八年级数学反证法
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初二数学反证法
例4
求证：两条直线相交只有一个交点。 已知：如图两条相交直线a、b。 求证：a与b只有一个交点。
证明：假设a与b不止一个交点，不 妨假设有两个交点A和A’。 因为两点确定一条直线，即经 过点A和A’的直线有且只有一条，这与 与已知两条直线矛盾,假设不成立。 所以两条直线相交只有一个交点。
a
●
A，
A
一、复习引入
A
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b, 如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为 什么？
解析： 由∠C=90°可知是直角三角 形，根据勾股定理可知 a2 +b2 ＝c2 .
b
c
C
a
B
二、探究
若将上面的条件改为“在 △ABC中，AB=c，BC=a， AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠ c2 成立吗？请说明理由。
A
P C
在一元二次方程 2 ax bx c 中， a,b,c均为奇数时，方程无实数解。
0
2用反证法证明若a3用反证法证明如果一个三角形没有两个相等的角那么这个三角形不是等腰三角形的第一步a不是实数a小于或等于2a大于或等于2没有两个一个也没有两直线相交假设ab假设这个三角形是等腰三角形1已知
反证法的一般步骤: 假设命 题结论 反面成 立 推理 得出 矛盾
假设不成立 即所证命题 成立
与定理，定义， 公理矛盾 与已知条件矛盾
P l1 l2
四。巩固新知
1、试说出下列命题的反面： （1）a是实数。 a不是实数 （2)a大于2。a小于或等于２ 没有两个 a大于或等于２ （3）a小于2。 （4）至少有 2个 （5）最多有一个 一个也没有 （6）两条直线平行。 两直线相交 2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 假设a=b。 3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么 这个三角形不是等腰三角形”的第一步 假设这个三角形是等腰三角形 。
八年级数学上册《反证法》教案、教学设计
2.学生练习：学生在规定时间内完成练习题，教师关注学生解题过程，及时发现问题并进行指导。
3.评价与反馈：教师对学生的练习成果进行评价，给予鼓励和指导，帮助学生找到不足，提高解题能力。
（五）总结归纳
1.知识点回顾：教师引导学生回顾本节课所学内容，总结反证法的定义、证明步骤和应用场景。
2.学生发言：鼓励学生谈谈自己对反证法的认识，以及在解题过程中的体会和收获。
（二）讲授新知
1.反证法定义：教师给出反证法的定义，明确反证法的基本思想，即假设结论不成立，通过推理得出矛盾，从而证明原结论成立。
2.证明步骤：详细讲解反证法的证明步骤，包括假设结论不成立、推出矛盾、否定假设、得出结论等。
3.例题讲解：以勾股定理的证明为例，展示反证法的具体运用，让学生理解反证法的证明过程。
2.例题分析：通过典型例题的讲解，让学生体会反证法的应用，培养他们分析问题和解决问题的能力。
3.小组讨论：组织学生进行小组讨论，共同探讨反证法的证明过程，提高学生的合作学习能力。
4.课后作业：布置适量、具有挑战性的课后作业，巩固学生对反证法的理解和运用。
（三）情感态度与价值观
1.激发兴趣：以有趣的数学问题引入反证法，让学生感受到数学的趣味性和挑战性。
3.实践性：注重作业的实践性，鼓励学生将所学知识运用到实际问题中，提高解决问题的能力。
4.合作性：鼓励学生进行小组合作，培养学生的团队精神和合作学习能力。
5.家长参与：充分发挥家长的作用，促进家校共育，提高学生的学习兴趣和效果。
3.教师总结：强调反证法在解决数学问题中的重要作用，鼓励学生在今后的学习中，灵活运用反证法，提高自己的逻辑思维能力和解决问题的方法。
4.布置作业：布置与课堂练习相关的课后作业，巩固学生对反证法的掌握，为下一节课的学习打下基础。
3.评价与反馈：教师对学生的练习成果进行评价，给予鼓励和指导，帮助学生找到不足，提高解题能力。
（五）总结归纳
1.知识点回顾：教师引导学生回顾本节课所学内容，总结反证法的定义、证明步骤和应用场景。
2.学生发言：鼓励学生谈谈自己对反证法的认识，以及在解题过程中的体会和收获。
（二）讲授新知
1.反证法定义：教师给出反证法的定义，明确反证法的基本思想，即假设结论不成立，通过推理得出矛盾，从而证明原结论成立。
2.证明步骤：详细讲解反证法的证明步骤，包括假设结论不成立、推出矛盾、否定假设、得出结论等。
3.例题讲解：以勾股定理的证明为例，展示反证法的具体运用，让学生理解反证法的证明过程。
2.例题分析：通过典型例题的讲解，让学生体会反证法的应用，培养他们分析问题和解决问题的能力。
3.小组讨论：组织学生进行小组讨论，共同探讨反证法的证明过程，提高学生的合作学习能力。
4.课后作业：布置适量、具有挑战性的课后作业，巩固学生对反证法的理解和运用。
（三）情感态度与价值观
1.激发兴趣：以有趣的数学问题引入反证法，让学生感受到数学的趣味性和挑战性。
3.实践性：注重作业的实践性，鼓励学生将所学知识运用到实际问题中，提高解决问题的能力。
4.合作性：鼓励学生进行小组合作，培养学生的团队精神和合作学习能力。
5.家长参与：充分发挥家长的作用，促进家校共育，提高学生的学习兴趣和效果。
3.教师总结：强调反证法在解决数学问题中的重要作用，鼓励学生在今后的学习中，灵活运用反证法，提高自己的逻辑思维能力和解决问题的方法。
4.布置作业：布置与课堂练习相关的课后作业，巩固学生对反证法的掌握，为下一节课的学习打下基础。
八年级反证法知识点
八年级反证法知识点反证法是一种论证方法，在数学、逻辑学、哲学以及其他领域中都得到广泛应用。
其基本思想是通过否定一个命题的逆否命题来证明原命题的正确性。
在八年级数学中，学生要学习如何应用反证法解决一些问题。
本文将介绍八年级反证法知识点，帮助学生更好地掌握这一方法。
初步了解反证法反证法的思路是假设所要证明的命题P不成立，然后推出一个矛盾的结论，进而证明命题P成立。
或者说，反证法是采用反面求证的方法，即证明“不是P”来间接证明“是P”。
例如，在证明“若a是偶数，则a²也是偶数”的时候，可以采用反证法：假设a是偶数但a²不是偶数，则a²为奇数。
但是，偶数的平方一定是偶数，与假设矛盾，因此可证明原命题成立。
如何运用反证法？反证法需要具备以下几个步骤：1. 先假设所要证明的命题P不成立，并推出一些合法的结论。
2. 分析这些结论是否有矛盾之处。
3. 如果这些结论存在矛盾，则说明所假设命题不成立，原命题P成立。
4. 如果这些结论不存在矛盾，则说明所假设的命题成立，而原命题P不成立。
举个例子，如果要用反证法证明“n²为偶数，则n也是偶数”，那么可以首先假设n是奇数。
因为奇数的平方还是奇数，所以n²也是奇数，而偶数的定义是2的倍数，不可能是奇数，因此推出结论矛盾，得证原命题成立。
需要注意的是，在运用反证法的时候，如果所得出的结论不够严密或存在漏洞，那么不能得出最终结论。
为了提高证明的严密性，可以结合其他证明方法进行运用。
例题1. 证明：不存在无理数x和y，使得x² - 2y² = 3。
