课时跟踪检测(六) 充分条件与必要条件

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2021_2022学年新教材高中数学课时分层作业6充分条件与必要条件充要条件(含解析)新人教A版必修

课时分层作业(六) 充分条件与必要条件(建议用时：60分钟)[合格根底练]一、选择题1．集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，那么“a ＝3”是“A ⊆B 〞的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [∵A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，A ⊆B ，∴a ∈B 且a ≠1，∴a ＝2或3，∴“a ＝3”是“A ⊆B 〞的充分不必要条件．]2．“x 2－4x －5＝0”是“x ＝5”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [由x 2－4x －5＝0得x ＝5或x ＝－1，那么当x ＝5时，x 2－4x －5＝0成立，但x 2－4x －5＝0时，x ＝5不一定成立，应选B.]3．以下条件中，是x 2<4的必要不充分条件的是( ) A ．－2≤x ≤2 B ．－2<x <0 C ．0<x ≤2D ．1<x <3A [由x 2<4得－2<x <2，必要不充分条件的x 的范围真包含{x |－2<x <2}，应选A.] 4．“|x |＝|y |〞是“x ＝y 〞的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [假设x ＝1，y ＝－1，那么|x |＝|y |，但x ≠y ；而x ＝y ⇒|x |＝|y |，应选B.] 5．a <0，b <0的一个必要条件为( ) A ．a ＋b <0 B ．a －b >0 C. a b >1D. a b<－1A [a ＋b <0a <0，b <0，而a <0，b <0⇒a ＋b <0.应选A.] 二、填空题6．△ABC ，△A 1B 1C 1，两三角形对应角相等是△ABC ≌△A 1B 1C 1的________条件．(填“充分不必要〞“必要不充分〞“充要〞或“既不充分也不必要〞)必要不充分 [由两三角形对应角相等△ABC ≌△A 1B 1C 1；反之由△ABC ≌△A 1B 1C 1⇒∠A ＝∠A 1，∠B ＝∠B 1，∠C ＝∠C 1.]7．a ，b 是实数，那么“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的______条件．充要 [因为a >0，b >0，所以a ＋b >0，ab >0，所以充分性成立；因为ab >0，所以a 与b 同号，又a ＋b >0，所以a >0且b >0，所以必要性成立．故“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的充要条件．]8．条件p ：1－x <0，条件q ：x >a ，假设p 是q 的充分条件，那么a 的取值范围是__________． {a |a ≤1} [p ：x >1，假设p 是q 的充分条件，那么p ⇒q ，即p 对应集合是q 对应集合的子集，故a ≤1.]三、解答题9．指出以下各组命题中，p 是q 的什么条件： (1)在△ABC 中，p ：A >B ，q ：BC >AC ； (2)p ：a ＝3，q ：(a ＋2)(a －3)＝0； (3)p ：a <b ，q ：a b<1.[解] 在(1)中，由大角对大边，且A >B 知BC >AC ，反之也正确，所以p 是q 的充要条件；在(2)中，假设a ＝3，那么(a ＋2)(a －3)＝0，但(a ＋2)(a －3)＝0不一定a ＝3，所以p 是q 的充分条件但不是必要条件；在(3)中，假设a <b <0，那么推不出a b <1，反之假设a b<1，当b <0时，也推不出a <b ，所以p 既不是q 的充分条件，也不是必要条件．10．(1)是否存在实数m ，使2x ＋m <0是x ＜－1或x >3的充分条件？ (2)是否存在实数m ，使2x ＋m <0是x ＜－1或x >3的必要条件？ [解] (1)欲使2x ＋m <0是x ＜－1或x >3的充分条件，那么只要⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－m 2⊆{x |x <－1或x >3}，即只需－m2≤－1，所以m ≥2.故存在实数m ≥2，使2x ＋m <0是x ＜－1或x >3的充分条件．(2)欲使2x ＋m <0是x ＜－1或x >3的必要条件，那么只要{x |x <－1或x >3}⊆⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－m 2，这是不可能的．故不存在实数m ，使2x ＋m <0是x ＜－1或x >3的必要条件．[等级过关练]1．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件D ．无法判断A [因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．]2．假设非空集合A ，B ，C 满足A ∪B ＝C ，且B 不是A 的子集，那么( ) A ．“x ∈C 〞是“x ∈A 〞的充分条件但不是必要条件 B ．“x ∈C 〞是“x ∈A 〞的必要条件但不是充分条件 C ．“x ∈C 〞是“x ∈A 〞的充要条件D ．“x ∈C 〞既不是“x ∈A 〞的充分条件也不是“x ∈A 〞的必要条件B [由A ∪B ＝C 知，x ∈A ⇒x ∈C ，x ∈C x ∈A .所以x ∈C 是x ∈A 的必要不充分条件．] 3．假设p ：x －3<0是q ：2x －3<m 的充分不必要条件，那么实数m 的取值范围是________． {m |m ＞3} [由x －3<0得x <3，由2x －3<m 得x <12(m ＋3)，由p 是q 的充分不必要条件知{x |x <3}⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <12(m ＋3)，所以12(m ＋3)＞3，解得m ＞3.]4．设p ：12≤x ≤1；q ：a ≤x ≤a ＋1，假设p 是q 的充分条件，那么实数a 的取值范围是________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪0≤a ≤12 [因为q ：a ≤x ≤a ＋1，p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12.]5．求关于x 的方程ax 2＋x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． [解] ①当a ＝0时，解得x ＝－1，满足条件；②当a ≠0时，显然方程没有零根，假设方程有两异号实根，那么a ＜0；假设方程有两个负的实根，那么必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1a ＞0，－1a ＜0，Δ＝1－4a ≥0，即0＜a ≤14.综上，假设方程至少有一个负的实根，那么a ≤14.反之，假设a ≤14，那么方程至少有一个负的实根．因此，关于x 的方程ax 2＋x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤14.。

充分条件与必要条件测试题(含答案)

充分条件与必要条件测试题（含答案）班级姓名一、选择题1．“2x =”是“(1)(2)0x x --=”的（）(A) 充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）非充分非必要条件2．在ABC ∆中，:,:p a b q BAC ABC >∠>∠，则p 是q 的（）(A) 充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）非充分非必要条件3．“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若非空集合M N ≠⊂，则“a M ∈或a N ∈”是“a M N ∈”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B 提示：“a M ∈或a N ∈”不一定有“a M N ∈”。

5．对任意的实数,,a b c ，下列命题是真命题的是（）（A ）“ac b c >”是“a b >”的必要条件（B ）“ac b c =”是“a b =”的必要条件（C ）“ac b c <”是“a b >”的充分条件（D ）“a c b c =”是“a b =”的必要条件6．若条件:14p x +≤，条件:23q x <<，则q ⌝是p ⌝的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）非充分非必要条件7.若非空集合,,A B C 满足A B C =，且B 不是A 的子集，则（）A. “x C ∈”是“x A ∈”的充分条件但不是必要条件B. “x C ∈”是“x A ∈”的必要条件但不是充分条件C. “x C ∈”是“x A ∈”的充要条件D. “x C ∈”既不是“x A ∈”的充分条件也不是“x A ∈”必要条件8．对于实数,x y ，满足:3,:2p x y q x +≠≠或1y ≠，则p 是q 的（）(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件9．“40k -<<”是“函数2y x kx k =--的值恒为正值”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件10．已知条件:2p t ≠，条件2:4q t ≠，则p 是q 的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件11.“a ＝2”是“函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在区间[－1，＋∞)上为增函数”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件12．已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。

课时跟踪检测(六) 充要条件

课时跟踪检测（六）充要条件层级(一) “四基”落实练1．已知p ：|a |＞|b |，q ：a 2＞b 2，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为|a |>|b |⇔a 2>b 2，所以p 是q 的充要条件，故选C.2．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，A ⊆B ，∴a ∈B 且a ≠1，∴a ＝2或3，∴“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件．3．x 2－x －2≠0的充要条件是( )A ．x ≠1B ．x ≠2C ．x ≠－1或x ≠2D ．x ≠－1且x ≠2解析：选D 由x 2－x －2＝(x ＋1)(x －2)≠0，得x ≠－1且x ≠2.当x ≠－1且x ≠2时，(x ＋1)(x －2)≠0.则x 2－x －2≠0的充要条件是x ≠－1且x ≠2.故选D.4．已知实数a ，b 满足ab ＞0，则“1a ＜1b 成立”是“a ＞b 成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由1a －1b ＝b －a ab ，∵ab ＞0，∴若1a ＜1b成立，则b －a ＜0，即a ＞b 成立，反之若a ＞b ，∵ab ＞0，∴1a －1b ＝b －a ab ＜0，即1a ＜1b 成立，∴“1a ＜1b成立”是“a ＞b 成立”的充要条件，故选C.5．设全集为U ，在下列条件中，①A ∪B ＝A ；②(∁U A )∩B ＝∅；③∁U A ⊆∁U B ；④A ∪∁U B ＝U .是B ⊆A 的充要条件的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选D 由Venn 图可知，①②③④都是充要条件．6．已知集合A ＝{x |a －2＜x ＜a ＋2}，B ＝{x |x ≤－2或x ≥4}，则A ∩B ＝∅的充要条件是________．解析：A ∩B ＝∅⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2≤4，a －2≥－2.解得0≤a ≤2. 答案：0≤a ≤27．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________.解析：由于方程的解都是正整数，由判别式Δ＝16－4n ≥0得1≤n ≤4，逐个分析，当n ＝1,2时，方程没有整数解；当n ＝3时，方程有正整数解1,3；当n ＝4时，方程有正整数解2.答案：3或48．判断下列命题中p 是q 的什么条件．(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)(1)p ：x ＞1，q ：x 2＞1；(2)p ：△ABC 有两个角相等，q ：△ABC 是正三角形；(3)若a ，b ∈R ，p ：a 2＋b 2＝0，q ：a ＝b ＝0；(4)p ：a ＜b ，q ：a b ＜1.解：(1)因为x ＞1能推出x 2＞1，即p ⇒q ；但当x 2＞1时，如x ＝－2，推不出x ＞1，即q p ，所以p 是q 的充分不必要条件．(2)因为“△ABC 有两个角相等”推不出“△ABC 是正三角形”，所以p q ；但“△ABC 是正三角形”能推出“△ABC 有两个角相等”，即q ⇒p ，所以p 是q 的必要不充分条件．(3)若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，即p ⇒q ；若a ＝b ＝0，则a 2＋b 2＝0，即q ⇒p ，故p ⇔q ，所以p 是q 的充要条件．(4)当a ＝－2，b ＝－1时，－2＜－1推不出－2－1＜1，知p q ；又当a ＝1，b ＝－2时，1－2＜1推不出1＜－2，知q p ，所以p 是q 的既不充分也不必要条件．层级(二)能力提升练1．已知a，b∈R，则“a＜0，b＞0且a＋b＜0”是“a＜－b＜b＜－a”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C∵a＋b＜0，∴a＜－b，b＜－a，∵a＜0，b＞0，∴a＜－b＜0＜b＜－a，因此充分性成立；∵a＜－b＜b＜－a，∴－b＜b，a＜－a，∴b＞0，a＜0，∵a＜－b，∴a＋b＜0，因此必要性成立．综上，“a＜0，b＞0且a＋b＜0”是“a＜－b＜b＜－a”的充要条件，故选C.2．(多选)下列结论中正确的是()A．“x2＞4”是“x＜－2”的必要不充分条件B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件C．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件D．“x为无理数”是“x2为无理数”的必要不充分条件解析：选ACD x＜－2⇒x2＞4，但x2＞4⇔x＞2或x＜－2，不一定有x＜－2.故A正确．AB2＋AC2＝BC2⇒△ABC为直角三角形，反之，若△ABC为直角三角形，当B，C为直角时，不能推出AB2＋AC2＝BC2，故B错误．a2＋b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2＋b2≠0，故C正确．当x2为无理数时，x为无理数，反之不成立，故D正确．故选A、C、D.3．设p，q，r，s是四个命题．已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s 的必要条件，那么(1)s是q的______条件；(2)r是q的________条件；(3)p是q的________条件．(填“充分”“必要”或“充要”)解析：将p，q，r，s的关系作图表示，如图．(1)∵q⇒r⇒s，s⇒q，∴s是q的充要条件．(2)∵r⇒s⇒q，q⇒r，∴r是q的充要条件．(3)∵p⇒r⇒s⇒q，∴p是q的充分条件．答案：(1)充要(2)充要(3)充分4．若集合A＝{x|x＞－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，试写出：(1)A∪B＝R的一个充要条件；(2)A∪B＝R的一个必要不充分条件；(3)A∪B＝R的一个充分不必要条件．解：集合A＝{x|x＞－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，(1)若A∪B＝R，则b≥－2，故A∪B＝R的一个充要条件是b≥－2.(2)由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，所以A∪B＝R的一个必要不充分条件可以是b≥－3.(3)由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，所以A∪B＝R的一个充分不必要条件可以是b≥－1.5．已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由．解：“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．理由如下：当a，b，c∈R，a≠0时，若a－b＋c＝0，则－1满足一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，充分性成立；若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，则a－b＋c＝0，必要性成立．综上所述，“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．层级(三)素养培优练1．(多选)有限集合S中元素的个数记作card(S)．设A，B都为有限集合，则下列命题中是真命题的有()A ．A ∩B ＝∅的充要条件是card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )B ．A ⊆B 的必要条件是card(A )≤card(B )C ．A B 的必要条件是card(A )≤card(B )D ．A ＝B 的充要条件是card(A )＝card(B )解析：选AB 易知card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )－card(A ∩B )．A ∩B ＝∅，也就是集合A 与集合B 没有公共元素，A 是真命题；A ⊆B ，也就是集合A 中的元素都是集合B 中的元素，B 是真命题； A B ，也就是集合A 中至少有一个元素不是集合B 中的元素，因此A 中的元素的个数有可能多于B 中的元素的个数，C 是假命题；A ＝B ，也就是集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同，两个集合中的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，D 是假命题．2．p ：－2＜m ＜0,0＜n ＜1；q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根．试分析p 是q 的什么条件．解：若关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根，设为x 1，x 2，则0＜x 1＜1,0＜x 2＜1，有0＜x 1＋x 2＜2且0＜x 1x 2＜1.根据根与系数的关系⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝n ，得⎩⎪⎨⎪⎧0<－m <2，0<n <1，即－2＜m ＜0,0＜n ＜1，故有q ⇒p .反之，取m ＝－13，n ＝12，x 2－13x ＋12＝0，Δ＝19－4×12＜0，方程x 2＋mx ＋n ＝0无实根，所以p q . 综上所述，p 是q 的必要不充分条件．。

