数阵图讲义
第09讲-数阵(教)
学科教师辅导讲义知识梳理一、数阵图把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图。
数阵是一种由幻方演变而来的数字图。
二、数阵图的分类封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。
三、数阵图的解法（1）辐射型数阵图主意一：尝试法，即去掉中间数时剩下的数应该两两一对，每队和相等，因此最中间数只能填最大数、最小数或中间数；主意二：公式法，线和×线数=数字和+重叠数×重叠次数；重叠次数=线数-1（2）封闭型数阵图公式：线和×线数=数字和+重叠数之和（3）复合型数阵图综合了辐射型和封闭型数阵图的特点，要详细情况详细分析。
第 1 页/共11 页典例分析考点一：辐射型数阵图例1、把1～5这五个数分离填在下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
【解析】中间方格中的数很异常，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。
也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，惟独重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。
因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。
重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。
例2、将1～7这七个天然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。
【解析】与例1类似，知道每条边上的三数之和，但不知道重叠数。
因为有3条边，所以中间的重叠数重叠了两次。
于是得到(1+2+…+7)+重叠数×2=10×3。
由此得出重叠数为[10×3-(1+2+…+7)]÷2=1。
剩下的六个数中，两两之和等于9的有2，7；3，6；4，5。
可得右上图的填法。
倘若把例4中“每条边上的三个数之和都等于10”改为“每条边上的三个数之和都相等”，其他不变，那么模仿例3，重叠数可能等于几？怎样填？考点二：封闭型数阵图例1、将1~6六个天然数分离填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于11.【解析】此图是封闭3—3图，因为每条边上的和都为11，那么三条边上的数字之和为11⨯=，而1+2+…+5+6=21.所以三角形的三个数之和等于33-21=12，在1~6中选3个和为12 333的数，且其中随意两个的和不等于11，这样的组合有：12=2+4+6=3+4+5,经实验，填法如图。
数学：第七讲《树阵图》讲义
三年级尖子班第七讲数阵图【例1】(难度★)∼分别填入下图的○中，①将19使得横、竖五个数相加的和都等于25。
②(难度★★)请你把1～7这七个自然数，分别填在下图（1）的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等．应怎样填？【分析】①（1）这9个自然数+++++之和：123456+++=；78945（2）这个图形共有2条边，2×=；条边总和为25250（3）而中间数被重复计算了1−=；次，所以，中间数=50455（4）剩下8个数之和为40，所以每边剩下2数之和为÷=；40220=+++=（5）凑数，209731+++，那么可得填法如右8642上图（答案不唯一）②1~7这七个自然数的和为：123456728++++++=； 而中心数被重复计算了两次，假设中心数为a ，三条直线上的三个数总和为S ，则2823a S +=，即282a +能被3整除，所以，中心数a 的可能取值为：1、4、7；（1）当a 的取值为1时，除中心数外其它两数和为9273645=+=+=+（2）当a 的取值为4时，除中心数外其它两数和为8172635=+=+=+（3）当a的取值为7时，除中心数外其它两数和为=+=+=+7162534答案如图所示。
【例2】(难度★★)将1~6这六个自然数分别填入下图的六个○中使得三角形每条边上的三个数之和都相等【分析】（1）这6个自然数之和：12345621+++++=；（2）假设每条边上的数字和为S,重复数为a 、b 、c ，则213a b c S +++=，而3S 是3的倍数，所以21a b c +++也是3的倍数， 所以，a b c ++可能的取值为：6、9、12、15；⑶凑数，当6123a b c ++==++时，答案如图所示； 当9135a b c ++==++时，答案如图所示；当12246a b c ++==++时，答案如图所示；当15456a b c ++==++时，答 案如图所示。
四年级数学思维能力拓展专题突破系列(二十)数阵图讲义(含答案)
四年级数学思维能力拓展专题突破系列（二十）数阵图------数阵图基础（1）1、掌握什么是数阵图2、会灵活应用多种方法求数阵图1、掌握数阵图的概念。
2、灵活应用数阵图的求解方法。
例题1：把1～5这五个数分别填在右图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9？例题2：将1～7这七个自然数填入右图的七个○内，使得每条线上的三个数之和都等于10。
