判别式与韦达定理的应用
关于判别式法与韦达定理的论述
关于判别式法与韦达定理论述weiqingsong摘要：判别式法与韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，讨论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
关键词：判别式法 韦达定理在中学解题中判别式法与韦达定理的应用极其普遍，因此系统的研究一下利用判别式法与韦达定理解题是有必要的。
别式法与韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
它们都有着广泛的应用在整个中学阶段。
一、韦达定理的由来法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
判别式法与韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
二、对判别式法的介绍及概括一般的关于一元二次方程ax^2+bx+c=0（a 、b 、c 属于R ，a≠0）根的判别，△=b^2-4ac ，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
关于x 的一元二次方程x^2+mx+n=0有两个相等的实数根，求符合条件的一组的实数值。
这是应注意以下问题：如果说方程有实数根，即应当包括方程只有一个实根和有两个不等实根或有两个相等实根三种情况；如果方程不是一般形式，要化为一般形式，再确定a 、b 、c 的值；使用判别式的前提是方程为一元二次方程，即二次项系数a≠0；当二次项系数含字母时，解题时要加以考虑。
判别式的主要应用有：不解方程就可以直接判定方程的根的情况；已知方程根的情况，确定方程中未知系数（或参数）的取值范围；判别或证明一元二次方程的根的性质；判别二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)能否在实数范围内分解因式(1) 当△≥0 时，二次三项式在实数范围内能分解因式；（2）当△≤0 时，二次三项式在实数范围内不能分解因式。
初高中衔接教材韦达定理
韦达定理1.一元二次方程：20(0)ax bx c a ++=≠判别式与韦达定理的应用①方程有两个实数根⇔ 240b ac ∆=-≥ ②方程有两根同号⇔ 1200c x x a ∆>⎧⎪⎨=>⎪⎩③方程有两根异号⇔ 1200c x x a ∆>⎧⎪⎨=<⎪⎩④韦达定理及应用：1212,b c x x x x a a +=-= 例1.若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．1.若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x +＝ ． 2.已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值为3.方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．3.如果a ，b 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3的值是 ．4.若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a ＝0的一根大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．例3、若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．（1）求| x 1－x 2|的值；（2）求221211x x +的值； （3）x 13＋x 23．针对训练：1.方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝ ．2．一元二次方程0201422=-+x x （a ≠0）的两根为x 1和x 2．求：（1）2221x x +； （2）2111x x +； （3）)5)(5(21--x x （3）| x 1－x 2|； （4）x 13＋x 23．3．关于x 的方程x 2＋4x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．例4、已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)( x 1－2 x 2)＝－32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （2）求使1221x x x x +－2的值为整数的实数k 的整数值； （3）若k ＝－2，12x x λ=，试求λ的值．。
2、判别式与韦达定理的应用
第二讲判别式及韦达定理的应用常见题型(1)一元二次方程根的情况：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根.(2)确定字母的值或取值范围。
(3)与一元二次方程根有关的证明题。
(4) 判定二次三项式为完全平方式题型一、判断一元二次方程根的情况例1、已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根例2、已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判别方程根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．题型二、确定字母的值或取值范围例3、已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求m－1（2m－1）2＋2m的值．题型三、与一元二次方程根有关的证明题例5、已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．例6、已知关于的一元二次方程，求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．题型四、判定二次三项式为完全平方式例7、若x2-2(k+1)x+k2+5是完全平方式，求k的值。
例8、当m为何值时，代数式(5m-1)x2-(5m+2)x+3m-2是完全平方式。
