线性规划对偶问题__运筹学__胡运权__清华大学出版社

不等式变号，“极大”变“极小”
(4) 对称性: 对偶问题的对偶是原问题. 9
例：写出下面线性规划的对偶规划模型：
max z c1x1 c2 x2 c3x3
a11x1 a12 x2 a13x3 b1
s.t.aa3211xx11
a22 x2 a32 x2
a23 x3 a33 x3
b2 b3
y1, y2 , , ym 0
这两个式子之间的变换关系称为“对称
形式的对偶关系”。
8
（2）对称形式的对偶关系的矩阵描述
max Z CX
minW Yb
（LP）s.t.
AX b X 0
YA C (DP) s.t. Y 0
（3）怎样从原始问题写出其对偶问题？
按照定义； 记忆法则：
“上、下”交换，“左、右”换位，
解：设x1为产品 的计划产量，x2为产品Ⅱ的计划产量，则有
目标函数：
Max z=50x1 +100x2
约束条件：
x1 x2 300 2x1 x2 400
x2 250
x1 ，x2 0
3
现在我们从另一个角度来考虑这个问题。假如有另外一个工厂要求租用该厂的设备A、B、 C，那么该厂的厂长应该如何来确定合理的租金呢？
约束条件数：m个
对偶变量数：m个
第 i 个 约 束 条 件 类 型 为 “ ≤ ”第i个变量≥0
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这一对线性规划对应的 目标函数值是相等的：
Zmax Wmin 8
6
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系 （1）定义：若原问题是
max Z c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2
s.t.
a21
x1
a22
x2
a1n xn b1 a2n xn b2
(特点：等式约束)
（特点：对偶变量符号 不限，系数阵转置）
12
（2）怎样写出非对称形式的对偶问题？ 把一个等式约束写成两个不等式约束，再 根据对称形式的对偶关系定义写出； 按照原始-对偶表直接写出 ； （3）原始-对偶表
13
原问题（或对偶问题） 对偶问题（或原问题）
目标函数 MaxZ
目标函数 MinW
目标函数：min f 300 y1 400 y2 250 y3
约束条件： y1 2 y2 50 y1 y2 y3 100 y1, y2 , y3 0
这样从两个不同的角度来考虑同一个工厂的最大利润（最小租金）的问题，所建立起来 的两个线性模型就是一对对偶问题，其中一个叫做原问题，而另外一个叫对偶问题。
第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度 分析
• §1 线性规划的对偶问题 • §2 对偶规划的基本性质 • §3 影子价格 • §4 对偶单纯形法 • §5 线性规划的灵敏度分析
1
§1 线性规划的对偶问题
一、对偶问题的提出 1、 对偶思想举例 周长一定的矩形中，以正方形面积最大；面积一定的矩
形中，以正方形周长最小；
设 y1, y2, y3 分别为设备A、B、C的每台时的租金。为了叙述方便，这里把租金定义为扣 除 原成 利本润后50的元利，润即。y1作 2为y出2 租50者，来否说则，就把不生出产租单还位是用产于品生所产需各产设品备以的获台利时5各0元总；租同金样不把应低于
生产一单位产品所需各设备的台时的总租金也不应当低于原利润100元， 即 y1 y2 y3 100 ，否则这些设备台时就不出租，还是用于生产 产品以获利100元。但对于租用者来说，他要 求在满足上述要求的前提下，也就是在出租者愿意出租的前提下尽量要求全部设备台时的总 租金越低越好，即min 300 y1 400 y2 250 y3 ，这样我们得到了该问题的数学模型：
am1x1 am2 x2 amn xn bm
x1, x2 , , xn 0
7
则定义其对偶问题为
min W b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2
s.t.
a12
y1
a22
y2
am1 ym c1 am2 yn c2
a1n y1 a2n y2
amn yn cn
4
2、 换个角度审视生产计划问题
例 要求制定一个生产计划方案，在劳动力和原材料可能供应的
范围内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x2 3x3
s.t.xx11
x2 x3 3 4x2 7x3
9
x1, x2 , x3 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了劳动力和原材料 的直接成本后，所确定的价格系统最具有竞争力：
2
每一个线性规划问题，都存在每一个与它密切相关的线性规划的问题，我们称其为原问题， 另一个为对偶问题。
例题1 某工厂在计划期内安排Ⅰ、Ⅱ两种产品，生产单位产品所需设备A、B、C台时如表所示
设备 A
1
设备 B
2
设备 C
0
资源限量
1
300 台时
1
400 台时
1
250 台时
该工厂每生产一单位产品 可获利50元，每生产一单位产品Ⅱ可获利100元，问工厂应分别 生产多少 产品和Ⅱ产品，才能使工厂获利最多？
y1 0, y2无约束, y3 0
11
2、非对称形式的对偶关系：
（1） 原问题
对偶问题
n
max Z cj xj j 1
s.t.
n j 1
aij x j
bi
i 1, 2, , m
x
j
0
j 1, 2, , n
m
minW bixi i1
s.t.
m i1
aij
yi
cj
j 1,2Biblioteka Baidu ,n
yi符号不限， i 1,2, , m
5
MinW 3y1 9 y2
y1 y2 2
s.t.
y1 y1
4y2 7 y2
3 3
y1, y2 0
（用于生产第i种产品的资源转让收益不 小于生产该种产品时获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现有的工时及原材料转 而接受外来加工时，那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
x1 0, x2 0, x3无约束
10
解：设对偶变量为 y , y , y ,对偶目标为w ,则
min w b1 y1 b2 y2 b3 y3
a11 y1 a21 y2 a31 y3 c1
s.t.aa1132
y1 y1
a22 a23
y2 y2
a32 y3 a33 y3
c2 c3