1-二项分布

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【高中数学选修第三册】第七章二项分布1

7.4 二项分布与超几何分布7.4.1 二项分布新版课程标准学业水平要求1.结合生活中的实例,了解二项分布;2.了解二项分布的均值和方差及其意义. 1.结合教材实例,了解二项分布的概念.(数学抽象)2.会利用公式求服从二项分布的随机变量的概率、均值以及方差.(数学运算)3.能利用二项分布概率模型解决实际问题.(数学建模)必备知识·素养奠基1.n重伯努利试验(1)伯努利试验:我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.(2)定义:我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n 重伯努利试验.(3)特征:①同一个伯努利试验重复做n次;②各次试验的结果相互独立.定义中“重复”的含义是什么?提示:“重复”意味着各次试验成功的概率相同.2.二项分布(1)定义:一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P=p k,k=0,1,2,…,n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布.(2)记法:X～B.(3)结论:P=1.(4)确定一个二项分布模型的步骤:①明确伯努利试验及事件A的意义,确定事件A发生的概率p;②确定重复试验的次数n,并判断各次试验的独立性;③设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数,则X～B.3.二项分布的均值与方差如果,X～B,那么E=np,D=np.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)依次投掷四枚质地不同的骰子,点数1出现2次的试验是4重伯努利试验.( )(2)若随机变量X～B,则X=1,2,…,n.()(3)若随机变量X～B,则P=·p k.( )提示:(1)×.因为骰子的质地不同,点数1出现的概率不同,因此不是4重伯努利试验.(2)×.X=0,1,2,…,n.(3)×.P=p k,k=0,1,2,…,n.2.(2020·钦州高二检测)某次抽奖活动中,参与者每次抽中奖的概率均为,现甲参加3次抽奖,则甲恰好有一次中奖的概率为( )A. B. C. D.【解析】选C.某次抽奖活动中,参与者每次抽中奖的概率均为,现甲参加3次抽奖,则甲恰好有一次中奖的概率为P=×=.3.某一批植物种子,如果每1粒发芽的概率为,那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是( )A. B. C. D.【解析】选C.由n重伯努利试验恰有k次发生的概率公式得:P==.关键能力·素养形成类型一求n重伯努利试验的概率【典例】1.(2020·临汾高二检测)随着二胎政策的开放,越来越多中年女性选择放下手中的工作,为二胎做准备.某公司为了使广大中年女性安心备孕,且不影响公司的正常效益,对公司所有中年女性进行生育倾向调查.已知该公司共有6名中年女性,若每名中年女性倾向于生二胎的概率为,且各名中年女性之间不相互影响,则恰有4位中年女性倾向生二胎的概率为( )A. B. C. D.2.(2020·丰台高二检测)某篮球运动员在训练过程中,每次从罚球线罚球的命中率是,且每次罚球的结果相互独立.已知该名篮球运动员连续4次从罚球线罚球.(1)求他第1次罚球不中,后3次罚球都中的概率;(2)求他4次罚球恰好命中3次的概率.【思维·引】1.转化为6重伯努利试验,一次试验发生的概率为;2.(1)利用概率的乘法公式计算;(2)利用4重伯努利试验的概率公式计算.【解析】1.选C.依题意,所求概率为··=15××=.2.(1)设该篮球运动员第1次罚球不中,后3次罚球都中为事件A,则第i(i=1,2,3,4)次罚球命中为事件B i,则A=B2B3B4;因为每次罚球的结果相互独立,所以所求的概率为P(A)=P()P(B2)P(B3)P(B4)=×××=.(2)因为该名篮球运动员4次罚球恰好命中次数X是一个随机变量,则X～B,所以所求的概率为P(X=3)=··=.【内化·悟】你能列举出几个常见的n重伯努利试验的例子吗?提示:(1)反复抛掷一枚质地均匀的硬币.(2)正(次)品率的抽样.(3)有放回抽样.(4)射手射击目标命中率已知的若干次射击.【类题·通】关于n重伯努利试验概率的计算首先要判断是否符合n重伯努利试验的特征,其次求出一次试验的概率,最后用n 重伯努利试验的概率公式计算.【习练·破】某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击,设X表示击中目标的次数,则P(X≥2)等于________.【解析】击中目标的次数X≥2,则击中次数为3次或2次.P(x=3)=0.63=,P(x=2)=0.62×0.4=,所以P(x≥2)=P(x=3)+P(x=2)=.答案:类型二求服从二项分布的随机变量的分布列【典例】某商场为了了解顾客的购物信息,随机在商场收集了100位顾客购物的相关数据如表:一次购物款[0,50) [50,100) [100,150) [150,200) [200,+∞) (单位:元)顾客人数20 a 30 20 b统计结果显示100位顾客中购物款不低于150元的顾客占30%,该商场每日大约有4 000名顾客,为了增加商场销售额度,对一次购物不低于100元的顾客发放纪念品.(1)试确定a,b的值,并估计每日应准备纪念品的数量;(2)现有4人前去该商场购物,求获得纪念品的数量ξ的分布列.【思维·引】(1)先计算购物款不低于150元的人数,再求b,a.(2)先计算1人获得纪念品的概率,再利用4重伯努利试验求概率、分布列.【解析】(1)由已知,100位顾客中购物款不低于150元的顾客有b+20=100×30%,b=10;a=100-(20+30+20+10)=20.该商场每日应准备纪念品的数量大约为4 000×=2 400.(2)由(1)可知1人购物获得纪念品的频率即为概率P==,故4人购物获得纪念品的数量ξ服从二项分布ξ～B,P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,P(ξ=4)==,所以ξ的分布列为:ξ0 1 2 3 4P【内化·悟】利用二项分布求分布列的步骤是什么?提示:根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n,p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率.【类题·通】关于利用二项分布求分布列(1)关键是确定随机变量服从二项分布,以及二项分布中的相关参数;(2)利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率,其实质是求在某一取值范围内的概率,一般转化为几个互斥事件发生的概率的和,或者利用对立事件求概率.【习练·破】高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知,某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为,该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验.(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子),求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率;(2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子),如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验,否则将继续进行下次试验,直到种子发芽成功为止,但试验的次数最多不超过5次.求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的概率分布列.