解答：假设存在无理数x和y，满足x² - 2y² = 3。
考虑对这个方程两侧同时取立方根，得：x³ - 6xy² - 3y³ = 0。
注意到x和y都是无理数，而立方根是唯一的，因此x³也是无理数。
同理，3y³也是无理数。
14.1.3 反证法(八年级数学)
存在某个x成立
课堂总结
概念
反证法
证明步骤
反证法证明的思路：假设命题不成 立→正确的推理,得出矛盾→肯定待 定命题的结论
7.准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是 一些常见的关键词的否定形式.
原词语 否定词
等于 是
不等于 不是
都是 大于 小于
不都是 不大于 不小于
对所有x成 存在某个x
立
不成立
原词语
任意的 至少有一个 至多有一个 至少有n个 至多有n个
对任何x 不成立
否定词 某个 一个也没有 至少有两个 至多有（n-1)个 至少有（n+1)个
6.已知：a是整数，2能整除a2. 求证：2能整除a.
证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”. 因为a是整数，故a是奇数. 不妨设a=2n+1(n是整数), ∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1, ∴a2是奇数，则2不能整除a2 ，这与已知矛盾. ∴假设不成立，故2能整除a.
小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外， 还可以与我们学过的基本事实、定理矛盾.
【例4】 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或 等于60°.
已知：△ABC. 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设 △ABC中没有一个内角小于或等于60° ， 即∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° ， ∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°， 这与 三角形的内角和为180° 矛盾．假设不成立．
【例2】在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C.
课堂总结
概念
反证法
证明步骤
反证法证明的思路：假设命题不成 立→正确的推理,得出矛盾→肯定待 定命题的结论
7.准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是 一些常见的关键词的否定形式.
原词语 否定词
等于 是
不等于 不是
都是 大于 小于
不都是 不大于 不小于
对所有x成 存在某个x
立
不成立
原词语
任意的 至少有一个 至多有一个 至少有n个 至多有n个
对任何x 不成立
否定词 某个 一个也没有 至少有两个 至多有（n-1)个 至少有（n+1)个
6.已知：a是整数，2能整除a2. 求证：2能整除a.
证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”. 因为a是整数，故a是奇数. 不妨设a=2n+1(n是整数), ∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1, ∴a2是奇数，则2不能整除a2 ，这与已知矛盾. ∴假设不成立，故2能整除a.
小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外， 还可以与我们学过的基本事实、定理矛盾.
【例4】 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或 等于60°.
已知：△ABC. 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设 △ABC中没有一个内角小于或等于60° ， 即∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° ， ∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°， 这与 三角形的内角和为180° 矛盾．假设不成立．
【例2】在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C.
初二数学反证法
初二数学反证法在初二数学的学习中，我们会接触到一种独特而有趣的证明方法——反证法。
它就像是一位神秘的魔法师，能够在看似复杂的数学难题中，巧妙地找出答案。
反证法是什么呢？简单来说，反证法是一种间接的证明方法。
当我们要证明一个命题成立时，先假设这个命题不成立，然后从这个假设出发，通过一系列的推理，得出矛盾的结果。
这个矛盾的结果就说明我们最初的假设是错误的，从而间接证明了原命题是正确的。
比如说，我们要证明“在一个三角形中，最多只能有一个直角”这个命题。
如果我们直接去证明，可能会感觉有点无从下手。
但如果用反证法，那就不一样啦。
我们先假设在一个三角形中，可以有两个或三个直角。
假设一个三角形中有两个直角，比如∠A ＝ 90°，∠B ＝ 90°。
那么在三角形的内角和定理中，三角形的内角和是 180°。
而∠A ＋∠B 就已经等于 180°了，再加上第三个角∠C，内角和就超过 180°了，这与三角形内角和定理相矛盾。
所以，假设不成立，从而证明了在一个三角形中，最多只能有一个直角。
再来看一个例子，证明“根号 2 是无理数”。
假设根号 2 是有理数，那么它可以表示为一个分数 m ／ n （m、n是互质的正整数）。
即√2 ＝ m ／ n ，两边平方得到 2 ＝ m²／ n²，所以 m²＝ 2n²。
这意味着 m²是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以 m 也是偶数。
不妨设 m ＝ 2k（k 是正整数），代入 m²＝ 2n²中，得到 4k²＝ 2n²，即 2k²＝ n²。
这又说明 n 也是偶数。
但是 m 和 n 都是偶数，这与 m、n 是互质的正整数相矛盾。
所以，假设不成立，从而证明了根号 2 是无理数。
反证法在数学中的应用非常广泛，它可以帮助我们解决很多看似困难的问题。
浙教版数学八年级下册 4.6 反证法 课件(共19张PPT)
用反证法证题时,应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项， 防止否定不当或有所遗漏；
（2）推理过程必须完整，否则不能说 明命题的真伪性；
（3）在推理过程中，要充分使用已知条 件，否则推不出矛盾，或者不能断 定推出的结果是错误的。
1、写出下列各结论的反面：
（1）a//b
a∥b
（2）a≥0
张飞“想了一想”,佯断少妇偷瓜,命少妇跟随恶少 回家,又命恶少把三个大瓜抱回去.恶少左抱右抱,抱 了这个滚了那个,怎么也抱不过来,张飞虎眉一竖,拍 案而起,痛斥恶少:”你堂堂男子汉,三个瓜都抱不动, 她是弱女子,又抱小孩,怎能偷你三个大瓜?分明是你 污蔑.”恶少哑口无言,只得承认.
