3.3有界线性泛函和对偶空间
线性泛函数知识点总结
线性泛函数知识点总结一、线性泛函数的基本概念1.1 线性泛函数的定义线性泛函数是指一个将向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的函数，且满足线性性质。
设V和W是两个向量空间，如果一个函数T:V→W满足以下两个条件：1) 对于任意的向量x,y∈V，有T(x+y)=T(x)+T(y)；2) 对于任意的向量x∈V和标量a，有T(ax)=aT(x)；则函数T被称为V到W的线性泛函数。
1.2 线性泛函数的例子下面我们举几个线性泛函数的例子，以便更好地理解这个概念。
例1：设V是实数域上的n维向量空间，W是实数域上的m维向量空间，定义一个函数T:V→W，使得对于任意的向量x=(x1,x2,...,xn)∈V，有T(x)=(x1^2,x2^2,...,xn^2)∈W。
显然，函数T满足线性性质，因此它是一个线性泛函数。
例2：设V是实数域上的3维向量空间，W是实数域上的2维向量空间，定义一个函数T:V→W，使得对于任意的向量x=(x1,x2,x3)∈V，有T(x)=(x1+x2,x2+x3)∈W。
同样地，函数T也满足线性性质，因此它也是一个线性泛函数。
1.3 线性泛函数的表示线性泛函数可以用矩阵来表示。
设V和W分别是n维和m维向量空间，选择它们的一组基{e1,e2,...,en}和{f1,f2,...,fm}，则对于任意的向量x=(x1,x2,...,xn)∈V，有其在基{e1,e2,...,en}下的表达式为x=x1e1+x2e2+...+xnen，而对于任意的向量y=(y1,y2,...,ym)∈W，有其在基{f1,f2,...,fm}下的表达式为y=y1f1+y2f2+...+ymfm。
定义一个线性泛函数T:V→W，使得对于任意的向量x∈V，有T(x)=y∈W，则T的矩阵表示为一个m×n的矩阵A，其中A的第i列为T(ei)在基{f1,f2,...,fm}下的坐标表示，即A=[T(e1)|T(e2)|...|T(en)]。
基本内容 线性有界泛函
第四章 习题课基本内容1．线性有界泛函:f D X ⊂→∧满足()()()f x y f x f y αβαβ+=+，线性． 若x D ∀∈，|()|||||f x M x ≤．——称f 有界． 2．线性有界泛函的范数 |()|||||sup||||x f x f x θ≠=． ||||1||||1||||sup |()|sup |()|x x f f x f x ≤===．共轭空间（Banach 空间）*()n n R R =，*()p q l l =，*([,])p q L a b L =，*H H =． 基本定理：①延括定理：G X ⊂是线性子空间，:f G X ⊂→∧是线性有界泛函，则*F X ∃∈，使（ⅰ）当x G ∈时，()()F x f x =； （ⅱ）||||||||X G F f =． ②两个推论：（Ⅰ）（Hahn —Banach 定理）设X l.n.s ，0x X ∀∈，0x θ≠，则*f X ∃∈，||||1f =，00()||||f x x =．（Ⅱ）设X l.n.s ，G X ⊂是线性子空间，0x X ∈，0(,)0d x G >，则*f X ∃∈，满足（ⅰ）x G ∀∈，()0f x =；（ⅱ）0()f x d =； （ⅲ）||||1f =． 3．线性有界算子1X ，2X ——l.n.s ，1D X ⊂线性子空间，2:T D X ⊂满足 ()()()T x y T x T y αβαβ+=+．4．线性有界算子，算子范数． 5．基本定理引理：（开映射原理）：若1X ，2X 是Banach 空间，12()T B X X ∈→，且2()R T X =，则T 为开映射．① 逆算子定理：设1X ，2X 都是Banach 空间，12:T X X →满射，可逆的线性有界算子，则T 的逆算子1T -是有界算子．② 闭图像定理：设1X ，2X 都是Banach 空间，12:()T D T X X ⊂→是闭算子，其中()D T 是1X 的闭子空间，则T 是线性有界算子．③ 共鸣定理：设1X 是Banach 空间，2X 是l.n.s.