例题3：将 10～20填入右图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。
例题4：下把1～5这五个数填入下图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等。
（即是该课程的课后测试）练习1：如图，将1～7这七个数分别填入图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12或10。
练习2：如图将1～9这九个数分别填入图中的○里（其中9已填好），使每条直线上的三个数之和都相等。
练习3：如图，将1～9这九个数分别填入图中的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。
（至少找出两种本质上不同的填法）练习4：如图，将3～9这七个数分别填入图的○里，使每条直线上的三个数之和等于20。
练习5：如图，将1～11这十一个数分别填入图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。
练习1：解析：练习2：解析：练习3：解析：练习4：解析：练习5：解析：中心数是重叠数，并且重叠4次。
所以每条直线上的三数之和等于［（1＋2＋…＋11）＋重叠数×4］÷5＝（66＋重叠数×4）÷5。
为使上式能整除，重叠数只能是1，6或11。
显然，重叠数越大，每条直线上的三数之和越大。
所以重叠数是11，每条直线上的三数之和是22。
四年级数学思维能力拓展专题突破系列（二十）数阵图------数阵图基础（2）1、掌握什么是数阵图2、会灵活应用多种方法求数阵图1、掌握幻方的概念。
2、求解幻方的方法。
例题1：请你将1～9这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的三数之和相等。
第29讲数阵图
第29讲、数阵图----初级版数阵是比较常见的填数问题，是一种老少都为之着迷的数学游戏。
无论数阵怎么变化，也都有规律可循，解题的关键就是求出重叠数。
只要你细心观察、分析，相信你一定能够解决更复杂的数阵问题。
一、数阵图的分类：1、数阵图分辐射型数阵图2、封闭型数阵图3、复合型数阵图。
二、解题方法1、去头、去尾、去中间。
2、求已知数总和，3、求数阵图中的总和，也就是图和－数和＝“公用数”的总和。
1、1、将1、2、3、4、5填入下图的方格中，使横行、竖列的和都是10。
2、将1、3、5、7、9、11填入下图的圈内，使得对两个正方形，各自顶点上的数的和都等于22。
知识导引金典例题3、将1～7这七个数填入下图的圈内，使每一个正方形的四个数的和相等。
4、将1～9这九个数填在下图的圈中，使得横行的5个数，和是24.竖列的5个数，和也是24。
5、将1～8填入图中的圈内，使每条线上3个数的和都是12。
6、将3—9这七个数分别填入右图中的○里（其中9已填好），使每条直线上的三个数之和都相等。
9基础入门1、将1到9这九个数填入下图，使得从中心出发的每条线段上的三个数的和相等。
2、将1—7这7个自然数填入下图的7个○内，使得每条边上的3个数之和都等于10。
4623、将1—6这6个自然数分别填入右图的6个○内，使每条边上的3个数之和都等于10。
4、将2—9这8个数分别填入下图的○里，使每条边上的3个数之和等于18。
5、 右图中三个圆圈两两相交形成七个部分，分别填上自然数1~7，在一些部分中，自然数2、4、6三个数已经填好，请填上其余各数，使每个圆圈中四个数的和都是14.6、请将1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数分别填入下图的九个小圆圈里，使每个三角形上三个数的和都等于15。
10658714102030每列、每条对角线上各数和都等于27。
2、在有图中的空格内填入适当的数，使每行、每列、每条对角线上各数的和都等于33。
3、在空格中填入不同的数，使每一横行、竖行、斜行三个数的和等于75。
奥数第三讲 数阵图
第三讲数阵图
把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图，即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。
数阵图分为三类：辐射型、封闭型、复合型（辐射和封闭均有）。
辐射型：从一个点出发向外发射很多条线，每条线上的空格都相同。
封闭型：多边型或圆形的封闭图形中有很多空格去填写。
复合型：辐射型和封闭型均有。
辐射型数阵图封闭型数阵图复合型
【数阵图解题方法】
一、整体分析法
1.求给出所空格中的数和（也就是题目给出的数的和）；“总和”
2.求出所有线上的和，这里称为“线和”。
你会发现线和总是比总和大，去找原因：某些空在线和中算了多次，也就是重复了。
(这个可以通过画线的办法去知道哪些重复了，重复了几次！)
3.初步判断重复位置填的数。
再去填空（这里最好能知道一条线的和“幻和”）
二、局部分析法
往往有些数阵图，明确目标后只要知道除了目标以外的几条线的和就立即可以知道答案了！
走美2011年第11道题1+2+3+4+5+6+7=28
有“/”两条线正好把“nt”空出来了，正好：28-11-11=6，所有“nt”填6.