同学们，你认为张飞的判 断方法高明吗？他的推理 方法是怎样的?
平行”相矛盾，
所以假设不成立， 即l2∥l3
已知：如图，直线l1,l2,l3在同一平面内,且l2∥l1,l3 ∥ l1，
求证：l3∥l2 证明：
作直线l交直线 l 1 于点P。
∵l
∥
1
l
2，l3
∥l1
（已知）
l1
l2 l3
l
P
１
2 ３
∴ 直线l必定与直线l2,l3相交
（在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线
已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P.
求证: l3与l2 相交.
证假明设: 假设__l_3与__l2_不__相__交_._,
那么__l_3∥__l2____.
推因理为已知___l_1_∥_l2___,
l3
P
l1
Hale Waihona Puke l2所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,
14.1.3 反证法 华东师大版数学八年级上册知识考点梳理课件
点 清
个”，所以应假设：在三角形中，至少有两个内角是直角.
单
解 ［答案］ A
读
14.1.3 反 证 法
返回目录
重 ■题型一 用反证法证明几何问题
难 题
例 1 求证：在一个三角形中不能有两个角是钝角.（
型 突
画出图形，写出已知、求证，并借助反证法进行证明）
破
14.1.3 反 证 法
返回目录
重 ［解析］根据反证法的证明方法作出假设，进而证明即
难 题
例2 设 a，b，c 是不全相等的任意实数，若 x=b2-ac
型 突
，y=c2-ab，z=a2-bc.求证：x，y，z
至少有一个大于零.
破
14.1.3 反 证 法
返回目录
重 ［答案］ 解：假设 x，y，z 都小于或等于零，
难
题
则 b2-ac+c2-ab+a2-bc≤0，2b2-2ac+2c2-2ab+2a2-
步骤
14.1.3 反 证 法
返回目录
续表
14.1.3 反 证 法
返回目录
考
续表
点
清
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有
单 解
注意
可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可
读
以了，如果有多种情况，则必须一一否定
14.1.3 反 证 法
返回目录
考 归纳总结
点 清
反证法是一种间接的证明方法.一个命题，当正面证明有
单 解
困难或不可能时，就可以尝试运用反证法.
读
14.1.3 反 证 法
返回目录
考
对点典例剖析
点 清
典例1 用反证法证明“在△ABC中，∠A，∠B 对边是
冀教版初中八年级数学上册17-5反证法课件
2.(新独家原创)用反证法证明命题“同角的余角相等”时, 应先假设 同角的余角不相等 .
解析 用反证法证明命题“同角的余角相等”时,应先假设 同角的余角不相等.
3.小明在解答“已知△ABC中,AB=AC,求证∠B<90°”这道 题时,写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理 步骤: (1)所以∠B+∠C+∠A>180°,这与三角形内角和定理相矛盾; (2)所以∠B<90°; (3)假设∠B≥90°; (4)那么,由AB=AC,得∠B=∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°. 则这四个步骤正确的顺序为 (3)(4)(1)(2) .
∵∠1+∠2 ≠ 180°, ∴∠3+∠2≠180°,这与 平角为180°相矛盾, ∴假设∠1+∠2 ≠ 180°不成立,即∠1+∠2=180°.
解析 假设∠1+∠2≠180°. ∵l1∥l2,∴∠1=∠3. ∵∠1+∠2≠180°, ∴∠3+∠2≠180°,这与平角为180°相矛盾, ∴假设∠1+∠2≠180°不成立,即∠1+∠2=180°.
解析 有错误.正确的证明方法如下: 假设AC=BC,则∠A=∠B(等边对等角). ∵∠C=90°,∴∠A+∠B=180°-∠C=90°, ∴∠A=∠B=45°,这与已知中的∠A≠45°相矛盾, ∴假设错误,即AC=BC不成立,∴AC≠BC.
素养探究全练
7.(推理能力)用反证法求证:三角形的一个外角等于与它不 相邻的两个内角的和. 已知:如图,∠1是△ABC的一个外角. 求证:∠1=∠A+∠B.
6.(2024河北沧州献县期末,20,★☆☆)阅读下列文字,并解题. 在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A≠45°,则AC≠BC. 证明:假设AC=BC. ∵∠A≠45°,∠C=90°,∴∠A≠∠B, ∴AC≠BC. 上面的证明过程有没有错误?若没有错误,指出其证明的方 法是什么;若有错误,请予以纠正.
