解对称正定矩阵线性方程组的平方根法

a11 a21 A 令 = L a n1
并有d 1 = a11， 再由 a ij = ∑ ( LD ) ik ( LT ) kj = ∑ ( l ik d k )l jk + l ij d j (当 k > j 时， l jk = 0 )
d d11 1 l21 L ln1 a12 L a1n 1 l d d22 1 L ln2 ∆ T a22 L a2n = 21 1 = M M OT LD O O M = TL O L L L ln1 ln2 L 1 d 1 dnn an2 L ann j −1
2、对称正定阵的判别方法(充分条件) 对称正定阵的判别方法(充分条件) 定理1 定理13 A为对称矩阵 为对称矩阵 A为对称 正定阵 A的特征值 λ i ( A) > 0
A为对称矩阵 为对称矩阵 det(Ak ) > 0(k = 1,2,L, n)，
3、对称正定矩阵的三角分解 、 为对称正定阵， 设A为对称正定阵，由定理 (顺序主子式Dk = detAk > 0, (k = 1,L, n)) 为对称正定阵 由定理12( 及定理10(唯一分解),则存在唯一分解A= ),则存在唯一分解 及定理 (唯一分解),则存在唯一分解 =LDR，其中 ，R分别为单 ，其中L， 分别为单 T 位下三角阵与单位上三角阵， 为对角阵 又 为对角阵， 位下三角阵与单位上三角阵，D为对角阵， A = A，则
引进中间量： 引进中间量： t ij = l ij d j
求解对称正定方程组Ax=b的改进平方根法(计算公式)： 的改进平方根法(计算公式) 求解对称正定方程组 的改进平方根法 T 1．分解计算 A = LDL ：
( 1) d 1 = a 11， ( 2 ) 当 i = 2, 3, L , n 时 ,
aij = ∑ lik l jk = ∑ lik l jk + lij l jj
k =1 k =1
j −1
j −1
(当 k > j 时， l jk = 0 )，
(3) yi = (bi − ∑l ik yk ) l ii (i = 1,2,L, n) ，
(4) xi = ( yi − ∑lki xk ) lii (i = n, n − 1,L,2,1)。
A = LDR = R DL ⇒ L = RT，R = LT ⇒ A = LDL AT = ( LDR)T = R T DLT 其中L为单位下三角阵 为单位下三角阵， 为对角阵 为对角阵。 其中 为单位下三角阵，D为对角阵。 对角方阵 D = diag ( d 1 , d 2 , L , d n )的元素 d k 可由下式给出 , 由定理8， 由定理 ，
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为对称正定阵。 则称 A 为对称正定阵。 ( (1) AT = A； 2 )∀x ∈ R n且 x ≠ 0, 有( Ax , x ) > 0，
(1)A是非奇异矩阵，且A-1亦是对称正定阵； 1 是非奇异矩阵 是非奇异矩阵， 亦是对称正定阵； (2)A的顺序主子阵 k 是对称正定阵 的顺序主子阵A 2 的顺序主子阵 是对称正定阵(k=1,2,…,n)； … ； (3)A的顺序主子式都大于零，即 det(Ak ) > 0(k = 1,2,L, n)； 的顺序主子式都大于零 3 的顺序主子式都大于零， (4)A的特征值 λi ( A) > 0(i = 1,2,L, n) (4) 的特征值 。
优点： 优点： n3 计算量小， 同平方根方法， 1、计算量小，大约为 6 次乘除法 ，同平方根方法，是一般 分解( 矩阵A的LU分解(消元法)计算量的一半，是目前解对称正定矩阵方 的 分解 消元法)计算量的一半，是目前解对称正定矩阵方 程组的有效方法 有效方法。 程组的有效方法。
2、计算简单(没有开方运算)。 计算简单(没有开方运算) 精度较高。不用选主元,求得较高精度的数值解， 3、精度较高。不用选主元,求得较高精度的数值解，是数值稳 定的方法。 定的方法。 元素的储存及计算顺序： 元素的储存及计算顺序： 计算出T=LD第i行元素 ij(j=1,1,…,i-1)，存放在 第i行位置， 行元素t =1,1,… -1)，存放在A第 行位置 行位置， 计算出 第 行元素 =1,1, 计算出L第 行元素 行元素l =1,1, =1,1,…, -1)仍存放在 仍存放在A第 行位置 行位置， 计算出 第i行元素 ij (j=1,1, ,i-1)仍存放在 第i行位置，同时计 算出d =3为例说明 算出 i。以n=3为例说明： =3为例说明： d1 d1 d1 对称 d1 a11 →l d → l d →l d a a →t a A = 21 22 21 2 21 2 21 2 21 22 a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32 a33 t31 t32 t33 l31 l32 d3