【解析】(1)至少有3次发芽成功,即有3次、4次、5次发芽成功.设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X,则P(X=3)=××=,P(X=4)=××=,P(X=5)=××=.所以至少有3次发芽成功的概率P=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=++==.(2)随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4,5.P(ξ=1)=,P(ξ=2)=×=,P(ξ=3)=×=,P(ξ=4)=×=,P(ξ=5)=×1=.所以ξ的分布列为:ξ 1 2 3 4 5P【加练·固】在一次抗洪抢险中,准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐,已知只有5发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆,每次射击是相互独立的,且命中的概率都是.(1)求油罐被引爆的概率;(2)如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为X,求X不小于4的概率. 【解析】(1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆,没有引爆的可能情况是:射击5次只击中一次或一次也没有击中,故该事件的概率为··+,所以所求的概率为1-=.(2)当X=4时记为事件A,则P(A)=···=.当X=5时,意味着前4次射击只击中一次或一次也未击中,记为事件B则P(B)=··+=,所以射击次数不小于4的概率为+=.类型三二项分布模型的应用角度1 求均值、方差【典例】(2020·广州高二检测)已知随机变量X～B,那么随机变量X的均值E(X)=( )A. B. C.2 D.【思维·引】利用二项分布的均值公式计算.【解析】选B.因为随机变量X～B,所以E(X)=4×=.答案:【素养·探】★本例考查二项分布的均值、方差的公差计算,同时考查了数学运算的核心素养.本例若随机变量X～B(n,p),若E(ξ)=3,D(ξ)=2,求n的值.【解析】因为随机变量X～B(n,p),所以E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p),因为E(ξ)=3,D(ξ)=2,所以np=3①;np(1-p)=2②.把①代入②得到1-p=,所以p=,把p的值代入①,得到n=9.答案:9角度2 解决实际问题【典例】(2020·海口高二检测)假定人们对某种特别的花粉过敏的概率为0.25,现在检验20名大学生志愿者是否对这种花粉过敏.(1)求样本中恰好有两人过敏的概率及至少有2人过敏的概率;(2)要使样本中至少检测到1人过敏的概率大于99.9%,则抽取的样本容量至少要多大?(3)若检验后发现20名大学生中过敏的不到2人,这说明了什么?试分析原因. 附:0.7518=0.005 6,0.7519=0.004 2,0.7520=0.003,lg 0.75=-0.124 9.【思维·引】(1)利用对立事件简化概率计算;(2)利用概率公式列出不等式,通过对数运算求样本容量的范围;(3)从假设、抽样检验的科学性分析.【解析】(1)设样本中对花粉过敏的人数为X,则X～B(20,0.25),所以P(X=2)=×0.252×0.7518=0.067,P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0.7520-×0.25×0.7519=1-0.003-0.021=0.976.所以样本中恰好有两人过敏的概率为0.067,至少有2人过敏的概率为0.976.(2)设样本容量为n,该样本中检测到对花粉过敏的人数为Y,则Y～B(n,0.25), 所以P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-0.75n>99.9%,解得0.75n<0.001,取对数得nlg0.75<-3,解得n>=24.02,所以抽取的样本容量至少为25人.(3)由(1)知检验的20人中不到2人过敏的概率为1-0.976=0.024,此概率非常小,在正常情况下一次试验中几乎不会发生,出现这种情况的原因可能有:①原假设不成立,即每个人对这种花粉过敏的概率不到0.25.②检验的样本只针对大学生,没有随机性.③检验的环节出现了问题.【类题·通】关于二项分布的应用(1)若随机变量符合二项分布,则可直接利用公式求均值和方差;(2)在一些综合性的问题中,二项分布模型要与其他的概率知识,如独立事件同时发生,抽样等知识相结合应用.解题过程中要分清随机变量取值的实际意义,利用相关的概率知识解题.【习练·破】甲、乙两人进行投篮比赛,两人各投3球,谁投进的球多谁获胜,已知每次投篮甲投进的概率为,乙投进的概率为,求:(1)甲投进2球且乙投进1球的概率;(2)在甲第一次投篮未进条件下,甲最终获胜的概率.【解析】(1)甲投进2球的概率是×=,乙投进1球的概率是×=.所以甲投进2球且乙投进1球的概率为×=.(2)甲第一次未进最终获胜的情况有:①甲后2球都投进,乙投进1球或都不进: P1=×·=×=.②甲后2球进1球,乙都不进.P2=×××=×=,所以甲第一次投篮未进,最终获胜的概率为P1+P2=.课堂检测·素养达标1.下列随机变量X不服从二项分布的是( )A.投掷一枚均匀的骰子5次,X表示点数为6出现的次数B.某射手射中目标的概率为p,设每次射击是相互独立的,X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数C.实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛,X表示甲获胜的次数D.某星期内,每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3,X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数【解析】选B.选项A,试验出现的结果只有两种:点数为6和点数不为6,且点数为6的概率在每一次试验中都为,每一次试验都是独立的,故随机变量X服从二项分布;选项B,虽然随机变量在每一次试验中的结果只有两种,每一次试验事件相互独立且概率不发生变化,但随机变量的取值不确定,故随机变量X不服从二项分布;选项C,甲、乙的获胜率相等,进行5局比赛,相当于进行了5次独立重复试验,故X服从二项分布;选项D,由二项分布的定义,可知被感染次数X～B(n,0.3).2.在比赛中运动员甲获胜的概率是,假设每次比赛互不影响,那么在五次比赛中运动员甲恰有三次获胜的概率是( )A. B. C. D.【解析】选B.由n次独立重复试验的概率计算公式,得·=.3.现有5个人独立地破译某个密码,已知每人单独译出密码的概率均为p,且<p<1,则恰有三个人译出密码的概率是( )A.p3B.p2(1-p)3C.p3(1-p)2D.1-(1-p)2【解析】选C.由题意可知,恰有三个人译出密码的概率P=p3(1-p)2.4.为响应国家“足球进校园”的号召,某校成立了足球队,假设在一次训练中,队员甲有10次的射门机会,且他每次射门踢进球的概率均为0.6,每次射门的结果相互独立,则他最有可能踢进球的个数是( )A.5B.6C.7D.8【解析】选B.某校成立了足球队,假设在一次训练中,队员甲有10次的射门机会,且他每次射门踢进球的概率均为0.6,每次射门的结果相互独立,他踢进球的个数X～B(10,0.6),E(X)=10×0.6=6,则他最有可能踢进球的个数是6.5.设X～B(4,p),且P(X=2)=,那么一次试验成功的概率p是________.【解析】P(X=2)=p2(1-p)2=,即p2(1-p)2=,解得p=或p=.答案:或【新情境·新思维】设随机变量Y满足Y～B,则函数f(x)=x2-4x+4Y无零点的概率是( ) A. B. C. D.【解析】选A.因为函数f(x)=x2-4x+4Y无零点,所以Δ=(-4)2-4×1×4Y<0,所以Y>1,所以P(Y>1)=P(Y=2)+P(Y=3)+P(Y=4)=++=.。