《初二数学反证法》课件
相较于需要一步一步证明的直接证明法，反证法 是一种更加简便的证明方法。鼠，其中有一只叫
完美的舞蹈
2
做“加一地鼠”，可以将它向右移动一 格。假设不可能找到一种稳定的方案，
600名女孩参加了一场舞蹈比赛，假
使得最后每只地鼠都获得编号10，那
设每个女孩都在同一个时刻起舞，那
著名数学家
著名数学家ToruMatsui通过反证法，成功研究射 线切割问题。
反证法总结
1 应用范围和限制
反证法不仅可以用于数 学证明，还可以用于其 他领域。但是，必须注 意限制其使用范围。
2 实际生活中的应用
反证法的思路不仅能够 解决数学问题，还可以 用于解决生活中的种种 疑惑。
3 知识点小结
反证法是一种常用的数 学证明方法，通过假设 不成立，来证明某个命 题是真的。
初二数学反证法
本课程将介绍初二数学中的反证法概念及其应用。从实际生活中的例子出发， 帮助学生了解和掌握反证法的思路和方法。
什么是反证法？
反证法是数学证明方法之一，通过采用“假定不成立”的思路，来证明某命题为真。
基本思路
如同推翻一排多米诺骨牌的第一个骨牌，通过推 翻一个假设来证明某个命题为真。
与直接证明法的比较
么“加一地鼠”的编号应该小于等于9。
么总有一个时刻，女孩们完美的呈现
舞蹈步骤。
反证法优缺点
优点
证明思路简单易懂，适用于较为复杂的问题。
缺点
可能需要耗费较长时间，需要较强的反应能力和想象力。
反证法实战
果蝇实验
通过反证法，科学家Bernard de Jouvenel和 Georgeand Marie-Louise Teissier在实验中证明 了基因对先天特征的影响。
完美的舞蹈
2
做“加一地鼠”，可以将它向右移动一 格。假设不可能找到一种稳定的方案，
600名女孩参加了一场舞蹈比赛，假
使得最后每只地鼠都获得编号10，那
设每个女孩都在同一个时刻起舞，那
著名数学家
著名数学家ToruMatsui通过反证法，成功研究射 线切割问题。
反证法总结
1 应用范围和限制
反证法不仅可以用于数 学证明，还可以用于其 他领域。但是，必须注 意限制其使用范围。
2 实际生活中的应用
反证法的思路不仅能够 解决数学问题，还可以 用于解决生活中的种种 疑惑。
3 知识点小结
反证法是一种常用的数 学证明方法，通过假设 不成立，来证明某个命 题是真的。
初二数学反证法
本课程将介绍初二数学中的反证法概念及其应用。从实际生活中的例子出发， 帮助学生了解和掌握反证法的思路和方法。
什么是反证法？
反证法是数学证明方法之一，通过采用“假定不成立”的思路，来证明某命题为真。
基本思路
如同推翻一排多米诺骨牌的第一个骨牌，通过推 翻一个假设来证明某个命题为真。
与直接证明法的比较
么“加一地鼠”的编号应该小于等于9。
么总有一个时刻，女孩们完美的呈现
舞蹈步骤。
反证法优缺点
优点
证明思路简单易懂，适用于较为复杂的问题。
缺点
可能需要耗费较长时间，需要较强的反应能力和想象力。
反证法实战
果蝇实验
通过反证法，科学家Bernard de Jouvenel和 Georgeand Marie-Louise Teissier在实验中证明 了基因对先天特征的影响。
华师版数学八年级上册14.反证法课件
14.1 勾股定理
第3课时 反证法
学习目标
➢ 通过证明具体实例，体会反证法的含义. ➢ 知道证明一个命题除用直接证法外，还有间
接证法. ➢ 了解用反证法证明命题的一般步骤，发展逻
辑思维能力.
回顾导入
还记得之前学习“两直线平行，同
位角相等”时，我们是怎么证明这
一结论的吗？
E
已知：如图，直线AB∥CD， A
已知：△ABC. 求证：在∠A、∠B、∠C这三个内角中，至少有两个锐角.
证明：假设△ABC的三个内角中至多有一个锐角， 不妨设0°＜∠A＜90°， 则90°≤∠B＜180°，90°≤∠C＜180°. ∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与“三角形内角和等于 180°”相矛盾. ∴一个三角形中至少有两个锐角.
用反证法证明一个命题，一般有三个步骤：
（1）否定结论----假设命题的结论不成立；
（2）推出矛盾----从假设出发，根据已知条件，经过推 理论证，得出一个与命题的条件或已知的定义、 基本事实、定理等相矛盾的结果；
（3）肯定结论----由矛盾判定假设不正确，从而肯定命 题的结论正确.
典例精讲
例1 用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，
用反证法证明时需注意的两点： （1）否定结论：原结论的反面一 定要找准确、全面； （2）注意步骤：先进行合理的假 设，再推出矛盾，最后得出结论.
课堂小结
反证法的含义： 一种间接的证明方法
反证法
反证法证明的步骤
否定结论 推出矛盾 肯定结论
结论反面找准找全 反证法证明时需注意
注意步骤
当堂检测
1.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则
感谢观看！
则∠A＞60°”时，第一步应假设（ D ）
第3课时 反证法
学习目标
➢ 通过证明具体实例，体会反证法的含义. ➢ 知道证明一个命题除用直接证法外，还有间
接证法. ➢ 了解用反证法证明命题的一般步骤，发展逻
辑思维能力.
回顾导入
还记得之前学习“两直线平行，同
位角相等”时，我们是怎么证明这
一结论的吗？
E
已知：如图，直线AB∥CD， A
已知：△ABC. 求证：在∠A、∠B、∠C这三个内角中，至少有两个锐角.