【小技巧】
辐射型数阵图：对于一直线上有奇数个空格的辐射型数阵图，往往中心位置填写：“首数、末数、中间数”，再去配对，题目就特别容易了。
五年级上册数学培优奥数讲义-第23讲 数阵图
第23讲数阵图知识与方法数阵图问题千变万化，需要综合运用各种数学知识来解决问题，而往往同学们喜欢毫无顺序的“瞎试”，本讲要介绍一些通用的方法。
所以，一般是先用公式法分析出重复数，再用尝试法进行试填。
方法一：尝试法：所给的是一个等差数列，并且每条线上的数是奇数个时，中间数只能填最大数、最小数或中间数，因此可以依据这个规律进行尝试。
方法二：公式法：线和×线数＝数字和＋重复数×重复次数初级挑战1将1～7分别填入下图的7个○内，使每条线段上三个○内数的和相等。
思维点拨：观察发现，每条线上的三个数之和相等，而这三条线相交刚好重复了一个数，我们叫做重复数。
除去重复数，三条线上其他两数之和应相等。
1～7中，找出三组和相等的六个数即可，剩下的一个数填中间。
答案：（答案不唯一）能力探索1把1～11分别填入下图的○内，使每条线段上3个○内数的和相等。
答案：中间重复数为1或6或11。
给出一种填法：（答案不唯一）初级挑战2将数字1～8填入图中，使横行方框中的数之和与竖列方框中的数之和相等且为19。
思维点拨：本题的关键在于先确定中间重复数。
横行和竖列的和为19×2＝38，而实际上所有方框中的数之和为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，38－36＝2，多出来的2正好是中间重复的数。
答案：（答案不唯一）能力探索2将2～8填入下图的方框中，使横行、竖列的和相等且为20。
答案：中间重复数：20×2－（2＋3＋4＋…＋8）＝5。
（答案不唯一）中级挑战1将1～10这十个自然数填入下图的○中，使每个圆上六个数的和为29。
思维点拨：两个大圆圈的和为29×2＝58，而圆圈上所有的数之和为：1＋2＋3＋…＋10＝55，因此中间两个圆圈数（重复数）的和为58－55＝3，而3＝1＋2，由此可先填出中间的两个圆圈数分别为1和2，再两两配对填出其它数即可。
答案：（答案不唯一）把数字1～8分别填入下图的小圆圈内，使每个五边形上5个数的和都等于20。
第四讲-有趣的数阵图学生版-奥数教程-讲义
第四讲有趣的数阵图经典精讲:数阵图: 将一些数按照一定的要求排列成各种各样的图形。
数阵图是一种趣味性很强的填数游戏, 它的形式多样, 绚丽奇妙。
这里给同学们介绍三种形式的数阵图, 即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。
（一）辐射型数阵图（像雪花）从一个中心出发, 向外作若干条射线, 在每条射线上安放同样多个数, 使其和是一个不变的数。
突破关键：确定中间数, 多算的次数, 公共的和线数x公共的和=数和+中心数x重复次数【例1】把1—5 这五个数分别填在左下图中的方格中, 使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
【例2】把1—7这七个数分别填入图1中的各○内, 使每条线段上三个○内数的和相等。
【课堂练习】将1～11这11个数分别填入图11中的方格内, 每个数只许用一次, 使相邻两个或三个方格内数的和都相等。
（二）封闭型数阵图（像围墙）多边形的每条边放同样多的数, 使它们的和都等于一个不变的数。
突破关键：确定顶点上的数字, 公共的和边数x公和=数和+重叠数和【例3】把1～6这六个数分别填在下图中三角形三条边的六个○内, 使每条边上三个○内数的和相等。
（本题有24种填法, 你能想出几种？）【例4】将2—9这八个数分别填入右图的○里, 使每条边上的三个数之和都等于18。
【课堂练习】1.1—10这十个数, 分别填在图9中五边形五条边上的十个○内, 并使五条边上的三个○内数的和相等。
2.把1—8这8个数, 填入图13中的八个○内, 使每条线段上的四个数的和, 与每个四边形四个顶点上的四个数的和都相等。
（三）复合型数阵图既有辐射型数阵图的特点, 又有封闭型数阵图的特点。
突破点: 找出关键位置重复次数。
【例5】将1～7这七个数分别填入下图的○里, 使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。
【课堂练习】1.将1.2.3.4.5.6六个数字填入图中的小圆圈内, 使每个大圆上四个数字的和是16。
2. 将1—8这八个数, 分别填入图10中两个圆圈的八个○内, 使每个圆圈上五个○内数的和分别为20、21.22。
第六讲 数阵图
例题8：将2～9这八个数分别填入右图的○里，使每 条边上的三个数之和都等于18。
练习8：将1～8填入左下图的八个○中，使得每条边 上的三个数之和都等于15。
例题9：把1～7分别填入左下图中的七个空块里，使每 个圆圈里的四个数之和都等于13。
练习9：将1～8填入右上图的八个○中，使得每条直线上 的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
巩固练习
例题4：将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内， 使得每条边上的三个数之和都等于10。
练习4：将3～9这七个数分别填入左下图的○里，使每 条直线上的三个数之和等于20。
例题5： 将 10～20填入左下图的○内，其中15已填 好，使得每条边上的三个数字之和都相等。
练习5：将1～11这十一个数分别填入右上图的○里， 使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。
例6 将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大 圆上的五个数之和都等于21。
练习6：把1～8填入下页左上图的八个○里，使每个圆 圈上的五个数之和都等于20。
例题7：将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○内， 使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。
练习7：将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○中， 使得三角形每条边上的三个数之和都相等。
第六讲 数阵图
知识精讲 在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜， 奇妙无穷。它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人 有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化。 那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：
左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周 上的四个数字之和都等于13。右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三 行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的 三个数字之和都等于15，不信你就算算。
第三讲数阵图要点
解： .