充分条件与必要条件练习题及答案

例1 已知p： Xp X2是方程X2+5X-6=0的两根，q： Xj+x2 = -5,则p是A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析利用韦达定理转换•解Vxp X2是方程X2+5X-6=0的两根,X2的值分别为1, —6,/- Xi + x2 = l —6= —5.说明p=q・但q^>p,事实上只要取若1=_2,靭=-3作为反例即可说明这一点.因此选A・说明：判断命题为假命题可以通过举反例.例2p是q的充要条件的是A. 6. C. D.分析pj 3x + 2>5t q：—2x—3> —5p：a>2» b<2, q； a>bp：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形P： aHO, q：关于X的方程ax=l有惟一解逐个验证命题是否等价-解对A. P： x>r q： x<l,所以，p是q的既不充分也不必要条件:对B・p=q但qi^p, p是q的充分非必要条件; 对C- P且q=p, P是q的必要非充分条件:对D. P => q且q Q P，即P O q, p是q的充要条件•选0・说明：.^a=0时，ax=0有无数个解•例3若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的A. C・分析充分条件充要条件B-必要条件D.既不充分也不必要条件通过B、C作为桥梁联系A、D・解VA是B的充分条件,AA=>B®TD是C成立的必要条件，•••C=D@TC是B成立的充要条件，二CoB③由①③得A=>C ④ 由②④得A=>D.•: D 是A 成立的必要条件.选B. 说明：要注意利用推出符号的传递性.例4设命题甲为：0<x<5,命题乙为|x-2|<3.那么甲是乙的 A-充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析先解不等式再判定• 解解不等式|x-2|<3得一l<x<5. T0V X V5 = — lVxV5,但一IVxV5i^0<x<5 ■:甲是乙的充分不必要条件，选A.说明：一般情况下，如果条件甲为xGA,条件乙为x€B ・当且仅当AcB 时，中为乙的充分条件; 当且仅当AoB 时，甲为乙的必要条件;当且仅当A=B 时，甲为乙的充要条件.例5设A 、B 、C 三个集合，为使A W(BUC),条件A 呈B 是解 V A^B 而BcfBUC),•■•A 目 BUC)・但是，当 B=N, C=R, A=Z 时, 显然A 症(BUC),但A 症B 不成立,综上所述：“A 症B" => “A 症(BUC)”，而 “A W(BUC)”“A金T即“A 症是“A 症但UC)"的充分条件(不必要).选A ・说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况. 给出下列各组条件： ab = Ot q ： a^ + b^ = O ； q ： |x| + |y| = |x+y|： m>0, q ：方程x'—X —m=0有实根;A.充分条件B. 必要条件C ・充要条件D ・既不充分也不必要条件请同学们自己画图.例6 ⑴P: (2) P ：（X| — 3） + （x ，一3）>0・ O （X| —3）（X2 —3）>0X, +XA >6 * 2 .. 这一等价变形方法有时会用得上. XjXj —3（X , + X 2）+ 9>O例 8 已知真命题 “a>b=>c>d” 和 “a<b=eWf”，则 “cWd” 是 “eWf” 的 _________ 条件.分析 Ta2b=c>d(原命题)， .•.c<d=>a<b(逆否命题). 而 aVb^eWf,.；cWd=eWf 即c£d 是eWf 的充分条件. 答填写“充分”.说明：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法. 例9 ax2+2x+l=0至少有一个负实根的充要条件是色(4)p ： |x —1| >2r q ； x< —1. 其中p 是q 的充要条件的A. C ・分析 1组 B. 2组 3组 D ・4组使用方程理论和不等式性质. 解(1)P 是q 的必要条件 (2) p 是q 充要条件 (3) p 是q 的充分条件 (4)p 是q 的必要条件.选A.说明：ab=O 指其中至少有一个为零，而a2 + b2 = 0指两个都为零.X|>3是 x,>3 ■宀>6的X|X2 >9条件•分析将前后两个不等式组分别作等价变形，观察两考之间的关系. 解Xi>3且X2>3=> X| +X 2>6且X ,X2>9,但当取x, = 10» X] +x^>6<X]X2>9 必要"-X •> = 2 时, x,>3 心不成立32与心矛盾)，所以填筑分不说明：X|>3 x^>3OSX| —3>0 X ）— 3>0osA.0<a^lB. a<lC ・ aWlD ・ 0<aW 1 或 a<0分析此题若采用普通方法推导较为复杂，可通过选项提供的信息，用排除法解之.当a = l 时，方程有负根x= —1,当a=0时，x=-•故排除A. B 、D 选C.解常规方法：当a = 0时，X=--当aHO 时—2 — A /4 — 4ii1- a>0,则ax'+2x+l = 0至少有一个负实根 o -------- z <0o -2 J —a V2 o 0VaW 1 •_ 2 + -74 — 4a2- aVO,则ax'+2x+l = 0至少有一个负实根 o -------- z V0o 2>2jl —a>2 o 1—a> 1 o a VO.综上所述aWl.即ax2+2x+l=0至少有一个负实根的充要条件是aWi ・画出关系图1-21.观察求解./f /XH 1-21解S 是q 的充要条件；(s=r=q, q=s) r 是q 的充要条件：(r=q, q=s = r) p 是q 的必要条件：(q=s = r = p)说明：图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系. 例H 关于X 的不等式lx-Q ；l)与x2-3(a +l)x+2(3a+l)W0的解集依次为A 乙厶与B,问“AcB"是或a=-L 的充要条件吗？分析化简A 和B,结合数轴，构造不等式(组)，求出a ・解 A={x|2aWxWa2 + lh B={x|{x —2)[x —(3a + l)]^0}2a2a说明：特姝值法、排除法都是解选择题的好方法.例10已知P 、q 都是r 的必要条件，S 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件, 那么S, r, P 分别是q 的什么条件分析当2^3a+lB|]a>-时，B={x|2WxW3a + l}・‘2心2A 匸 BoL+]S + |Og3当2>3a+lBPa< 一时，3B={x|3a+Kx^2}2a^3a +1A u BO5 亍 o a= —L一 a- +1^2综上所述：AcBoa= — 1或lWaW3.・•・“AcB”是“lWdW3或a=-l”的充要条件.说明：集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关.在解题时要理淸思路，表达准确，推理无误.例12 x>y, xy>0是厂严必要条件还是充分条件，还是充要条件分析将充要条件和不等式同解变形柑联系.V — X 解1.当-<-时，可得---<0即X yX yxyy —x<0 xy>0, ♦ x>y xy<0' 'lxy>0.故j < y 不能推得x>y 且xy A0（有可能得到,并非产严必要条件.不论哪一种悄况均可化为一< - • X yAx> y 且xy>0是一V —的充分条件• X y说明：分类讨论要做到不重不漏.例13设a, P 是方程x2-ax + b = 0的两个实根，试分析a>2且b>l 是两y —x>0 或4 xy<0 xVy f―或Sx<yky<0),即x>y 且xy 2.当x>y 且xy>0则分成两种悄况讨论:x>yx>O 或・ .y>0x>yx<0 [yVO根a ， P 均大于1的什么条件分析把充要条件和方程中根与系数的关系问题柑联系，解题时需要搞清楚条件P 与结论q 分别指什么.然后再验证是P => q 还是q => p还是POq ・a >I ~0>](还要注意条件p 中，a, b 需要满足大前提A=a--4ba >1得a= a + P >2r b=a P >b P >1•'•q=p ・(2)为了证明p 斗q,可以举出反例：取a =4, P=|.它满足a = a + p= 4+—>2, b=ap=4• — = 2>1,但q 不成立.厶乙上述讨论可知：a>2, b>l 是0>1, p>l 的必要但不充分条件. 说明：本题中的讨论内容在二次方程的根的分布理论中常被使用.例14 {1991年全国高考题)设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么A-丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B. 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C. 丙是甲的充要条件D. 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件分析1：由丙=乙=甲且乙专丙，即丙是甲的充分不必要条件. 分析2：画图观察之.答：选A.说明：抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便解据韦达定理得：a=a +P, b=a P,判定的条件是p ：a>2 b>l结论是q ：。

数学充分条件与必要条件试题答案及解析

数学充分条件与必要条件试题答案及解析1.已知命题命题若是的充分不必要条件，则实数的最大值为．【答案】【解析】因为或或又因为是的充分不必要条件，即为真子集，所以且，即【命题意图】本题考查集合的概念、运算，充要关系等知识，意在考查灵活运用有关的基础知识解决问题的能力.2.设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由已知中|a·b|＝|a|·|b|可得，a与b同向或反向，所以a∥b.又因为由a∥b，可得|cos 〈a，b〉|＝1，故|a·b|＝|a|·|b||cos〈a，b〉|＝|a|·|b|，故|a·b|＝|a|·|b|是a∥b的充分必要条件．3.设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】∵若a＝0，则复数a＋bi是实数(b＝0)或纯虚数(b≠0)．若复数a＋bi是纯虚数则a＝0.综上，a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．4.以q为公比的等比数列{}中，，则“”是“”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】等比数列中，若，则由可得，，即或；若，则有，所以，，即.所以，“”是“”的必要而不充分条件．故选.5.设，则是的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要【答案】B【解析】当时，，而当时，；当时，，∴，∴综上可知：是的必要而不充分条件.6.“”是“”的A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由显然可得，而当时，对应的角有无数多个，比如，所以答案是B.7.设则是“”成立的 ( )A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分也非必要条件【答案】C【解析】，，由于，因此应选C．8.“”是“函数在区间上单调递减”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】P: q: 函数在区间上单调递减显然当时, 由余弦函数的图像可得函数在区间上单调递减,即,但是,反例时, 函数在区间上也单调递减.所以“”是“ 函数在区间上单调递减”的充分不必要条件,故选A9.设，则“”是“”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为由可得：且，所以成立；当时，若，则有；所以.所以，是的充分不必要条件.故选A.10.设，，则“”是“”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】即又，,，即成立,相反，代入特殊值，当时，满足,但不成立.所以是充分不必要条件,故选11.已知，则是成立的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时,成立,而,所以,条件,由于,所以,则,所以是成立的必要不充分条件,故选C12.设，“”是“复数是纯虚数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当a=0时，如果b=0同时等于零，此时是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0，因此是必要条件，故选B【考点】本小题主要考查的是充分必要条件，但问题中又涉及到了复数问题，复数部分本题所考查的是纯虚数的定义13.已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【错解分析】本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.【正解】由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线,,则,反过来则不一定.所以“”是“”的必要不充分条件.14.以下四个命题中：①设随机变量服从正态分布,若，则c的值是；②若命题使得成立”为真命题,则的取值范围为；③设函数，且其图像关于直线对称，则的最小正周期为，且在上为增函数；④已知，如果是的充分不必要条件，则实数的取值范围是．其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】【解析】①因为服从正态分布即为图像的对称轴，而即关于2对称，则有，故为假命题；②原命题的的否定为都有是假命题,则,则根据命题的否定与原命题真假相反可得原命题为真时,满足或,故为真命题；③，∵函数图像关于直线对称，∴函数为偶函数，∴，∴，∴，∵，∴，∴函数在上为减函数．故为假命题；④由得，，即，解得或，由是的充分不必要条件知，，故为真命题．【命题意图】本题主要考查命题真假的判断,正态分布，充要条件，三角函数的图像与性质，量词等基础知识，意在考查考生熟练运用数学知识加以计算的能力．15.“”是“，使得”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，（当且仅当时等号成立），故不等式成立的充要条件是.而“”是“”的充分不必要条件，所以“”是“，使得”的的充分不必要条件.故选A.【命题意图】本题主要考查充要条件的判断以及特称命题与均值不等式求值最值、不等式成立求参数取值范围等.16.在△ABC中“sinA>sinB”是“cosA<cosB”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵sinA>sinB a>b A>B cosA<cosB，故“sinA>sinB”是“cosA<cosB”的充要条件，故选C.17.下列命题中:①命题“若,则或”的否命题为“若,则或”.②在△ABC中“cosA>cosB”是“sinA<sinB”的充要条件.③对命题p和q，“p且q为假”是“p或q为假”的必要不充分条件.真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】对①因为“若,则或”的否命题为“若,则且”，故①错.对②在△ABC中，∵在(0,)上是减函数，且A，B∈(0,)，故cosA>cosB A<BsinA<sinB,故“cosA>cosB”是“sinA<sinB”的充要条件，故②正确.对③，若p且q为假，则p，q至少一个为假，若p或q为假，则p,q全为假，故“p或q为假”“p且q为假”，当“p且q为假”“p或q为假”，故“p且q为假”是“p或q为假”的必要不充分条件.，故③正确，故选C.18.若，，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】如图可知，“”“”，但“” “”，即“”是“”的必要不充分条件.故选B.【命题意图】本题考查指数函数、对数函数、幂函数的图象等基础知识，意在考查运用数形结合思想的能力.19.下列命题中真命题的个数是( )①若命题中有一个是假命题，则是真命题．②在中，“”是“”的必要不充分条件．③表示复数集，则有，．A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】因为命题命题中有一个是假命题，所以是假命题，所以是真命题，故①是真命题．在中，，，或，角不一定等于；反之在中，当时，，，②是真命题．当（是虚数单位）时，，③是假命题．故选C．20.已知，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查不等式性质以及充要条件的判定等基础知识，意在考查运算求解及逻辑推理能力．【答案】A．【解析】解得，，故可以推出，但不能推出，故选A．。

