北师大版数学：八年级上册教案1.3勾股定理的应用

1.3 勾股定理的应用
安徽省宿州市萧县中学尹红娟
一．教学目标：
1．知识与技能
（1）利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题。

（2）通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．
2．过程与方法
在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．3．情感、态度与价值观
在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．
二．教学重点：
探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决实际问题．
三．教学难点:
利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理解决实际问题。

四．学情分析：
本节将利用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，其中需要学生了解空间图形、对一些空间图形进行展开、折叠等活动．学生在学习七年级上第一章时对生活中的立体图形已经有了一定的认识，并从事过相应的实践活动，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础．
五．教学方法：
引导——探究——归纳
六．教具准备：
多媒体，矩形纸片做成的圆柱等模型
七．教学过程：
（一）情境引入
德国天文学家开普勒曾经说过“几何学中有两大宝藏”，一个是黄金分割，另一个就是勾股定理，并被无数人论证，由此可见勾股定理的重要性。

然后引导大家复习勾股定理及逆定理的内容。

（学生回答，教师板书）
我们还知道许多科学家为了探寻其他星球上的生命，向宇宙发射很多信号，我国数学家华罗庚曾提议向宇宙发射勾股定理的图形，并说如果宇宙中有文明人，他们一定会认识这种图形“语言”的，由此可见勾股定理非常重要。

那么，它在我们的实际生活中到底有什么广泛的应用呢？下面，就让我们漫步走进勾股定理的世界，一起来用这种大自然共同的“语言”来解决实际问题吧！
（由此引入课题:勾股定理的应用。

教师板书）
（二）合作探究
下面，我们通过几个例题来探究勾股定理的应用。

例1. 如图所示，有一个圆柱，它的高是12cm,底
面上圆的周长等于18cm ，在圆柱下底面的点A 处
有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A 相对的点B
处的食物，沿圆柱侧面爬行到B 点，求其爬行的
最短路程是多少？
析：学生活动：学生分为2人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线。

让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法：建立数学模型，构图，计算．
接下来后提问：怎样计算AB ？需构造直角三角形，利用勾股定理解题。

解：由题意得展开图，知AB 即为最短路径，其中
AC=12, BC=
故最短路径是15cm 。

及时小结：解决几何体表面上两点之间的最短距离问题的关键是要设法把立体图形转化为平面图形，具
体步骤是：
(1)把立体图形展成平面图形；
(2)确定点的位置；
(3)确定直角三角形；
(4)分析直角三角形的边长，用勾股定理求解．
练习1. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于50cm ，30cm 和10cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？
9182
1=⨯A 50 30
（学生合作探究后让学生分析解题思路，再请一位同学板演，老师巡视指导）
例2.做一做
李叔叔想检测雕塑底座正面的AD 边和BC 边是否分别垂直于底边AB ，随身只带了一把卷尺，
（1）你能替他想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得AD 长是30厘米，AB 长是40厘米，BD 长是50厘米，AD 边垂直于AB 边吗？为什么？
（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD 边是否
垂直于AB 边吗？BC 边与AB 边呢？
析：先鼓励学生自己寻找办法，再让学生说明李叔叔的办法的合理性．当刻度尺较短时，学生可能会在上面解决问题的基础上，想出多种办法，如利用分段相加的方法量出AB ，AD 和BD 的长度，或在AB ，AD 边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论．
这题运用勾股定理逆定理来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许的工具灵活处理问题． 再次小结：通过这两种类型的题目，总结应用勾股定理和逆定理解决实际问题的区别：勾股定理应用于直角三角形中求线段的长度，甚至是图形周长或面积;
勾股定理的逆定理应用于由三角形三边的数量关系判断三角形的形状。

例3．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。

引葭赴岸，适与岸齐。

问水深、葭长各几何？”这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？
析：这题学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智；运用方程的思想并利用勾股定理建立方程．学生能画出示意图，找等量关系，设适当的未知数建立方程 解：设水池的水深AC 为x 尺，则这根芦苇长为
AD =AB =（x +1）尺，
在直角三角形ABC 中，BC =5尺.
由勾股定理得:BC 2+AC 2=AB 2.
即 52+ x 2=（x +1）2.
10
B
25+x 2= x 2+2x +1.
2x =24.
∴ x =12，x +1=13．
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺．
又现小结：方程思想是一种重要的数学思想．所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程，然后通过解方程使问题得到解决的思维方式．而勾股定理反映的直角三角形三边的关系正是构建方程的基础．故勾股定理的许多问题的解决都要跟方程相结合．方程思想是勾股定理中的重要思想．
练习2. 如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC 水平放置，则刚好与AB 一样长。

已知滑梯的高度CE ＝3m,CD ＝1m ，试求滑道AC 的长
（学生探究讨论，自行解决。

学生板演）
（三）课时小结
学生讨论这节课的收获，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史．
用勾股定理解决实际问题的具体步骤：
1.审题，分析实际问题;
2.建立相应的数学模型；
3.运用勾股定理计算；
4.检验是否符合实际问题的真实性。

数学思想：转化思想，方程思想，数形结合思想
（四）布置作业
P14 习题1.4 1,3,4
课外思考
1.萧县中学八（9）班的学生想知道学校旗杆的高度，他们发现旗杆上的绳子垂到地面还多一部分，如图，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？
2.如
果蚂蚁处于的位置是一个长、宽、高分别为5、4、3的长方体的左下端A ， 它
到右上端B 的最短路线该怎样选择呢？ 附 板书设计
A B
教后反思：
本节课的教学目标很单一，就是利用勾股定理解决实际问题。

我的教学过程就是通过3个例题来探讨如何利用勾股定理解决实际问题。

首先安排了一个最短路径问题，用蚂蚁要走过最短距离吃美食的有趣实例，引导学生把看似复杂的问题转化用勾股定理解决，从而提高学生用数学的能力；接着安排了判断雕塑的边是否垂直问题，用逆定理由三边的数量关系判断角的大小，并加以延伸，把问题拓展，充分拓展学生的思维，体会同一个问题的不同解决方法；最后一个古代著名问题，让学生体会代数中的方程也可以解决几何问题，体现了方程思想和数形结合思想。

本节课自认为成功之处：
让学生动手操作，在圆柱上画出两点之间的不同路径，再展开成平面图形，直观看出两点之间只有线段最短。

充分体现了“教师角色向利于学生主动、自主、探究学习方向转变，让学生实现个性、兴趣解放、促成师生之间合作关系”的新课改精神。

数学来源于生活，服务于生活，从生活实际中得出数学知识，再回到实际生活中加以运用也是本节课的一个教学“亮点”。

例1中蚂蚁吃食物的情景相对来说是学生比较感兴趣的问题，以此引入，深入勾股定理的应用，使数学教学在生活情境中得以创新。

另外，给学生留有思考和探索的余地，让学生在独立思考与合作交流中解决学习中的问题。

在学习中，考虑到学生的个体差异，我以小组为单位合作学习尽量解决后进生学习难的问题，这样大部分学生都能在老师的帮助下完成学习任务，降低了认知难度。

还有一点就是一例一练一总结，做到及时巩固。

本节课的不足之处及改进方法：
学生在应用勾股定理解决问题中书写过程不够规范，有点啰嗦，没有及时纠正，学生在计算技巧方面还有待于提高和加强。

例3中方程的解法应该再讲详细些，讲一下解题方法。

另外，我感觉我的教学还是没有彻底放开，和新的课程理念的要求存在着一些差距。

如教学设计中的问题都是老师提出的，整个活动都是在我的安排下进行的，还是存在教师牵着学生的鼻子走的感觉。