{|}i X i A ∈是一族12X X →的线性有界算子，则{|||||}i T i A ∈有界1x X ⇔∀∈，{|||||}i T x i A ∈有界．6．强收敛与弱收敛① l.n.s 中的点列的强、弱收敛．（ⅰ）若||||0n x x →→，称{}n x 强收敛于x ，记为n x x →； （ⅱ）若*f X ∀∈，|()()|0n f x f x -→，称*n x x →（弱收敛）． ② 有限维空间中，强弱收敛等价． ③ 弱收敛的判别（等价条件）*n x x →⇔（ⅰ）{||||}n X 有界；（ⅱ）**M X ∃⊂（稠密），使*f M ∀∈，0|()()|0n f x f x -→．④ 算子列的各种收敛性：（ⅰ）一致收敛：||||0n T T -→； （ⅱ）强收敛：||||0n T x Tx -→；（ⅲ）弱收敛：||()()||0n f T x f Tx -→，*2f X ∀∈，1x X ∈． 特别泛函列n f ：（ⅰ）强收敛：||||0n f f -→（对应一致收敛）；（ⅱ）弱*收敛：||()()||0n f x f x -→（对应算子列强收敛）．7．共轭算子设1X ，2X 是同一数域∧上的l.n.s.12()T B X X ∈→， ***21:T X X →，如果对任何1x X ∈，*2f X ∈，都有*()()()T f x f Tx = 或 *(,)(,)x T f Tx f =成立，就称*T 是T 的共轭算子（也称伴随算子）．共轭算子的范数：定理（共轭算子的范数）：设12()T B X X ∈→，*T 是T 的共轭算子，则*T 是**21X X →的线性有界算子，且有*||||||||T T =．定理（共轭算子的性质）： （1）**()aT aT =； （2）***2112()T T T T ⋅=⋅； （3）***1212()T T T T +=+；（4）12:I X X →,则***12:I X X →． 8．自共轭算子H 是Hilbert 空间，若,x y H ∀∈，(,)(,)Tx y x Ty =．T ——自共轭算子． Th ．（自共轭算子的充要条件）：H 是复的Hilbert 空间，T 为自共轭算子x H ⇔∀∈，(,)Tx x 为实数．性质：（1）特征值为实数；T 1X *1X *T 2X *2X（2）不同特征值的特征向量正交．投影算子：0Px x =.（0x x z =+，0x M ∈，z M ⊥∈）．举 例例1．设21,X X 是s n l ..，)(21X X T →∈，则T X X B T ⇔→∈)(21应某个内部非空的有界集为有界集。
大学数学泛函分析
大学数学泛函分析一、引言数学泛函分析是数学的一分支，研究数学空间中的函数和它们的性质。
本文将介绍大学数学泛函分析的基本概念、定理和应用，以帮助读者更好地理解和应用泛函分析知识。
二、范数空间与内积空间1. 范数空间范数空间是指一个向量空间上定义了范数的空间。
范数是一个函数，它将向量映射到非负实数。
我们要介绍的几个常见的范数包括：欧几里得范数、p-范数等。
2. 内积空间内积空间是指一个向量空间上定义了内积的空间。
内积是一个二元运算，它将两个向量映射到一个实数。
内积空间具有许多有用的性质，如共轭对称性、正定性等。
三、泛函分析的基本概念1. 线性算子线性算子是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的线性映射。
我们要介绍的几类线性算子包括有界线性算子、紧线性算子等。
2. 连续性与收敛性在泛函分析中，我们关心函数序列的收敛性问题。
连续性和收敛性是泛函分析中的重要概念，它们可以帮助我们刻画函数的性质和行为。
3. 凸集与凸函数凸集是指包含所有连接两点的线段的集合。
凸函数是指定义在凸集上的函数，满足一定的凸性质。
凸集和凸函数在泛函分析中有着广泛的应用。
四、泛函分析的重要定理1. Banach不动点定理Banach不动点定理是泛函分析中的重要定理，它与函数的收敛性和连续性有密切关系。
该定理表明，在某些条件下，一个映射总能找到一个不动点。
2. Hahn-Banach定理Hahn-Banach定理是泛函分析中的核心定理，它在函数的延拓性和存在性方面有重要应用。
该定理表明，在一定条件下，我们可以将一个线性函数延拓到整个向量空间上。