变式练习A. B. C. D.2.一元二次方程的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根3.关于的方程有实数解，那么的取值范围是（）A. B. C. D.且4.关于的方程有实数根，则的取值范围是（）A. B.且 C. D.且5.若，则关于的一元二次方程根的情况是________．6.关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________．7.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是________．8.关于的方程有实数根，则的取值范围是________．9.若，则关于的一元二次方程的根的情况是________．10.关于的方程有实数根，的取值范围________．11.已知：关于的方程有两个不相等的实数根．求实数的取值范围．取一个的负整数值，且求出这个一元二次方程的根．12.已知关于的一元二次方程若方程有两个相等的实数根时，求的值．当方程没有实数根时，求出的最小正整数的值．常见题型(2)求与方程的根有关的代数式的值；(3) 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围；(4)确定根的符号:( 是方程两根)；题型一、已知一根求另一根及未知系数例9、已知：关于x 的方程226350x x m m -+--=的一个根是-1，求方程的另一个根及m 的值。
巧用韦达定理和判别式解题
利 用 韦达 定理 和 判 别 式 解 高 中数 学 中 常 见题 型
二 ． 证 明不等 式
例１ ．己知
寄
关键词
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求函数的最值 、 不等式的证 明、求字 母的取值范 围等问题 是高 中数学 常 丌的题 型 ， 九 这儿种类 型的问题 ， 任往 从正面 人手 解决起来 比较 困难 ，而且难 度较 大 ，运算繁杂 ，学生理 解也较
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三次函数的根的判别式和韦达定理
三次函数，即形如f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d的函数，其中a, b, c, d 为实数，且a不为0。
这种函数在数学中有着重要的应用价值。
对于三次函数，其根的判别式和韦达定理是两个重要的数学工具，用于研究函数的性质。
首先，我们来了解一下根的判别式。
对于一元二次方程，根的判别式是b^2 - 4ac，而对于三次函数，我们可以通过对其进行求导，然后观察导函数的零点来找到极值点。
三次函数的导函数为f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c，对其求导后，再求出导函数的零点，即令f'(x) = 0，解出x的值，这些x的值就是三次函数的极值点。
接下来，我们来看看韦达定理。
韦达定理是用于求解一元二次方程的根的一种方法，但对于三次方程，我们可以通过观察其根的分布情况来找到三次函数的极值点。
如果三次方程有三个不同的实根，那么这三个实根就是三次函数的三个极值点。
如果三次方程有两个相同的实根，那么这两个相同的实根就是三次函数的拐点。
在实际应用中，我们可以利用韦达定理来判断三次函数的单调性。
如果三次函数在某个区间内单调递增，那么这个区间内一定存在一个或多个极小值点；反之，如果三次函数在某个区间内单调递减，那么这个区间内一定存在一个或多个极大值点。
此外，我们还可以利用韦达定理来判断三次函数的图像的形状。
如果三次函数的图像是一个连续的曲线，那么这个曲线一定是由多个单调递增或递减的区间段组成的；如果三次函数的图像是一个折线图，那么这个折线图一定是由多个单调递增或递减的区间段组成的。
综上所述，根的判别式和韦达定理是两个重要的数学工具，用于研究三次函数的性质。
利用这两个工具，我们可以更好地理解三次函数的图像和性质，从而更好地解决相关的数学问题。
一元二次方程的判别式、韦达定理应用举例
一元二次方程的判别式、韦达定理应用举例抛物线
1. 判别式：
判别式是用来判别一元二次方程的根（解）是实根、重根还是无解的
一个实用公式，它是欧拉定理的重要应用。
判别式的表达式为：D=b²-4ac。
其中a、b、c分别为一元二次方程中的系数：ax²+bx+c=0。
2. 韦达定理应用举例：
韦达定理是欧几里得几何中的重要定理，可以用来证明几何图形的线
段关系。
举例说明：
假设有ABC三角形，设三点的坐标分别为A（2，3），B（-1，-4），C（1，-1），根据韦达定理可得：
d(AB)² + d(BC)² =d(AC)²
即求出d(AB)² + d(BC)² 与d(AC)²的值，如果相等，证明该三角形
是等腰的。
3. 抛物线：
抛物线是第二次多项式函数的一类，表达式为：y=ax²+bx+c，其中a、b、c分别为常数，x为变量。
抛物线的性质：当a>0时，抛物线是一条开
口向上的“U”形线，当a<0时，抛物线是一条开口向下的“∩”形线。
根的判别式与韦达定理
一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，当判别式042≥-=∆ac b 时，其求根公式为：aacb b x 24221-±-=、；当0≥∆时，设一元二次方程的两根为21x x 、，有：abx x -=+21，a c x x =⋅21；根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当ab x x -=+21，ac x x =⋅21时，那么21x x 、则是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根。
一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。
学习中，除了要求熟记一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式ac b 42-=∆存在的三种情况外，还常常要求应用韦达定理解答一些变式题目，以及应用求根公式求出方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 、，进而分解因式，即))((212x x x x a c bx ax --=++。
下面就对韦达定理的应用可能出现的问题举例做些分析，希望能带来小小的帮助。
一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。
例1：已知关于x 的方程(1)03)21(22=-+--a x a x 有两个不相等的实数根，且关于x 的方程(2)01222=-+-a x x 没有实数根，问a 取什么整数时，方程(1)有整数解？分析：在同时满足方程(1)，(2)条件的a 的取值范围中筛选符合条件的a 的整数值。
解：说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定a 的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出a ，这是解答本题的基本技巧。
二、判别一元二次方程两根的符号。
例2：不解方程，判别方程07322=-+x x 两根的符号。