高三数学充分条件与必要条件试题答案及解析

高三数学充分条件与必要条件试题答案及解析1.“”是“”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】当a，b异号时，一定有|a－b|＝|a|＋|b|，但a，b中至少有一个为0时，也有|a－b|＝|a|＋|b|，故选B【考点】绝对值的性质，充要条件2.[2014·徐州检测]用分析法证明：欲使①A>B，只需②C<D，这里①是②的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立，即②⇒①，所以①是②的必要条件．，一元二次方程x2﹣4x+n=0有整数根的充要条件是n= ．3.（5分）（2011•陕西）设n∈N+【答案】3或4，则分别讨论n为1，2，3，4时的【解析】由一元二次方程有实数根⇔△≥0得n≤4；又n∈N+情况即可．解：一元二次方程x2﹣4x+n=0有实数根⇔（﹣4）2﹣4n≥0⇔n≤4；又n∈N，则n=4时，方程x2﹣4x+4=0，有整数根2；+n=3时，方程x2﹣4x+3=0，有整数根1，3；n=2时，方程x2﹣4x+2=0，无整数根；n=1时，方程x2﹣4x+1=0，无整数根．所以n=3或n=4．故答案为：3或4．点评：本题考查一元二次方程有实根的充要条件及分类讨论的策略．4.对于函数y=f（x），x∈R，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”是“y=f（x）是奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】例如f（x）=x2﹣4满足|f（x）|的图象关于y轴对称，但f（x）不是奇函数，所以，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”推不出“y=f（x）是奇函数”当“y=f（x）是奇函数”⇒f（﹣x）=f（x）⇒|f（﹣x）|=|f（x）|⇒y=|f（x）|为偶函数⇒，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”所以，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”是“y=f（x）是奇函数”的必要而不充分条件故选B5.钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】钱大姐常说“便宜没好货”, “便宜没好货”是一个真命题，则它的逆否命题也是真命题,即“好货则不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件.【考点】命题及其充要条件.6.“”是“”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由指数函数的单调性可得等价于，当或时，不成立；而等价于,能推出；所以“”是“”的必要不充分条件.故选B.【考点】逻辑关系指对数7.“函数g(x)=(2-a)在区间(0,+∞)上是增函数”的充分不必要条件是a∈ .【答案】(-∞,t)(t<2)【解析】由于在(0,+∞)上是增函数,故需要2-a>0,即a<2,而要求充分不必要条件,则填集合(-∞,2)的一个子集即可.8.已知集合A＝{x|x＞5}，集合B＝{x|x＞a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．【答案】a＜5【解析】命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，∴A⊆B，∴a＜5.9.若且命题，命题，则是的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为且命题，所以可得，所以充分性成立.又因为由可得或.所以必要性不成立，故选A.本小题关键是要熟练掌握二次不等式的解法.【考点】1.二次不等式的解法.2.对参数的正确理解.10.“M>N”是“log2M>log2N”成立的______条件(从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写)．【答案】必要不充分【解析】“M>N”⇒/ log2M>log2N，”因为M，N小于零不成立；“log2M>log2N”⇒M>N.故“M>N”是“log2M>log2N”的必要不充分条件．11.“m=1”是“直线x-my=1和直线x+my=0互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为m=1时，直线x-my=1和直线x+my=0即可化为x-y=1和x+y=0.即y=x-1和y=-x所以斜率积为-1，所以这两条直线垂直.所以充分性成立.若直线x-my=1和直线x+my=0互相垂直，因为m=0显然不成立.所以两条直线分别为和.所以由斜率乘积为-1可得.所以即.所以必要条件不存在.故选A.【考点】1.充分必要条件.2.直线的位置关系.3.含参数的讨论.12.已知命题，命题，若是的充分不必要条件，则实数的范围是 .【答案】【解析】命题首先化简为，命题是二次不等式，是的充分不必要条件说明当时不等式恒成立，故又，故可解得.【考点】充分必要条件与不等式恒成立问题.13.“”是“直线与直线垂直”的（）条件A．充分而不必要B．必要而不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】A【解析】当时，两直线方程分别为，满足两直线的斜率乘积为，直线互相垂直；反之，直线与直线垂直，则有，解得，故“”是“直线与直线垂直”的充分而不必要条件，选A.【考点】充要条件，直线垂直的条件.14.对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】是椭圆，则即，∴不能推出曲线是椭圆，而曲线是椭圆可以推出，∴“”是“方程的曲线是椭圆”的必要而不充分条件.【考点】1.二次方程表示椭圆的充要条件；2.充要条件.15.设，则是的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为当时，；当时，.所以是的充分不必要条件.【考点】必要条件、充分条件和充要条件的判断16.在中，是的 ( )A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，，则；当时，，则，故，或，选C.【考点】1、正弦定理；2、正弦的二倍角公式；3、充分条件和必要条件.17.或是的条件.【答案】必要不充分【解析】若，，则，故或是的必要不充分条件.【考点】充要条件的判断.18.设，则“”是“直线与直线平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线与直线平行，则所以“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件，选A【考点】两直线平行的充要条件19.已知命题p：是命题q：向量与共线的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，，则，共线；当与共线，则，解得或.即命题p是命题q的充分不必要条件.【考点】1.充要条件；2.向量共线的充要条件.20.在中，“”是“是直角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，又因为，所以，因为，所以，故为直角三角形；若为直角三角形，则不一定为直角，也可能为锐角，则不一定取到最大值，即不一定有，故“”是“是直角三角形”的充分不必要条件，故选A.【考点】1.两角和的正弦公式；2.充分必要条件21.已知“”是“”的充分不必要条件，则k的取值范围是( )A．［2，＋）B．［1，＋）C．（2，＋）D．（一，－1]【答案】A【解析】由，得，所以或，因为“”是“”的充分不必要条件，所以.【考点】1.充分必要条件；2.分式不等式的解法.22.已知条件，条件，则成立的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分也非必要条件【答案】C．【解析】由条件，知，由条件，则或，所以是的成立的必要不充分条件．【考点】充要条件．23.设命题：实数满足，其中；命题：实数满足且的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】．【解析】先把命题、中实数满足的不等式分别表示为集合、，再由的必要不充分条件，得必要不充分条件，即可得两个集合、的关系，从而解得的取值范围. 试题解析：设，. 5分是的必要不充分条件，必要不充分条件，， 8分所以，又，所以实数的取值范围是． 12分【考点】1、一元二次不等式的解法；2、充要条件．24.已知复数，则“”是“为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】为纯虚数，为纯虚数，所以“”是“为纯虚数”的充分不必要条件.【考点】复数的概念、充要条件.25.“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由或，，但，所以“”是“”的必要不充分条件.【考点】1.简单的绝对值不等式；2.充要条件.26.给定两个命题，,若是的必要而不充分条件，则是的( )A．充分不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由且可得且，所以是的充分不必要条件。

2020-2021新课程同步人教B版高中数学必修课时跟踪检测《充分条件、必要条件》

课时跟踪检测（八）充分条件、必要条件A级——学考水平达标练1．“x为无理数”是“x2为无理数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B当x2为无理数时，x为无理数；当x为无理数时，x2不一定为无理数．2．已知p：“x＝2”，q：“x－2＝2－x”，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C由q：“x－2＝2－x”，解得x＝1(舍去)或x＝2，由p可推出q，充分性成立，反之，由q可推出p，即必要性成立．∴p是q的充要条件，故选C.3．“a<14”是“一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选A当一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解，则Δ≥0，即1－4a≥0，即a≤1 4，又“a<14”能推出“a≤14”，但“a≤14”不能推出“a<14”，即“a<14”是“一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解”的充分不必要条件，故选A.4．设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C，反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C.∴“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件．故选B.5．已知x∈R，则“x2＝x＋6”是“x＝x＋6”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B由于“x2＝x＋6”，则“x＝±x＋6”，故“x2＝x＋6”是“x＝x＋6”的必要不充分条件．故选B.6．对于集合A，B及元素x，若A⊆B，则x∈B是x∈A∪B的________条件．解析：由x∈B，显然可得x∈A∪B；反之，由A⊆B，则A∪B＝B，所以由x∈A∪B可得x∈B，故x∈B是x∈A∪B的充要条件．答案：充要7．“x≠－1”是“x2－1≠0”的________条件．解析：由x2－1≠0，x≠1且x≠－1，因为“x≠－1”是“x≠1且x≠－1”的必要不充分条件，所以“x≠－1”是“x2－1≠0”的必要不充分条件．答案：必要不充分8．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.解析：由于方程的解都是正整数，由判别式Δ＝16－4n≥0得“1≤n≤4”，逐个分析，当n＝1,2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1,3；当n＝4时，方程有正整数解2.答案：3或49．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？哪些命题中p 是q的必要条件？(1)若x>2，则|x|>1；(2)若x<3，则x2<4；(3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等；(4)若一个学生的学习成绩好，则这个学生一定是三好学生．解：(1)若x>2，则|x|>1成立，反之当x＝－2时，满足|x|>1但x>2不成立，即p是q 的充分条件．(2)若x<3，则x2<4不一定成立，反之若x2<4，则－2<x<2，则x<3成立，即p是q的必要条件．(3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等不成立，反之也不成立，即p是q的既不充分也不必要条件．(4)若一个学生的学习成绩好，则这个学生一定是三好学生不成立，反之成立，即p是q的必要条件．10．若集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，试写出：(1)A∪B＝R的一个充要条件；(2)A∪B＝R的一个必要不充分条件；(3)A∪B＝R的一个充分不必要条件．解：集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，(1)若A∪B＝R，则b≥－2，故A∪B＝R的一个充要条件是b≥－2.(2)由(1)知A∪B＝R充要条件是b≥－2，∴A ∪B ＝R 的一个必要不充分条件可以是b ≥－3.(3)由(1)知A ∪B ＝R 充要条件是b ≥－2，∴A ∪B ＝R 的一个充分不必要条件b ≥－1.B 级——高考水平高分练1．已知P ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，Q ＝{x |1＜x ＜3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ，－4≤1，＋4≥3，≤5，≥－1，所以－1≤a ≤5.答案：{a |－1≤a ≤5}2．“k ＞4，b ＜5”是“一次函数y ＝(k －4)x ＋b －5的图像交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)解析：当k ＞4，b ＜5时，函数y ＝(k －4)x ＋b －5的图像如图所示．由一次函数y ＝(k －4)x ＋b －5的图像交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴时，即x ＝0，y ＝b －5＜0，∴b ＜5.当y ＝0时，x ＝5－bk －4＞0，∵b ＜5，∴k ＞4.故填“充要”．答案：充要3．已知p ，q 都是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件．那么：(1)s 是q 的什么条件？(2)r 是q 的什么条件？(3)p 是q 的什么条件？解：将p ，q ，r ，s 的关系作图表示，如图所示．(1)因为q ⇒r ⇒s ，s ⇒q ，所以s 是q 的充要条件．(2)因为r ⇒s ⇒q ，q ⇒r ，所以r 是q 的充要条件．(3)因为p ⇒r ⇒s ⇒q ，所以p 是q 的充分条件．4．设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.证明：必要性：设方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根x 0，则x 20＋2ax 0＋b 2＝0，x 20＋2cx 0－b 2＝0.两式相减，得x 0＝b 2c －a，将此式代入x 20＋2ax 0＋b 2＝0，可得b 2＋c 2＝a 2，故∠A ＝90°.充分性：∵∠A ＝90°，∴b2＝a2－c2.①将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.故两方程有公共根x＝－(a＋c)．∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.5．已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由．解：“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．理由如下：当a，b，c∈R，a≠0时，若“a－b＋c＝0”，则－1满足二次方程ax2＋bx＋c＝0，即“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充分条件，若“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，则“a－b＋c＝0”，故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的必要条件，综上所述，“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．。