3. Riesz表示定理Riesz表示定理是泛函分析中的经典定理之一，它将内积空间中的连续线性泛函表示为内积的形式。
该定理在量子力学等领域有着重要的应用。
五、泛函分析的应用泛函分析在科学和工程领域有着广泛的应用。
以下是几个典型的应用领域：1. 偏微分方程泛函分析在偏微分方程中有着重要的应用。
通过泛函分析的方法，我们可以研究偏微分方程的解的存在性、唯一性和稳定性等性质。
线性赋范空间泛函有界性
目录1引言 (1)2线性赋范空间 (1)2.1预备知识 (2)2.2线性赋范空间的一些性质 (3)3线性有界泛函 (4)3.1线性有界泛函有关概念 (4)3.2线性有界泛函与线性连续泛函 (6)3.3共轭空间 (8)4线性有界算子 (11)4.1线性有界算子有关概念 (11)4.2线性有界算子与线性连续算子 (13)4.3线性有界算子空间 (14)参考文献 (15)致谢 (16)线性赋范空间泛函有界性研究数学系本1104班薛菊峰指导教师：何瑞强摘要：本文主要研究线性赋范空间泛函有界性。
从三个方面进行探讨：首先，阐述线性赋范空间泛函有界性、泛函连续性以及相关的概念；然后，研究线性赋范空间泛函有界性与连续性的关系，根据两者的等价性给出相关泛函理论的推导及应用；最后，将线性有界泛函理论推广到线性有界算子空间。
关键词：线性赋范空间，线性有界泛函，线性连续泛函，线性有界算子。
The Study of the Functional Boundedness in Linear Normed SpaceXue JuFengClass 1104, Mathematics DepartmentTutor: He RuiQiangAbstract: This paper mainly studies the functional boundedness in linear normed space. Carries on the discussion from three aspects: First of all, this paper expounds the linear normed space functional boundedness, functional continuity and related concepts; Then, researching the relationship of the linear normed space functional boundedness and continuity, giving derivation and application of the relevant functional theory according to the equivalence of them; Finally, the bounded linear functional theory are generalized to space of bounded linear operator .Keywords: linear normed space, bounded linear functional, linear continuous functionals , bounded linear operator.1引言有学者在这方面已经做了一定的研究如：李宗铎在《线性赋范空间中几个概念的探讨》证明了当给线性赋范空间装备以相应的拓扑，与线性拓扑空间体系下所定义的线性赋范空间，有界集、线性算子的有界性等概念是等效的，同时严格证明了有界线性算子范数两种规定的一致性；王艳博、张云峰在《关于泛函分析中定理的推广》对于赋范空间X 和Y ，从X 到Y 的全体线性有界算子()Y X B ,关于算子范数亦成为赋范空间，且知当Y 是完备空间时，()Y X B ,也是完备的。
线性泛函和对偶空间
|
a
+
1 n
x
a fn (t )dt | dx
ò ò =
a
+
1 n
n(
x
-
a
)dx
+
b
dx
a
a
+
1 n
=b-a- 1
2n
Therefore || T ||³ sup || Tfn ||L = b - a.
n
• Proposition.
Linear operator T : ( X ,|| × ||) ® (Y ,|| × ||)
Þ T : X ® X是线性算子.