判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，倘若由题中021<⋅x x ，所以可判定方程的根为一正一负；倘若021>⋅x x ，仍需考虑21x x +的正负，倘若021>+x x ，则方程有两个正数根；倘若021<+x x ，则方程有两个负数根。
判别式与韦达定理(竞赛辅导)
判别式与韦达定理根的判别式和韦达定理是实系数一元二次方程的重要基础知识，利用它们可进一步研究根的性质，也可以将一些表面上看不是一元二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论.1．判别式的应用例1已知实数a、b、c、R、P满足条件PR＞1，Pc+2b+Ra=0.求证：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实根.证明: △=（2b）2-4ac.①若一元二次方程有实根，必须证△≥0.由已知条件有2b=-（Pc+Ra），代入①，得△=（Pc+Ra）2-4ac=（Pc）2+2PcRa+（Ra）2-4ac=（Pc-Ra）2+4ac（PR-1）.∵（Pc-Ra）2≥0，又PR＞1，a≠0，（1）当ac≥0时，有△≥0；（2）当ac＜0时，有△=（2b）2-4ac＞0.（1）、（2）证明了△≥0，故方程ax2+2bx+c=0必有实数根.例2k是实数，O是数轴的原点，A是数轴上的点，它的坐标是正数a.P是数轴上另一点,坐标是x,x＜a，且OP2=k·PA·OA.（1）k为何值时，x有两个解x1，x2（设x1＜x2）；（2）若k＞1，把x1，x2，0，a按从小到大的顺序排列，并用不等号“＜”连接.解（1）由已知可得x2=k·（a-x）·a，即x2+kax-ka2=0，当判别式△＞0时有两解，这时△=k2a2+4ka2=a2k（k+4）＞0.∵a＞0，∴k（k+4）＞0，故k＜-4或k＞0.（2）x1＜0＜x2＜a.例3证明不可能分解为两个一次因式之积.分析若视原式为关于x的二次三项式，则可利用判别式求解.证明:将此式看作关于x的二次三项式，则判别式△=显然△不是一个完全平方式，故原式不能分解为两个一次因式之积. 例3 已知x，y，z是实数，且x+y+z=a……①x2+y2+z2=12a……②求证：0≤x≤23a, 0≤y≤23a, 0≤z≤23a.分析: 将①代入②可消去一个字母，如消去z，然后整理成关于y的二次方程讨论. 证明: 由①得z=a-x-y，代入②整理得此式可看作关于y的实系数一元二次方程，据已知此方程有实根，故有△ =16（x-a）2-16（4x2-4ax+a2）≥0≥0≤x≤23a同理可证：0≤y≤23a ，0≤z≤23a .例5 设a 1，a 2，a 3，b 是满足不等式（a 1+a 2+a 3）2≥2（）+4b 的实数.求证：a 1a 2+a 2a 3+a 3a 1≥3b. 证明: 由已知可得≤0.设则∵a 3是实数， 故△≥0，即有 （a 1+a 2）2≥（）-2a 1a 2+4b+r≥2（）-（a 1+a 2）2+4b.于是（a 1+a 2）2≥（）+2b ，∴a 1a 2≥b.同理有a 2a 3≥b，a 3a 1≥b.三式相加即得 a 1a 2+a 2a 3+a 3a 1≥3b.例6 设a 、b 、c 为实数，方程组2y xy ax bx c=⎧⎨=++⎩与2y xy ax bx c=-⎧⎨=++⎩均无实数根.求证:对于一切实数x都有21 4ax bx ca++>.证明:由已知条件可以推出a≠0，因为若a=0，则方程组y xy bx c=⎧⎨=+⎩,y xy bx c=-⎧⎨=+⎩至少有一个有实数解.进一步可知，方程ax2+bx+c=±x无实根，因此判别式△=(b1)2-4ac＜0，于是（b-1）2+（b+1）-8ac＜0.即 4ac-b2＞1.∴2222424b ac bax bx c a xa a⎡⎤-⎛⎫++=-+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＞21144aaa•=.2．韦达定理的应用例7 假设x1、x2是方程x2-（a+d）x+ad-bc=0的根.证明这时x13、x23是方程的根.证明：由已知条件得∴=a3+d3+3abc+3bcd，由韦达定理逆定理可知，、是方程的根.例8 已知两个系数都是正数的方程a1x2+b1x+c1=0…… ①a2x2+b2x+c2=0……②都有两个实数根，求证：（1）这两个实数根都是负值；（2）方程a1a2x2+b1b2x+c1c2=0…… ③也有两个负根.证明：∵方程①有两个实数根，∴＞0. ④同理＞0. ⑤又a1、b1、c1都是正数，∴＞0，＜0.由此可知方程①的两根是负值.同样可证方程②的两根也是负值. 显然a1c1＜4a1c1代入④，得＞0，⑥由＞0，得＞⑦∴△=≥=＞0，∴方程③也有两个实数根.又a1a2＞0，b1b2＞0，c1c2＞0，∴＞0，＜0.由此可知方程③的两个根也是负值.例9对自然数n，作x的二次方程x2+（2n+1）x+n2=0，使它的根为αn和βn.求下式的值：+解：由韦达定理得=而 =（n≥3），∴原式=+=例10首项不相等的两个二次方程（a-1）x2-（a2+2）x+（a2+2a）=0 ①及（b-1）x2-（b2+2）x+（b2+2b）=0 ②（其中a，b为正整数）有一公共根，求的值.解：由题得知，a，b为大于1的整数，且a≠b.设x0是方程①②的公共根，则x0≠1，否则将x=1代入①得a=1，矛盾.得x0代入原方程，并经变形得③及④所以a，b是关于t的方程相异的两根，因此于是 ab-（a+b）=2，即（a-1）（b-1）=3.由a-1=1b-1=3⎧⎨⎩或a-1=3b-1=1⎧⎨⎩，解得a=2b=4⎧⎨⎩或a=4b=2⎧⎨⎩∴例11设实数a，b，c满足求证:1≤a≤9.证明：由（1）得bc=a2-8a+7.（1）-（2）得 b+c=所以实数b，c可看成一元二次方程的两根，则有△≥0，即≥0，即（a-1）（a-9）≤0，∴1≤a≤9.例12 求证：对任一矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形A 和矩形B 的周长和面积比都等于常数k （k≥1）. 分析 设矩形A 及B 的长度分别是a ，b 及x ，y ，为证明满足条件的矩形B 存在，只须证明方程组(x y k a b xy kab ⎧⎨⎩+=+= （k ，a ，b 为已知数）有正整数解即可. 再由韦达定理，其解x ，y 可以看作是二次方程 z 2-k （a+b ）z+kab=0的两根. ∵k≥1，故判别式△ =k 2（a+b ）2-4kab≥k 2（a+b ）2-4k 2ab=k 2（a-b ）2≥0， ∴上述二次方程有两实根z 1，z 2. 又z 1+z 2=k （a+b ）＞0，z 1z 2=kab ＞0，从而，z 1＞0，z 2＞0，即方程组恒有x ＞0，y ＞0的解，所以矩形B 总是存在的. 