集合考点充分条件与必要条件教案以及练习

1．4集合充分条件与必要条件1．4.1充分条件与必要条件充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系指由p通过推理可以得出q，即由p可以推出q，记作p⇒q由条件p不能推出结论q，记作p⇏q续表命题真假“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件1．“x>0”是“x≠0”的()A．充分条件B．必要条件C．既不是充分也不是必要条件D．不确定A解析：x>0⇒x≠0；x≠0时，x可为正值或负值，故选A.2．“－12<x<3”的一个必要条件是()A．－12<x<3B．－12<x<0C ．－3<x <12D ．－1<x <6D 解析：因为－12<x <3⇒－1<x <6，但－1<x <6D ⇒/－12<x <3，所以“－12<x <3”的一个必要条件是“－1<x <6”．3．“角A ＝60°”是“三角形ABC 是等边三角形”的________条件．必要解析：角A ＝60°D ⇒/三角形ABC 是等边三角形，但三角形ABC 是等边三角形⇒角A ＝60°，所以“角A ＝60°”是“三角形ABC 是等边三角形”的必要条件．4．“△ABC 为直角三角形”是“其三边关系为a 2＋b 2＝c 2”的________条件．必要解析：△ABC 为直角三角形，则三边符合勾股定理，但须知哪个角为直角，若a 2＋b 2＝c 2，则△ABC 为以C 为直角的三角形．5．“x <0”是“x >2或x <1”的________条件．充分解析：因为x <0⇒ x >2或x <1，但x >2或x <1D ⇒/x <0，所以“x <0”是“x >2或x <1”的充分条件．【例1】给出下列四组命题：(1)p ：两个三角形相似，q ：两个三角形全等； (2)p ：一个四边形是矩形，q ：四边形的对角线相等； (3)p ：A ⊆B ，q ：A ∩B ＝A . 试分别指出p 是q 的什么条件．解：(1)∵两个三角形相似D ⇒/两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，∴p 是q 的必要条件． (2)∵矩形的对角线相等，∴p ⇒q ，而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴qD⇒/p.∴p是q的充分条件．(3)∵p⇒q，且q⇒p，∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件．充分条件、必要条件的判断方法在判定p是q的什么条件时，首先分清什么是p，什么是q，再分清谁推谁．例如p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．下列哪些命题中，p是q的充分条件？(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC >AC.(2)对于实数x，y，p：x＝2且y＝6，q：x＋y＝8.(3)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0.解：(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠A>∠B⇒BC>AC，所以p是q的充分条件．(2)对于实数x，y，因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，所以p是q的充分条件．(3)由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，故p是q的充分条件．故(1)(2)(3)命题中p是q的充分条件.【例2】是否存在实数p，使4x＋p<0是x>2或x<－1的充分条件？若存在，求出p的取值范围；若不存在，说明理由．解：令A＝{x|x>2或x<－1}；由4x＋p<0，得x<－p4，令B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪x<－p4，当B⊆A时，即－p4≤－1，即p≥4，此时x <－p4≤－1，∴当p ≥4时，4x ＋p <0是x ＞2或x ＜－1的充分条件．【例3】已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，则实数a 的取值范围是________．{a |－1≤a ≤5} 解析：因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ，所以⎩⎨⎧a －4≤1，a ＋4≥3，即⎩⎨⎧a ≤5，a ≥－1，所以－1≤a ≤5.集合法判断充分条件和必要条件的技巧设集合A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x |x 满足条件q }，则有：(1)若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，若A⃘B ，则p 不是q 的充分条件． (2)若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件，若B⃘A ，则p 不是q 的必要条件．已知M ＝{x | a －1<x <a ＋1}，N ＝{x |－3<x <8}，若M 是N 的充分条件，求a 的取值范围．解：∵M 是N 的充分条件，∴M ⊆N ，∴⎩⎨⎧a －1≥－3，a ＋1≤8，解得－2≤a ≤7.故a 的取值范围是{a |－2≤a ≤7}．课时分层作业(六)(25分钟50分)1.(5分)设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分条件是()A．x＋y＝2B．x＋y>2C．x2＋y2>2D．xy>1B解析：对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但命题不成立，也不符合題意．2．(5分)设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件也是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件A解析：当x≥2且y≥2时，x2＋y2≥4，但是x＝0，y＝4时，满足x2＋y2≥4，但不满足x≥2且y≥2，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分条件．3．(5分)设a，b∈R，则“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的()A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件也是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件A解析：由(a－b)a2<0知，a2>0，a－b<0，即a<b成立；反之，当a<b时，由于a2可能为0，故(a－b)·a2≤0.因此“(a－b)a2<0”是“a<b”的充分条件，但不是必要条件．4.(5分)下列不等式：①x<1；②0<x <1； ③－1<x <0； ④－1<x <1.其中，可以为－1<x ≤1的充分条件的所有序号为________．②③④ 解析：由于－1<x ≤1，①显然不能使－1<x ≤1一定成立，②③④满足题意．5.(5分)设集合A ＝{x ∈R|x －2>0}，B ＝{x ∈R|x <0}，C ＝{x ∈R|x <0或x >5}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的________条件．必要解析：∵A ∪B ＝{x ∈R|x <0或x >2}，C ＝{x ∈R|x <0或x >5}， ∴“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的必要条件．6.(5分)若不等式a －1<x <a ＋1成立的充分条件是12<x <32，则实数a 的取值范围是________．12≤a ≤32 解析：因为不等式a －1<x <a ＋1成立的充分条件是12<x <32， ∴⎩⎪⎨⎪⎧12≥a －1，32≤a ＋1，∴12≤a ≤32. 7.(5分)若“x <m ”是“x >2或x <1”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________．m ≤1 解析：由已知条件，知{x |x <m }{x |x >2或x <1}，∴m ≤1.8.(5分)已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，则实数a 的取值范围是________．－1≤a ≤5 解析：因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ，所以⎩⎨⎧a －4≤1，a ＋4≥3，即⎩⎨⎧a ≤5，a ≥－1，所以－1≤a ≤5.9.(10分)已知条件p ：x <1－a 或x >1＋a 和条件q ：x <12或x >1，求使p 是q 的充分条件的a 的取值范围．解：要使p 是q 的充分条件，应有⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤12，1＋a ≥1，解得a ≥12.∴p 是q 的充分条件的a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≥12.。

