波形与频谱分析(第一章)
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2020/4/1
确定性变化规律
某一时间区间
随机数据
单个时间历程 全部时间历程
波形、频谱与随机信号分析
样本记录 样本函数 随机过程
1.2.1 随机过程的基本数字特征
随机过程的分布函数族能完善地刻画随机过程的统计特 性，但在实际观测中，往往只能得到部分样本，用这些样本 来确定分布函数是困难的，甚至是不可能的，因而有必要引 入基本数字特征来描述随机过程的统计特性。
图1-1直观地表示了时间域和在频率域观测信号之间的 有机联系。
2020/4/1
波形、频谱与随机信号分析
幅
幅
值
值
幅 值
谱线
时域观测 (a)
(b)
(c)
频域观测
图1-1 波形与频谱
（a）时域波形； （b）时频关系； （c）频域谱线
2020/4/1
波形、频谱与随机信号分析
观
测
波
哈哈镜
形
失真 畸变
① 绝大多数观测中是看不到真实波形的； ② 实际观测到的波形无法与真实波形进行比较。 这样就可能把已 “扭曲”的测试数据当作结果加以应用！ 因此，未经分析处理、修正反演而简单地根据测试波形 直接求得的结果，往往会产生很大的误差，有时甚至会得出 错误的结果。 波形的分析与处理的目的之一就是要避免出现这种情 况。
2020/4/1
波形、频谱与随机信号分析
谱分析的数学工具
傅立叶级数 傅立叶积分
5.波形与频谱的关系：波形分析 FT 频谱分析，即
X ( ) x(t) exp( j t) d t x(t) 1 X ( ) exp(j t) d t
2 π
式中，X(ω)是 x(t)的傅立叶变换， x(t)是 X(ω)的傅立叶 逆变换。
2020/4/1
波形、频谱与随机信号分析
1.1.2 观测数据的类型与描述
观
在容差内可重复
测
波
形 在容差内不可重复
确定性数据 随机性数据
简谐周期数据
观 测
周期性数据
复杂周期数据
波 形
非周期性数据
准周期数据
瞬变数据
2020/4/1
波形、频谱与随机信号分析
1.简谐周期数据: 可用下列形式的函数来描述：
T 1/ f1, n 1,2,
复杂周期数据还可以用傅立叶级数的另一种表达形式:
其中
x(t) X 0 X n cos(2 π nf1t n ) （1.1.4）
n 1
X0
a0 2
,
Xn
an2 bn2 ,
n
tg1
bn an
;
n 1, 2,
2020/4/1
波形、频谱与随机信号分析
如果只考虑复杂周期数据的幅值谱，则可用图1-2所示的 离散谱线来表示式（1.1.4）的幅频特性。
或
x(t) x(t)
Asin(2π f A c os (2π
0t ) f0t
Asin(0t ) ) Acos(0t
)
（1.1.1）
式中：
A —— 振幅； f0 =1/ T —— 频率，表示波在单位时间内的循环数； T —— 周期，表示正弦波完成一次循环所需的时间； ω0=2πf0 —— 角频率； φ —— 相对时间原点的初始相位（弧度）。
2020/4/1
波形、频谱与随机信号分析
在多数情况下，瞬变数据可用傅立叶积分表示
X () x(t)ejt dt 或 X () | X () | ej () （1.1.6）
式中，| X(ω)| — 幅频特性，θ(ω) — 相频特性。 二者均为 连续谱。
1.2 随机过程及其数学特征
观 测 数 据
幅 值
X2
X0
X1
X3
f0
f1
f2
f3
f
图1-2 复杂周期数据的频谱（幅值谱）
3.准周期数据: 准周期数据是一种非周期数据，可用下 式表示为
2020/4/1
波形、频谱与随机信号分析
x(t) X0 X n cos(2π fnt n )
n1
（1.1.5）
式中，fn / fm（n≠m）在任何情况下都不等于有理数。 当两个或多个无关联的周期性现象混合作用时，常常会
例如:交流发电机的电压输出，偏心转子的振动……
从数据分析的角度出发，简谐数据是观测数据中最简单
的形式。
2020/4/1
波形、频谱与随机信号分析
2.复杂周期数据: 可用周期时变函数表示：
x(t) x(t kT), k 1,2, （1.1.2）
与简谐周期波形一样，一个波经历的时间称为周期 T， 单位时间内的循环数称为基频 f1 。显然，简谐周期波是复杂 周期波的一个特例。
复杂周期波可以展成傅立叶级数：
x(t)
a0 2
[an
n1
cos(2π nf1t) bn