•例
1
y(s) = ò k(s, t)x(t)dt, k( , ) Î C([0,1]´[0,1]) 0
定义算子 A : C[0,1] a C[0,1] 如下
1
A : x(t) a y(s) = ò k(s, t )x(t)dt, 0
满足 A(a x1 + b x2 ) = a Ax1 + b Ax2 .
=
æ
ç
A
ç ç
x1 x2 M
ö ÷ ÷ ÷
ççè yn ÷÷ø ççè an1 an2 L ann ÷÷ø ççè xn ÷÷ø
ççè xn ÷÷ø
由此可知,在有限维线性空间上,如果将基选定后,
线性算子与矩阵是相对应的.
•例
X :[a, b]上全体多项式所成的线性空间,
定义微分算子 Tx(t) = x¢(t), x Î X
Tx关于这个基的坐标是(y1, y2 , ..., yn ).
n
n
å å x = xkek , Tx = ykek :
泛函分析中的八大空间
泛函分析中的八大空间泛函分析绪论总结参考教材是孙炯老师的《泛函分析》❞泛函分析学习目标1、了解和掌握空间理论（距离、赋范、内积空间）和线性算子理论（线性算子空间、线性算子谱分析）中基本概念和理论。
2、运用全新的、现代数学的视点审视、处理数学基础课程中的一些问题。
3、将分析中的具体问题抽象到一种更加纯粹的代数、拓扑形式中加以研究，综合运用分析、代数、几何手段处理问题。
❞泛函分析研究对象与方法泛函分析综合分析、代数、几何的观点和方法来研究无穷维空间上的函数、算子和极限理论，处理和解决数学研究中最关心的一些基本问题。
泛函分析的特点是把古典分析的基本概念和方法一般化、并将这些概念和方法几何化。
解析几何的创立，将代数问题几何化、几何问题代数化，那么这种模式可类比的推广到泛函分析的研究中。
❞（1）建立一个新的空间框架，空间中元素包括函数、运算。
「注」：空间中的元素？空间的结构（距离、范数、内积）（2）在新的空间框架下，研究解决分析、代数、几何中的问题，把分析中的问题结合几何、代数的方法加以处理。
「注」：泛函分析主要研究无穷维空间到无穷维空间的映射、运算，因此关注无穷维空间的性质，收敛性问题（如加法与无穷级数的区别）一些个人思考在三维实向量空间中进行了坐标分解，这样可以更清楚的表示这个向量的相关一些信息，那么空间的几何结构变得非常明了；另外将一个矩阵映射进行了分解，那么它的作用效果，也变得很明了。
所以自然联想到，无穷维空间能否有这样的几何结构（坐标系、正交性、元素能否分解？）、其中的映射又能否分解？但是在这其中就会遇到新的问题，也就是无穷项相加，就会有收敛性的问题。
❞泛函分析主要内容（1）空间、极限的概念，讨论他们的性质.包括：距离空间、赋范空间、内积空间、Hilbert空间.（2）研究线性算子（线性算子空间）.包括：有界线性算子、有界线性算子的重要性质、共轭空间。
其中：一致有界原则、开映射定理、闭图像定理、Hahn-Banach定理.（3）线性算子的谱理论.线性算子的谱分解从结构上展示了线性算子的基本运算特征，特别是自共轭算子的谱分解，与有限维空间对称矩阵的分解很类似.❞定义1：设有集合,且存在映射,使得对任意的都有：1.非负性：;2.对称性：;3.三角不等式：映射称为集合上的一个度量，称为度量空间.度量函数有时也用表示.下边我们给出一些常用的度量空间：1.,度量函数为经典度量.这样的实空间就称为欧式空间.2.(平凡度量)在任何一个集合上，我们都可以定义上述度量，因此任何一个集合上都可以让其变为一个度量空间.1.(空间) 所有的方勒贝格可积函数，定义度量：1.(空间) 所有的在可测的本性有界的函数，定义度量：表示它的本性上界.1.(空间和空间) 元素是数列：.2.3.(连续函数空间) 如果不做声明时，我们的定义的度量是：4.