高斯小学奥数五年级上册含答案_余数的性质与计算

第二十一讲余数的性质与计算

37』桂除的

余数足多少？我知沽玳，余数昂7!

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这一讲我们来学习余数问题.在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况. 当不能整除时，就会产生余数.

一般地，如果a是整数，b是整数（b丰0）,若有a+ b=q r （也就是a b q r ）, 0

当r 0 时，我们称a 能被b 整除；

当r 0 时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的商余数问题和整除问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数，就能和整除问题联系在一起了．余数有如下一些重要性质．基本性质：被除数=除数X商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数除数=（被除数-余数）*

商；商=（被除数-余数）十除数.

余数小于除数．

理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．

例题1．用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16，被除数、除数的和是877，求被

除数和除数各是多少？

「分析」如果设除数为a,被除数可以表示为什么？

练习1．

甲、乙两数的和是2014,甲数除以乙数商99余14,求甲、乙两数．

我们之前学过一些特殊数（如2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、99、125）的整除

特性．这些数的整除特性稍加改造,即可成为求解余数的一类简便算法：

1）一个数除以2或5的余数,等于这个数的个位数字除以2或5的余数；

一个数除以4或25的余数,等于这个数的末两位数除以4或25的余数；

一个数除以8或125的余数,等于这个数的末三位数除以8或125 的余数；

2）一个数除以3或9的余数,等于这个数的各位数字和除以3或9的余数；

一个数除以99（包括11、33）的余数,等于将它两位截断再求和之后的余数；此外,求3和9的余数还可应用乱切的方法．

（3）一个数除以11 的余数，等于它的奇位数字和减去偶位数字和除以11的余数，如

果奇位数字和比偶位数字和小，则先加上若干个11 再减即可．

（4）一个数除以7、11和13的余数，等于将它三位截断之后，奇数段之和减去偶数段之和除以7、11 和13 的余数，如果奇数段之和比偶数段之和小，则加上若干个7、11 或13再减即可．

这种利用整除特性来计算余数的方法叫做特性求余法．

例题2．

1）20132013 除以4和8 的余数分别是多少？

2）20142014 除以3和9 的余数分别是多少？分析」根据4、8、3、9 的特性，可以很快计算出结果．

练习2．

（1）20121221 除以5和25 的余数分别是多少？

（2）20130209 除以3和9 的余数分别是多少？

例题3．

（1）123456789 除以7和11的余数分别是多少？87654321 呢？

（2）360360360 除以99 的余数是多少？

「分析」根据7、1、99 的特性，可以计算出结果．在截断的时候要特别小心．

练习3．

201420132012 除以13和99 的余数分别是多少？

为了更好地了解余数的其它一些重要性质，我们再来做几个练习：

1）211除以9的余数是 _______ ；（2）137除以9的余数是_________

(3) 211 137的和除以9的余数是___________ ; ( 4) 211 137的差除以9的余数是

(5)211 137的积除以9的余数是__________ ; (6) 1372除以9的余数是________

比较上面的结果，我们发现余数还有一些很好的性质：

和的余数等于余数的和；

差的余数等于余数的差；

积的余数等于余数的积•

这三条性质分别称为余数的可加性、可减性和可乘性•在

计算一个算式的结果除以某个数的余数时，可以利用上述性

每个数都用它除以7的质进行简算.例如计算33 37 15 80的结果除以7的余数就

可以像右侧这样计算•这一简算方法又称替换求余法•

需要提醒大家的是，虽然上述三条计算余数的口诀朗朗

上口，但并不严格，在使用时还需要注意：(1)如果替换之后余数的计算结果大于除数，还

需要再次计算结果的余数.例如：在计算423 317除以6的余数时，利用“和的余数等于余数的和”，结果

就变成了3 5 8, 8 6，所以还需要再次计算8除以6的余数是2,才是423 317除以6最后的余数•再比

如：在计算423 317除以6的余数时，也会遇到

3 5 15 6的情况，同样的还需要计算15除以6的余数是3，才是最终的结果.(2)在计算减法时，会出现余

数不够减的情况，这时只要再加上除数或除数的倍数即可•例如：在计

算423 317除以6的余数时，会发现结果变成了3 5不够减.此时，只要再加上6,用

6 3 5 4来计算即可.

例题4.

一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个•年终将这些零件按6个一包的规

格打包，最后一包不够6个.请问：最后一包有多少个零件？

「分析」最后一包的零件数实际上就是零件总数除以19的余数.

练习4．

（1）123 456 789除以111 的余数是多少？

（2）224468 6678 的结果除以22 余数是多少？

如果我们将“特性求余法”和“替换求余法”相结合，便可大大简化余数的计算．

例题5．

（1）87784 49235 81368除以4、9 的余数分别是多少？

（2）365366+367368 369370除以7、11、13的余数分别是多少？

「分析」要把结果算出来，再求余数，计算量很大．看看如何利用“替换求余”以及“特性求余”的方法来进行求解．

例题6．

（1）2100的个位数字是多少？32014除以10 的余数是多少？（2）32014除以7 的余数是多少？「分析」一个数的个位数字就是它除以10 的余数，大家来找一下个位数字的变化规律．