证明：假设△ABC的三个内角中至多有一个锐角， 不妨设0°＜∠A＜90°， 则90°≤∠B＜180°，90°≤∠C＜180°. ∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与“三角形内角和等于 180°”相矛盾. ∴一个三角形中至少有两个锐角.
用反证法证明一个命题，一般有三个步骤：
（1）否定结论----假设命题的结论不成立；
（2）推出矛盾----从假设出发，根据已知条件，经过推 理论证，得出一个与命题的条件或已知的定义、 基本事实、定理等相矛盾的结果；
（3）肯定结论----由矛盾判定假设不正确，从而肯定命 题的结论正确.
典例精讲
例1 用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，
用反证法证明时需注意的两点： （1）否定结论：原结论的反面一 定要找准确、全面； （2）注意步骤：先进行合理的假 设，再推出矛盾，最后得出结论.
课堂小结
反证法的含义： 一种间接的证明方法
反证法
反证法证明的步骤
否定结论 推出矛盾 肯定结论
结论反面找准找全 反证法证明时需注意
注意步骤
当堂检测
1.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则
感谢观看！
则∠A＞60°”时，第一步应假设（ D ）
《初二数学反证法》课件
避免偷换概念
在推导过程中，要避免将不同的 概念混为一谈，以确保推导的逻 辑严密性。
掌握反证法的适用范围
适用于直接证明困难的情况
反证法常常适用于直接证明某个命题很困难的情况，通过假设原命题的结论不成立，找到矛盾，从而证明原命题 的正确性。
适用于真假较易判断的命题
反证法适用于真假较易判断的命题，因为一旦找到矛盾，就可以很容易地判断原命题的真假。
它是一种间接的证明方法，常 常用于那些直接证明比较困难 的问题。
在数学中，反证法是一种常用 的证明技巧，尤其在初等数学 中。
反证法的起源与发展
反证法的思想可以追溯到古希腊的哲 学家和数学家，如亚里士多德等。
随着数学的发展，反证法的应用越来 越广泛，成为数学证明中的重要方法 之一。
在中国古代的数学著作中，也出现了 反证法的应用，如《九章算术》等。
反证法的应用场景
在几何学中，反证法常常用于证明一些与图形有关的命题，如线段的性质、角的性 质等。
在代数中，反证法可以用于证明一些不等式、恒等式等。
在初等数学中，反证法是一种非常常用的证明方法，尤其在竞赛数学中更为常见。
01
反证法的证明步骤
假设命题结论不成立
提出与原命题相反的 假设。
确保假设与原命题的 结论相矛盾。
《初二数学反证法》 ppt课件
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 反证法简介 • 反证法的证明步骤 • 反证法的应用实例 • 反证法的注意事项 • 练习与思考
01
反证法简介
反证法的定义
反证法是一种证明方法，通过 否定待证明的命题，然后推导 出矛盾，从而肯定原命题。
总结词
在推导过程中，要避免将不同的 概念混为一谈，以确保推导的逻 辑严密性。
掌握反证法的适用范围
适用于直接证明困难的情况
反证法常常适用于直接证明某个命题很困难的情况，通过假设原命题的结论不成立，找到矛盾，从而证明原命题 的正确性。
适用于真假较易判断的命题
反证法适用于真假较易判断的命题，因为一旦找到矛盾，就可以很容易地判断原命题的真假。
它是一种间接的证明方法，常 常用于那些直接证明比较困难 的问题。
在数学中，反证法是一种常用 的证明技巧，尤其在初等数学 中。
反证法的起源与发展
反证法的思想可以追溯到古希腊的哲 学家和数学家，如亚里士多德等。
随着数学的发展，反证法的应用越来 越广泛，成为数学证明中的重要方法 之一。
在中国古代的数学著作中，也出现了 反证法的应用，如《九章算术》等。
反证法的应用场景
在几何学中，反证法常常用于证明一些与图形有关的命题，如线段的性质、角的性 质等。
在代数中，反证法可以用于证明一些不等式、恒等式等。
在初等数学中，反证法是一种非常常用的证明方法，尤其在竞赛数学中更为常见。
01
反证法的证明步骤
假设命题结论不成立
提出与原命题相反的 假设。
确保假设与原命题的 结论相矛盾。
《初二数学反证法》 ppt课件
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 反证法简介 • 反证法的证明步骤 • 反证法的应用实例 • 反证法的注意事项 • 练习与思考
01
反证法简介
反证法的定义
反证法是一种证明方法，通过 否定待证明的命题，然后推导 出矛盾，从而肯定原命题。
总结词
初二数学反证法
整数的性质
通过假设整数不具有某种 性质，如假设一个整数不 是质数，然后推导出矛盾 来证明该整数是质数。
同余定理
在证明同余定理时，可以 通过假设两个整数不同余 来推导矛盾。
唯一分解定理
通过假设一个整数不能被 唯一分解为质因数的乘积 来推导矛盾，从而证明唯 一分解定理。
04
反证法的优缺点分析
优点：简化问题、明确方向
可能引入额外条件
在使用反证法时，我们需要假设反面命题成立，并推导出矛 盾。然而，这个假设可能会引入额外的条件或限制，使得证 明过程变得复杂或困难。
不易掌握
反证法需要一定的逻辑思维和推理能力，对于初学者来说可 能较难掌握。同时，使用反证法时需要注意一些细节和技巧 ，否则可能会导致证明过程出现错误。
05
作用
反证法在数学证明中具有重要作用，尤其对于一些难以直接证明的结论，可以 通过反证法间接证明其成立。同时，反证法还可以培养学生的逆向思维能力和 逻辑推理能力。
适用范围及重要性
适用范围
反证法适用于各种数学领域，如代数、几何、数论等。在解决一些复杂问题时，反证法往往能够简化问题，提供 新的解题思路。