二项分布教学课件ppt

0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
1
2
3
x
(0.2+0.8)3 二项分布示意图
构成成-败型实验序列的n次实验中，事件A出现的次数X的概率分布为：
P X CnX X 1 nX
其中X=0，1，2…，n。 n，π是二项分布的两个参数。
对于任何二项分布，总有
中国福利彩票
发行量1500万元，特等奖100个，金额5万元；每张彩票面值2元，中奖概率1/75000。
投入金额未中概率中奖概率
100元 1000元 1万元 10万元 100万元 0.99933 0.99336 0.93551 0.51341 0.00127 0.00067 0.00664 0.06449 0.48659 0.99873
例4-2 临床上用针灸治疗某型头疼，有效的概率为60% 现以该疗法治疗3例，其中2例有效的概率是多大？
B(X;n,π)或B(n,π)。
二项分布的概率函数
• 任意一次试验中，只有事件A发生和不发生
两种结果，发生的概率分别是: 和1－
• 若在相同的条件下，进行n次独立重复试验，
用X表示这n次试验中事件A发生的次数，那么X服从二项分布，记做 XB(n,) 或 B(X;n,π) 。
举例设实验白鼠共3只，要求它们同种属、同性别、体重相近，且他们有相同的死亡概率，即事件“白鼠用药后死亡”为A，相应死亡概率为π。记事件“白鼠用药后不死亡”为，相应不死亡概率为1-π。设实验后3只白鼠中死亡的白鼠数为X，则X的可能取值为0，1，2和3，
例实验白鼠3只，白鼠用药后死亡的死亡概率 π=0.6，则3只白鼠中死亡鼠数X的总体均数为

1-4 二项分布[26页]