a. 1
65
2 43 3
b.
1
5
6
342
c.
2
6
4
1 53
d. 2
46
351
练一练：
e.
f.
3
3
54
45
162
2
61
把 1~8 个数分别填入○中 , 使每条边上三个数的和相等 .
答案 :
183
5
7
64 2
例（ 2 ） 把 1~7 填入下图中 , 使每条线段上三个○内的数的和相等 .
分析 ： 中心圆填入的数设为 x，x 参与 3 条线的连加， 设每条线数字和都 为 S. 由题意：
分析： 设未被标出的数为 a，则被标出的八个数之和为 1＋ 2＋, ＋ 9-a ＝ 45-a 。由于每个顶点都属于三个面，所以六个面的所有顶点数字之和为
6k＝3×（ 45-a ）， 2k＝ 45-a 。 2k 是偶数， 45－a 也应是偶数，所以 a 必为奇数。 若 a＝1，则 k＝22； 若 a＝3，则 k＝21； 若 a＝5，则 k＝20； 若 a＝7，则 k＝19； 若 a＝9，则 k＝18。 因为 k 不能被 a 整除，所以只有 a＝7，k＝19 符合条件。 由于每个面上四个顶点上的数字之和等于 19，所以与 9 在一个面上 的另外三个顶点数之和应等于 10。在 1，2，3， 4， 5， 6， 8 中，三个数 之和等于 10 的有三组： 10＝ 1＋3＋6 ＝1＋4＋5 ＝2＋3＋5， 解： 将这三组数填入 9 所在的三个面上，可得下图的填法。
二、典例剖析：
例（ 1） 将 1~6 分别填在图中 , 使每条边上的三个○内的数的和都等于 9.
小学思维数学讲义：数阵图(一)-含答案解析
数阵图（一）1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第6题 【解析】87654321【答案】例题精讲知识点拨教学目标87654321【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？（1）【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：（2）h gf ed c baa+b+c=14（1）c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8， 又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行.若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行. 若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行. 若g=1，则a=8，c=4，e=7.说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数阵的解题突破口.【答案】【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是 。
第17讲 数阵图
第17讲数阵图（二）例1在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。
解：由上一讲例4知中间方格中的数为7。
再设右下角的数为x，然后根据任一行、任一列及每条对角线上的三个数之和都等于21，如下图所示填上各数（含x）。
因为九个数都不大于12，由16－x≤12知4≤x，由x+2≤12知x≤10，即4≤x≤10。
考虑到5，7，9已填好，所以x只能取4，6，8或10。
经验证，当x＝6或8时，九个数中均有两个数相同，不合题意；当x＝4或10时可得两个解（见下图）。
这两个解实际上一样，只是方向不同而已。
例2将九个数填入右图的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则一定有证明：设中心数为d。
由上讲例4知每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d。
由此计算出第一行中间的数为2d——b，右下角的数为2d-c（见下图）。
根据第一行和第三列都可以求出上图中★处的数由此得到3d-c-（2d-b）＝3d-a-（2d-c），3d-c-2d＋b＝3d-a-2d＋c，d——c＋b＝d——a＋c，2c＝a＋b，a＋bc＝2。
值得注意的是，这个结论对于a和b并没有什么限制，可以是自然数，也可以是分数、小数；可以相同，也可以不同。
例3在下页右上图的空格中填入七个自然数，使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90。