练习 1．填空题（1） 设方程x-1x =1987的两根为m ，n （m ＞n ），则代数式311n m n ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭--的值是_______; （2）若r 和s 是方程x 2-px+q=0的两非零根,则以r 2+21s 和s 2+21r 为根的方程是______________________;（3）已知方程x 2-8x+15=0的两根可以写成a 2+b 2与a-b,其中a 与b 是方程x 2+px+q=0的两根,那么|p|-q=__________. 2.选择题(1)若p,q 都是自然数,方程px 2-qx+1985=0的两根都是质数,则12p 2+q 的值等于( ).(A)404 (B)1998 (C)414 (D)1996(2)方程(1984x)2-1983·1985x -1=0的较大根为r,x 2+1983x-1984=0的较小根为s,则r-s 等于( ). (A)11985 (B)1985 (C)19841985 (D)-19831984(3)x 2+px+q 2=0(p≠0)的两个根为相等的实数，则x 2-qx+p 2=0的两个根必为（ ）. (A) 非实数 (B)相等两实数 (C)非实数或相等两实数 (D)实数（4）如果关于方程mx 2-2（m+2）x+m+5=0没有实数根，那么关于x 的方程（m-5）x 2-2（m+2）x+m=0的实根个数为 (A)2 (B)1 (C)0 (D)不确定3． 设a 1≠0，方程a 1x 2+b 2x+c 1=0的两个根是1-a 1和1+a 1；a 1x 2+b 1x+c 2=0的两个根是12a -1和1-11a ；a 1x 2+b 1x+c 1=0的两根相等，求a 1，b 1，c 1，b 2，c 2的值. 4.常数a 是满足1≤a≤50的自然数.若关于x 的二次方程(x-2)2+(x-a)2=x 2的两根都是自然数,试求a 的值. 5.设x 2、x 2为正系数方程ax 2+bx+c=0的两根，x 1+x 2=m ，x 1·x 2=n 2，且m ，n.求证: (1) 如果m ＜n ，那么方程有不等的实数根； (2) 如果m ＞n ，那么方程没有实数根.6．求作一个以两正数α，β为根的二次方程，并设α，β满足 7． 当a ，b 为何值时，方程x 2+（1+a ）x+（3a 2+4ab+4b 2+2）=0有实根？ 8． 试证：1986不能等于任何一个整系数二次方程ax 2+bx+c=0的判别式的值. 9． 方程x 2+ax+1=b 的根是自然数，证明a 2+b 2是合数. 10． 不用辅助工具解答：（1）证满足的根在和197.…间；（2）同（1）证＜1..练习答案:1.(1)(2)(3)3.2. C B A.3.4.x=a+2±由于x为自然数，可知a为完全平方数即a=1，4，9，16，25，36，49.5. 略6. 3x2-7x+2=0.7. 因为方程有实根,所以判别式8. 设1986=4k+2(其中k是自然数).令△=b2-4ac=4k+2,这时b2能被2整除,因而b也能被2整除.取b＝2t,这时b2=4t2,且4t2-4ac=4k+2.这时等式左边的数能被4整除,而右边的数不能被4整除,得出矛盾,故命题得证.文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。
韦达定理,根的判别式携手求最值
韦达定理,根的判别式携手求最值
韦达定理：两根之和等于-b/a，两根之差等于c/a：x1*x2=c/a；x1+x2=-b/a。
韦达定理公式变形：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2，1/x12+1/x22=(x12+x22)/x1x2，
x13+x23=(x1+x2)(x12-x1x2+x22)等。
韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。
由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。
韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。
一元二次方程的根的判别式为：（a，b，c分别为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项）。
韦达定理与根的判别式的关系更是密不可分。
根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。
无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。
判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。
韦达定理的七种处理方法
韦达定理的七种处理方法
嘿，朋友们！今天咱就来好好聊聊韦达定理的七种处理方法，这可真是宝藏知识啊！
第一种，直接代入法。
比如说，已知方程x²+3x-4=0，那咱直接把根代入韦达定理公式里去，就能得出一些神奇的结果啦！就像你找到了一把钥匙，直接打开知识的大门，多爽啊！
第二种，整体求值法。
来个例子哈，方程ax²+bx+c=0 的两根之和已知，让你求某个式子的值，这时候不就可以利用韦达定理把整体的值算出来嘛，这感觉就像拼图找到了关键的那一块，一下子就完整了！
第三种，构造方程法。
哎呀呀，就像搭积木一样，根据已知条件构造出方程来，再用韦达定理解决，妙不妙？比如告诉你两根的关系，那咱就据此构造个方程，然后利用定理求解，这不就迎刃而解啦！
第四种，对称转化法。
这就好像走迷宫找到了新的通道！比如有个式子很复杂，但通过对称转化，就能用韦达定理轻巧地处理了。
第五种，降次法。
嘿，它就像给你个难题，然后突然告诉你一个妙招，一下就把问题简化了。
把高次的式子通过韦达定理降次来求解，是不是超厉害！
第六种，变形法。
哇，就像孙悟空七十二变一样，把式子变来变去，变出能用韦达定理的形式，然后问题就解决啦。
第七种，利用判别式与韦达定理结合法。
这俩结合起来，那可真是强强联手啊！比如判断方程根的情况，再结合韦达定理求值，厉害吧！
总之啊，韦达定理的这七种处理方法真的超级实用，学会了它们，就像拥有了超级武器，能攻克好多数学难题呢！你们还等什么，赶紧用起来吧！。
一元二次方程之判别式法与韦达定理
一元二次方程之判别式法与韦达定理（一）知识点梳理一元二次方程ax2+bx+c=0（a 、b 、c 属于R ，a≠0）根的判别，△=b2-4ac ，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方式，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有超级普遍的应用。