二項分布：
設白努利試驗成功的機率為 p，失敗的機率為 q 1 p，
其中 p 0，q 0。令隨機變數 X 的取值表示此試驗獨立重複試驗 n 次中成功的次數，則隨機變數 X 的機率質量
函數為
P(X
k)
C
n k
p k q n k，
k
0
，1
，2 ，L
，n。
此隨機變數 X 的機率分布稱為二項分布，記為B(n , p)。
1-4 二項分布
重複試驗二項分布二項分布的性質
翰林版 1-4 二項分布 page 1/26
重複試驗 p.40~p.42
翰林版 1-4 二項分布 page 2/26
如果一個隨機試驗的結果僅有兩種情形，就稱為一個白努利試驗。
「在相同條件下重複執行一個試驗」稱為重複試驗，而當每次結果互不影響時，稱為獨立重複試驗。
5
5
由題意看出隨機變數
X
的機率分布為二項分布
B
10
,
2 5
則 X 的機率質量函數為
P(X
k)
C
10 k
2 k 5
3 5
10k，
k
0，1，2，L ，10
3 p.45
翰林版 1-4 二項分布 page 6/26
小聖是網球大砲型發球選手，根據對戰記錄，在每一發球局的 4
個發球中，發出 Ace 球(發球得分)的機率為 1 且符合二項分布， 4
其機率質量函數圖如右圖
4 p.47
翰林版 1-4 二項分布 page 13/26
假設隨機變數 X 的取值表示投擲一枚硬幣 4 次後，正面出現的
總次數，試於下列條件下繪出其機率質量函數圖，並求隨機變

二项分布概念与图表和查表方法

二项分布概念与图表二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。

在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。

目录1 定义▪统计学定义▪医学定义2 概念3 性质4 图形特点5 应用条件6 应用实例）。

如果进行次伯努利试验，取得成功次数为的概率可用下面的二项分布概率公式来描述：二项分布公式二项分布公式P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!)，注意：第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。

那么就说这个属于二项分布。

其中P称为成功概率。

记作ξ~B(n,p)期望：Eξ=np；方差：Dξ=npq；其中q=1-p证明：由二项式分布的定义知，随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p。

因此，可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的（0-1）分布随机变量之和。

设随机变量X（k）(k=1,2,3...n)服从（0-1）分布，则X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n).因X(k)相互独立，所以期望：方差：证毕。

如果1．在每次试验中只有两种可能的结果，而且是互相对立的；2．每次实验是独立的，与其它各次试验结果无关；3．结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变，则这一系列试验称为伯努利实验。

在这试验中，事件发生的次数为一随机事件，它服从二次分布。

二项分布可二项分布，即x变量具有μ =np，的正态分布。

式中n为独立试验的次数，p为成功事件的概率，q=1- p。

由于n很大时二项分布逼近正态分布，其平均数，标准差是根据理论推导而来的，故用μ和σ而不用X和S表示。

它们的含意是指在二项试验中，成功的次数的平均数μ =np，成功次数的分散程。

7.4.1二项分布教学设计-高二下学期数学人教A版(2019)选择性

随堂小测
（15min）
通过课堂小测的形式及时把握学生本节课的学习情况。
【例题】
将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：
（1）恰好出现5次正面朝上的概率；
（2）正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内的概率。
总结归纳涉及二项分布的概率统计题目该如何处理。
结合本节课的所学知识完成例题。
解：设 =“正面朝上”
完整板书判定定理可以起到强调作用，并有利于课堂小结的时带领学生回顾。
用提问的形式对二项分布的定义进行补充解释说明。
【提问1】学习完二项分布的定义后，请同学们回答一下各个参数的含义是什么呢？
【提问2】如何判断一个随机变量是否服从二项分布？
【提问3】二项分布的分布与我们之前学习过的什么长得பைடு நூலகம்相似？
【提问4】同学们可以写出二项式定理的公式吗？
则
用表示事件发生的次数，那么有
（1）令，则
（2）正片朝上的概率在[0.4,0.6]内等价于，则
通过一道简单的抛硬币问题让学生充分二项分布的定义，知道哪一些是易错知识点，在后续做题中进行规避。设置这一道例题难度不算大，主要是让学生了解解题过程应该如何书写会更加严谨，逻辑更加清晰明了。
课堂小结
（4min）
通过具体问题，一步步引出本节课的学习内容。
讲授新知
（10min）
如果在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为：，其中，如果随机变量的分布列有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作
认真听老师讲解并学习二项分布的定义，明白二项分布的分布列的表示形式。
射中靶子与不射中靶子两种情况。
伯努利实验。

二项分布概念及图表和查表方法

目录1 定义▪统计学定义▪医学定义2 概念3 性质4 图形特点5 应用条件6 应用实例定义统计学定义在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。

这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。

实际上，当时，二项分布就是伯努利分布，二项分布是显著性差异的二项试验的基础。

医学定义在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件，称为二项分类变量（dichotomous variable），如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的感染与未感染等。

二项分布（binomial distribution）就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。

考虑只有两种可能结果的随机试验，当成功的概率（）是恒定的，且各次试验相互独立，这种试验在统计学上称为伯努利试验（Bernoulli trial）。

如果进行次伯努利试验，取得成功次数为的概率可用下面的二项分布概率公式来描述：P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X)二项分布公式式中的n为独立的伯努利试验次数，π为成功的概率，（1-π）为失败的概率，X为在n次伯努里试验中出现成功的次数，表示在n次试验中出现X的各种组合情况，在此称为二项系数（binomial coefficient）。

