数学实验 作业10

实验十三回归分析
电61 张俊翔2016010891
13.5
（1）首先对于所给数据，分别画出y关于三个因素x1、x2、x3的散点图如下：犯罪率y关于年收入低于5000美元家庭的百分比x1：
犯罪率y关于失业率x2：
犯罪率y关于人口总数x3：
由上图可以看出，y关于x1、x2应该有线性关系，而与x3无明显的相关性。

由此选取y关于x1、x2、x3的线性模型进行拟合。

即
Y=β0+β1*x1+β2*x2+β3*x3
首先选取x1、x2作拟合，程序如下：
n=20;
X=[ones(n,1),x1',x2'];
[b,bint,r,rint,s]=regress(y',X);
b,bint,s
三者比较可知，最好的模型是只选择x1、x2的情况，此时决定系数最大，剩余方差最小，而且不存在系数的置信区间包含零的情况。

β3的置信区间包含零点，说明x3对y几乎没有什么影响，因此包含3个自变量的模型并没有比只含x1、x2的模型好。

因此选择最终模型是只含x1、x2的模型。

表达式为y=-34.0725+1.2239*x1+4.3989*x2
（3）对最终模型用rcoplot命令观察残差，可得下面的图形：
可见剩余方差和决定系数都有了明显的改进。

此时的残差图如下：
这时不再有异常数据点，表达式为：y=-35.7095+1.6023*x1+3.3926*x2 13.10
首先假设风险偏好度对人寿保险额没有二次效应，两个自变量对人寿保险额也没有交互效应，来看已经确定的影响因素的系数：
由于已知经理的年均收入和人寿保险额之间存在着二次关系，而风险偏好度对人寿保险额有线性效应，因此模型为：
Y=β0+β1*x1+β2*x2+β3*x1^2
程序如下（数据输入略）：
n=18;
xx1=x1.^2;
xx2=x2.^2;
xx=x1.*x2;
X=[ones(n,1),x1',x2',xx1'];
[b,bint,r,rint,s]=regress(y',X);
b,bint,s
rcoplot(r,rint)
下面考虑加入风险偏好的二次项和两个自变量的交互项的结果。

设模型为：Y=β0+β1*x1+β2*x2+β3*x1^2+β4*x2^2+β5*x1*x2
计算结果如下：
R2=0.9997 F=7110 p<0.0001 s2=3.0381
但此时回归系数β4的置信区间为[-0.0956 , 0.4279]，β5的置信区间为[-0.0501 , 0.0109]，都过零点。

另外，当只加入风险偏好的二次项或只加入两个自变量的交互项时，β4或β5的置信区间同样过零点。

说明风险偏好的二次项和两个自变量的交互项的影响并不大，因此最终选定的模型为：
Y=β0+β1*x1+β2*x2+β3*x1^2
代入系数得：
Y=-62.3489 +0.8396 *x1+5.6846*x2+0.0371 *x1^2
对其用rcoplot命令观察残差，可得下面的图形：
此时的残差图如下：
此时的模型为：
Y=-65.4793+0.9879 *x1+5.5789 *x2+0.0358 *x1^2
13.11
设病痛减轻的时间为y（min），用药剂量为x1（g），性别为x2，血压组别为x3. 首先可以绘制y关于x1、x2、x3的散点图，来发现可能存在的函数关系。

Y关于x1的散点图如下：
可见似乎有一定的二次关系。

Y关于x2的散点图如下：
无明显关系。

Y关于x3的散点图如下：
可见除了x3=0.75时有两个异常点之外似乎有线性关系。

由于y关于x1、x2、x3的函数关系并不明确，因此采用逐步回归的方法，引入x1、x2、x3和它们的二次项、交互项。

在综合考虑剩余方差最小和回归系数的置信区间不过零点的情况下，所得的最优
结果如上所示。

此时的模型为：
Y=52.8084-7.0608*x1+0.5111*x1^2+42.5282*x3^2+0.9551*x1*x2-7.3746*x1*x3 s =
0.9405 56.9166 0.0000 16.1322
此时的残差图如下所示：
剔除异常数据点后，所得结果如下：
Y=52.4646-6.9977*x1+0.4881*x1^2+42.6142*x3^2+0.8773*x1*x2-7.0327*x1*x3 s =
0.9656 89.7180 0.0000 9.4810
可见剩余方差有了明显的降低，决定系数也有所提高。