定理14 对称正定矩阵的 分解） 定理14（对称正定矩阵的Cholesdy分解） A ∈ R 为对称正定 分解 若 T 则存在唯一的具有正对角元的下三角阵L 阵，则存在唯一的具有正对角元的下三角阵 ，使得 A = LL 。 该分解称为乔勒斯基（ 分解。 该分解称为乔勒斯基（Cholesky）分解。 平方根法(与直接三角分解法解线性方程组类似推导公式) 6.2 平方根法(与直接三角分解法解线性方程组类似推导公式) T r r r 思路： 思路：(1)分解对称正定阵 A 为 A = LL ； Ly = b ，求y . r r r T r r ( 2)求解Ax = b ⇔ 求解LL x = b ⇔ 求解方程组 T r r L x = y，求x . 阶对称正定矩阵A有分解 先用待定系数法求L的元 设n阶对称正定矩阵 有分解 A = LLT,先用待定系数法求 的元 阶对称正定矩阵 先用待定系数法求 素 l ij 。 a11 a12 L a1n l l L l l
k =i +1
i− i−1
k =1 n
例4.4.3（P91） 4.4.3（P91）
优点： 数值稳定。 优点：1、数值稳定。 3 计算量小， 次乘除法，是一般矩阵A的 分解 2、计算量小，大约为 n 6次乘除法，是一般矩阵 的LU分解 计算量的一半。 计算量的一半。 缺点：计算l 时要开平方。 缺点：计算 ii时要开平方。 6.3 改进的平方根法 T 阶对称正定矩阵A有分解 为单位下三角阵， 设n阶对称正定矩阵 有分解A = LDL。其中L为单位下三角阵， 阶对称正定矩阵 D为对角阵。即 为对角阵。 为对角阵
( i = 1,2, L , n )
(1) l ij = (a ij − ∑ l ik l jk ) l jj , k =1 ( j = 1,2,L , i − 1)( j < i )
2 ( 2) l ii = ( a ii − ∑ l ik ) 1 / 2 (i = 1,2,L, n) k =1 r r r Ly = b ， 求 y 2 .求解计算 Tr r r L x = y， x 求 i −1
j −1 k =1
1) t ij = a ij − ∑ t ik l jk , ( j = 1,2,L , i − 1)
2) l ij = t ij d j , ( j = 1,2, L , i − 1)
3) d i = a ii − ∑ t ik l ik
k =1 i −1
a11 a21 A= L a n1
11
21
l 22
L l n2 O M l nn
n1
则aij = ∑ lik l jk = ∑ lik l jk + l ij l jj
L 的元素 l ij。
经 (当 k > j时， l jk = 0 )， n 步可直接求得
求解对称正定方程组Ax=b的平方根法(计算公式) ： 的平方根法(计算公式) 求解对称正定方程组 n 1．分解计算 A = LLT：
（唯一）。 若令 D 1 2 = diag [ d 1 , L , d n ], 则 D = D 1 2 D 1 2 唯一）。
⇒ A = LD 1 2 D 1 2 LT = ( LD 1 2 )( LD 1 2 )T = L1 LT 1 T 所以有 A = LL ， 为下三角阵，且主对角元大于零。 L为下三角阵 且主对角元大于零 为下三角阵， 对角元大于零。

n k =1
得 当i = 2,3,L, n时, 若 j = 1,2,L, i − 1 l ij = (aij − ∑ l ik d k l jk ) d j , ，
k =1
j −1
若 j = i ， d i = a ii − ∑ l d k ,
k =1 2 ik
i −1
(6.4)
k =1
n阶对称正定矩阵 A的 ( LD)LT分解公式： 阶对称正定矩阵 的 分解公式：
(1 ) d 1 = a 11， ( 2 ) 当 i = 2, 3, L , n 时 ,
j −1 k =1 i −1
1) l ij = ( a ij − ∑llik d kk l jk ) d j ，j = 1,2,L, i − 1) ( ik d
2 2) d i = a ii − ∑ l ik d k 。 ( j = i ) k =1
T T
T
唯一性
(k d 1 = D1 > 0 d k = ukk = a kk ) ( k = 1,2, L , n) d k = Dk / Dk −1 > 0, ( k = 2,L , n) 其中Dk = det( Ak ) 为A的顺序主子式。从而 的顺序主子式。 的顺序主子式 D = diag [ d 1 , L , d n ] ⋅ diag [ d 1 , L , d n ]