重要性
初二数学反证法
汇报人：XX
目 录
• 引言 • 反证法的基本步骤 • 初二数学中常见反证法应用 • 反证法的优缺点分析 • 反证法与直接证明法的比较 • 练习题与解析
01
引言
反证法的定义和作用
定义
反证法是一种数学证明方法，通过假设所要证明的结论不成立，然后推导出与 已知条件、定理、公理等相矛盾的结论，从而证明所要证明的结论成立。
代数证明中的反证法
01
02
03
方程的解
通过假设某个数不是方程 的解，然后代入方程得到 矛盾，从而证明该数是方 程的解。
华师大版-数学-八年级上册-《反证法》PPT课件
三、应用新知
例5 求证：两条直线相交只有一个交点。
已知：如图两条相交直线a、b。
求证：a与b只有一个交点。
证明：假设a与b不止一个交点， 不妨假设有两个交点A和A’。
a
●
● A，
因为两点确定一条直线，即经过
A
点A和A’的直线有且只有一条，这与 与已知两条直线矛盾,假设不成立。
b
所以两条直线相交只有一个交点。
A
b
c
Ca
C
二、探究
问题： 若将上面的条件改为“在
A
△ABC中，AB=c，BC=a，
AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠ c2
成立吗？请说明理由。
b
c
探究：假设a2 +b2 ＝c2，由勾股定理
可知三角形ABC是直角三角形，且 ∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛 盾。假设不成立，从而说明原结论a2 +b2 ≠ c2 成立。
3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么
这个三角形不是等腰三角形”的第一步
假设这个三角形是等腰三角形
。
五、拓展应用
1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。 求证：PB≠PC
证明：假设PB=PC。 在△ABP与△ACP中 AB=AC(已知） AP=AP（公共边） PB=PC（已知）
注意:用反证法证题时,应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止 否定不当或有所遗漏；
（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题 的真伪性；
（3）在推理过程中，要充分使用已知条件， 否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是 错误的。
独立
作业
八年级数学下册4-4《反证法》课件浙教版
03
因此，假设不成立，三
05
角形ABC中AB是最短边。
假设AB不是最短边，则 AC和BC中必有一边更
短。
02
但假设角B和角C都大于 60度，这与假设矛盾。
04
代数问题中的反证法
01
02
03
04
假设一个一元二次方程ax^2 + bx + c = 0没有实数解。
根据判别式的性质，如果方程 没有实数解，则判别式Δ = b^2 - 4ac < 0。
反证法的起源和发展
反证法的思想可以追溯到古希腊 的哲学家，如亚里士多德等。
反证法在数学领域得到了广泛的 应用和发展，特别是在欧几里得
几何中，反证法被广泛应用。
随着数学的发展，反证法的应用 范围不断扩大，不仅限于数学领 域，还扩展到了物理学、工程学、
哲学等领域。
反证法的应用范围
01
在数学领域，反证法被 广泛应用于证明各种定 理、公式和不等式等。
合理性与可证性
假设必须是合理的，并且 能够通过逻辑推理进行证 明或反驳。
明确假设的否定
为了推导出矛盾，需要明 确假设的否定形式。
推导出矛盾
逻辑推理
根据提出的假设，进行逻 辑推理和演绎。
矛盾的产生
在推理过程中，寻找与已 知事实或公理相矛盾的结 论。
矛盾的必然性
确保推导出的矛盾是必然 的，而不是偶然的。
得出结论
否定假设
结论的可靠性
由于推导出了矛盾，因此可以否定最 初的假设。
确保得出的结论是可靠的，并且与已 知事实和公理一致。
肯定结论
根据否定假设，得出待证明命题的肯 定结论。
03 反证法的应用实例
2.2.3 反证法课件2024-2025学年湘教版数学八年级上册
学习目标
通过举例，体会反证法的含义（重点） 培养学生用反证法简单推理的能力（重点） 了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单命题（难点）
知识导入
反证法
已知∠A、∠B、∠C是△ABC的内角. 求证：∠A、∠B、∠C中至少有一个角大于或等于60°
当直接证明一个命题为真为假有困难时， 有什么其他更好的办法来证明呢？
3.用反证法证明“一个三角形中不可能有两个直角”时,应先假设
____________________.
4.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是( )
A．两个内角是直角
B．有三个内角是直角
C．至少有两个内角是直角 D．没有一个内角是直角
课堂小结
作业布置
课后作业：学法P36、37课后作业
探究新知 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.
求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.
证明：
假设∠A，∠B，∠C 中没有一个角大于或等于60° 即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，
否定结论
则∠A+∠B+∠C＜180° 这与“三角形的内角和等于180°”矛盾 所以假设不正确.
课ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ练习
如图所示，直线AB，CD被直线MN所截，同旁内角
∠1和∠2不互补。求证：AB与CD不平行。
M
A
1
B
C
2
D
N
1.“a<b”的反面应是( ) A.a≠b B.a>b C.a=b
D.a≥b
课堂练习
2.用反证法证明“若a⊥c,b⊥c,则a//b”,应假设( )
A.a不垂直c B.a,b都不垂直c C.a⊥b D.a与b相交
华师大版-数学-八年级上册-教你学会反证法
教你学会反证法反证法是间接证题法中典型的一种，在诸多证题方法中占有一席之地。
在此就下面几个方面帮你学习反证法。
一、反证法的定义反证法是指从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立的一种证明方法。
二、什么样的命题适用反证法？反证法主要用于直接证明比较困难的命题，当一个命题的结论涉及“一定”“至少”“至多”“无限”“是唯一的”等情况时，由于结论的反面简单明确，常常用反证法来证明。
三、反证法的一般步骤是什么？（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面是正确的；（2）从这个假设出发，通过正确的逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾的结论；（3）由矛盾的结果判定假设不成立，从而肯定命题的结论正确。
四、反证法应注意哪些内容？用反证法证题时，由于要假设命题的结论不成立，就必须考虑结论的反面可能出现的情况。
如果结论的反面只有一种情况，那么只需否定这种情况，就足以证明原结论是正确的；如果结论反面不止一种情况，那么必须把各种可能情况全部列举出来，并且一一加以否定以后，才能肯定原结论是正确的。
五、反证法应用举例例1 已知：如图，AB⊥EF于点M，CD⊥EF于点N。
求证：AB∥CD(例1图)证明：假设AB、CD不平行，即AB、CD交于点P，则过P点有AB⊥EF，且CD⊥EF，与“过直线外一点，有且只有一条直线垂直于已知直线”矛盾。
∴假设不成立，∴AB∥CD例2 求证：一个三角形中不能有两个角是直角已知：△ABC求证：∠A 、∠B 、∠C 中不能有两个角是直角。
证明：假设∠A 、∠B 、∠C 中有两个角是直角，设∠A ＝∠B ＝90°， 则∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C>180°这与三角形的内角和等于180°相矛盾，∴假设不成立∴一个三角形中不能有两个角是直角。
例3 已知：0,0x y >>且2x y +> 求证：1x y +与1y x+至少有一个小于2 证明：假设1x y +与1y x +都不小于2，即1x y +≥2，1y x +≥2 ∴1x +≥2y ，1y +≥2x将两式相加得：x y +≤2这与已知相矛盾∴假设不成立 ∴1x y +与1y x+至少有一个小于2。
17.5 反证法 课件 2024-2025学年冀教版数学八年级上册
肯定结论
由矛盾的结果，判定假设不成立，从而 说明命题的结论是正确的
3. 适合用反证法的命题类型
知1－讲
(1) 结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中不能有
两个钝角；
(2)唯一性命题，如不重合的两条直线相交只有一个交点；
(3) 结论以“至多”“至少”等形式叙述的命题，如一个
凸多边形中至多有三个锐角 .
两条平行线中的一条相交，则它必与另一条相交 . 解：已知：在同一平面内，l1∥l2，l1与l3相交于点A， 如图所示．
求证：l3必与l2相交． 证明：假设l3与l2不相交， 则l1∥l2，l3∥l2，∴l1∥l3，这与已知中l1与l3相交于点A 相矛盾，∴假设不成立． 故l3必与l2相交．
课堂小结
解：已知： ∠ A， ∠ B， ∠ C 是△ ABC 的三个内角知1－. 练 求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C 中不能有两个角是钝角 .
证明： 假设∠ A， ∠ B， ∠ C 中有两个角是钝角，
不妨设∠ A>90° ， ∠ B>90° ，
则∠ A+ ∠ B+ ∠ C>180° .
否定结论. 推出矛盾.
所有情况 . 如果结论的反面只有一种情况，那
么只需要否定这种情况，就足以证明原命题的
结论是正确的；如果结论的反面不止一种情况，
那么必须把各种可能的情况全部列举出来，并
且要一一加以否定，才能证明原命题的结论是
正确的 .
知1－练
例1 求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角 .
解题秘方：本题是命题类证明题，需要先写出已 知、求证，然后利用所学知识写出证 明过程 . 本题不易直接证明，可考虑 运用反证法来证明 .
这与三角形内角和定理相矛盾，故∠ ， ∠ B 均大于
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l１ l２ l３
定理
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条 直线平行,那么这两条直线也互相平行. l (3)不用反证法证明 A 2
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3 求证: l1∥l3 证明:作直线l，分别与直线l1 ，l2 ， l3交于于点A，B，C。
l1 l2 l3
B 1 C 3
∵l1∥l2 ,l 2∥l 3（已知） ∴∠2 =∠1 ，∠1 =∠3（两直线平行，同位角相等） ∴∠2 =∠3（等式性质） ∴ l1∥l3 （同位角相等，两直线平行）
Ｂ
假设所求证的结论不成立，即 ＜ ＜ ＜ ∠Ａ＿＿６０°， ∠Ｂ＿＿６０°，∠Ｃ＿＿６０° 则 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ ＜ １８０度 三角形的内角和等于１８０° 这于＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿矛盾 不成立 所以假设命题＿＿＿＿＿＿， 所以，所求证的结论成立．
Ｃ
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直 线平行,那么这两条直线也互相平行.
三角形的三个内角和等于180°矛盾； 这与____________________________
在证明一个命题时,人们有时
先假设命题不成立, 从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛 盾,或者与定义,公理,定理等矛盾, 从而得出假设命题不成立，是错误的,
即所求证的命题正确.
这种证明方法叫做反证法.
在你的日常生活中也有类似的例子吗?请举一 至两个例子.
试一试
已知：如图，直线a,b被直线c所截， ∠1 ≠ ∠2
c
1
a b
求证：a∥b
2
证明：假设结论不成立，则a∥
∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等) 这与已知的∠1≠∠2矛盾 ∴假设不成立 ∴ a∥ b
延伸拓展 你能用反证法证明以下命题吗？
(1)你首先会选择哪一种证明方法? (2)如果选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾?
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3 求证： l１∥l３
p
证明：假设l１不平行l３，则l１与l３相交,设交点为p. ∵l１∥l２ , l２∥l３, 则过点p就有两条直线l１、 l３都与l２平行，这与“经过直线外一点，有 且只有一条直线平行于已知直线”矛盾． 所以假设不成立，所求证的结论成立， 即 l１ ∥ l３
已知:如图,直线l与l1,l2,l3 都相交,且 l1∥l2,l2∥l3,
求证:∠1=∠2
l
1 2
l1 l2 l3
发生在身边的例子:
妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天在外地旅游.
小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈 呢!
上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么? 小芳全家没外出旅游. 他是如何推断该命题的正确性的?