当然还可以有其他度量：有了度量函数后，我们可以定义收敛性：定义2：设为距离空间中的一个点列(或称序列), 这里如果存在中的点, 使得当时, , , 则称点列收敛于, 记为有时也简记为称为的极限.注意到，这里一定要要求在集合中！命题1：设是距离空间中的收敛点列,则下列性质成立:(i) 的极限唯一;(ii) 对任意的, 数列有界.(iii) 如果收敛，那么它的任意子列也收敛.定义3：距离空间中的点列叫做基本点列或柯西点列,若对任给的, 存在, 使得当时,如果中的任一基本点列必收敛于中的某一点,则称为完备的距离空间.注意到：一个空间是否完备与它的集合和度量都有关系，比如：按照最大值定义的度量是完备的，但是按照积分定义的度量不完备，在比如上配备欧式度量，点列是基本列但是不收敛，因为不在集合中.一个不完备的空间，我们可以想方设法的添加一些元素使其完备，然而是否任何的不完备空间都能这样做使其完备呢？这就要需要我们的完备化定理了！在此之前，我们需要引入一些其他有必要的东西！定义4设是两个度量空间, 如果存在映射：满足：(1):是满射；(2):.则称和是等距同构的, 称为等距同构映射, 有时简称等距同构。
泛函
泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。
泛函分析的起源
泛函分析的源头之一是变分法。18世纪形成的变分法的核心课题是研究形如
连续线性泛函
泛函分析的一个基本概念。围绕对它的研究形成的对偶理论至今仍是泛函分析中心课题之一。对它的研究最早可追溯到C.博莱特(1897)提出要用连续性条件来刻画一定函数类上的连续线性映射T:E→F。1903年阿达马在E是C[α，b]([α，b]上连续函数的全体)，F是实数域，当{?n}一致收敛于? 时，T?n→T?的情况下，将T 表示成一列积分的极限的形式。但这种表示不惟一，并且有极大任意性。后来在实l2空间上，弗雷歇和里斯独立地在T 是所谓强连续假设下给出简单而惟一的表示，即希尔伯特空间l2上的连续线性泛函表示定理。里斯在1909～1910年又相继给出C[α，b]、Lp[α，b]、lp(p>1)上的表示定理。在这些表示定理的证明中实质上已蕴含线性子空间（又称向量子空间）上连续线性泛函必可延拓到全空间的事实。E.黑利从1912年开始（中间经过第一次世界大战的中断），直到1921年用“赋范数列空间”(他并未用这个名称)代替具体的C[α，b]、Lp[α，b]、lp等而考虑较抽象形态的延拓问题。他使用了凸性以及在有限维空间情况下早为H.闵科夫斯基用过的术语，如支撑超平面等。
巴拿赫空间
在许多具体的无限维空间以及它们上面相应的收敛性出现之后，抽象形态的线性空间（向量空间）以及按范数收敛的出现就成为自然的了。1922～1923年，E.哈恩和巴拿赫（同时还有N.维纳）独立地引入赋范线性空间。当时的讨论事实上都限于完备的赋范线性空间。1922年哈恩从当时分析数学许多分支已达到的成果和方法中提炼出了共鸣定理。1927年H.施坦豪斯和巴拿赫用完备度量空间的第二纲性代替原来所谓“滑动峰”证明方法，给出现今常见的证明。1922～1923年巴拿赫又得到了压缩映射的不动点定理、开映射定理。1927年哈恩完全解决了完备赋范线性空间上泛函延拓定理的证明，并第一次引入赋范线性空间E的对偶空间（共轭空间）K（当时称为极空间）。两年后，巴拿赫用同样方法也得到同样结果（后来，他承认哈恩的优先权），并看到这个定理可以推广。这个推广形式在后来的局部凸拓扑线性空间理论中起了重要作用。1931年巴拿赫将他1923～1929年的工作以及当时主要成果写成《线性算子理论》一书，书中大部分讨论他1929年开始研究的弱收敛，这又成为局部凸拓扑线性空间理论出现的先导。在同一书中还发表了完备赋范线性空间上连续线性算子值域不是第一纲集便是全空间以及闭图像定理等重要结果。这时，作为完备赋范线性空间理论的独立体系已基本形成，它的许多结果已成为泛函分析应用中的强有力工具。人们为纪念他的功绩，把完备赋范线性空间称为巴拿赫空间。近年来，人们特别感兴趣的一个领域是研究巴拿赫空间的几何学。