sin(2π nf1t)]（1.1.3）
2020/4/1
波形、频谱与随机信号分析
式中：
an
2 T
T
0 x(t) cos(2 π nf1t) d t,
bn
2 T
T
0 x(t) sin(2 π nf1t) d t
出现准周期数据。
例如：多机组内燃机车在发动机不同步时的振动响应就是准周期数 据。准周期数据也可用图1-2所示的离散谱线来表示它的幅值谱，其差 别仅仅是各个分量的频率不再是有理数的关系。
4.瞬变非周期数据: 除了准周期以外的所有非周期信号 都属于瞬变数据。瞬变数据与周期数据不同的一个重要特 征，就是它不能用离散谱来表示（连续谱）。
3.波形分析：一般是指对观测信号在时间域和幅值域里 进行分析 ，以得到描述观测信号的各种特征或关系 。
例如：① 波形的起始时间与持续时间 ② 波形的时间滞后 ③ 波形的畸变 ④ 波形与波形之间的相似程度
4.频谱分析：是对观测信号在频率域内进行分析，得 到 ：① 幅值谱/相位谱，② 功率谱 ，③ 互谱密度等分析 结果。
2020/4/1
波形、频谱与随机信号分析
1.1 波形与频谱的基本概念
幅
电、磁、光
值
力、位移、速度、
wenku.baidu.com
观测数据
O
加速度
时间
（机械量）
1.1.1 观测数据的波形与频谱
1.波形：时间 横坐标、物理观测量（幅值） 纵坐 标，得到一种变化的图形，称之为时域波形；
2020/4/1
波形、频谱与随机信号分析
2.频谱：频率 横坐标、经数学变换后的物理观测量 （如：幅值、相位、功率） 纵坐标，得到一种变化的图 形或谱线，称之为频谱。
现代测试系统 分析、建模与仿真
自动化学院 测控技术技术系
2020/4/1
波形、频谱与随机信号分析
第一章 波形、频谱与随机过程分析
信息产业的三大支柱：
1. 信息获取（传感器、仪器：量值信息） 2. 信息传递（通讯设备） 3. 信息处理（计算机） 本课程主要是研究 “信息处理” 问题。 波形、频谱与随机信号处理是现代信息处理 技术的主要内容之一
确定性变化规律
某一时间区间
随机数据
单个时间历程 全部时间历程
波形、频谱与随机信号分析
样本记录 样本函数 随机过程
1.2.1 随机过程的基本数字特征
随机过程的分布函数族能完善地刻画随机过程的统计特 性，但在实际观测中，往往只能得到部分样本，用这些样本 来确定分布函数是困难的，甚至是不可能的，因而有必要引 入基本数字特征来描述随机过程的统计特性。
图1-1直观地表示了时间域和在频率域观测信号之间的 有机联系。
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波形、频谱与随机信号分析
幅
幅
值
值
幅 值
谱线
时域观测 (a)
(b)
(c)
频域观测
图1-1 波形与频谱
（a）时域波形； （b）时频关系； （c）频域谱线
2020/4/1
波形、频谱与随机信号分析
观
测
波
哈哈镜
形
失真 畸变
① 绝大多数观测中是看不到真实波形的； ② 实际观测到的波形无法与真实波形进行比较。 这样就可能把已 “扭曲”的测试数据当作结果加以应用！ 因此，未经分析处理、修正反演而简单地根据测试波形 直接求得的结果，往往会产生很大的误差，有时甚至会得出 错误的结果。 波形的分析与处理的目的之一就是要避免出现这种情 况。
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波形、频谱与随机信号分析
谱分析的数学工具
傅立叶级数 傅立叶积分
5.波形与频谱的关系：波形分析 FT 频谱分析，即
X ( ) x(t) exp( j t) d t x(t) 1 X ( ) exp(j t) d t
2 π
式中，X(ω)是 x(t)的傅立叶变换， x(t)是 X(ω)的傅立叶 逆变换。
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波形、频谱与随机信号分析
1.1.2 观测数据的类型与描述
观
在容差内可重复
测
波
形 在容差内不可重复
确定性数据 随机性数据
简谐周期数据
观 测
周期性数据
复杂周期数据
波 形
非周期性数据
准周期数据
瞬变数据
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波形、频谱与随机信号分析
1.简谐周期数据: 可用下列形式的函数来描述：
T 1/ f1, n 1,2,