所以的含义为：含量为n的样本中，恰好有X例阳性数的概率。

概念二项分布（Binomial Distribution），即重复n次的伯努利试验（Bernoulli Experiment），用ξ表示随机试验的结果。

二项分布公式如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!)，注意：第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。

二项分布_卡方检验1

二项分布
二项分布的概念

二项分布是一种重要的离散型分布，也称为伯努利分布，是用来描述二分类变量得两种观察结果的出现规律的一种离散型分布。
常用于总体率的估计和两样本率的比较
等。
二项分布的概率
设总体中的每一观察单位具有相互对立的一种结果，如有效或无效、阴性或阳性。已知发生某一结果（如阳性）的概率为π，此概率对于每一个个体是相同的；其对立结果（阴性）发生的概率为1-π，各单位的观察结果相互独立，则从该总体中随机抽取 n 例，其中恰有 X 例是某一结果（阳性）的概率为：

2 ARC （A T ) 2 ＝＝n ( 1) T n R nC 2

ν=（R-1）（C-1）
R×C表资料的2检验的注意事项
R×C表资料2检验中，如假设检验的结果拒绝H0，只能认为各总体率或总体构成比不全相等，但不能说明它们彼此之间都有差别，要解决这个问题必须通过2分割进行率或构成比的多重比较。对行×列表资料进行检验时，一般认为不能有 1/5以上的格子的理论频数小于5，也不能有任何一个格子的理论频数小于1，否则很容易导致分析结果出现偏性。如果出现这种情况，可采取以下解决方法：
0.0 0 5 10 15 20 25
2 检验
2检验是一种用途非常广泛的以2分布
为理论依据的假设检验方法，主要用于：
– 两个或多个总体率或构成比的比较； – 两个分类变量之间的关联分析； – 频数分布资料的拟和优度检验等。
2 检验的基本思想

实际频数和理论频数差异的大小可以用 2 值的大小来说明，当样本量n和各个按检验假设计算的理 ) 论频数T都足够大时，比如n≥40，T≥5，（A T值近 T 似于2分布，n越大，近似程度越好。

7.4.1二项分布课件-高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

二、二项散布
思考: 如果连续射击4次, 类比上面的分析, 表示中靶次数 X等于2的结果有哪些？写出中靶次数X的散布列.
(1) 表示中靶次数X等于2的结果有： A1A2 A3 A4 , A1 A2 A3 A4 ,
A1 A2 A3 A4 , A1A2 A3 A4 , A1A2 A3 A4 , A1 A2 A3 A4. 共6个.
P(X=5)= C150×0.55×(1-0.5)5
= C150×0.510
= 252 = 63 . 1024 256
(2)正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内等价于4≤X≤6, 于是
P(4≤X≤6)= C140×0.510+ C150×0.510 + C160×0.510
= 672 = 21. 1024 32
15
三、二项散布的均值与方差探究:假设随机变量X服从二项散布B(n, p), 那么X的均值和方差
各是什么？
从简单开始, 先考察n较小的情况. (1)当n=1时, X服从两点散布, 散布列为 P(X=0)=1-p, P(X=1)=p. 均值和方差分别为 E(X)=p, D(X)=p(1-p). (2)当n=2时, X的散布列为
p1 = P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) =C53×0.63×0.42+C54×0.64×0.41+C55×0.65 = 0.68256.
因为p2>p1, 所以采用5局3胜制对甲更有利. 实际上, 比赛局数越多, 对实力较强者越有利.
思考为什么假定赛满3局或5局，不影响甲最终获胜的概率? 采用3局2胜制赛满3局时，若前2局获胜，那第3局的胜负并不影
8
例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次, 求： (1)恰好出现5次正面朝上的概率; (2)正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内的概率.

医学统计学第11讲二项分布及其应用(一、二)

二项分布及其应用
Binomial distribution
二项分布
在医学上常遇到一些事物，其结局只有两种互相对立的结果。
如在毒理试验中，动物的生存与死亡；在动物诱癌试验中，动物的发癌与不发癌；在临床治疗中，病人的治愈与未愈；理化检验结果的阴性与阳性等等。均表现为两种互相对立的结果，每个个体的观察结果只能取其中之一。
当π＜0.5时，分布呈正偏态；当 π＞0.5时，分布呈负偏态。特别是当n不是很大时，π偏离 0.5越远，分布越偏
随着n的增大，二项分布逐渐接近正态分布。一般地说，如果
n 5且n(1 ) 5
常可用正态近似原理处理二项分布问题，以简化计算。
二项分布的应用条件
①观察单位数n必须事先确定。 ②各观察单位只能有互相对立的两种结果之一。如阳性或阴性，生存或死亡等，不允许考虑“可疑”等模糊结果，属于二分类资料。
例：一种鸭通常感染某种传染病的概率是0.2，现将一种药物注射到25只鸭后发现有1只鸭发生感染，试判断这种药物对预防感染是否有效。 H0 ：此药物对预防感染无效，即 = 0.2 H1 ：此药物对预防感染有效，即 <0.01 单侧＝0.05 在H0成立的前提下，25只鸭中感染的只数X~B(25,0.2)，则有
0.155 5 0.154 0.85 0.0022
二项分布的图形
在正态分布或其他连续性分布中，常用分布曲线下的面积表示某区间的概率；在二项分布中，则用线段的长短表示取某变量值时的概率。
二项分布图形形状取决于n和π的大小。
当π＝0.5时，分布对称；
当π ≠0.5时，分布呈偏态；
合并率
Page72
例：某医院肿瘤科3 年中共治疗乳腺癌患者n=131例，每例均观察满