韦达定理除已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还能够求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，和解一些有关二次曲线的问题等，都有超级普遍的应用。
一、一元二次方程根的判别式：ac b 42-=∆ （1）当Δ＞0时⇔方程有两个不相等的实数根；（2）当Δ=0时⇔方程有两个相等的实数根；（3）当Δ< 0时⇔方程没有实数根，无解；（4）当Δ≥0时⇔方程有两个实数根（5）根的判别式△＝b 2－4ac 的意义，在于不解方程能够判别根的情形，还能够依照根的情形确信未知系数的取值范围。
二、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：（1）若21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根，那么：a b x x -=+21，a c x x =⋅21 （2）以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x3、一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着普遍的应用：（1）已知方程的一根，求另一个根和待定系数的值。
（2）不解方程，求某些代数式的值。
（3）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程。
（4）已知两数和与积，求这两个数。
（5）二次三项式的因式分解。
注意：在应用根与系数的关系时，不要忽略隐含条件。
∆≥≠⎧⎨⎩00a例题讲解例一、当k 为何值时，关于x 的方程()222123x k x k k --=-++：⑴ 两个不相等的实数根； ⑵有两个相等的实数根； ⑶没有实数根。
例二、m x mx mx m 为何值时，关于的方程有两个相等的实数根？并2350-++=求出这时方程的根。
根的判别式与韦达定理
根的判别式与韦达定理教学目的：（1）通过教学A 组同学能掌握韦达定理与根的判别式的简单应用；（2）通过教学B 或C 组同学能掌握韦达定理与根的判别式的综合应用； 教学重点与难点：韦达定理与根的判别式的综合应用； 教学过程：一、知识点复习：1、根的判别式：△=b 2-4ac ：⎪⎩⎪⎨⎧⇔〈-=∆⇔=-=∆⇔〉-=∆方程没有实数根时根方程有两个相等的实数时数根方程有两个不相等的实时040404222ac b ac b ac b 2、韦达定理：一元二次方程的一般式：ax 2+bx+c=0有两个实数根x 1、x 2，则有x 1+x 2=－b/a ，x 1·x 2=c/a ； 应用：（1）求值应用：x 12+x 22=-（x 1+x 2）2－2x 1x 2，（x 1－x 2）2=（x 1+x 2）2－4x 1x 2， x 13+x 23=-（x 1+x 2）3－3x 1x 2（x 1+x 2），()()21221221214x x x x x x x x -+=-=-，21212111x x x x x x +=+，()222121221222122212221211x x x x x x x x x x x x -+=+=+，()2121221212x x x x x x x x ++=+=+，（x 1+k ）（x 2+k ）=x 1x 2+（x 1+x 2）+k 2，()212122121222112212x x x x x x x x x x x x x x ++=+=+， （2）求字母系的值；（此时要验证方程有没有实数根）（3）求作新方程：以x 1、x 2为根的一元二次方程为x 2+（x 1+x 2）x+x 1x 2=0； （4）解方程组：⎩⎨⎧==+bxy ay x 则能够把x 、y 看作是一元二次方程z 2-az+b=0的两根；（5）确定根的符号：若则方程有两个正根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥∆〉=〉-=+0002121a c x x a b x x 若x 1·x 2=c/a ＜0，则方程两根符号相反；若则方程有两个负根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥∆〉=〈-=+0002121a c x x ab x x3、注意点：（1） 方程有实数根时，要看一看是否是一元二次方程，否则要分两种情况考虑；若是一元二次方程还不能忘记考虑二次项系数不能为0；（2） 在求字母系数的值时水要忘记检验一元二次方有没有实数根； 二、双基训练：（A 组同学做练习1-6）1、 关于x 的方程4x 2+kx -6=0的一个根是否，另一根是x 1，则k=；x 1=；2、 关于x 的一元二次方程x 2-ax -3=0的根的情况是；3、 以2和－3为根的一元二次方程为；4、 若x 1、x 2是方程x 2+3x -1=0的两个根，则（x 1+x 2）2=；5、 若方程x 2－2x+k=0的两个根的倒数和为8/3，则k=；6、 若x 1、x 2是方程x 2+3x -1=0的两个根，则x 1+x 2=；x 1·x 2=；方程x 2-1-3x=0的两根之和等于；两根之积等于；7、 若x 1,x 2是方程x 2+3x -5=0的两个根，则(x 1+1)(x 2+1)的值为；8、 已知a,b 是方程x 2+2x -5=0的两个根，则a 2+ab+2a 的值为 ；9、 如果a,b 是方程x 2+x -1=0的两个实数根，那么代数式a 3+a 2b+ab 2+b 3的值等于；10、关于x 的一元二次方程(k 2-1)x 2+(2k -1)x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ；11、已知关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为；12、已知实数x 1,x 2是满足x 12-6x 1+2=0和x 22-6x 2+2=0，那么2112x x x x +的值是 ； 13、已知关于x 的方程x 2-2(m -2)x+m 2=0问：是否存在实数m ，使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。
韦达定理的应用