解：由上一讲例4知，中心数为90÷3＝30；由本讲例2知，右上角的数为（23＋57）÷2＝40（见左下图）。
其它数依次可填（见右下图）。
例4在右图的每个空格中填入个自然数，使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等。
解：由例2知，右下角的数为（8＋10）÷2=9；由上一讲例4知，中心数为（5＋9）÷2=7（见左下图），且每行、每列、每条对角线上的三数之和都等于7×3=21。
六年级第三讲 数阵图
六年级第三讲数阵图数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。
幻方一般均为正方形。
图中纵、横、对角线数字和相等。
数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。
变幻多姿，奇趣迷人。
一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。
数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。
它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。
解数阵问题的一般思路是：1.求出条件中若干已知数字的和。
2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。
3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。
有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。
辐射型数阵图例1 将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。
例2将1～7七个数字，分别填入图中的各个○内，使每条线上的三个数和相等。
例3将从1开始的连续自然数填入各○中，使每条线上的数字和相等。
例4将1～9九个数字，填入下图各○中，使纵、横两条线上的数字和相等。
例5 将1～11十一个数字，填入下图各○中，使每条线段上的数字和相等。
封闭型数阵例1把2、3、4、5、6、7六个数字，分别填入○中，使三角形各边上的数字和都是12。
例2把1～9九个数字，分别填入下图○中，使每边上四个数的和都是21。
例3下图是四个互相联系的三角形。
把1～9九个数字，填入○中，使每个三角形中数字的和都是15。
例4 把2～10九个数字，分别填入下图○中，使每条直线上的三个数和为15。
例5 把1～10十个数字，分别填入下图○中，使每个三角形三个顶角的三个数字和相等。
例6 将1～12分别填入下图○中，使图中每个三角形周边上的六个数的和都相等。
例题7九个数分别填入下图○中，使每条直线上的三个数的和都相等。
例8 将1～8八个数字，分别填入下图○中，使每个小三角形顶点上三数之和为12。
五年级下册数学讲义-第九讲 数阵图综合(解析版PDF)全国通用
二、复杂数阵图
【例 2】填数字 1~9，使线和为 14
B
C A
D
E
3×14 = 1+2 + 3 +…+ 9 - A
45 = 42 - A
A=3
B + D = 14 - 3 = 11
(2，9),(3，8),(4，7)
因为 C,E 最大为 9，所以 B,D 最小为 5
【例 3】填入数字 1~11，使得线和相等，其中 3，5 已填
B
5
D
17 6
C
2 84
A
3
只加上下两条直线，A+B=8
只加左右两条直线，C+D=8
同【铺 4】，试填
第1讲
40
2.综合
【铺 6】填数字：1~7，使各线段以及圆上的数字和相等
6
2
4
7
3
1
5
填数字：1~7，使各线段上的数字和相等
4
723 16 5
填数字：1~7，使各线段上的数字和相等
1 54 6
以上三图公式如下所示：
第1讲
38
5 2
7
1
3
6
4
A=7 K=14
【铺 2】填数字：1~6，使各线段上的数字和相等
A
1
65
B
C2 4 3
1+2+…+6+A+B+C=3K 21+A+B+C=3K A+B+C=6，9，12，15 K=9，10，11，12 试填 A+B+C=6，K=9 【铺 3】填数字：0~9，使各线段上的数字和为 18，求 A+B
4、第四讲数阵图
第四讲数阵图一、生活实例一个星期六，张华家来了五位同学，好客的张华连忙进去泡茶。
他准备了五只茶杯。
