等腰三角形的轴对称性

等腰三角形的轴对称性

1.知识.能力聚焦

1.等腰三角形的性质

（1）等腰三角形是轴对称图形，顶角的角平分线所在直线是它的对称轴。（2）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）

（3）等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）

2.等腰三角形的判定

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等边”），这就是等腰三角形的重要判定方法。

3.直角三角形的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

在应用该性质时应注意以下两点：

（1）必须是在直角三角形中；

（2）中线必须是斜边上的中线，二者缺一不可。

4.等边三角形

（1）定义：三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。

（2）性质：应为等边三角形是特殊的等腰三角形，所以它除了具有等腰三角形的一切性质外，还具有如下性质：

①等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴。

②等边三角形是每个角都等于60°

（3）识别：判定等边三角形有如下三种方法:

①三边相等的三角形是等边三角形。

②三个角都相等的三角形是等边三角形。

③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

创新.思维拓展

等腰三角形性质的拓展

由于等腰三角形的特殊性，除了边、角的等量关系以外，还有以下特殊的性质；

（1）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等。

E

D C

B

A

第2题

（2） 等腰三角形两底角的平分线相等。

（3） 等腰三角形底边中线上的任一点到两腰的距离相等。

（4） 在一个三角形中，等边对等角，如果边不等则所对的角也不等，并

且大边对大角。

再探直角三角形的性质

在直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半。

习题

1．(1)等腰三角形中，如果底边长为6，一腰长为8，那么周长是 ；

(2)等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，那么它的周长是 ；

(3)若等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则它的周长为( )

A ．9

B ．12

C ．15

D ．12或15

2．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD 是BC 边上的中线，且BD=BE ，则∠ADE 是 °．

3．等腰三角形的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内

角分别为( )

A ．80°、80°、20°

B ．80°、50°、50°

C ．80°、80°、20°或80°、50°、50°

D ．以上答案都不对

4．（2009年贵州黔东南州）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，

且BD ＝BC ＝AD ，则∠A 等于（ ）A ．30o B ．40o C ．45o D ．36o

5． 如图，已知E 、F 两点在线段BC 上，AB ＝AC ，BF ＝CE ，你能判断线段AF 和AE 的大小关系吗说明理由．(用两种不同的方法说明)

6．如图，点E 是等边△ABC 内一点，且EA=EB ，△ABC 外一点D 满

足BD=AC ，且BE 平分∠DBC ，求∠BDE 的度数．

专题二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

10．在直角三角形ABC 中，如果斜边上的中线CD=3cm ，斜边上的高为2cm ，△ABC 的面积是___________．

11．如图，在△ABC 中，CF ⊥AB 于F ，BE ⊥AC 于E ，M 为BC 的中点，EF=5，

D

C

B A

E

D

C

A

F

E

C

B

A

A

E

F

M

C B

第11题

BC=8，则△EFM 的周长是 ( ) A ．21 B ．18 C ．13 D ．15

12．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝8，AE 平分∠BAC 交BC 于点E ，点D

为AB 的中点，连结DE ，则△ADE 的周长是_________．(结果保留根号)

专题三：等腰三角形的判定

13．（2009年嘉兴市）如图，等腰△ABC 中， A ＝36°，ABC 的平分线交AC

于D ，BCD 的平分线交BD 于E ，图中共有等腰三角形( )A ．3个

B ．4个

C ．5个

D ．6个

14．把一张长方形纸，按如图所示折叠，重合部分是什么

形状请说明理由．

15．如图，等边△ABC 中，点D 在延长线上，CE 平分∠ACD ，且CE=BD ．

说明：△ADE 是等边三角形．

A

D C

E B

1A

B

C D

E

5423第12题图

C‘E

D

C

B A

16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=90°，D、E分别为AB、BC上的动点，且BD=CE，M是AC的中点，试探究在DE运动的过程中，△DEM的形状是否发生变化它是什么形状的三角形