根的判别式与韦达定理模块一根的判别式1、定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 (x 2~)22ab 24ac—4a^~，显然只有当b 2 4ac 0时，才能直接开平方得：x2a 打乏 注：一元二次方程ax 2bx c 0(a 0)只有当系数a 、b 、c 满足条件 2b 4ac 0 时才有实数根.这里b 2 4ac 叫做一元二次方程根的判别式. 2、判别式与根的关系 在实数范围内，一元二次方程 ax 2bx c 0(a 0)的根由其系数a 、b 、 c 确定，它的b 2 4ac 确定. 设 兀二次方程为 2 axbx c ① 0 方程ax 2bx c 0(a ② 0 方程ax 2bx c 0(a ③ 0 方程ax 2 bx c 0(a 根的情况(是否有实数根)由 0(a 0),其根的判别式为: 0)有两个不相等的实数根 0)没有实数根. 练习：运用判别式, 0)有两个相等的实数根X 1 b 4ac 则 X l,2 X 2 判定方程实数根的个数 【例1】不解方程,判断下列方程的根的情况: (1) 2x 2 3x 4 0 ; (2) 【巩固】不解方程，判别一元二次方程 2ax 2x 2 A.有两个不相等的实数根 C 有两个相等的实数根 bx 0 (a 0) 6x 1的根的情况是 b 4ac2ab2a .没有实数根.无法确定(1) 2x 2 3x 4 0 ； (2) 3x 2 2 2亞X ; (3) (4) (2 m 2 1)x 22mx 20 ; (5) 2 x 2ax a 10 ;(6) (7) 4x( x 1) 3 0 ； (8) (x 1)(x 22) m 2【巩固】不解方程判定下列方程根的情况: '/3x 243 2—x21 ¥x ；72x 2 0;【例2】已知a ，b ，c 是不全为0的3个实数，那么关于x 的一元二次方程x 2(a b c)x (a 2b 2c 2)0 的根的情况().利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围【例3】m 取什么值时，关于x 的方程x 22(3 mx)26有两个相等的实数根x 的一元二次方程kx 2 6x 9 0有两个不相等的实数根，那么k 的 取值范围是(6X 1 0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是【巩固】若关于x 的二次方程(m 1)x 2 2mx m 2 0有两个不相等的实数根，则m 的 取值范围是的取值范围.取值范围.【巩固】若方程x 2 2(a 1)x a 2 4a 5 0有实数根，求：正整数a .为实数，则3a 2ba 2x 2b 2x c 20的根的情况是(A.有2个负根B.有2个正根 C •有2个异号的实根D.无实根【巩固】如果关于 A. k 1 Bk 0 C . k 1且 k 0 D【巩固】方程kx 2【巩固】若关于X 的一元二次方程 (k 1)x 2 2x 10有实数根，则k 的最小整数值为_【巩固】已知方程m 2x 2 (2m 1)x1 0有实数根, 求m 的范围.【例4】 关于X 的一元二次方程(12k)x 22d k 1x1 0有两个不相等的实数根，求k【巩固】关于x 的方程x 2 2j kx 1 0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围() 【巩固】已知关于x 的方程x 2 2(m1)x m 25 0有两个不相等的实数根，化简:【巩固】已知关于X 的一元二次方程 x 2—mx m 0有两个不相等的实数根，求m 的【巩固】k 为何值时，方程(k 1)x 2 (2 k 3)x (k 3) 0有实数根. 【例5】关于x 的方程a 6 x 28x6 0有实数根，则整数a 的最大值是I 例6】已知关于x的方程x 2 a bx 1b22b 10有两个相等的实数根，且a 、b【巩固】当a 、b 为何值时，方程x 2 2 1 ax3 a 24ab 4b 2 2 0有实根?【例7】已知a ，b ，c 为正数，若二次方程2axbx c 0有两个实数根，那么方程A.有两个不相等的正实数根 B .有两个异号的实数根2(m 1)X 2mx m 20 ( ).程ax 2 2bx c 0必有实根.已知：方程mx 2 2 m 2 X m 5 0没有实数根，且m 5，求证:m 5 X 22 m 2 x m 0有两个实数根.根，贝U X 1 X 2 P ， X| X 2 q .C •有两个不相等的负实数根 •不一定有实数根【巩固】若方程(m 2)X 2 2(m1)x0只有一个实数根，那么方程A.没有实数根B.有2个不同的实数根 C •有2个相等的实数根D.实数根的个数不能确定通过判别式，证明与方程相关的代数问题【例8】对任意实数m ，求证：关于X 的方程(m 2 1)x 22mx m 24 0无实数根.【巩固】求证：关于X 的一元二次方程X 2(2 m)x 1 0有两个实数根. 【巩固】已知实数a 、b 、c 、r 、 p 满足 pr 2， pc2b ra 0，求证：一元二次方【巩固】证明：无论实数 n 取何值时，方程mx 2(m n)x n 0都有实数根【巩固】 模块二 韦达定理如果ax 2bx c 0( a 0)的两根是 X 1，X 2，则 X 1 X 2b，X 1X 2 -.(隐含的条件：0 )aa特别地, 当一元二次方程的二次项系数为1时，设 X 1， X 2是方程X 2 PX q 0的两个利用韦达定理求代数式的值【例9】不解方程2X 2(73 4)x 2^30， 求两根之和与两根之积【巩固】设方程4X 2 7x 3 0的两个根为 X,、X 2，不解方程求下列各式的值 (1) (X i 3)(X 2 3)；(2)X 2X 1X 1 1 X 2 1(3) X i X 2【巩固】已知方程2x 2 4x 3 0的两个根为X|、X 2(1) X 1 X 2 (2) X i X 2 (3)丄X 1 丄X 2(4) X 12 X 22【巩固】 已知是方程X 2 利用韦达定理求参数的值【例10】方程kX 2 6X 1 0有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是【例11】若3、2是方程X 2 px q 0的两个根，贝U P5X 2 0的两根，求-的值.X k 2 2 0的两个不同的实根，且X 1 1 X 2 1 则k 的值是.【巩固】已知关于X 的方程k 2x 2 (2k 1)x 1 0有两个不相等的实数根N 、x 2在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由利用韦达定理构造一元二次方程【例14】已知两个数的和为72，积为1，求这两个数4【巩固】以3和2为根，二次项系数为1的一元二次方程为【巩固】求作一个一元二次方程，使它的两根分别是5X 2x 3 0各根的负倒数若方 程ax 2 bx c 0 (a 0)的一个根是另一个根的3倍，则a 、b 、c 的关系是()符号若一兀二次方程(m 1)x 2 J 5m 2 5mx m 1 0有两个相等的实数根，则【巩固】若方程X 2 PX 10的一个根为1 72, 则它的另一根等于【巩固】关于 x 的方程x 22bx 1 0的一个根为 2，则另一个根是b _______【巩固】方C 2 C3x 8x m0的两个根之比为3:1【巩固】已知 2品是方程X 2 4x k 0的一个根，求另一个根和k 的值 【例12】已知方程X 2 4x 0的两个根的平方和是10，求m 的值。