出来时，一位同学似乎发现什么新大陆，指着这五只茶杯道：谁能将1，2，3，4，5这五个数分别标在各个茶杯上，组成一个"十字数阵图"，使这些杯子横行三个数的和与竖列三个数的和相等。
坐在一旁的袁炜峰灵机一动，马上有了主意。
他说：假设我们把这两行数加起来，可以图4-1 发现，这五个杯上的数都加在了一起，并且再多一个中间杯子上的数。
这个和应该是个偶数，而1+2+3+4+5=15是个奇数，因此，在中间这只茶杯上标的一定是个奇数，即有可能是：1、3、5。
我们再看，这些杯子横行三个数的和与竖列三个数的和都共同拥有中间这个数，也就是说上四周的四只茶杯上，只要相对方向的两个数加在一起，值是一样的。
那就可以得到：图4-2数阵图是一种十分巧妙的填数游戏，可以是辐射型的、封闭型的、复合型的等等。
填图或计算数阵时，不光是一个“凑”字可以解决问题的，需要我们仔细观察数阵图的结构，抓住解决问题的关键，找到突破口，然后再根据条件和要求，有的放矢地进行尝试，找出正确的解。
二、要点点击1．数阵或数阵图时，注意数阵本身的特点，各数字的特征。
2．善于观察数阵或数阵图中数与阵形间的必然联系和内在实质性关系。
1．在根据条件和要求猜测的情况下，进行大胆尝试和论证。
二、例题精讲例题 1 请找出图4-3内两种符号的排列规律，并用这一规律完成图4-4。
图4-3 图4-4 图4-5分析与解有些图的规律是看其数字上的特征，或看其排列上的特征，在此题中没有数字，只有“+”、“-”两个符号，许多同学都会从形的角度上去思考，比如说“+”的路线，或者说说它们所显示出来的走向。
实际上在本例中，我们仔细观察可以发现其画法的规律是：当同号并列时，即为“+”、“+”或“-”、“-”时，其下画“+”；当异号并列时，即为“+”、“-”或“-”、“+”，其下画“-”。
数阵图讲解(一)
第16讲数阵图〔一〕我们在三年级已经学习过辐射型和封闭型数阵，其解题的关键在于“重叠数〞。
本讲和下一讲，我们学习三阶方阵，就是将九个数按照某种要求排列成三行三列的数阵图，解题的关键仍然是“重叠数〞。
我们先从一道典型的例题开场。
例1把1～9这九个数字填写在右图正方形的九个方格中，使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等。
分析与解：我们首先要弄清每行、每列以及每条对角线上三个数字之和是几。
我们可以这样去想：因为1～9这九个数字之和是45，正好是三个横行数字之和，所以每一横行的数字之和等于45÷3=15。
也就是说，每一横行、每一竖列以及每条对角线上三个数字之和都等于15。
在1～9这九个数字中，三个不同的数相加等于15的有：9＋5＋1，9＋4＋2，8＋6＋1，8＋5＋2，8＋4＋3，7＋6＋2，7＋5＋3，6＋5＋4。
因此每行、每列以及每条对角线上的三个数字可以是其中任一个算式中的三个数字。
因为中心方格中的数既在一个横行中，又在一个竖列中，还在两对角线上，所以它应同时出现在上述的四个算式中，只有5符合条件，因此应将5填在中心方格中。
同理，四个角上的数既在一个横行中，又在一个竖列中，还在一条对角线上，所以它应同时出现在上述的三个算式中，符合条件的有2，4，6，8，因此应将2，4，6，8填在四个角的方格中，同时应保证对角线两数的和相等。
经试验，有下面八种不同填法：上面的八个图，都可以通过一个图的旋转和翻转得到。
例如，第一行的后三个图，依次由第一个图顺时针旋转90°，180°，270°得到。
又如，第二行的各图，都是由它上面的图沿竖轴翻转得到。
所以，这八个图本质上是一样的，可以看作是一种填法。
例1中的数阵图，我国古代称为“纵横图〞、“九宫算〞。
一般地，将九个不同的数填在3×3〔三行三列〕的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，那么这样的图称为三阶幻方。
3-04-数阵图形4-讲义-教师
第4讲有趣的数阵图
【学习目标】
1、认识数阵图；
2、提高逻辑推理能力；
3、提升学习数学的兴趣。
【知识梳理】
一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我们称它为“数阵图”。
在解答这类问题时，要善于确定所求的和与关键数字间的关系式，用试验的方法，找到相等的和与关键数字，要会对基本解中的数进行适当调整，得到其他的解，从而培养自己的观察能力，思维的灵活性和严密性。
【典例精析】
【例1】在下面的6个圆圈中分别填入0，1，2，3，4，5每个数字只能用一次，使各边上的三个数字的和相等。
【趁热打铁-1】在下面的6个圆圈中分别填入3，4，5，6，7，8每个数字只能用一次，使各边上的三个数字的和相等。