概率与统计(1)--二项分布与超几何分布

知识篇科学备考新指向高考数学2021年$月穂率与统计----------二项分布与超几何分布■甘肃省嘉峪关市第一中学牛淑琴二项分布与超几何分布是高考理科数学考查概率与统计部分的常见问题，解决问题的难点和关键是通过复杂的问题背景剖析出问题的本质，辨别清楚随机变量是否服从二项分布与超几何分布，进而求出相应的概率值、概率分布列、数学期望和方差。

题型一$利用超几何分布求解不放回型抽样问题!!某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“$+1+2%中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门科目中选两门，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为A%五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%,$5%,$5%,1$%,2%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到'6,100（，［71，85］，'6,70（，［41,55（，［$0，40（五个分数区间内，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分。

具体转换分数区间如表1：表2考生科目考试成绩成绩等级原始分区间等级分区间化学75分B等级'9,84('1,85(设该同学转换后的等级成绩为'，根据oa_7斤q r__t公式得75“一亍右，所以'-76.6#77 75——6.丄——71（四舍五入取整），即该同学最终的化学成绩为77分。

已知某年级学生有100人选了化学，以期中考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得A等级的学生原始成绩统计如表$:表$成绩959$9190888785人数12$2$22（1）从化学成绩获得A等级的学生中任取2名，求恰好有1名学生的等级成绩不小于96分的概率；（2）从化学成绩获得A等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分的人数为e，求e的分布列和期望。

1-2 二项分布[30页]

獨立重複白努利試驗的機率假設一白努利試驗成功的機率為 p，則獨立重複白努利試驗 n 次中，恰出現 k 次成功的機率為 Ckn pk (1 p)nk。
翰林版 1-2 二項分布 page 10/30
3 p.32
假設某射擊選手每次射擊時，擊中目標的機率為4，並假設每 5
次射擊的結果是互相獨立的，則他射擊 5 次中恰擊中 3 次的機
1-2 二項分布
獨立事件重複試驗二項分布二項分布的性質
翰林版 1-2 二項分布 page 1/30
獨立事件 p.27~p.29
翰林版 1-2 二項分布 page 2/30
兩事件為獨立事件
設事件 A 與事件 B 是樣本空間中的兩事件。若 P( A B) P( A)P(B) ，則稱 A，B 為獨立事件，
4 p.34
翰林版 1-2 二項分布 page 12/30
小聖從住家到學校的途中會經過 5 個設有紅綠燈的路口，如下
圖，假設他在各路口遇到紅燈的事件是互相獨立的，而各路口遇到紅燈的機率都是 1。若隨機變數 X 的取值表示小聖在路口
4 遇到紅燈的次數，試求此隨機變數 X 的機率質量函數。
4 p.34
(2) 由第(1)小題得 P( A B C ) 2 1 P( A)P(B)P(C) 12 12
所以 A，B ，C 三事件不是獨立事件
重複試驗 p.30~p.32
翰林版 1-2 二項分布 page 9/30
如果一個隨機試驗的結果僅有兩種情形，就稱為一個白努利試驗。在相同條件下重複執行一個試驗稱為重複試驗，而當每次結果互不影響時，稱為獨立重複試驗。
當三事件 A，B，C 同時滿足下列四項條件： (1) P( A B) P( A)P(B) (2) P(B C) P(B)P(C) (3) P( A C) P( A)P(C) (4) P( A B C) P( A)P(B)P(C) 稱 A，B，C 三事件為獨立事件。

二项分布教学课件(共36张PPT)高中数学北师大版(2019)选择性必修第一册

C 则这 3 台车床中至少有一台每天加工的零件数超过 35 的概率为( )
1 A. 64
27 B. 64
37 C. 64
63 D. 64
解析：设车床每天加工的零件数超过 35 的台数为，由题意知每台加工的零件数
超过 35 的概率 P 1 0.5 1 ， 24
所以
~
B
3,
1 4
，则这
3
4
32 4
C34
33 1
4
31 4
C44
34 1
4
30 4
思考交流
在上面的问题中, 将一次射击看成做了一次试验, 思考并回答下列问题: （1）一共进行了几次试验？每次试验有几种可能的结果？（2）如果将每次试验的两种结果分别称为"成功"(命中目标)和"失败"(没有命中目标), 那么每次试验成功的概率是多少? 它们相同吗? （3）各次试验是否相互独立？在随机变量X的分布列的计算中, 独立性具体应用在哪里?
解：
设 X 为 5 台机床中正常工作的台数，则 X 服从参数为 n 5， p 0.2 的二项分布，
即
P( X 于是，由题意可得
k ) C5k 0.2k (1 0.2)3 k (k
0,1, 2,3, 4,5)
P(X 4)
P(X 4) P(X 5) C54 0.24 0.8 C55 0.25 0.80 0.007
中目标
(事件
Bk
发生)，这包含
C
k 4
种情况.
根据互斥事件的概率加法公式和相互独立
事件的概率乘法公式，可得
P(X k) P Bk
C4k
3k 4
1