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项一、一元二次方程跟的判别式的常见题型题型1：不解方程，判断一元二次方程根的情况题型2：证明一元二次方程根的情况求证：无论k 取何实数，关于x 的一元二次方程：2(1)40x k x k -++-=总有两个不等实根。
题型3：已知一元二次方程根的情况．．，求方程中未知系数的取值范围 1．（ 2011·重庆）已知关于x 的一元二次方程．．．．．．(a －1)x 2－2x +1=0有两个不相等的．．．．．．实数根,则a 的取值范围是( )A.a <2 B,a >2 C.a <2且a ≠1 D.a <－2·变式1：（2010·安徽芜湖）关于x 的方程．．(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根．．．．，则a 满足（） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5 注意：要特别注意二次项系数是否为0，即原方程是否“一定为一元二次方程”。
变式2：（2010 ·成都）若关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数．．．．值. 变式3：已知关于x 的一元二次方程(12)10k x k x ---=有两个实数根，求k 的取值范围 二、一元二次方程根与系数的关系------韦达定理的常见题型题型1：已知一元二次方程的一根，求另一根及未知系数k 的值已知23-是方程210x kx ++=的一根，则方程的另一根是 ，k = 。
题型2：求与一元二次方程根有关的代数式的值；1. 已知12,x x 是方程22430x x --=的两根，计算： （1）2212x x +； ⑵ 1211x x +；⑶212()x x - 变式：已知,a b 是方程2201230x x -+=的两实根，求22(20103)(20103)a a b b -+-+的值题型3：已知一元二次方程两根的关系．．．．．，求方程中未知系数的取值 1． 关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k +-+-=的两个实根的平方和等于9，求k 的值 变式1： （2011·荆州）关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是（ ）A ．1B ．－1C ．1或－1D ． 2 注意：要特别注意应用韦达定理的前提条件是原方程有实根，即原方程：△≥0。
判别式与韦达定理的应用
判别式与韦达定理的应用
蓝师江
【期刊名称】《《中学数学研究》》
【年(卷),期】2004(000)002
【摘要】一元二次方程是初中数学的重要内容，其中的判别式和韦达定理又是重点，也是历年中考的热点，本文主要阐述判别式和韦达定理的应用。
【总页数】3页(P5-6,2)
【作者】蓝师江
【作者单位】广东实验中学510055
【正文语种】中文
【中图分类】G633.62
【相关文献】
1.巧用韦达定理和判别式解题 [J], 施慧林;
2.课时35 小专题3——元二次方程根的判别式及韦达定理 [J],
3.构造一元二次方程用判别式和韦达定理解题 [J], 刘晓光
4.一元二次方程的判别式、韦达定理应用举例 [J], 胡兰田
5.应用一元二次方程根的判别式及韦达定理错解辨析 [J], 方达
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根的判别式与韦达定理结合
根的判别式与韦达定理的综合应用1. a ,b ,c 为常数,且(a -c )2>a 2+c 2,则关于x 的方程ax 2+bx +c =0的根的情况是( )A.有两个相等的实数B.有两个不相等的实数根C.无实数根D.有一根为02.若关于x 的一元二次方程mx 2-2x +1=0无实数根,则一次函数y =(m -1)x -m 的图象不经过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. （1）若方程（m -2）x 2-x + =0有两个实数根，则m 的取值范围是 . （2）关于x 的方程2(1)04kkx k x 有实数根，则m 的取值范围是 .4．若关于x 的方程x 2＋(2a －1)x ＋a 2－1＝0的两根是x 1，x 2，且(3x 1－x 2)(x 1－3x 2)＋21＝0，则a 的值为__ __．5.设m ，n 分别为一元二次方程x 2+2x ﹣2018=0的两个实数根，则m 2+3m +n = ．6.已知关于x 的一元二次方程x 2-4x +m =0有两实数根x 1,x 2,且满足5x 1+2x 2=2,则m -2= .7.已知α,β是关于x 的一元二次方程2x 2-mx -3=0的两个实根,则满足不等式α2β+αβ2-αβ≥0的系数m 的取值范围是 .8.已知关于x 的一元二次方程x 2+2x +m ﹣2=0有两个实数根，m 为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m 的和为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．39.若关于x 的方程x 2+2mx +m 2+3m -2=0有两个实数根x 1,x 2,则x 1(x 2+x 1)+的最小值为 .10.已知关于x 的方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求实数k 的取值范围； (2)若x 1，x 2满足x 21＋x 22＝16＋x 1x 2，求实数k 的值．11.已知关于x 的方程2232104x mx m m ++--＝ (1) 求证：无论m 为何值，方程总有实数根；(2) 若方程两根分别为x 1、x 2，且x 12－x 22＝0，求m 的值12.（2017荆州）已知关于x 的一元二次方程x 2+（k ﹣5）x +1﹣k=0，其中k 为常数．（1）求证：无论k 为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k 的最大整数值．13．已知：关于x 的方程2(1)04k kxk x 有实数根，求k 的取值范围14.（2013荆州）已知：关于x 的方程kx 2－(3k －1)x +2(k －1)=0（1）求证：无论k 为何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根x 1，x 2,且│x 1－x 2│=2,求k 的值.15、（2015荆州）已知关于x 的方程2(21)20kx k x +++=（1）求证：无论k 取任何实数，方程总有实数根（2）当方程的根为整数，且k 为正整数时，求k 的值。
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【学习课题】 九上 补充内容 综合应用根的判别式和韦达定理