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54321 776655443322117654321a首先我们观察下图：图中有4个大圆，每个圆周上都有四个数字，神奇的是，每个圆周上的四个数字之和都等于20。
不信，你就算算。
上面这幅图就是数阵图。
把给定的一些数按一定的要求或规律填在特定形状的图形中，这样的图形叫做数阵图。
数阵图绚丽迷人，变化多端，引人入胜。
常见的主要有三种：（1）辐射型（2）封闭型（3）复合型。
一般说来，数阵图主要讨论以下两个问题：（1） 满足某种条件的填法是否存在；（2） 在填法存在的情况下，把待定的数字补充完整。
这一讲我们学习辐射型数阵图。
【例1】 把1～5这五个数分别填在下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于8。
【分析与解】这是辐射型数阵图。
你可能觉得这道题太简单了，七拼八凑就会写出正确答案。
可是，你明白其中的道理吗？下面我们就一起来探索其中的道理，只有弄清其中的道理，才可能解答更复杂巧妙的数阵图问题。
中间方格的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“中心数”。
用字母a 表示。
因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于8。
所以横行的三个数之和加上竖列的三个数之和为（8＋8=）16，即（1＋2＋3＋4＋5）＋a =8＋8，整理得：15＋a =16。
为什么还要加上a 呢？因为 a 是中心数，相加时一共被加了两次，其余各数均被加了一次。
在计算1＋2＋3＋4＋5时已计算了一次，所以最后还要加上a 。
解得：a =1求出了中心数。
其余各数就好填了。
如图所示。
【例2】 把1～7这七个数分别填入下图的各个方格内，使每条线段上三个○内数的和相等。
654321c b a 【分析与解】首先，我们分析一下，这七个○内的数中，哪几个数是关键？由图我们看到，在计算每条线段上三个数的和的过程中，都要用到中心数。
另外，还要知道每条线段上三个数的和是几。
所以，确定中心数和每条线段上三个数的和是解答本题的关键。
为此，我们设图中的中心数为a ，每条线段上三个○内数的和为k ，则3k=（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7）＋2a3k=28＋2a下面，我们利用上面得到的关系式3k=28＋2a 来确定中心数a 的值。
因为等式左边是3k ，无论k 是多少，3k 一定是3的倍数，所以等式右边也是3的倍数。
观察3k=28＋2a ，28除以3余1，则2a 除以3余2，经过尝试，a=1或4或7。
（1）当a=1时，得k =（28＋2×1）÷3k =10这就是说，这个数阵如果以1为中心数，那么，每条线段上三个○内数的和是10。
这样，我们就可以把1填入原来图形的中心○内，然后把其余六个数，两个两个地组合在一起，使它们的和为9。
因为，2＋7=3＋6=4＋5=9所以，我们把每组两个数填入原图中每条线段的两个○内，就得到了这个题的第一个基本解，如图所示。
（2）当a=4时，得k =12这样，我们又可以得到一个基本解，如图所示。
（3）当a=4时，得k =14这样，我们还可以得到又一个基本解，如图所示。
如果我们把这三个基本解，除中心数以外的数进行旋转或内外对调，又可得其它形式的解。
但我们今后解题时，只要求求出基本解。
【点评】本题数阵图特点是：从一个中心出发，向外作了三条射线，而且每条线段上的数之和都相等。
这样的数阵图就叫做辐射型数阵图。
填辐射型数阵图的关键是确定中心数a 与每条线段上几个○内数的和k 。
解题的主要步骤是：（1） 找出a 与k 的关系式；（2） 通过a 、k 关系式中余数的讨论，确定中心数a 值。
（3） 根据a 的值，利用a 、k 关系式求出k 的值，然后试验填数阵图。
【例3】 把1～6这六个数分别填入下图的六个圆圈中，使三角形三条边上三个圆圈内数字的和都相等。
【分析与解】 因为三个顶点上的数在求和时，都用了两次，我们用a 、b 、c 表示这三个数。
每条边上三个数的和用k 表示，三条边的总和就是3k 。
并且有：3k=1＋2＋3＋4＋5＋6＋a ＋b ＋c3k=21＋a ＋b ＋c因为等式左边是3k ，一定是3倍数，所以等式右边的结果也一定是3的倍数。
观察21＋a ＋b ＋c ，21是3的倍数，则a ＋b ＋c 的和一定也是3的倍数。