二项分布的现实例子

二项分布的现实例子二项分布是概率论中常见的一种离散概率分布，通常用于描述在一系列独立重复的相同试验中成功次数的概率分布。

在现实生活中，我们可以找到很多与二项分布相关的实际例子。

本文将通过几个具体案例来说明二项分布在现实生活中的应用。

首先，我们来看一个关于市场营销的案例。

假设某公司推出了一款新产品，想要了解在推广活动中每位潜在客户购买该产品的概率。

通过市场调研，他们发现在100次电话营销中，平均有20次成功促成了销售。

这里每次电话营销可以看作一次独立的试验，成功促成销售可以看作成功的事件。

根据二项分布的理论，我们可以计算出在100次电话营销中成功促成销售20次的概率，从而帮助公司评估市场推广的效果。

其次，我们来看一个关于质量控制的案例。

某工厂生产的产品在质量检验中有5%的不合格率。

如果从中随机抽取20个产品进行检验，那么有多少概率会有超过2个不合格品呢？这里每个产品的合格与否可以看作一次独立的试验，不合格可以看作成功的事件。

通过二项分布的计算，我们可以得出在抽取20个产品进行检验时，有超过2个不合格品的概率，帮助工厂进行质量控制。

再来看一个关于体育比赛的案例。

假设某支篮球队在常规赛中每次投篮命中的概率为60%，如果进行100次投篮，那么队员们命中超过60次的概率是多少？在这个案例中，每次投篮可以看作一次独立的试验，命中可以看作成功的事件。

通过二项分布的计算，我们可以得出在进行100次投篮时，队员们命中超过60次的概率，帮助球队制定比赛策略。

最后，我们来看一个关于医学诊断的案例。

在医学诊断中，有时需要进行多次独立的检测来确认疾病的存在。

假设某种疾病的检测准确率为90%，如果进行3次检测，那么患者被正确诊断的概率是多少？每次检测可以看作一次独立的试验，正确诊断可以看作成功的事件。

通过二项分布的计算，我们可以得出在进行3次检测时，患者被正确诊断的概率，帮助医生提高诊断准确性。

通过以上几个案例，我们可以看到二项分布在市场营销、质量控制、体育比赛和医学诊断等领域的广泛应用。

超几何分布、二项分布、正态分布[1]

超几何分布、二项分布、正态分布1、超几何分布：一般地，若一个随机变量x的分布列为：P(x＝r)＝①其中r＝0，1，2，3，…… ，，＝min(n，M)，则称x服从超几何分布。

记作x～H(n，M，N)，并将P(x＝r)＝，记为H(r，n，M，N)。

如：在一批数量为N件的产品中共有M件不合格品，从中随机取出的n件产品中，不合格品数x的概率分布列如表一所示：(表一)其中＝min(n，M)，满足超几何分布。

2、伯努利试验(n次独立重复试验)，在n 次相互独立试验中，每次试验的结果仅有两种对立的结果A与出现，P(A)＝p∈(0，1)，这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验。

P()＝1－p＝q，则在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率(0≤k≤n)为P(k)＝(k＝0，1，2，3，……，n)，它恰好是(q＋p)n的二项展开式中的第k＋1项。

3、二项分布：若随机变量x的分布列为p(x＝k)＝，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k ＝0，1，2，……，n，则称x服从参数为n、p的二项分布，记作x～B(n，p)。

如：n次射击中，击中目标k次的试验或投掷骰子n次，出现k次数字5的试验等均满足二项分布。

3、正态分布曲线。

(1)概率密度曲线：当数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图的顶边无限缩小乃至形成一条光滑的曲线，则称此曲线为概率密度曲线。

(2)正态密度曲线：概率密度曲线对应表达式为P(x)＝(x∈R)的曲线称之为正态密度曲线。

正态密度曲线图象特征：①当x＜μ时曲线上升；当x＞μ时曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线。

②正态曲线关于直线x＝μ对称。

③σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡。

④在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1。

4、正态分布：若x是一个随机变量，对任意区间，P恰好是正态密度曲线下方和x轴上上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量x服从参数为μ和σ的正态分布，简记为x～N(μ，σ2)。

