－6x －4y ＋5)，求点A 的坐标．

解析：设点A 的坐标为(a ，b )，则它关于x 轴的对称点为A ′(a ，－b )，关于y 轴的对称点为A ″(－a ，b )，即A ′与A ″的横、纵坐标分别互为相反数．据此可列方程组求出x ，y 的值．

解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x －4＝－（－6x －4y ＋5），7x ＋6y －13＝－（4y －2x －2）.解得⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.所以点A 的坐标为(－8，3)．

方法总结：解答这类题的关键是弄清同一点关于两坐标轴对称的点的横、纵坐标之间的关系，再据此列方程或方程组求解．

探究点二：作关于x 轴(或y 轴)对称的图形

例3 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A (－4，1)、B (－2，

4)、C (－1，2)．

(1)△ABC 关于y 轴的对称图形是△A ′B ′C ′，请写出点A ′，B ′，C ′的坐标并作出

对称图；

(2)△A ′B ′C ′关于x 轴的对称图形是△A ″B ″C ″，请写出点A ″，B ″，C ″的坐标并作出对称图；

(3)△A ″B ″C ″关于y 轴的对称图形是△A B C ，请写出点A ，B ，C 的坐标并作出对称图；

(4)若以x 轴为对称轴作△A B C 的对称图，会和△ABC 重合吗？请总结这四次对称的坐标变化规律．

解析：点(x ，y )关于x 轴对称的点的坐标为(x ，－y )；点(x ，y )关于y 轴对称的点的坐标为(－x ，y )．根据图形在平面直角坐标系中关于x ，y 轴对称的规律，很容易找到对称点．

解：(1)点A ′，B ′，C ′的坐标分别是(4，1)、(2，4)、(1，2)，对称图如下图△A ′B ′C ′；

(2)点A ″，B ″，C ″的坐标分别是(4，－1)、(2，－4)、(1，－2)，对称图如下图△A ″B ″C ″；

(3)点A ，B ，C 的坐标分别是(－4，－1)、(－2，－4)、(－1，－2)对称图如下图△A B C ；

(4)以x 轴为对称轴作△A B C 的对称图，得到三角形的坐标分别是(－4，1)、(－2，4)、(－1，2)，正好是△ABC 的三个顶点的坐标，规律列表如下：

发现经过这四次对称变化，图形又“转”回原处．

对称轴 原始点 关于y 轴对称 关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于x 轴对称 (x ，y ) (－x ，y ) (－x ，－y ) (x ，－y ) (x ，y )

方法总结：在平面直角坐标系中，如果两个图形关于y 轴对称，那么这两个图形对称点的横坐标互为相反数、纵坐标相等；如果两个图形关于x 轴对称，那么这两个图形对称点的横坐标相等、纵坐标互为相反数；“成轴对称的两个图形的对称点的连线段被对称轴垂直平分”是轴对称作图的依据．作轴对称图形，只要先求出已知图形中的一些特殊点的对称点的坐标，描出并连接即可得到对称图；研究规律问题时，要从特殊到一般，要逐步推导；感受图形的对称变化带来的坐标变化．

三、板书设计

平面直角

坐标系中的轴对称⎩⎪⎨⎪⎧关于x 轴对称的两个点横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的两个点纵坐标相等，横坐标互为相反数. 教学反思

本节课采用探究、发现式教学法，通过找具有一定代表性，分别位于四个象限及坐标轴的一些点的对称点及坐标，寻找关于坐标轴对称的点的坐标的一般规律，培养学生观察、归纳、分析问题、解决问题的能力，并通过研究线段之间的关系发现点的坐标之间的关系，使学生体验数形结合思想．然后通过把对称轴是坐标轴变成了直线x ＝1和y ＝－1的变式探究，使学生再次体验数形结合的思想，并拓展到直线x ＝m 和y ＝n ，使学生学会通过寻找线段之间的关系来求点的坐标并形成方法．