下面来讨论a ＋b ＋c 的取值范围，它至少是1＋2＋3=6，至多是4＋5＋6=15。
把a ＋b ＋c 的结果代入到3k=21＋a ＋b ＋c ，则3k 的最小值是27，最大值是36，所以k 的最小值是9，最大值是12。
选择当k=9时，a ＋b ＋c=6，则a 、b 、c 是1、2、3。
把1、2、3填入三个顶点的圆圈中，每边中间的121110987654321a数可用和（9）减去另两个数就可以求出。
例4：把1～12这12个数填入下图圆圈中，使正方形每边上四个数的和都相等并且尽可能小。
【分析与解】 解题的关键是抓住中心数进行分析，我们用字母a 、b 、c 、d 表示顶点上的4个数。
可知4k=1＋2＋……＋12＋（a ＋b ＋c ＋d ），即 4k=78＋（a ＋b ＋c ＋d ）因为等式左边是4k ，一定是4的倍数，则等号右边的结果也一定是4的倍数。
因为78除以4余2，则（a ＋b ＋c ＋d ）的和除以4也余2，只有这样余数相加的和才能是4的倍数。
a ＋b ＋c ＋d 的最小值是1＋2＋3＋4=10，最大值是9＋10＋11＋12=42。
下面我们选择最小值进行讨论。
当a ＋b ＋c ＋d=10；则4k=78＋10=88，可以算出k=22。
将1、2、3、4填入四个顶点中，用每边四个数的和22减去每边上已填入的两个数的和，依次得出各边所缺的两个数的和；由于还剩5、6、7、8、9、10、11、12这些数未填，分别组成每边所缺的部分填入圆圈中，可以得到解答。
【配套练习】 将1～8这八个数分别填入下图的8个○内，使每个大圆上五个数的和都是21。
【分析与解】本题的关键是要先确定两个圆周上交叉点上的两个○内的数。
我们用字母a 、b 表示交叉点上的两个数。
可知：（1＋2＋……＋8）＋a ＋b=21×2，所以a ＋b=42－36=6。
在已知的八个数1～8中只有1和5，2和4这两组数的和是6。
每个大圆上另外三个数之和均为21－6=15。
如果a ，b 分别为2和4，那么剩下的六个数1，3，5，6，7，8平分为两组，每组三数之和为15的只有：1＋6＋8=15和3＋5＋7=15。
故有上图的填法。
如果a ，b 分别为1和5，那么同样可以得到如图的填法。
例5 将1至8这八个数填入下图方方格中，使每一横行、每一竖列三个方格中数的和都等于14。
分析与解：在本题中，中心数只有一个，用a 表示。
一共有一个竖行、两个横行，每行的和设为k ，所有行的总和就是3k 。
并且有：3k=1＋2＋3＋……＋7＋8＋a3k=36＋a从前面的学习中已经知道，3k 一定是3的倍数，所以36＋a 也一定是3的倍数；36是3的倍数，因765432176543217654321 7654321 876543218765432187654321此a 也应该是3的倍数。
a 可以是3、6。
如果a=3，则k=13；如果a=6，则k=14。
这样，得到两种填法：例6 将1至7这七个数填入下面圆圈中，使每条边上三个数的和相等，两个三角形三个顶点上圆圈内数的和也相等。
分析与解一：设中心数为a ，相等的和为k 。
（1＋2＋3＋……＋7）×2＋a ＝5k56＋a ＝5ka ＝4，则k ＝12当中心数为4时，将其余的六个数1，2，3，5，6，7分成两组（1，5，6）；（2，3，7）填写在两个三角形三个顶点上圆圈内。
分析与解二：用前面学过的方法，可以填得下面三种情况，使每条边上三个数的和都相等。
在第一幅中，除公共数1以外，其余六个数的和是27，如果要使两个三角形顶点圆圈内数的和相等，则每个三角形三个顶点内数的和是27÷2=13.5，这是无法办到的。
同样的分析，第三幅图中除公共数7以外，其余六个数的和是21，而21÷2=10.5，显然无法填出符合条件的数阵。
第二幅图中除公共数4外，其余各数的和是24，24÷2=12，即三角形三个顶点中三个数的和是12。
练习：将例题中的“1至7”换成“2至8”，其余条件不变，你能找出符合条件的填法吗？例7 把1至8这八个数分别填入下图中的圆圈内，使每个正方形四个角及每条对角线上四个数的和均等于18。
分析与解：因为1＋2＋3＋……＋8=36，图中有两个正方形，所以每个正方形四个数字的和为18。
同样，每条对角线上四个数之和也是18，四个数的和是18的有：2＋4＋5＋7=18，1＋3＋6＋8=18，2＋3＋5＋8=18， 1＋4＋6＋7=18等几种，因此，该题有多种填法。
上面是其中的一种，你还有别的填法吗？配套练习：把1至7这七个数填在下图中的圆圈内，使图中每个大圆和每条直线上的三个数之和都相等。
1 2 4 3 5 6 7。