龙泉二中 范积慧
【学习目标】 1、掌握一元二次方程根与系数的符号关系
2、利用韦达定理并结合判别式，求参数的值
【学习重点】一元二次方程根与系数的符号关系
【学习难点】利用韦达定理并结合判别式，求参数的值
【学习过程】
学习准备：（1）一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 的判别式△=__________
△＞0⇔__________△=0 ⇔_____________△＜0 ⇔__________
（2）一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两根分别为x 1和x 2
x 1+x 2=____________, x 1x 2=_____________
解读教材：由根的判别式及韦达定理可得如下结论：
（1）若a 、c 异号 ⇒ ax 2+bx+c=0 (a ≠0)必有两个不相等的实数根；
（2）有一个根为1 ⇔ a+b+c=0 ；
（3） 有一个根为—1 ⇔ a —b+c=0；
（4）有一个根为0 ⇔ c=0
（5）有两个正根 ⇔⎪⎩⎪⎨⎧+≥0210210＞＞△x x x x （6）有两个负根 ⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧+≥0210210＞＜△x x x x (7) 有一正根一负根 ⇔⎩⎨⎧0021＜△＞x x （8）两根同号 ⇔⎩⎨⎧≥002
1＞△x x （9）两根互为相反数⇔⎩⎨⎧=⇒=+0
0021b x x △＞ （10）两根互为倒数⇔⎩⎨⎧=≥102
1x x △ （11）一根为正，一根为0 ⇔⎪⎩⎪⎨⎧=⇒=+00002
121c x x x x ＞△＞
（12）一根为负，一根为0 ⇔⎪⎩⎪⎨⎧=⇒=+00002
121c x x x x ＜△＞
（13）两根均为0⇔b=c=0
(14) 一根比a 大，一根比a 小⇔⎩⎨⎧--0))(021
＜（△＞a x a x 例1 已知方程（k+1）x 2—4kx+3k —1=0 的两个实数根均为正，求k 的值。
思路点拨：因为原方程两个实数根均为正，有上述结论（5）可得不等式组，解这个不
等式组即可求出k 的值。
解：由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧+≥0210210＞＞△x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧⇒ ⎪⎩
⎪⎨⎧⇒ ⇒
即时练习：
K 为何值时，方程4x 2—(k —1)x+k —7=0 的两个根具有下列关系：
（1）两根互为相反数 （2）两根互为倒数 （3）有一根为0
挖掘教材：
应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有实数根，即应首先满足△≥0这一条件。
例2、已知方程x 2+kx+k=0有两个实数根，且两根的平方和为3，求k 的值。
解：由题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-=+≥302221
2121x x k
x x k x x △⇒=-+⇒32)(21221x x x x =⇒1k _______,=2k ______
当K1=_____时，△______;当K2=_____时，△______
故K 的值为______
归纳小结：二次项系数a ≠0和△≥0是实系数一元二次方程根与系数关系的前提。
因此，
在做题时，应优先考虑这两点。
即二次项系数与△优先的原则。
即时练习：
若方程2x 2-mx-4=0的两个实数根x 1,x 2满足11x +2
1x =2，求m 的值。
例2、已知关于x 的方程x 2-(2k-3)+k 2+1=0的两个实数根x1、x2满足：321=+x x ,求k 的值。
解：∵原方程有两个实数根，则△≥0
即［-(2k-3)］2-4(k 2+1)≥0 解之得：k______ ①
又∵x 1x 2=k 2+1>0,∴x 1与x 2同号；由：321=+x x 可得：x1+x2=±3 即 2k-3=±3 ,解之得:k1=_____,k2=______ ②
由①②可得：K=________
即时练习：
已知方程x 2-4x+6k=0两个实数根的平方差为8，求k 的值。
反思拓展：
1、 韦达定理：充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。
2、应用韦达定理的前提条件是这个方程是一元二次方程且有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须首先满足二次项系数a ≠0和判别式△≥0这两个条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性。
3、应用韦达定理求根的代数式的值，一般是关于x 1,x 2的对称式，这类问题可通过变形X 1+x 2和x 1x 2表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：
（1）恰当组合 （2）根据根的定义降次 （3）构造对称式
【达标检测】
1、（广州）关于x 的一元二次方程x 2-x+a(1-a)=0有两个不相等的正根，则a 可取的值为____ (只要填写一个可能的值即可)
2、（2005年.淮安）已知关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0有两个实数根，且2x 1-x 2=7,则a=____
3、（2005年.荆州）若α、β是方程x 2+2x-2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为_____
4、在等腰三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a=3,b 和c 是关于x 的方程x 2+mx+2-2
1m=0的两个实数根，求△ABC 的周长。
5、（盐城） 已知关于x 的方程x 2+2（2-m ）x+3-6m=0
(1) 求证：无论m 取什么实数，方程总有实数根。
（2）如果方程的两实数根分别为x 1、x 2，满足x 1=3x 2，求实数m 的值。
6、（2005年.南通）已知关于x 的方程x 2-kx+k 2+n=0有两个不相等的实数根x 1、x 2，且 （2x 1+x 2）2-8 (2x 1+x 2)+15=0 求证：（1）n<0 (2)试用k 的代数式表示x 1
（3）当n= - 3 时，求k 的值。
7、（2005年.天津））已知关于x 的方程x 2+2px+1=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，求实数p 的取值范围。