二项分布常数项公式

二项分布常数项公式二项分布可是咱统计学里挺重要的一块内容呢。

先来说说啥是二项分布哈。

想象一下，咱抛硬币，正面朝上算成功，反面朝上算失败。

抛了 n 次，每次成功的概率是 p ，失败的概率就是 1 - p 。

那在这 n 次里，成功 k 次的概率咋算？这就得用到二项分布啦。

二项分布的概率质量函数是 P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k) 。

这里面的 C(n, k) 就是咱要说的二项分布常数项公式，也叫组合数。

组合数 C(n, k) 的计算公式是 n! / (k! * (n - k)!) 。

这看着有点复杂是不？其实说白了，就是从 n 个东西里选 k 个，有多少种选法。

给您举个例子啊，比如说咱班里有10 个同学，选3 个去参加比赛，那一共有多少种选法呢？这就用 C(10, 3) 来算。

10! 就是 10 × 9 × 8 × 7× 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 ，3! 就是 3 × 2 × 1 ，(10 - 3)! 就是 7! ，也就是 7× 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。

算下来，C(10, 3) = 120 种。

咱再回到二项分布常数项公式。

比如说有个抽奖活动，中奖概率是0.2 ，一共抽 5 次，咱想算正好中 2 次奖的概率。

那就用 P(X = 2) = C(5, 2) * 0.2^2 * (1 - 0.2)^(5 - 2) 来算。

C(5, 2) = 10 ，0.2^2 = 0.04 ，(1 -0.2)^3 = 0.512 ，乘起来，P(X = 2) 大概就是 0.2048 。

二项分布常数项公式在实际生活里用处可大了。

像质量检测，一批产品里有一定的次品率，抽一定数量的产品，算有几个次品的概率；或者投票选举，知道每个人当选的概率，算选上特定人数的概率，都能用到它。

1-二项分布PPT课件

分析理解
每次射击都有两种可能的结果：击中目标或没击中
目标，并且每次击中目标的概率都是p= ，—3没击中目
标的概率均为1-p= ，在—1 对目标进行的4次射4 击中，
击中目标次数X的取值为04、-1、2、3、4。
2
X=k
0
1
2
3
4
P(X=k)
在上面的问题中，如果将一次射击看成做了一次试
验，思考如下问题：
例9:一批机床，每台发生故障的概率均为0.01，且发生故障后由一个维修工就可排除。现甲厂订购了20台机床，配备了1名维修工,乙厂订购了80台机床，配备了3名维修工。试问:甲、乙两厂因机床故障又不能及时维修的概率各是多少？比较这两个概率，有什么实际义？（可以使用计算器完成习题）
-
9
• 练习： • 甲乙两人击各射一次击中目标的概率是 2 和，3
例5：甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目
标的概率为 1 ，乙每次击中目标的概率为 2 ，求：
2
3
（1）甲恰好击中目标2次的概率。
（2）乙至少击中目标2次的概率。（3）乙恰好比甲多击中2次的概率。
-
7
• 例6：甲乙两围棋手进行比赛，已知每一局比赛中甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4. （1三胜制”，求甲胜的概率。（3）在以上两种比赛的制度下，采用哪一种比赛甲获胜的可能性较大？
例7：从学校到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个
交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设X2 为途中遇到红灯的次数，求：
5
（1）随机变量X的分布列。（2）这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率。
-
8
例8:n支步枪独立射击目标，每支步枪的命中率都是0.001，求至少有一支步枪命中目标的概率，并试讨论n充分大时的结果。

第1课时二项分布

解记“甲未击中目标”为事件A4，“乙击中2次”为事件B4，则 P(A4)＝C02×1－232＝19，P(B4)＝C22×342＝196，所以甲未击中，乙击中 2 次的概率为 P(A4B4)＝19×196＝116.
跟踪训练2 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人参加甲游戏，掷出点数大于2的人参加乙游戏. (1)求这4个人中恰有2人参加甲游戏的概率；
例 2 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.(结果需用分数作答) (1)求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；
解记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，知射击3次，相当于3重伯努利试验，故 P(A1)＝1－P( A 1)＝1－233＝1297.
P(ξ＝5)＝234×1＝8116.
所以ξ的分布列为
ξ12
P
ห้องสมุดไป่ตู้
1 3
2 9
345
4 8 16 27 81 81
跟踪训练3
某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为
3 4
，某班3名同
学商定明天分别就同一问题询问该服务中心.且每人只拨打一次，求他
们中成功咨询的人数X的分布列.
解由题意可知 X～B3，34， ∴P(X＝k)＝Ck3×34k×143－k，k＝0,1,2,3，即 P(X＝0)＝C03×340×143＝614， P(X＝1)＝C13×34×142＝694， P(X＝2)＝C23×342×14＝2674， P(X＝3)＝C33×343＝2674.
例1 判断下列试验是不是n重伯努利试验： (1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；

二项分布概率

二项分布概率
二项分布概率公式P（X=k)=C(n,k)（p^k）*(1-p)^(n-k)
n是试验次数，k是指定事件发生的次数，p是指定事件在一次试验中发生的概率。

二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。

扩展资料：
由二项式分布的定义知，随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p。

因此，可以将二项式分布分解成n个
相互独立且以p为参数的（0-1）分布随机变量之和。

设随机变量X（k）(k=1,2,3...n)服从（0-1）分布，则X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n)
在每次试验中只有两种可能的结果，而且是互相对立的；每次实验是独立的，与其它各次试验结果无关。