泛函分析知识总结
泛函分析知识总结泛函分析是数学中一个重要的分支领域，它研究的是无穷维空间和函数的性质。
在泛函分析中，我们考虑的对象是函数空间，而不是具体的函数。
泛函分析广泛应用于数学、物理学、工程学等领域。
1.线性空间与拓扑空间：泛函分析的基础是线性空间的理论。
线性空间是指具有加法和数乘运算，同时满足线性结构条件的集合。
泛函分析还引入了拓扑空间的概念，拓扑空间是指在线性空间的基础上引入了距离、收敛等概念，并给出了一些性质。
2.范数与内积：范数和内积是泛函分析中常用的两个概念。
范数是定义在线性空间上的一种非负实值函数，它满足正定性、齐次性和三角不等式。
范数可以用来度量向量的大小。
内积是将两个向量映射到实数的一个运算，它满足对称性、线性性和正定性。
3.完备性和紧性：完备性是指一个空间中的柯西序列收敛于空间内的一个点。
完备性是一个重要的性质，它可以用来判断一个空间是否是可度量空间，即能够定义距离的空间。
紧性是指一个空间内的每个序列都存在收敛的子序列。
紧性常用于分析序列在空间内的收敛性。
4.泛函空间和对偶空间：泛函分析中经常考虑的是函数空间，函数空间是指由一类满足特定条件的函数构成的空间。
常用的函数空间有连续函数空间、可积函数空间等。
函数空间还可以定义内积、范数等结构。
对偶空间是一个线性空间的对偶空间，它由该线性空间上的线性函数构成。
5.泛函的连续性和收敛性：泛函分析研究的是空间到实数域的映射，所以泛函的连续性和收敛性是一个重要的问题。
在泛函分析中，我们定义了一个泛函的连续性，当且仅当对于任意给定的序列，如果其收敛于一个点，那么其映射的泛函值也会收敛于该泛函值。
类似地，我们还可以定义泛函的收敛性。
6.算子：算子是泛函分析中一个重要的概念，它是一种将一个空间映射到另一个空间的映射。
线性算子是指满足线性性质的映射，而有界算子是指满足一定范围内的性质的映射。
算子可以是线性差分方程、微分算符等。
7.泛函分析在物理学和工程学中的应用：泛函分析在物理学和工程学中有广泛的应用。
泛函分析复习与总结
《泛函分析》复习与总结第一部分 空间及其性质泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。
以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。
一．空间（1）距离空间 （集合+距离）！验证距离的三个条件：(,)X ρ称为是距离空间，如果对于,,x y z X ∈(i) 【非负性】(,)0x y ρ≥，并且(,)0x y ρ=当且仅当x y =【正定性】；(ii) 【对称性】(,)(,)x y y x ρρ=；(iii) 【三角不等式】(,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+。
距离空间的典型代表：s 空间、S 空间、所有的赋范线性空间、所有的内积空间。
（2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数）！验证范数的三个条件：(,||||)X ⋅称为是赋范线性空间，如果X是数域K =¡（或K =£）上的线性空间，对于a K ∈和,x y X ∈，成立(i) 【非负性】||||0x ≥，并且||||0x =当且仅当0x =【正定性】； (ii) 【齐次性】||||||||||ax a x =⋅；(iii) 【三角不等式】||||||||||||x y x y +≤+。
