7.6 归纳-猜想-论证(含答案)

【课堂例题】例1.计算并归纳出下列求和的一般公式，并证明.114=⨯ 111447+=⨯⨯ 1111447710++=⨯⨯⨯ 111114477101013+++=⨯⨯⨯⨯11111447710(32)(31)n n ++++=⨯⨯⨯-+例2.尝试推导正整数立方和公式3333123?n ++++=例3.在平面上画n 条直线，任何两条都相交，任意3条直线不共点，则这n 条直线将平面分成多少部分？【基础训练】1.观察下列数字：12343456745678910……猜想第n 行的各数之和n S =________________. 2= . 3任取一个正整数，反复进行下述两种运算：(1)若是奇数，就将该数乘3再加上1；(2)若是偶数，就将该数除以2.你能据此作出什么猜想？.4.已知数列{}n a 满足11a =，且*11429,n n n n a a a a n N ++-+=∈，通过计算若干项n a 后，可以猜想通项公式n a = .5.已知数列1111,,,,,,122334(1)n n ⨯⨯⨯+ 前n 项和为n S . (1)计算123,,S S S 的值； (2)推测计算n S 的公式并证明.6.在数列{}n a 中，*1121,2,2,(1)n n n a a a n n N n n -+==+≥∈+. (1)求234,,a a a ；(2)猜想数列{}n a 的通项公式()n a f n =，并用数学归纳法证明你的猜想.7.已知数列{}n a 满足：*2,n n S n a n N =-∈（*0,n a n N ≠∈）(1)求1234,,,a a a a .(2)猜想{}n a 的通项公式()n a f n =，并用数学归纳法加以证明.【巩固提高】8.是否存在常数,,a b c 使等式:222222421(1)2(2)()n n n n n an bn c ⋅-+⋅-++⋅-=++对于一切正整数n 都成立？证明你的结论.提示:先利用1,2,3n =求出一组,,a b c ，再…….9.是否存在大于1的正整数m 使得()(27)39n f n n =+⋅+对于任意正整数n 都能被m 整除？若存在，求出m 的最大值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.(选做)10.下面两题，任选1题完成：(1)如图，在圆内画2条相交弦，彼此分割成4条线段；画3条弦，彼此最多分割成9条线段；画4条弦，彼此最多分割成16条弦，那么①在圆内画5条弦，它们彼此最多分割成多少条线段？②在圆内画n 条弦，两两相交，彼此最多分割成多少条线段？用数学归纳法证明你的猜想.(2)证明：平面上的n 个圆，最多把平面分成22n n -+个区域.【温故知新】 11.已知函数()f x ，若(4)2f =，且对于任意*12,n n N ∈都有1212()()()f n n f n f n =+成立，猜想()f x 的表达式可以是 .【课堂例题答案】例1.1234,,,,47101331n n + 证：①当1n =时，等式显然成立；②假设当n k =时，等式成立，即11111447710(32)(31)31k k k k ++++=⨯⨯⨯-++ 当1n k =+时，111111447710(32)(31)(31)(34)1(34)1(31)(1)131(31)(34)(31)(34)(31)(34)34k k k k k k k k k k k k k k k k k k +++++⨯⨯⨯-++++++++=+===++++++++等式也成立；根据①②，对于任意*n N ∈，等式都成立. 证毕 例2.猜想：2233332(1)123(12)4n n n n +++++=+++= 证：①当1n =时，等式显然成立；②假设当n k =时，等式成立，即223333(1)1234k k k +++++= 当1n k =+时， 2222333333(1)(1)(44)123(1)(1)44k k k k k k k k ++++++++++=++= 22(1)(2)4k k ++= 等式也成立；根据①②，对于任意*n N ∈，等式都成立. 证毕例3.记n 条直线把平面分成n a 个部分.猜想：1(12)n a n =++++证：①当1n =时，结论显然成立；②假设当n k =时，结论成立，即 1(12)k a k =++++当1n k =+时，第1k +条直线与前面k 条直线都相交，有k 个交点，这k 个交点将这条直线分成1k +段，每段都将原有平面部分分成两个部分，因此1(1)1(12)11[12(1)]k k a a k k k k k +=++=++++++=++++++结论也成立；根据①②，对于任意*n N ∈，结论都成立. 证毕【习题答案】1.2(21)n -2.333n个 3.最终变为1(或者最终在1，2，4之间循环，这个就是著名的Collatz 猜想，尚未被证明)4.*65,21n n N n -∈- 5.(1)123123,,234S S S === (2)猜想:1n n S n =+. 