充分条件与必要条件(习题作业)解析版--2023年初升高暑假衔接之高一数学

1.4充分条件与必要条件一、单选题1．已知:02p x <<，:13q x -<<，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】将,p q 相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.【详解】由:02p x <<，可得出:13q x -<<，故p q ⇒，由:13q x -<<，得不出:02p x <<，所以p 是q 的充分而不必要条件，故选：A.2．设R a ∈，则“1a >”是“21a >”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】A【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】由21a >得1a >或1a <-，因此“若1a >，则21a >”是真命题，“若21a >，则1a >”是假命题，所以“1a >”是“21a >”的充分不必要条件.故选：A3．“2x >且3y >”是“5x y +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断结果.【详解】2x >且3y >能够推出5x y +>，反之5x y +>不能推出2x >且3y >，所以“2x >且3y >”是“5x y +>”的充分不必要条件.故选:A .4．已知a 、b 、R c ∈，则“a b <”是“22ac bc <”的（）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】当0c =时，代入验证不充分，根据不等式性质得到必要性，得到答案.【详解】若a b <，当0c =时，220ac bc ==，故不充分；若22ac bc <，则0c ≠，故a b <，必要性.故“a b <”是“22ac bc <”的必要非充分条件.故选：B5．设,R x y ∈，则“0x y +>”是“0xy >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】先判断充分性是否满足，再判断必要性是否满足，即可得答案.【详解】解：充分性：若0x y +>，则可得,x y 有三种可能：①两个都为正；②一个为正、一个为零；③一个为正、一个为负且正数的绝对值大于负数的绝对值，所以0xy >或0xy <或0xy =，故0x y +>不是0xy >的充分条件；必要性:若0xy >，则0,0x y >>或0,0x y <<，故0x y +>或0x y +<，故“0x y +>”不是“0xy >”的必要条件.综上，“0x y +>”是“0xy >”的既不充分也不必要条件.故选：D.6．已知集合M ，P ，则“x M ∈或x P ∈”是“()x M P ∈⋂”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】x M ∈或x P ∈即()x M P ∈ ，再利用()x M P ∈⋂与()x M P ∈ 之间的关系即可判断出结论.【详解】由x M ∈或x P ∈得()x M P ∈ ，又()()M P M P ⊆ ，∴x M ∈或x P ∈不能推出()x M P ∈⋂，()x M P ∈⋂能推出x M ∈或x P ∈.则“x M ∈或x P ∈”是“()x M P ∈⋂”的必要不充分条件.故选：A.7．设x ∈R ，则“2x =”是“24x =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】当2x =时24x =，故充分性成立，由24x =可得2x =或2x =-，故必要性不成立，所以“2x =”是“24x =”的充分不必要条件.故选：A8．若,R a b ∈，则“2()0a b a -<”是“a b <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据不等式的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由不等式2()0a b a -<，可得0a b -<，可得a b <，即充分性成立；反之：由a b <，可得0a b -<，又因为20a ≥，所以2()0a b a -≤，所以必要性不成立，所以2()0a b a -<是a b <的充分不必要条件.故选：A.9．若,,R a b c ∈，则“ac bc =”是“a b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】若0c =，令2,1a b ==，满足ac bc =，但a b ¹；若a b =，则ac bc =一定成立，所以“ac bc =”是“a b =”的必要不充分条件.故选：B10）A ．0,0a b ≥≥B ．0,0a b >>C ．0,0a b ≤≤D ．0,0a b ≤<【答案】BA中，0b=，根据充分条件的定义知，选项A不是充分条件；选项C、D中，由0a≤可知，C、D不是充分条件；选项B，由0,0a b>>B是充分条件.【详解】对于选项A，因为0b=项A不是充分条件；对于选项B，当0,0a b>>a≥0，b>0.根据充分条件的定义知，选项B是充分条件；对于选项C、D，由0a≤没意义，所以选项C、D不是充分条件；故选：B.11．已知a，b为非零实数，则“1ba≥”是“b a≥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】由222222111||||b b b b a b aa a a⎛⎫≥⇒≥⇒≥⇒≥⇒≥⎪⎝⎭，即b a≥成立，故充分性成立；取2b=-，1a=，则b a≥成立，但1ba≥不成立，故必要性不成立.因此，“1ba≥”是“b a≥”的充分不必要条件.故选：A12．设命题121,:1.xpx>⎧⎨>⎩命题12122,:1.x xqx x+>⎧⎨>⎩则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】判断p ，q 间关系可得答案.【详解】当1211x x >⎧⎨>⎩，则121221x x x x +>⎧⎨>⎩，故p 是q 的充分条件；当121221x x x x +>⎧⎨>⎩，则可令1250.3x x =⎧⎨=⎩，不能得到1211x x >⎧⎨>⎩，则p 不是q 的必要条件.则p 是q 的充分不必要条件.故选：A二、多选题13．有以下四种说法，其中说法正确的是（）A ．“m 是实数”是“m 是有理数”的必要不充分条件B ．“0a b >>”是“22a b >”的充要条件C ．“3x =”是“2230x x --=”的充分不必要条件D ．“1a >”是“11a<”的必要不充分条件【答案】AC【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐个分析即可.【详解】当m 是实数时，m 可能为有理数，可能为无理数，而当m 为有理数时，m 一定为实数，所以“m 是实数”是“m ”的必要不充分条件，A 正确；当0a b >>时，22a b >成立，而当22a b >时，有可能0a b <<，所以“0a b >>”是“22a b >”的充分不必要条件，B 错误；当3x =时，2230x x --=成立，而当2230x x --=时，3x =或=1x -，所以“3x =”是“2230x x --=”的充分不必要条件，C 正确；当1a >时，11a <成立，而当11a <时，有可能a<0，所以“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，D 错误；故选：AC14．设全集为U ，在下列选项中，是B A ⊆的充要条件的是（）A ．AB B ⋃=B ．()U A B Ç=ÆðC ．()()U U A B Í痧D ．()U A B U È=ð【答案】BCD【分析】利用维恩图解决集合运算问题.【详解】由维恩图可知，A 不是B A ⊆的充要条件，B ，C ，D 都是B A ⊆的充要条件，故选：BCD ．15．下列命题中叙述不正确．．．的是（）A ．“关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠有实数根”的充要条件是“240b ac ∆=-≥”B ．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件C ．“4x >”的一个充分不必要条件可以是“3x >”D ．若集合A B ⊆，则“x A ∈”是“x B ∈”的充分而不必要条件【答案】BCD【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐项判断各选项即可.【详解】由关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠有实数根可得240b ac ∆=-≥，由240b ac ∆=-≥可得关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠有实数根，所以“关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠有实数根”的充要条件是“240b ac ∆=-≥”，A正确；由三角形为正三角形可得该三角形为等腰三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分条件，B 错误；由3x >不能推出>4x ，所以“3x >”不是“4x >”的充分条件，C 错误；当A B =时，若x A ∈，则x B ∈，若x B ∈，则x A ∈，所以“x A ∈”是“x B ∈”的充要条件，所以若集合A B ⊆，则“x A ∈”可能是“x B ∈”的充要条件，D 错误；故选：BCD.16．下列说法正确的是（）A ．a P Q ∈⋃是a P ∈的必要不充分条件B ．U UP Q ⊆痧（U 是全集）是P Q ⊆的充分不必要条件C ．a b <是22a b <的充分不必要条件D ．a b <是33a b <的充要条件【答案】AD【分析】根据充分条件与必要条件的定义逐项分析即可.【详解】对于A ，若a P Q ∈⋃，则可能a Q ∈且a P ∉，不能推出a P ∈，若a P ∈，则必有a P Q ∈⋃，故a P Q ∈⋃是a P ∈的必要不充分条件，故A 正确；对于B ，若U UP Q ⊆痧,则Q P ⊆，故U UP Q ⊆痧（U 是全集）是P Q ⊆的既不充分也不必要条件，故B 错误；对于C ，若a b <，取2,1a b =-=-,则22a b >，若22a b <，取1,2a b =-=-，则a b >，故a b <是22a b <的既不充分也不必要条件，故C 错误；对于D ，因为33a b a b <⇔<，所以a b <是33a b <的充要条件，故D 正确.故选:AD.17．对任意实数,,a b c ，给出下列命题，其中假命题是（）A ．“a b =”是“ac bc =”的充要条件B ．“5a <”是“3a <”的必要条件C ．“a b >”是“22a b >”的充分条件D ．“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件【答案】AC【分析】根据充分必有条件的定义逐项分析.【详解】对于A ，如果a b =，则必定有ac bc =，是充分条件，如果ac bc =，则()0c a b -=，得0c =或a b =，不是必要条件，所以“a b =”是“ac bc =”的充分不必要条件，错误；对于B ，如果3a ＜，必定有5a ＜，是必要条件，正确；对于C ，如果a b ＞，比如1,2a b =-=-，()()2212--＜，不能推出22a b ＞，不是充分条件，错误；对于D ，因为有理数+无理数=无理数，有理数+有理数=有理数，5是有理数，所以“a +5是无理数”必定有a 是无理数，是充分条件，如果“a 是无理数”则“a +5也是无理数”，是必要条件，所以“a +5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，正确；故选：AC.18．若关于x 的方程()2110x m x +-+=至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（）A ．13m -<<B ．24m -<<C ．4m <D ．12m -≤<【答案】BC【分析】利用()2110x m x +-+=的判别式0∆≤，求出m 的范围，再利用必要条件的定义即可求得.【详解】因为方程()2110x m x +-+=至多有一个实数根，所以方程()2110x m x +-+=的判别式0∆≤，即：2(1)40m --≤，解得13m -≤≤，利用必要条件的定义，结合选项可知，13m -≤≤成立的必要条件可以是选项B 和选项C.故选：BC.19．已知集合{}|123|{ ,2A x a x a B x x =+<<-=≤-或7}x ≥，则A B ⋂=∅的必要不充分条件可能是（）A ．7a <B ．6a <C ．5a <D ．4a <【答案】AB【分析】分别在A =∅、A ≠∅的情况下，根据A B =∅ 求得a 的范围，即为A B =∅ 的充要条件，再根据选项即可得解．【详解】解：因为集合{}|123|{ ,2A x a x a B x x =+<<-=≤-或7}x ≥，当A =∅时，123a a +≥-，解得4a ≤，此时A B =∅ ，当A ≠∅时，123a a +<-，解得4a >，若A B =∅ ，则12237a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得15a ≤≤，又4a >，则45a <≤，则A B =∅ 的充要条件为5a ≤，所以A B =∅ 的必要不充分条件可能是7a <，6a <，故选：AB ．三、填空题20．已知集合{}3A x x =>，集合{}B x x a =>，若命题“x A ∈”是命题“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______．【答案】3a <【分析】根据充分不必要条件转化为集合的真包含关系，即可得解.【详解】因为命题“x A ∈”是命题“x B ∈”的充分不必要条件，所以集合A 真包含于集合B ，又集合{}3A x x =>，集合{}B x x a =>，所以3a <.故答案为：3a <21．设α：14x <≤，β：x >m ，α是β的充分条件，则实数m 的取值范围是________．【答案】(],1-∞【分析】设{}{}14,A x x B x x m =<≤=>，根据充分条件的定义结合包含关系得出实数m 的取值范围.【详解】设{}{}14,A x x B x x m =<≤=>，因为α是β的充分条件，所以集合A 是集合B 的子集，所以1m £.故答案为：(],1-∞22．已知:p x a <，:3q x <，p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为___________.【答案】()3,+∞【分析】由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】因为:p x a <，:3q x <，因为p 是q 的必要不充分条件，所以3a >.所以实数a 的取值范围为()3,+∞.故答案为：()3,+∞.23．:x α是2的倍数，:x β是6的倍数，则α是β的______条件．【答案】必要非充分【分析】利用充要条件的定义判定即可.【详解】当4x =时，满足x 是2的倍数,但不满足x 是6的倍数，∴充分性不成立；若x 是6的倍数，则x 一定是2的倍数，∴必要性成立.则α是β的必要非充分条件.故答案为：必要非充分.24．设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么丁是甲的______条件.【答案】必要不充分【分析】利用充分条件，必要条件的概念即可得解.【详解】因为甲是乙的充分不必要条件，所以甲⇒乙，乙推不出甲；因为丙是乙的充要条件，即乙⇔丙；因为丁是丙的必要不充分条件，所以丙⇒丁，丁推不出丙.故甲⇒丁，丁推不出甲，即丁是甲的必要不充分条件.故答案为：必要不充分四、解答题25．已知集合{}2126A x a x a =-≤≤+，{}04B x x =≤≤，全集U =R .(1)当1a =时，求()U A B ∩ð；(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】(1)(){}48U A B x x ⋂=<≤ð(2)(]1,1-【分析】（1）化简集合A ，根据补集运算、交集运算求解；（2）由题意转化为BA ，列出不等式组求解即可.【详解】（1）当1a =时，集合{}08A x x =≤≤，{0U B x x =<ð或4}x >，故(){}48U A B x x ⋂=<≤ð（2）由题知：BA ，即B A ⊆且B A ≠，当B A ⊆时，210264a a ⎧-≤⎨+≥⎩，解得11a -≤≤，当B A =时，210264a a ⎧-=⎨+=⎩，解得1a =-，由B A ≠得，1a ≠-；综上所述：实数a 的取值范围为(]1,1-.26．已知集合{}310A x x =<<，{}29140B x x x =-+<，{}32C x x m =<<，(1)求A B ⋂，A B ⋃，()A B R ð；(2)若x C ∈是()x A B ∈ 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】(1){}|37x x <<；{}210x x <<；{}23x x <≤(2)7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）先解出集合B ，再由集合间的运算性质求解即可;（2）由题意可得C ()A B ，分C =∅和C ≠∅两种情况讨论即可.【详解】（1）{}()(){}{}2|9140|270|27B x x x x x x x x =-+<=--<=<< ，{}|37A B x x ∴⋂=<<，{}210A B x x ⋃=<<，又{R =3A x x ≤ð或}10x ≥，(){}R 23A B x x ∴⋂=<≤ð.（2）x C ∈ 是()x A B ∈ 的充分而不必要条件，C ∴()A B ，当C =∅时，有23m ≤，即32m ≤；当C ≠∅时，有2327m m >⎧⎨<⎩，即3722<<m ，综上所述，实数m 的取值范围为7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.27．已知集合{}121,P x a x a a =+≤≤+∈R ，{}25Q x x =-≤≤.(1)若3a =，求()P Q ⋂R ð；(2)若“x P ∈”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】(1)[2,4)-(2)(]2-∞，【分析】（1）由交集，补集的概念求解；（2）转化为集合间关系后分情况列式求解.【详解】（1）当3a =时，[4,7]P =，{|25}Q x x =-≤≤，则()(),47,P ∞∞=-⋃+R ð,()[)2,4P Q ⋂=-R ð，（2）由题意得P 是Q 的真子集，当P 是空集时，121a a +>+，解得a<0；当P 是非空集合时，则012215a a a ≥⎧⎪+≥-⎨⎪+≤⎩且12a +=-与215a +=不同时成立，解得02a ≤≤，故a 的取值范围是(]2-∞，28．已知集合{}114A x x =≤-<，{}23B x x =-<≤，{}2121C x a x a =-<<+.(1)若x C ∈是“x A ∈”的充分条件，求实数a 的取值范围.(2)若()A B C ⊆ ，求实数a 的取值范围.【答案】(1)3,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(2)31,2⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）解不等式得到集合A x C ∈是x A ∈的充分条件列不等式求解即可；（2）根据交集的定义得到{}23A B x x ⋂=≤≤，然后根据集合的包含关系列不等式求解即可.【详解】（1）因为{}114A x x =≤-<，所以{}25A x x =≤<.因为x C ∈是x A ∈的充分条件，所以221532122a a a a ≤⎧+≤⎧⎪⇒⎨⎨-≥≥⎩⎪⎩，解得322a ≤≤，3,22a ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦.（2）因为{}23A B x x ⋂=≤≤，()A B C ⊆ ，所以212213a a -<⎧⎨+>⎩，解得312a <<.故a 的取值范围为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.29．已知{|1A x x =≤-或1}x ≥，{|21}B x a x a =<<+(B 为非空集合)，记:p x A ∈，:q x B ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】1(,2][,1)2-∞-【分析】根据题意，转化为B 是A 的非空真子集，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意知，{|1A x x =≤-或1}x ≥，{|21}B x a x a =<<+(B 为非空集合)，因为p 是q 的必要不充分条件，所以B 是A 的非空真子集，可得2121a a a <+⎧⎨≥⎩或2111a a a <+⎧⎨+≤-⎩，解得2a ≤-或112a ≤<，所以实数a 的取值范围是1(,2][,1)2-∞- .30．已知集合{}{}121,24A xa x a B x x =-≤≤+=-≤≤∣∣.在①A B B ⋃=；②“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件；③A B ⋂=∅这三个条件中任选一个，补充到本题第②问的横线处，求解下列问题.(1)当3a =时，求()R A B ⋂ð；(2)若______，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()R {2A B xx =< ∣ð或4}x >(2)答案见解析【分析】（1）利用集合的交并补运算即可得解；（2）选①③，利用集合的基本运算，结合数轴法即可得解；选②，由充分不必要条件.【详解】（1）当3a =时，{}27A xx =≤≤∣，而{}24B x x =-≤≤∣，所以{}24A B xx =≤≤ ∣，则()R {2A B x x =< ∣ð或4}x >.（2）选①：因为A B B ⋃=，所以A B ⊆，当A =∅时，则121a a ->+，即2a <-，满足A B ⊆，则2a <-；当A ≠∅时，2a ≥-，由A B ⊆得12214a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得312a -≤≤；综上：2a <-或312a -≤≤，即实数a 的取值范围为()3,21,2∞⎡⎤--⋃-⎢⎥⎣⎦；选②：因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集，当A =∅时，则121a a ->+，即2a <-，满足题意，则2a <-；当A ≠∅时，2a ≥-，则12214a a -≥-⎧⎨+≤⎩，且不能同时取等号，解得312a -≤≤；综上：2a <-或312a -≤≤，即实数a 的取值范围为()3,21,2∞⎡⎤--⋃-⎢⎥⎣⎦；选③：因为A B ⋂=∅，所以当A =∅时，则121a a ->+，即2a <-，满足A B ⋂=∅，则2a <-；当A ≠∅时，2a ≥-，由A B ⋂=∅得212a +<-或14a ->，解得32a <-或5a >，又2a ≥-，所以322a -≤<-或5a >；综上：32a <-或5a >，实数a 的取值范围为()3,5,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ .31．设U =R ，已知集合{}|25A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+≤≤-．(1)当4B ∈时，求实数m 的范围；(2)设:p x A ∈；:q x B ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的范围．【答案】(1)532≤≤m (2)3m ≤【分析】（1）由题意知，4是集合B 的元素，代入可得答案；（2）由题可得B 是A 的真子集，分类讨论B 为空集和B 不为空集合两种情况，即可求得m 的取值范围.【详解】（1）由题可得1421m m +≤≤-，则532≤≤m ；（2）由题可得B 是A 的真子集，当B =∅，则1212m m m +>-⇒<；当B ≠∅，2m ≥，则21512m m -≤⎧⎨+≥-⎩（等号不同时成立），解得23m ≤≤综上：3m ≤.32．已知集合{}13A x x =<<，集合{}21B x m x m =<<-．(1)若A B ⋂=∅，求实数m 的取值范围；(2)命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【答案】(1){}0mm ≥∣(2){}2mm ≤-∣【分析】（1）讨论B =∅，B ≠∅两种情况，结合交集运算的结果得出实数m 的取值范围；（2）由p 是q 成立的充分不必要条件，得出A 是B 的真子集，再由包含关系得出实数m 的取值范围．【详解】（1）由A B ⋂=∅，得①若21m m ³-，即13m ≥时，B =∅，符合题意；②若21m m <-，即13m <时，需1311m m ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩或1323m m ⎧<⎪⎨⎪≥⎩，解得103m ≤<．综上，实数m 的取值范围为{}0mm ≥∣．（2）由已知A 是B 的真子集，知122113m m m m ->⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩两个端不同时取等号，解得2m ≤-．由实数m 的取值范围为{}2mm ≤-∣．33．已知集合{}12A x x =<<，{}22B x m x m =-<<(1)当2m =时，求A B ⋂；(2)若______，求实数m 的取值范围．请从①x A ∀∈且x B ∉；②“x B ∈是“x A ∈”的必要条件；这两个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】(1){}12A B x x ⋂=<<(2)答案见解析【分析】（1）先求两个集合，再求交集；（2）若选择①，则A B ⋂=∅，再分集合B =∅和B ≠∅，两种情况，列式求解；若选择②，则A B ⊆，列式求m 的取值范围.【详解】（1）当2m =时，{}04B x x =<<，所以{}12A B x x ⋂=<<（2）若选择条件①，由x A ∀∈且x B ∉得：A B ⋂=∅，当B =∅时，22m m -≥，即2m ≤-；当B ≠∅时，22m m -<，即2m >-22m -≥或21m ≤，即4m ≥或12m ≤，所以4m ≥或122m -<≤，综上所述：m 的取值范围为：4m ≥或12m ≤．若选择条件②，由“x B ∈”是“x A ∈”的必要条件得：A B ⊆，即2122m m -≤⎧⎨≥⎩，所以13m ≤≤．34．已知全集R U =，集合{}|11A x m x m =-<<+，{}|4B x x =<.(1)当4m =时，求A B ⋃和()R A B ⋂ð；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】(1){}|5x x <，{}|45x x ≤<(2)3m ≤【分析】（1）根据集合并集、交集、补集运算求解即可；（2）根据充分不必要条件转化为集合的包含关系求解即可【详解】（1）当4m =时，集合{}||35A x x x =<<，因为{}|4B x x =<，所以{}R |4B x x =≥ð.所以{}|5A B x x =< ，{}R |45A B x x ⋂=≤<ð（2）因为“x A ∈”是“x B ∈”所以A 是B 的真子集，而A 不为空集，所以14m +≤，因此3m ≤.。