定理
求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平 行直线中的一条相交,那么和另一条也相交. 已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交 于点P. l 求证: l3与l2相交. l1 P l3与l2 不相交. 证明: 假设____________, l2 l3∥l2 即_________. l1∥l2 因为已知_________, 所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行, 经过直线外一点,有且只有一条直 这与“_______________________ 线平行于已知直线 _____________”矛盾. 所以假设不成立,即求证的命题正确. 所以 l3与l2相交.
有人问王戎为什么，
从前有个聪明的孩 子叫王戎。他7岁时,与 小伙伴们外出游玩,看 到路边的李树上结满了 果子.小伙伴们纷纷去 摘取果子,只有王戎站 在原地不动.
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?
他运用了怎样的推理方法?
王戎推理方法是:
如图，在△ABC中,若∠C是直角， 那么∠B一定是锐角. 直角 或______. 钝角 证明：假设结论不成立,则∠B是_____ 直角 B+ ∠C= 180° 当∠B是_____时，则∠ _____________ 三角形的三个内角和等于180° 这与____________________________ 矛盾； 当∠B是_____ 钝角 时，则______________ ∠B+ ∠C＞180° 综上所述,假设不成立. ∴∠B一定是锐角.
假设“李子甜” 树在道边则李子少
与已知条件“树在道边而多子”产生矛 盾
假设 “李子甜”不成立
所以“树在道边而多子,此必为苦李” 是正确的
在证明一个命题时,人们有时
先假设命题不成立, 从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛 盾,或者与定义,公理,定理等矛盾, 从而得出假设命题不成立，是错误的,
反证法的一般步骤:
假设命题结 论反面成立
假设
假设命题结 论不成立 与已知条 件矛盾
所证命题 成立
推理得出 的结论
与定理，定义， 公理矛盾
假设不 成立
(1)课本第87页作业题 (2)见作业本.
；
/ 聚星娱乐
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也不知道究竟会面临什么，谁也不会冒着个险的。”我说：“所以你就把它带出来了？”山神说：“那个面墙上有八个，摆成 了北斗七星图的样子，但是居然多了一个，我只是拿了其中一个多出来的罢了。”看他说的云淡风轻，我说：“刚才那怪物很 有可能是你乱拿那里的东西导致的，通常宝物都是有很强大的怪兽守护的。”山神依旧那副关我什么事的样子说：“那可能 吧。”我真是要被他气死了说：“那你怎么法力又突然回来了。”山神说：“我刚拿了这个斯巴图就有一只一米多长的蜈蚣爬 了出来，而且这只蜈蚣通体红色，还冒着光，我就想这洞里的光可能就是这个东西发出来的。这只蜈蚣的身上还散发着一股腐 臭味。这只蜈蚣向我爬过来，我转身就跑，可怎么跑都找不到洞口，那个山洞很大，而且有很多洞穴，一个洞穴连着另一个洞 穴，极其复杂，我跑了很久都没有跑出去。”听到这里我突然想到了他可能遇到了鬼打墙。山神说：“刚开始我也以为是鬼打 墙，但是这是不可能的，首先我是山神，除非那东西的法力高到难以想象的地步，不然我一定会发现的，还有我一路在做记号， 没有回到原点，后来我就想到唯一出去的方法可能就在那只蜈蚣身上，我就停了下来，看着紧追着我的蜈蚣，那蜈蚣可能也懵 了，因为我一直跑，突然我就停下来了，还看着它，它也就停了下来，但是只是仅仅一秒，他就向我扑过来，只有后面两只腿 着地，就像人一样扑过来，我就赶紧闪开了，这东西看见扑了个空，就有点发怒了，它发出吱吱的声音，突然后很多只蜈蚣从 四面八方走过来，都是只有后面两只触角着地，它们迅速的跳起来，我捏住了几个，几下就捏碎了，那液体是红色的，而且我 的手有灼烧的感觉，后来我真个身体都被蜈蚣淹没了，它们并没有咬我奇怪的是他们将我拖到了一个更大的洞穴里，你知道我 在这个洞穴里看到什么了吗？”山神故作神秘地问，我不耐烦的说：“有话快说，有屁快放。”山神白了我一眼说：“我看到 了一条千年白蛇。”我惊讶地说：“我去，白娘子不是在雷峰塔吗，怎么在这了。”山神说：“我当时也在想这里怎么会有一 条千年白蛇呢，在想着的时候，我发现这个白蛇的脖子上居然也有一颗天珠，但比你那颗要小的多，这个白蛇利用这颗天珠控 制这些蜈蚣，我应该是被当做他们的食物了，我们来的时候不是在草地里发现了相机但没看见人的尸骨吗，就是被这条白蛇吃 了。”我感叹道：“难怪梅里雪山至今没有人攀登过。”山神继续说：“可惜他今天遇到了山神我，虽然法力全无，但是他忘 记了我还有麒麟，后来我就像对付刚才那妖怪一样，把白蛇给收拾了，想不到有一天我也成了法海啊”我问：“那天珠呢。” 山神说：“在我确定那白蛇死了之后我去看它脖子上的天珠，但是那
3
反证法的一般步骤:
假设命题结 论不成立
假设
假设命题结 论反面成立 与已知条 件矛盾
所证命题 成立
推理得出 的结论
与定理，定义， 公理矛盾
假设不 成立
试试看!
用反证法证明（填空）：在三角形的内角中，至少有一个角 大于或等于６０°
已知：如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角
Ａ
求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角大于或等于６０度 证明
即所求证的命题正确.
这种证明方法叫做反证法.
1、写出下列各结论的反面：
（1）a//b （2）a≥0 （3）b是正数 （ 4） a⊥ b ( 5 ) 至多有一个 （6）至少有三个 ( 7 ) 至少有一个 ( 8 ) 至少有n个
a∥b a<0
b是0或负数
a不垂直于b
至少有两个
至多有两个
一个也没有
至多有(n-1)个