证：①当1n =时，结论显然成立；②假设当n k =时，结论成立，即1k k S k =+ 当1n k =+时， 2111211(1)(2)1(1)(2)(1)(2)2k k k k k k S S k k k k k k k k ++++=+=+==++++++++ 结论也成立；根据①②，对于任意*n N ∈，结论都成立. 证毕 6.(1)234812315913,6,12334455a a a ==-==-==- (2)猜想：2*132,1n n a n N n -=⋅-∈+ 证：①当1n =时，结论显然成立；②假设当n k =时，结论成立，即21321k k a k -=⋅-+ 当1n k =+时，2111131322(32)(1)(2)1(1)(2)323(24)1323232(1)(2)1(1)(2)2k k k k k k k k a a k k k k k k k k k k k k k k -+---++=+=⋅-++++++++-+=⋅+-=⋅+=⋅-++++++ 结论也成立； 根据①②，对于任意*n N ∈，结论都成立. 证毕 7.(1)123437151,,,248a a a a ==== (2)猜想：*112,2n n a n N -=-∈ 证：①当1n =时，结论显然成立；②假设当n k =时，结论成立，即*112,2k k a n N -=-∈ 当1n k =+时，1112(1)2(1)k k k k a k S k S a +++=+-=+--，则112111(1)(1)1(2)222222k k k k k S k a a k k +--=+-=+-=+-=- 结论也成立；根据①②，对于任意*n N ∈，结论都成立. 证毕 8.存在11,,044a b c ==-= 提示：代入1,2,3n =得： 0164381918a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得：11,,044a b c ==-=，下面证明对于一切*n N ∈成立. 证：①当1n =时，等式显然成立；②假设当n k =时，等式成立，即22222242111(1)2(2)()44k k k k k k k ⋅-+⋅-++⋅-=- 当1n k =+时，222222221[(1)1]2[(1)2][(1)](1)[(1)(1)]k k k k k k k k ⋅+-+⋅+-++⋅+-++⋅+-+ 2222221(121)2(221)(21)0k k k k k k k k =⋅-+++⋅-++++⋅-+++222222[1(1)2(2)()][1(21)2(21)(21)]k k k k k k k k k =⋅-+⋅-++⋅-+⋅++⋅+++⋅+ 4222111(1)(21)(21)(12)(1)4442k k k k k k k k k ++=-++⋅+++=-+ 22(1)(1)(1)(2)[(1)2(21)](32)444k k k k k k k k k k k k ++++=-++=++= 242(1)[(1)1][(1)1](1)(1)444k k k k k ++-++++==- 等式也成立；根据①②，对于任意*n N ∈，等式都成立. 证毕9.max 36m =提示：(1)36,(2)108,(3)360f f f ===，因此猜测max 36m =证：①当1n =时，结论显然成立；②假设当n k =时，结论成立，即 ()(27)39k f k k =+⋅+能被36整除；当1n k =+时，1111(1)[2(1)7]39(27)39233[(27)39]63183()18(31)k k k k k k f k k k k f k +++-+=++⋅+=+⋅++⋅=+⋅++⋅-=+-显然131k --是偶数，因此118(31)k --也能被36整除，所以(1)f k +能被36整除；结论成立；根据①②，对于任意*n N ∈，结论都成立. 证毕10.(1)①如图,彼此最多分割成25条线段；②猜想：分割成2n 线段.证：①当2n =时，结论显然成立；②假设当(2)n k k =≥时，结论成立，即 k 条弦两两相交，彼此最多分割成2k 条弦当1n k =+时，第1k +条弦与原来k 条弦最多有k 个交点，因此第1k +条弦最多被分割成1k +段， 每一个交点又把原来的弦的某一段分割成两部分，因此总共比原来多了1k k ++条线段. 即1k +条弦两两相交，彼此最多分割成221(1)k k k k +++=+条弦结论也成立；根据①②，对于任意*,2n N n ∈≥，结论都成立. 证毕(2)①当1n =时，结论显然成立；②假设当n k =时，结论成立，即平面上的k 个圆，最多把平面分成22k k -+个区域；当1n k =+时，第1k +个圆与原来的每一个圆都交于2点，因此第1k +个圆上最多有2k 个交点， 第1k +个圆最多被分成2k 段，每一段都把原来平面区域分成两部分， 因此平面上的1k +个圆，最多把平面分成2222(1)(1)2k k k k k -++=+-++个区域， 结论也成立；根据①②，对于任意*n N ∈，结论都成立. 证毕11.2()log f x x =。