课时跟踪检测 (六) 充要条件

课时跟踪检测（六）充要条件层级(一) “四基”落实练1．已知p ：|a |＞|b |，q ：a 2＞b 2，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选C 因为|a |>|b |⇔a 2>b 2，所以p 是q 的充要条件，故选C. 2．命题p ：x ≤1，命题q ：1x ≤1，则q 是p 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选D 由q ：1x ≤1，得到x ≥1或x ＜0，由于p /⇒q ，q /⇒p ，故q 是p 的既不充分又不必要条件．3．x 2－x －2≠0的充要条件是( ) A ．x ≠1B ．x ≠2C ．x ≠－1或x ≠2D ．x ≠－1且x ≠2解析：选D 由x 2－x －2＝(x ＋1)(x －2)≠0，得x ≠－1且x ≠2.当x ≠－1且x ≠2时，(x ＋1)(x －2)≠0.则x 2－x －2≠0的充要条件是x ≠－1且x ≠2.故选D.4．已知实数a ，b 满足ab ＞0，则“1a ＜1b 成立”是“a ＞b 成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选C 由1a －1b ＝b －a ab ，∵ab ＞0，∴若1a ＜1b 成立，则b －a ＜0，即a ＞b 成立，反之若a ＞b ，∵ab ＞0，∴1a －1b ＝b －a ab ＜0，即1a ＜1b 成立，∴“1a ＜1b 成立”是“a ＞b 成立”的充要条件，故选C.5．设全集为U ，在下列条件中，①A ∪B ＝A ；②(∁U A )∩B ＝∅；③∁U A ⊆∁U B ；④A ∪∁U B ＝U .是B ⊆A 的充要条件的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选D 由Venn 图可知，①②③④都是充要条件．6．已知p ：“三角形是等边三角形”，q ：“三角形的三边相等”，则p 是q 的________条件，q 是p 的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分又不必要”)解析：因为“三角形的三边相等”与“三角形是等边三角形”是等价的，所以p 是q 的充要条件，q 是p 的充要条件．答案：充要充要7．已知集合A ＝{x |a －2＜x ＜a ＋2}，B ＝{x |x ≤－2或x ≥4}，则A ∩B ＝∅的充要条件是________．解析：A ∩B ＝∅⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≤4，a －2≥－2.解得0≤a ≤2.答案：0≤a ≤28．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 解析：由于方程的解都是正整数，由判别式Δ＝16－4n ≥0得1≤n ≤4，逐个分析，当n ＝1,2时，方程没有整数解；当n ＝3时，方程有正整数解1,3；当n ＝4时，方程有正整数解2.答案：3或49．判断下列命题中p 是q 的什么条件．(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)(1)p ：x ＞1，q ：x 2＞1；(2)p ：△ABC 有两个角相等，q ：△ABC 是正三角形； (3)若a ，b ∈R ，p ：a 2＋b 2＝0，q ：a ＝b ＝0； (4)p ：a ＜b ，q ：ab ＜1.解：(1)因为x ＞1能推出x 2＞1，即p ⇒q ；但当x 2＞1时，如x ＝－2，推不出x ＞1，即q /⇒p ，所以p 是q 的充分不必要条件．(2)因为“△ABC 有两个角相等”推不出“△ABC 是正三角形”，所以p /⇒q ；但“△ABC是正三角形”能推出“△ABC 有两个角相等”，即q ⇒p ，所以p 是q 的必要不充分条件．(3)若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，即p ⇒q ；若a ＝b ＝0，则a 2＋b 2＝0，即q ⇒p ，故p ⇔q ，所以p 是q 的充要条件．(4)当a ＝－2，b ＝－1时，－2＜－1推不出－2－1＜1，知p /⇒q ；又当a ＝1，b ＝－2时，1－2＜1推不出1＜－2，知q /⇒p ，所以p 是q 的既不充分又不必要条件． 10．求证：△ABC 是等边三角形的充要条件是a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ca ，这里a ，b ，c 是△ABC 的三条边．证明：充分性：若a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ca ，则2a 2＋2b 2＋2c 2＝2ab ＋2bc ＋2ca ，即(a －b )2＋(a －c )2＋(b －c )2＝0，所以a ＝b ＝c ，△ABC 是等边三角形；必要性：若△ABC 是等边三角形，则a ＝b ＝c ，显然a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ca . 故原命题得证．层级(二) 素养提升练1．已知a ，b ∈R ，则“a ＜0，b ＞0且a ＋b ＜0”是“a ＜－b ＜b ＜－a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选C ∵a ＋b ＜0，∴a ＜－b ，b ＜－a ， ∵a ＜0，b ＞0，∴a ＜－b ＜0＜b ＜－a ，因此充分性成立；∵a ＜－b ＜b ＜－a ，∴－b ＜b ，a ＜－a ，∴b ＞0，a ＜0， ∵a ＜－b ，∴a ＋b ＜0，因此必要性成立．综上，“a＜0，b＞0且a＋b＜0”是“a＜－b＜b＜－a”的充要条件，故选C.2．(多选)下列结论中正确的是()A．“x2＞4”是“x＜－2”的必要不充分条件B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件C．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件D．“x为无理数”是“x2为无理数”的必要不充分条件解析：选ACD x＜－2⇒x2＞4，但x2＞4⇔x＞2或x＜－2，不一定有x＜－2.故A正确．AB2＋AC2＝BC2⇒△ABC为直角三角形，反之，若△ABC为直角三角形，当B，C为直角时，不能推出AB2＋AC2＝BC2，故B错误．a2＋b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2＋b2≠0，故C正确．当x2为无理数时，x为无理数，反之不成立，故D正确．故选A、C、D.3．设p，q，r，s是四个命题．已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么(1)s是q的______条件；(2)r是q的________条件；(3)p是q的________条件．(填“充分”、“必要”或“充要”)解析：将p，q，r，s的关系作图表示，如图．(1)∵q⇒r⇒s，s⇒q，∴s是q的充要条件．(2)∵r⇒s⇒q，q⇒r，∴r是q的充要条件．(3)∵p⇒r⇒s⇒q，∴p是q的充分条件．答案：(1)充要(2)充要(3)充分4．若集合A＝{x|x＞－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，试写出：(1)A∪B＝R的一个充要条件；(2)A∪B＝R的一个必要不充分条件；(3)A∪B＝R的一个充分不必要条件．解：集合A＝{x|x＞－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，(1)若A∪B＝R，则b≥－2，故A∪B＝R的一个充要条件是b≥－2.(2)由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，所以A∪B＝R的一个必要不充分条件可以是b≥－3.(3)由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，所以A∪B＝R的一个充分不必要条件可以是b≥－1.5．已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由．解：“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．理由如下：当a，b，c∈R，a≠0时，若a－b＋c＝0，则－1满足一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，充分性成立；若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，则a－b＋c＝0，必要性成立．综上所述，“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．。

2022_2023学年新教材高中数学课时作业六充要条件新人教A版必修第一册

课时作业(六)　充要条件练基础1.设“－1<x<1”是“|x|<1”的( )A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件2．“x3>8”是“x>2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．[2022·河北邯郸高一期中]已知a，b∈R且a>0，则“a>b”是“<1”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知x，y是实数，则“x>y”是“x3>y3”的( )A.充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．(多选)下列选项中，p是q的充要条件的是( )A．p：xy>0，q：x>0，y>0B．p：A∪B＝A，q：B⊆AC．p：x＝2或x＝－3，q：x2＋x－6＝0D．p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分6．“x>0且y>0”是“x＋y>0且xy>0”的________条件．7．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象不过原点的充要条件是________．8．下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；(2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等；(3)p：A∩B为空集，q：A与B之一为空集．提能力9.“a＝0或b＝0”的充要条件是( )A．a2＋b2＝0 B．＝0C．ab＝0 D．a＋b＝010．(多选)已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是( )A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9}B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0<m≤1}C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1}D．当m＝3时，方程的两实数根之和为011．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________．12．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证：a2－b2－ac＋bc＝0的充要条件是A＝B.培优生13.已知A＝{x1，x2，…，x n}，B＝{y1，y2，…，y m}，则“∀x i∈A，∃y j∈B使得x i ＝y j”是“A⊆B”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件课时作业(六)　充要条件1．解析：因为|x|<1⇔－1<x<1，所以“－1<x<1”是“|x|<1”的充要条件．答案：A2．解析：由x3>8，得x>2；由x>2，得x3>8，则x3>8是x>2的充要条件．答案：C3．解析：因为a>0，由a>b可得1>即<1，所以由a>b可得<1，充分性成立，若a>0，<1，可得b<a，即a>b，所以必要性成立，所以a，b∈R且a>0，则“a>b”是“<1”的充要条件．答案：C4．解析：因为x3－y3＝(x－y)(x2＋xy＋y2)＝(x－y)[(x＋)2＋] ，若x>y，则(x－y)[(x＋)2＋]>0，若(x－y)[(x＋)2＋]>0，则x－y>0，即x>y，所以x>y⇔x3>y3，即“x>y”是“x3>y3”的充要条件．答案：C5．解析：对于A：由xy>0，得x>0，y>0或x<0，y<0，故p不是q的充要条件，故A错误；对于B：由A∪B＝A，则B⊆A，若B⊆A则A∪B＝A，故p是q的充要条件，故B正确；对于C：x2＋x－6＝0的两个根为x＝2或x＝－3，故p是q的充要条件，故C正确；对于D：四边形的对角线互相垂直且平分⇔四边形为菱形，故p不是q的充要条件，故D错误．答案：BC6．解析：因为“x>0且y>0”可以推出“x＋y>0且xy>0”，所以“x>0且y>0”是“x ＋y>0且xy>0”的充分条件，因为x＋y>0且xy>0时， x>0且y>0，所以“x>0且y>0”是“x＋y>0且xy>0”的充要条件．答案：充要7．解析：当x＝0时，y＝a·02＋b·0＋c＝c，即函数图象过(0，c)点，充分性：因为函数图象不过(0，0)点，所以c≠0；必要性：因为c≠0，所以(0，c)点与(0，0)点不重合，即函数图象不过原点．答案：c≠08．解析：在(1)中，三角形中等边对等角，等角对等边，所以p⇔q，所以p是q的充要条件；在(2)中，⊙O内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或互补，因此，pD⇒/q，所以p不是q的充要条件；在(3)中，取A＝{1，2}，B＝{3}，显然，A∩B＝∅，但A与B均不为空集，因此，p q，所以p不是q的充要条件．9．解析：A：a2＋b2＝0必有a＝0且b＝0，不合要求；B：＝0必有a＝0且b≠0，不合要求；C：当ab＝0有a＝0或b＝0，当a＝0或b＝0有ab＝0，互为充要条件，符合要求；D：a＋b＝0有a，b互为相反数，不合要求．答案：C10．解析：对A：若x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根，则Δ≥0，解得m≤1或m≥9，故A错误；对B：由题意，，解得0<m≤1，故B正确；对C：若方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根，则Δ<0，解得1<m<9，该条件的一个必要条件是m∈{m|m>1}，故C正确；对D：当m＝3时，方程无实数根，故D错误．答案：BC11．解析：由题意知，方程的解都是整数，由判别式Δ＝16－4n≥0得n≤4，又n∈N*，∴1≤n≤4，逐个分析：当n＝1，2时，方程没有整数解；当n＝3或4时，方程有正整数解．答案：3或412．证明：(1)先证充分性：若A＝B，则a＝b，∴a2－b2－ac＋bc＝0成立．(2)再证必要性：若a2－b2－ac＋bc＝0成立，∵a2－b2－ac＋bc＝(a＋b)·(a－b)－c(a－b)＝(a－b)(a＋b－c)，∴(a－b)(a＋b－c)＝0，又因为△ABC中，a＋b－c>0，∴a－b＝0，∴a＝b，∴A＝B.综上可知，a2－b2－ac＋bc＝0的充要条件是A＝B.13．解析：若∀x i∈A，∃y j∈B使得x i＝y j，则有A⊆B成立；若A⊆B，则有∀x i∈A，∃y j∈B使得x i＝y i成立．则“∀x i∈A，∃y j∈B使得x i＝y j”是“A⊆B”的充要条件．答案：C。

高中数学课时作业(人教B版必修第一册)课时作业(六) 充分条件、必要条件

课时作业(六)充分条件、必要条件一、选择题1．设集合A＝{x|0≤x＜3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，那么“m∈A”是“m∈B”的() A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是()A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝13．设“p是q的充分条件”；“q是r的充要条件”；“r是s的必要条件”，那么s 是p的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是() A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]二、填空题5．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空．(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________；(2)“x<5”是“x<3”的________．6．已知p：x2＋x－6＝0；q：ax＋1＝0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的值可以是________．7．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是________．三、解答题8．指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答).(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.9．在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；③A∩B＝∅这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题．问题：已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋1}，B＝{x|－1≤x≤3}．(1)当a＝2时，求A∪B；(2)若________，求实数a的取值范围．[尖子生题库]10．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．。

新教材高中数学课时跟踪检测五充分条件与必要条件新人教A版必修第一册(含答案)

新教材高中数学新人教A版必修第一册：充分条件与必要条件层级(一) “四基”落实练1．若p是q的充分条件，则q是p的( )A．充分条件B．必要条件C．既不充分也不必要条件D．以上答案均不正确解析：选B 由充分条件和必要条件的概念知选项B正确．2．“x＞0”是“x≠0”的( )A．充分条件B．必要条件C．既不充分也不必要条件D．以上均不正确解析：选A ∵x＞0⇒x≠0，∴x＞0是x≠0的充分条件．故选A.3．已知条件p：－1＜x＜1，条件q：x≥－2.则q是p的( )A．充分条件B．必要条件C．既不充分也不必要条件D．以上答案均不对解析：选B 由题意，得－1＜x＜1⇒x≥－2.即p⇒q，所以q是p的必要条件．4．(多选)以下选项中，是a＜0，b＜0的一个必要条件的为( )A．a－b＞0 B.ab<－1C．a＋b＜0 D．a＋2b＜1解析：选CD 由a＜0，b＜0，可得：a＋b＜0，a＋2b＜0＜1.而a与b大小关系不确定，ab＞0，因此是a＜0，b＜0的一个必要条件的为C、D.5．已知p：1≤x＜4，q：x＜m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为( ) A．{m|m＞4} B．{m|m＜4}C．{m|m≤4} D．{m|m≥4}解析：选D 令A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＜m}，∵p是q的充分条件，∴p⇒q，即A⊆B，∴m≥4.故选D.6．从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：(1)“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac＜0”的________．(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的________．答案：(1)必要条件(2)充分条件7．已知条件p：2k－1≤x≤1－k，q：－3≤x＜3，且p是q的必要条件，则实数k的取值范围为________．解析：∵条件p ：2k －1≤x ≤1－k ，q ：－3≤x ＜3，且p 是q 的必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2k －1≤－3，3≤1－k ，解得k ≤－2.则实数k 的取值范围是{k |k ≤－2}．答案：{k |k ≤－2}8．指出下列各命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件．(1)p ：x 2>0，q ：x >0；(2)p ：x ＋2≠y ，q ：(x ＋2)2≠y 2；(3)p ：a 能被6整除，q ：a 能被3整除；(4)p ：两个角不都是直角，q ：两个角不相等．解：(1)p ：x 2>0则x >0或x <0，q ：x >0，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件．(2)p ：x ＋2≠y ，q ：(x ＋2)2≠y 2，则x ＋2≠y 且x ＋2≠－y ，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件．(3)p ：a 能被6整除，故也能被3和2整除，q ：a 能被3整除，故p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．(4)p ：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q ：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件．层级(二) 能力提升练1．(多选)若不等式x －2＜a 成立的充分条件是0＜x ＜3，则实数a 的取值范围可以是( )A ．{a |a ≥2}B ．{a |a ≥1}C ．{a |3＜a ≤5}D ．{a |a ≤2} 解析：选ABC 不等式x －2＜a 成立的充分条件是0＜x ＜3，设x －2＜a 的解集为A ，则{x |0<x <3}是集合A 的真子集，∵A ＝{x |x <2＋a }，∴2＋a ≥3，解得a ≥1，则A 、B 、C 均正确．2．已知集合A ＝{x |－1＜x ＜1}，集合B ＝{x |－a ＜x －b ＜a }．若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是( )A ．{b |－2≤b ＜0}B ．{b |0＜b ≤2}C ．{b |－2＜b ＜2}D ．{b |－2≤b ≤2}解析：选C A ＝{x |－1＜x ＜1}，B ＝{x |b －a ＜x ＜b ＋a }．∵a ＝1⇒A ∩B ≠∅，又a ＝1时，B ＝{x |b －1＜x ＜b ＋1}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1＞－1，b －1＜1，解得－2＜b ＜2.∴实数b 的取值范围是{b |－2＜b ＜2}．故选C.3．已知圆B 在圆A 内，点M 是平面上任意一点，请从“充分”“必要”中选出适当的一种填空．(1)“点M 在圆B 内”是“点M 在圆A 内”的________条件．(2)“点M 在圆A 外”是“点M 在圆B 外”的________条件．解析：圆B 在圆A 内，将圆A ，圆B 内部的点组成的集合分别记为A ′，B ′，则有B ′A ′.(1)如图①，因为B ′A ′，所以x ∈B ′⇒x ∈A ′，但x ∈A ′x ∈B ′，所以“点M 在圆B 内”是“点M 在圆A 内”的充分条件．(2)如图②，因为B ′A ′，所以∁U A ′∁U B ′，其中U 为整个平面区域内所有点组成的集合，故x ∈∁U A ′⇒x ∈∁U B ′，但x ∈∁U B ′x ∈∁U A ′，所以“点M 在圆A 外”是“点M 在圆B 外”的充分条件．答案：充分充分4．设α：0≤x ≤1，β：x ＜2m －1或x ＞－2m ＋1，m ∈R ，若α是β的充分条件，求实数m 的取值范围．解：记A ＝{x |0≤x ≤1}，B ＝{x |x ＜2m －1或x ＞－2m ＋1}．因为α是β的充分条件，所以A ⊆B .①当2m －1＞－2m ＋1，即m ＞12时，B ＝R ，满足A ⊆B ； ②当m ≤12，即B ≠R 时，1＜2m －1或0＞－2m ＋1，m 无解．综上可得，实数m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪ m ＞12.层级(三) 素养培优练1．(1)是否存在实数m ，使得“2x ＋m ＜0”是“x <－1或x >3”的充分条件？(2)是否存在实数m ，使得“2x ＋m ＜0”是“x <－1或x >3”的必要条件？解：(1)欲使“2x ＋m ＜0”是“x <－1或x >3”的充分条件，只需⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜－m 2⊆{x |x ＜－1或x ＞3}，只需－m 2≤－1，即m ≥2.故存在实数m ，当m ≥2时，“2x ＋m ＜0”是“x <－1或x >3”的充分条件．(2)欲使“2x ＋m ＜0”是“x <－1或x >3”的必要条件，只需{x |x ＜－1或x ＞3}⊆⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜－m 2，这是不可能的．故不存在实数m 使“2x ＋m ＜0”是“x <－1或x >3”的必要条件．2．某校高一年级为丰富学生的课外生活，提高学生的探究能力，特开设了一些社会活动小组，现有其中的甲、乙两组同学在参加社团活动中，设计了如下两个电路图．并根据在数学课上所学的充分条件与必要条件知识，提出了下面两个问题：(1)①中开关A 闭合是灯泡B 亮的什么条件？(2)②中开关A 闭合是灯泡B 亮的什么条件？你能根据本节课所学知识解答上述两个问题吗？解：(1)充分条件．(2)必要条件.。