复杂周期数据还可以用傅立叶级数的另一种表达形式:
其中
x(t) X 0 X n cos(2 π nf1t n ) （1.1.4）
n 1
X0
a0 2
,
Xn
an2 bn2 ,
n
tg1
bn an
;
n 1, 2,
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波形、频谱与随机信号分析
如果只考虑复杂周期数据的幅值谱，则可用图1-2所示的 离散谱线来表示式（1.1.4）的幅频特性。
或
x(t) x(t)
Asin(2π f A c os (2π
0t ) f0t
Asin(0t ) ) Acos(0t
)
（1.1.1）
式中：
A —— 振幅； f0 =1/ T —— 频率，表示波在单位时间内的循环数； T —— 周期，表示正弦波完成一次循环所需的时间； ω0=2πf0 —— 角频率； φ —— 相对时间原点的初始相位（弧度）。
2020/4/1
波形、频谱与随机信号分析
在多数情况下，瞬变数据可用傅立叶积分表示
X () x(t)ejt dt 或 X () | X () | ej () （1.1.6）
式中，| X(ω)| — 幅频特性，θ(ω) — 相频特性。 二者均为 连续谱。
1.2 随机过程及其数学特征
观 测 数 据
幅 值
X2
X0
X1
X3
f0
f1
f2
f3
f
图1-2 复杂周期数据的频谱（幅值谱）
3.准周期数据: 准周期数据是一种非周期数据，可用下 式表示为
2020/4/1
波形、频谱与随机信号分析
x(t) X0 X n cos(2π fnt n )
n1
（1.1.5）
式中，fn / fm（n≠m）在任何情况下都不等于有理数。 当两个或多个无关联的周期性现象混合作用时，常常会
例如:交流发电机的电压输出，偏心转子的振动……
从数据分析的角度出发，简谐数据是观测数据中最简单
的形式。
2020/4/1
波形、频谱与随机信号分析
2.复杂周期数据: 可用周期时变函数表示：
x(t) x(t kT), k 1,2, （1.1.2）
与简谐周期波形一样，一个波经历的时间称为周期 T， 单位时间内的循环数称为基频 f1 。显然，简谐周期波是复杂 周期波的一个特例。
复杂周期波可以展成傅立叶级数：
x(t)
a0 2
[an
n1
cos(2π nf1t) bn
sin(2π nf1t)]（1.1.3）
2020/4/1
波形、频谱与随机信号分析
式中：
an
2 T
T
0 x(t) cos(2 π nf1t) d t,
bn
2 T
T
0 x(t) sin(2 π nf1t) d t
出现准周期数据。
例如：多机组内燃机车在发动机不同步时的振动响应就是准周期数 据。准周期数据也可用图1-2所示的离散谱线来表示它的幅值谱，其差 别仅仅是各个分量的频率不再是有理数的关系。
4.瞬变非周期数据: 除了准周期以外的所有非周期信号 都属于瞬变数据。瞬变数据与周期数据不同的一个重要特 征，就是它不能用离散谱来表示（连续谱）。
3.波形分析：一般是指对观测信号在时间域和幅值域里 进行分析 ，以得到描述观测信号的各种特征或关系 。
例如：① 波形的起始时间与持续时间 ② 波形的时间滞后 ③ 波形的畸变 ④ 波形与波形之间的相似程度
4.频谱分析：是对观测信号在频率域内进行分析，得 到 ：① 幅值谱/相位谱，② 功率谱 ，③ 互谱密度等分析 结果。
2020/4/1
波形、频谱与随机信号分析
1.1 波形与频谱的基本概念
幅
电、磁、光
值
力、位移、速度、
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观测数据
O
加速度
时间
（机械量）
1.1.1 观测数据的波形与频谱
1.波形：时间 横坐标、物理观测量（幅值） 纵坐 标，得到一种变化的图形，称之为时域波形；
2020/4/1
波形、频谱与随机信号分析
2.频谱：频率 横坐标、经数学变换后的物理观测量 （如：幅值、相位、功率） 纵坐标，得到一种变化的图 形或谱线，称之为频谱。
现代测试系统 分析、建模与仿真
自动化学院 测控技术技术系
2020/4/1
波形、频谱与随机信号分析
第一章 波形、频谱与随机过程分析
信息产业的三大支柱：
1. 信息获取（传感器、仪器：量值信息） 2. 信息传递（通讯设备） 3. 信息处理（计算机） 本课程主要是研究 “信息处理” 问题。 波形、频谱与随机信号处理是现代信息处理 技术的主要内容之一