2021_2022学年新教材高中数学课时跟踪检测(六)充分条件与必要条件新人教A版必修第一册

课时跟踪检测〔六〕充分条件与必要条件A级——学考水平达标练1．设x∈R，那么“1<x<2〞是“1<x<3〞的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件解析：选B ∵“1<x<2〞⇒“1<x<3〞，反之不成立．∴“1<x<2〞是“1<x<3〞的充分不必要条件．应选B.2．“x为无理数〞是“x2为无理数〞的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件解析：选B 当x2为无理数时，x为无理数；当x为无理数时，x2不一定为无理数．3．集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，那么“a＝3〞是“A⊆B〞的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件解析：选A 因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，假设a＝3，那么A＝{1,3}，所以A⊆B，所以a＝3⇒A⊆B；假设A⊆B，那么a＝2或a＝3，所以A⊆B⇒/ a＝3，所以“a＝3〞是“A⊆B〞的充分不必要条件．4．假设“x2＝4〞是“x＝m〞的必要条件，那么m的一个值可以是( )A．0 B．2C．4 D．16解析：选B 由“x＝2〞能得出“x2＝4〞，选项B正确．5．a，b为实数，那么“a＋b>4〞是“a，b中至少有一个大于2〞的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件解析：选A “a＋b>4〞⇒“a，b中至少有一个大于2〞，反之不成立．∴“a＋b>4〞是“a，b中至少有一个大于2〞的充分不必要条件．应选A.6．对于集合A，B及元素x，假设A⊆B，那么x∈B是x∈A∪B的________条件．解析：由x∈B，显然可得x∈A∪B；反之，由A⊆B，那么A∪B＝B，所以由x∈A∪B可得x∈B，故x∈B是x∈A∪B的充要条件．答案：充要7．“x≠－1〞是“x2－1≠0〞的________条件．解析：由x2－1≠0，x≠1且x≠－1，因为“x≠－1〞是“x≠1且x≠－1〞的必要不充分条件，所以“x≠－1〞是“x2－1≠0〞的必要不充分条件．答案：必要不充分8．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.解析：由于方程的解都是正整数，由判别式Δ＝16－4n≥0得“1≤n≤4〞，逐个分析，当n＝1,2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1,3；当n＝4时，方程有正整数解2.答案：3或49．以下“假设p，那么q〞形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？哪些命题中p 是q的必要条件？(1)假设x>2，那么|x|>1；(2)假设x<3，那么x2<4；(3)假设两个三角形的周长相等，那么这两个三角形的面积相等；(4)假设一个学生的学习成绩好，那么这个学生一定是三好学生．解：(1)假设x>2，那么|x|>1成立，反之当x＝－2时，满足|x|>1但x>2不成立，即中p是q的充分条件．(2)假设x<3，那么x2<4不一定成立，反之假设x2<4，那么－2<x<2，那么x<3成立，即p 是q的必要条件．(3)假设两个三角形的周长相等，那么这两个三角形的面积相等不成立，反之也不成立，即p是q的既不充分又不必要条件．(4)假设一个学生的学习成绩好，那么这个学生一定是三好学生不成立，反之成立，即p 是q的必要条件．10．假设集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，试写出：(1)A∪B＝R的一个充要条件；(2)A∪B＝R的一个必要不充分条件；(3)A∪B＝R的一个充分不必要条件．解：集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，(1)假设A∪B＝R，那么b≥－2，故A∪B＝R的一个充要条件是b≥－2.(2)由(1)知A∪B＝R充要条件是b≥－2，∴A∪B＝R的一个必要不充分条件可以是b≥－3.(3)由(1)知A∪B＝R充要条件是b≥－2，∴A∪B＝R的一个充分不必要条件b≥－1.B级——高考水平高分练1．P＝{x|a－4＜x＜a＋4}，Q＝{x|1＜x＜3}，“x∈P〞是“x∈Q〞的必要条件，那么实数a 的取值范围是________．解析：因为“x ∈P 〞是“x ∈Q 〞的必要条件，所以Q ⊆P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤1，a ＋4≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤5，a ≥－1，所以－1≤a ≤5.答案：{a |－1≤a ≤5}2．“k ＞4，b ＜5〞是“一次函数y ＝(k －4)x ＋b －5的图象交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴〞的________条件．(填“充分不必要〞“必要不充分〞“充要〞或“既不充分又不必要〞)解析：当k ＞4，b ＜5时，函数y ＝(k －4)x ＋b －5的图象如下图．由一次函数y ＝(k －4)x ＋b －5的图象交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴时，即x ＝0，y ＝b －5＜0，∴by ＝0时，x ＝5－b k －4＞0，∵b ＜5，∴k ＞4.故填“充要〞．答案：充要3．p ，q 都是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件．那么：(1)s 是q 的什么条件？(2)r 是q 的什么条件？(3)p 是q 的什么条件？解：将p ，q ，r ，s 的关系作图表示，如下图．(1)因为q ⇒r ⇒s ，s ⇒q ，所以s 是q 的充要条件．(2)因为r ⇒s ⇒q ，q ⇒r ，所以r 是q 的充要条件．(3)因为p ⇒r ⇒s ⇒q ，所以p 是q 的充分条件．4．设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.证明：必要性：设方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根x 0，那么x 20＋2ax 0＋b 2＝0，x 20＋2cx 0－b 2＝0.两式相减，得x 0＝b 2c －a ，将此式代入x 20＋2ax 0＋b 2＝0，可得b 2＋c 2＝a 2，故∠A ＝90°.充分性：∵∠A ＝90°，∴b 2＝a 2－c 2.①将①代入方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，可得x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0，即(x ＋a －c )(x ＋a ＋c )＝0.将①代入方程x 2＋2cx －b 2＝0，可得x 2＋2cx ＋c 2－a 2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.故两方程有公共根x＝－(a＋c)．∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.5．a，b，c∈R，a≠0.判断“a－b＋c＝0〞是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1〞的什么条件？并说明理由．解：“a－b＋c＝0〞是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1〞的充要条件．理由如下：当a，b，c∈R，a≠0时，假设“a－b＋c＝0〞，那么－1满足二次方程ax2＋bx＋c＝0，即“二次方程ax2＋bx＋c ＝0有一根为－1〞，故“a－b＋c＝0〞是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1〞的充分条件，假设“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1〞，那么“a－b＋c＝0〞，故“a－b＋c＝0〞是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1〞的必要条件，综上所述，“a－b＋c＝0〞是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1〞的充要条件．。

2022新教材高中数学课时检测6充分条件与必要条件含解析新人教A版必修第一册

充分条件与必要条件[A 级基础巩固]1．若p ：四边形ABCD 是菱形，q ：四边形ABCD 是矩形，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既充分又必要条件 D ．既不充分又不必要条件解析：选D 依题意，当四边形ABCD 是菱形时，不一定是矩形．当四边形ABCD 是矩形时，不一定是菱形．∴p ⇒/ q ，q ⇒/ p ，∴p 是q 的既不充分又不必要条件．2．(多选)下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的是( ) A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x ＜y ，则x 2＜y 2解析：选AC 由于A 、C 显然为真命题，故A 、C 中p 是q 的充分条件，B 不是，x 2＝1⇒x ＝1或x ＝－1.D 不是，如x ＝－3，y ＝－2，则x 2＝9＞y 2＝4.3．对实数a ，b ，c ，在下列命题中，是真命题的为( ) A ．“ac ＞bc ”是“a ＞b ”的必要条件 B ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件 C ．“ac ＞bc ”是“a ＞b ”的充分条件 D ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件解析：选B ∵⎩⎪⎨⎪⎧ac ＞bc ，c ＞0⇒a ＞b ，⎩⎪⎨⎪⎧ac ＞bc ，c ＜0⇒a ＜b ，∴ac ＞bc ⇒/ a ＞b ，而由a ＞b⇒/ ac ＞bc ，∴“ac ＞bc ”是“a ＞b ”的既不充分也不必要条件，故A 、C 错误．又⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝bc ，c ≠0⇒a ＝b ，⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝bc ，c ＝0⇒/ a ＝b ，∴由ac ＝bc ⇒/ a ＝b ，由a ＝b ⇒ac ＝bc ，∴“ac ＝bc ”是“a＝b ”的必要条件．故选B.4．唐代诗人杜牧的七绝唐诗《偶题》传诵至今，“道在人间或可传，小还轻变已多年，今来海上升高望，不到蓬莱不是仙”，其中设p ：“是仙”，q ：“到蓬莱”，则( )A ．p 是q 的充分条件B ．p 是q 的必要条件C ．既充分又必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由题得，“是仙”一定是“到蓬莱”，“到蓬莱”不一定“是仙”．所以“是仙”是“到蓬莱”的充分条件．故选A.5．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解析：选A 因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒/ 丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲⇒/ 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．6．“x 2＝2x ”是“x ＝0”的________条件，“x ＝0”是“x 2＝2x ”的________条件(用“充分”“必要”填空)．解析：由于x ＝0⇒x 2＝2x ，所以“x 2＝2x ”是“x ＝0”的必要条件，“x ＝0”是“x 2＝2x ”的充分条件．答案：必要充分7．下列说法不正确的是________．(填序号) ①“x ＞5”是“x ＞4”的充分条件； ②“xy ＝0”是“x ＝0且y ＝0”的充分条件； ③“－2＜x ＜2”是“x ＜2”的充分条件．解析：②中由xy ＝0不能推出x ＝0且y ＝0，则②不正确；①③正确．答案：②8．条件p ：1－x <0，条件q ：x >a ，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：p ：x >1，若p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q ，但q ⇒/ p ，也就是说，p 对应集合是q 对应集合的真子集，所以a <1.答案：{a |a <1}9．下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？哪些命题中的p 是q 的必要条件？(1)p ：实数a 能被6整除，q ：实数a 能被3整除； (2)p ：x ＞1，q ：x 2＞1； (3)p ：b 2＝ac ，q ：a b ＝bc；(4)p ：A ∩B ＝A ，q ：∁U B ⊆∁U A .解：(1)实数a 能被6整除，则一定能被3整除，反之不一定成立．即p ⇒q ，q ⇒/ p ，所以p 是q 的充分条件，但p 不是q 的必要条件．(2)因为x 2＞1⇒x ＞1或x ＜－1，所以p ⇒q ，且q ⇒/ p . 所以p 是q 的充分条件，但p 不是q 的必要条件．(3)b 2＝ac ⇒/ a b ＝b c ，如b ＝0，c ＝0时，b 2＝ac ，而a b ，b c 无意义．但a b ＝b c⇒b 2＝ac ，所以p 是q 的必要条件，但p 不是q 的充分条件． (4)画出Venn 图(如图)．结合图形可知，A ∩B ＝A ⇒A ⊆B ⇒∁U B ⊆∁U A ，反之也成立，所以p 是q 的充分条件，且p 是q 的必要条件．10．已知a ，b 为实数，条件甲：“a ＋b ＝0”，条件乙：“a b＝－1”．根据充分条件与必要条件的概念，判断甲是乙的什么条件．解：当a ＝b ＝0时，满足a ＋b ＝0，但a b＝－1不成立，即甲不是乙的充分条件；若a b＝－1，则a ＝－b ，即a ＋b ＝0，则甲是乙的必要条件．综上，甲不是乙的充分条件，但甲是乙的必要条件．[B 级综合运用]11．(多选)一元二次方程x 2＋4x ＋n ＝0有正实数根的充分不必要条件是( ) A ．n ＝4 B ．n ＝－5 C ．n ＝－1D ．n ＝－12解析：选BCD 设y ＝x 2＋4x ＋n ，则函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x ＝－2，要使得一元二次方程x 2＋4x ＋n ＝0有正数根，则满足当x ＝0时，y ＜0，即n ＜0，所以一元二次方程x 2＋4x ＋n ＝0有正数根的充分不必要条件可以为B 、C 、D.故选B 、C 、D.12．南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V 1，V 2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S 1，S 2，则“V 1，V 2相等”是“S 1，S 2总相等”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既充分又必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由祖暅原理知，若S 1，S 2总相等，则V 1，V 2相等成立，即必要性成立；若V 1，V 2相等，则S 1，S 2不一定相等，即充分性不成立．所以“V 1，V 2相等”是“S 1，S 2总相等”的必要不充分条件，故选B.13．已知p ：－1＜x ＜3，若－a ＜x －1＜a (a ＞0)是p 的一个必要条件，则使a ＞b 恒成立的实数b 的取值范围是________．解析：∵－a ＜x －1＜a ⇔1－a ＜x ＜1＋a ， ∴{x |－1＜x ＜3}⊆{x |1－a ＜x ＜1＋a }，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤－1，1＋a ≥3，解得a ≥2. 又a ＞b 恒成立，因此b ＜2，故实数b 的取值范围是{b |b ＜2}．答案：{b |b ＜2}14．设α：0≤x ≤1，β：x ＜2m －1或x ＞－2m ＋1，m ∈R ，若α是β的充分条件，求实数m 的取值范围．解：记A ＝{x |0≤x ≤1}，B ＝{x |x ＜2m －1或x ＞－2m ＋1}．因为α是β的充分条件，所以A ⊆B .①当2m －1＞－2m ＋1，即m ＞12时，B ＝R ，满足A ⊆B ；②当m ≤12，即B ≠R 时，1＜2m －1或0＞－2m ＋1，m 无解．综上可得，实数m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m ＞12.[C 级拓展探究]15．已知p ：x 2＋x －6＝0和q ：mx ＋1＝0，且p 是q 的必要条件但不是充分条件，求实数m 的值．解：p ：x ∈{x |x 2＋x －6＝0}＝{2，－3}，q ：x ∈{x |mx ＋1＝0}，因为p 是q 的必要条件但不是充分条件，所以{x |mx ＋1＝0}{2，－3}．当{x |mx ＋1＝0}＝∅，即m ＝0时，符合题意；当{x |mx ＋1＝0}≠∅时，由{x |mx ＋1＝0}{2，－3}，得－1m ＝2或－1m ＝－3，解得m ＝－12或m ＝13.综上可知，m ＝0或－12或13.。

人教A版高中数学必修1课后训练六充分条件与必要条件

课后训练六充分条件与必要条件(20分钟·40分)一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.“a和b都是奇数”是“a+b也是偶数”的 ( )A.充分条件B.必要条件C.既是充分条件也是必要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【解析】选 A.两个奇数的和是偶数,但和为偶数的两个数有可能是两个偶数,不一定是两个奇数,所以“a和b都是奇数”⇒“a+b也是偶数”,“a+b也是偶数”“a和b都是奇数”.所以“a和b都是奇数”是“a+b也是偶数”的充分条件.【加练·固】已知p:>0,q:xy>0,则p是q的( )A.充分条件B.必要条件C.既是充分条件也是必要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【解析】选C.>0⇔“x>0且y>0”或“x<0且y<0”⇔xy>0,所以p是q的充分条件也是必要条件.2.已知命题“若p,则q”,假设“若q,则p”为真,则p是q的( )A.充分条件B.必要条件C.既是充分条件也是必要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【解析】选B.“若q,则p”为真,即q⇒p,所以p是q的必要条件.3.a<b,b<0的一个必要条件是( )A.a+b<0B.a-b>0C.>1D.<-1【解析】选A.因为a<b,b<0⇒a<0,b<0⇒a+b<0.所以a+b<0是a<b,b<0的一个必要条件.4.(多选题)有以下说法,其中正确的为( )A.“m是有理数”是“m是实数”的充分条件B.“x∈A∩B”是“x∈A”的必要条件C.“x2-2x-3=0”是“x=3”的必要条件D.“x>3”是“x2>4”的充分条件【解析】选A、C、D.A正确,因为“m是有理数”⇒“m是实数”,所以“m是有理数”是“m是实数”的充分条件;B不正确,因为“x∈A”“x∈A∩B”,所以“x∈A∩B”不是“x∈A”的必要条件;C正确,由于“x=3”⇒“x2-2x-3=0”,故“x2-2x-3=0”是“x=3”的必要条件;D正确.由于“x>3”⇒“x2>4”,所以“x>3”是“x2>4”的充分条件.二、填空题(每小题4分,共8分)5.用“充分”或“必要”填空:(1)“x≠3”是“|x|≠3”的______条件.(2)“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的______条件.【解析】(1)当|x|≠3时,x≠±3,所以“x≠3”“|x|≠3”,“|x|≠3”⇒“x≠3”,所以“x≠3”是“|x|≠3”的必要条件.(2)因为个位数字是5或0的自然数都能被5整除,所以“个位数字是5的自然数”⇒“这个自然数能被5整除”;“这个自然数能被5整除”“个位数字是5的自然数”,所以“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的充分条件.答案:(1)必要(2)充分6.若集合A={1,m2},B={2,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的______条件.(填“充分”或“必要”) 【解析】当A∩B={4}时,m2=4,所以m=±2.所以“m=2”是“A∩B={4}”的充分条件.答案:充分三、解答题7.(16分)下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件?哪些命题中的p是q的必要条件?(1)p:数a能被6整除,q:数a能被3整除.(2)p:x>1,q:x2>1.(3)p:△ABC有两个角相等,q:△ABC是正三角形.(4)p:A∩B=A,q:U B⊆U A.【解析】(1)数a能被6整除,则一定能被3整除,反之不一定成立.即p⇒q,q p,所以p是q的充分条件,但p不是q的必要条件.(2)因为x2>1⇒x>1或x<-1,所以p⇒q,且q p.所以p是q的充分条件,但p不是q的必要条件.(3)△ABC中,有两个角相等时为等腰三角形,不一定为正三角形,即p q,且q⇒p,所以p不是q的充分条件,但p是q的必要条件.(4)画出Venn图(如图)可得.结合图形可知,A∩B=A⇒A⊆B⇒U B⊆U A,反之也成立.所以p是q的充分条件,且p是q的必要条件.(15分钟·30分)1.(4分)若非空集合A,B,C满足A∪B=C,且B不是A的子集,则( )A.“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件B.“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件C.“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件【解析】选B.x∈A必有x∈C,但反之不一定成立,所以“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件.2.(4分)设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么 ( )A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件C.丙既是甲的充分条件,也是甲的必要条件D.丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件【解析】选A.因为甲是乙的必要条件,所以乙⇒甲.又因为丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,所以丙⇒乙,但乙丙,如图.综上,有丙⇒甲,但甲丙,即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件.3.(4分)给出下列四个条件:①a>0,b>0;②a<0,b<0;③a=3,b=-2;④a>0,b<0且|a|>|b|,其中________是a+b>0的充分条件.(填序号)【解析】问题是“谁”是“a+b>0”的充分条件;对应即为“谁”⇒“a+b>0”.“a>0,b>0”⇒“a+b>0”,“a=3,b=-2”⇒“a+b=1>0”,“a>0,b<0且|a|>|b|”⇒“a+b>0”故①③④正确,而②中“a<0,b<0”⇒“a+b<0”不正确.答案:①③④4.(4分)条件p:1-x<0,条件q:x>a,若p是q的充分条件,则a的取值范围________.【解析】x>1⇒x>a,令A={x|x>1},B={x|x>a},则A⊆B,所以a≤1.答案:a≤15.(14分)已知a,b是实数,求证:a4-b4-2b2=1成立的充分条件是a2-b2=1,该条件是否是必要条件?证明你的结论.【解析】若a2-b2=1,则a4-b4-2b2=(a2+b2)(a2-b2)-2b2=a2+b2-2b2=a2-b2=1,所以a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的充分条件.a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的必要条件,证明如下:若a4-b4-2b2=1,则a4-b4-2b2-1=0,即a4-(b2+1)2=0,所以(a2+b2+1)(a2-b2-1)=0,因为a2+b2+1≠0,所以a2-b2=1,所以a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的必要条件.【加练·固】已知a,b是实数,且ab≠0,求证:a3+b3+ab-a2-b2=0成立的充分条件是a+b=1,该条件是否是必要条件?证明你的结论.【解析】若a+b=1,即b=1-a,a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0.所以a+b=1是a3+b3+ab-a2-b2=0成立的充分条件,a+b=1是a3+b3+ab-a2-b2=0成立的必要条件,证明如下:因为a3+b3+ab-a2-b2=0,即(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0,所以(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.因为ab≠0,所以a≠0且b≠0,所以a2-ab+b2≠0,故a+b=1.。

充分条件与必要条件含答案解析

第一章常用逻辑用语1.2 充分条件与必要条件A级基础巩固一、选择题1．“a＞b”是“a＞|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不充分也不必要条件2．(2015·安徽卷)设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．x2＜4的必要不充分条件是()A．0＜x≤2 B．－2＜x＜0C．－2≤x≤2 D．1＜x＜34．(2015·北京卷)设a，b是非零向量，“a·b＝|a|| b |”是“a∥b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是()A．m＝2 B．m＝－2C．m＝－1 D．m＝1二、填空题6．(2015·浙江卷)设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的________________条件．7．关于x的不等式|2x－3|＞a的解集为R的充要条件是________．8．对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“b－2是无理数”是“b是无理数”的充要条件；③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；④“a＜5”是“a＜3”的必要条件．其中真命题的序号是________．三、解答题9．已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(x－3)＜0，且q是p的充分而不必要条件，试求a的取值范围．10．设p：－2＜m＜0，0＜n＜1，q：关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根．试分析p是q的什么条件．B 级能力提升1．m ＝12是直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．已知p ：不等式x 2＋2x ＋m ＞0的解集为R ；q ：指数函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋14x 为增函数，则p 是q 成立的________条件． 3．已知p ：－2≤x ≤10，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，若綈p 是綈q 的充分不必要条件．求实数m 的取值范围．答案解析A 级基础巩固1.解析：a ＞b 推不出a ＞|b |，如a ＝3，b ＝－5，但a ＞|b |≥b ，即a ＞|b |可推出a ＞b ，则“a ＞b ”是“a ＞|b |”的必要不充分条件．答案：B2.解析：q ＝2x ＞1＝2°，即x ＞0.A ＝(1，2)，B ＝(0，＋∞)．所以 A B ，则p 为q 的充分不必要条件．答案：A3.解析：x 2＜4即－2＜x ＜2，因为－2＜x ＜2能推出－2≤x ≤2，而－2≤x≤2不能推出－2＜x＜2，所以x2＜4的必要不充分条件是－2≤x≤2.答案：C4.解析：若a·b＝|a|| b |，则a与b的方向相同，故a∥b. 若a∥b，则a·b＝|a|| b |或a·b＝－|a|| b |.所以“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件．答案：A5.解析：当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.答案：B6.解析：若a＋b＞0，取a＝3，b＝－2，则ab＞0不成立；反之，若a＝－2，b＝－3，则a＋b＞0也不成立，因此“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．答案：既不充分也不必要条件7.解析：由题意知|2x－3|＞a恒成立．因为|2x－3|≥0，所以a＜0.答案：a＜08.解析：①中由“a＝b”可得ac＝bc，但由“ac＝bc”得不到“a＝b”，所以不是充要条件；②是真命题；③中a＞b时，a2＞b2不一定成立，所以③是假命题；④中由“a＜5”得不到“a＜3”，但由“a＜3”可以得出“a＜5”，所以“a ＜5”是“a ＜3”的必要条件，是真命题．答案：②④9.解：设q ，p 表示的范围为集合A ，B ，则A ＝(2，3)，B ＝(a －4，a ＋4)．由于q 是p 的充分而不必要要件，则有AB ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4＞3或⎩⎪⎨⎪⎧a －4＜2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6. 10.解：当－2＜m ＜0，0＜n ＜1时，Δ＝m 2－4n 不一定大于等于0，即函数f (x )的图象与x 轴不一定有交点，所以充分性不满足．反之，若方程有两个小于1的正根，分别设为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝n ，则必有0＜－m 2＜1，0＜－m ＜2，0＜n ＜1，且Δ≥0，即－2＜m ＜0，0＜n ＜1，m 2－4n ≥0.综上，p 是q 的必要不充分条件．B 级能力提升1.解析：当m ＝12时，两直线为52x ＋32y ＋1＝0和－32x ＋52y －3＝0，两直线斜率之积为－1，两直线垂直；而当两直线垂直时，(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0，即2(m ＋2)(2m －1)＝0，所以 m ＝－2或m ＝ 12.所以为充分不必要条件．答案：B2.解析：p ：不等式x 2＋2x ＋m ＞0的解集为R ，即Δ＝4－4m ＜0，m ＞1；q ：指数函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋14x 为增函数，即m ＋14＞1，m ＞34，则p 是q 成立的充分不必要条件．答案：充分不必要3.解：p ：－2≤x ≤10.q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)⇔[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0(m ＞0)⇔1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件，即{}x |1－m ≤x ≤1＋m {}x |－2≤x ≤10，故有⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ＜－10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又m ＞0，所以实数m 的取值范围为{}m |0＜m ≤3. 本题还可用以下方法求解．因为p ：－2≤x ≤10，所以綈p ：x ＜－2或x ＞10.q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)⇔[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0(m ＞0)⇔1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，綈q ：x ＜1－m 或x ＞1＋m (m ＞0)．因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以{}x |x ＜－2或x ＞10{}x |x ＜1－m 或x ＞1＋m ，故有⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ＜10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又m ＞0，所以实数m 的取值范围为{}m |0＜m ≤3.。