赋范线性空间的典型代表：n ¡空间（1,2,3,n =L ）、n £空间（1,2,3,n =L ）、p l 空间（1p ≤≤∞）、([,])p L ab 空间（1p ≤≤∞）、[,]Cab 空间、[,]k C a b 空间、Banach 空间、所有的内积空间（范数是由内积导出的范数）。
（3）内积空间 （线性空间 + 内积）！验证内积的四个条件：(,(,))X ⋅⋅称为是内积空间，如果X 是数域K =¡（或K =£）上的线性空间，对于a K ∈和,,x y z X ∈，成立(i) 【非负性】(,)0x x ≥，并且(,)0x x =当且仅当0x =【正定性】；(ii) 【第一变元可加性】(,)(,)(,)x y z x z x z +=+；(iii) 【第一变元齐次性】(,)(,)ax z a x z =；(iv) 【共轭对称性】(,)(,)x z z x =。
对偶空间的一些性质及其应用
对偶空间的一些性质及其应用看到问题怎么形象地理解对偶空间（Dual Vector Space）？现将答案迁移到专栏之中。
写个简明扼要的分析吧。
在定义来看对偶空间只是线性泛函的全体，这是个十分抽象且不好操作的对象。
所以需要一种办法让大家形象的理解对偶空间。
那就是找同构，用同构的空间去表示对偶空间。
令 V 与 V∗是一组空间与其上的对偶空间，显然维数均为 n 。
后令 {ei} 为 V 上的一组基，因为有限维线性空间可以被基唯一确定，且确定线性空间的基彼此同构，故可以把空间的变化问题转化为基变化的问题，可见这样更好操作。
1，找 V∗上的基,令ei对 v∈V 的作用为提前元素关于基的第 i 个坐标，易知{ei} 为 V∗上的一组基。
且 ej(ei)=1(i=j) or 0(i≠j) ,因为基底关于自身的坐标为1，关于其他的为0,。
2，研究 v对 V∗的作用∀v∈V,f∈V∗ ,令 v(f)=f(v) ，故 v(f+g)=f(v)+g(v)=v(f)+v(g),可见作用 v 是well-defined，即v:V∗→R f ↦f(v)故 v∈(V∗)∗，很好的结果，但这还不够。
3，研究 (V∗)∗上的性质令 v~∈(V∗)∗ , v~:V∗→R ，令 v=∑i=1nv~(ei)ei∈V ,此时有 v(ej)=ej(v)=ej∑i=1nv~(ei)ei=∑i=1nv~(ei)ej(ei)=v~(ei) 。
可见 v 对 V∗的作用线性泛函与给定的 v~ 相同。
4，水到渠成做一个简单的同构映射，双射的性质可以在前面看出，ϕ:V→(V ∗)∗v ↦v~故在同构意义下 V=(V∗)∗。
对偶空间也叫做共轭空间，像这种二次共轭等于自身的空间，数学上称作自反空间。
既然看到标签里有泛函分析，那再从泛函分析的角度说一下对偶空间，像我们熟知的例子 (lq)∗=lp ,其中 1p+1q=1 或 (C0)∗=l1 ，思路与之前一样，还是找到同构的空间，这样就把抽象的对象便具体了，下附(C0)∗=l1的证明，从中可以看出证明里在做的就是构造同构映射去表示对偶空间：。
第二章 线性算子与线性泛函
第二章 线性算子与线性泛函第一节 有界线性算子一、线性算子本段中只需假设,,X Y Z 等是K 上的向量空间。
定义： 若一个映射:T X Y →满足()(,,,)T x y Tx Tyx y X αβαβαβ+=+∈∈K ，则称T 为从X 到Y 的线性算子。
容易看出，上述等式可推广到更一般的情形：()i iiiiiT x Tx αα=∑∑。
命题2.1.1 设:T X Y →是一线性算子，则以下结论成立：（1）任给子空间A X ⊂与子空间B Y ⊂，TA 与1T B -分别为Y 与X 的子空间。
特别，(0)0T =与()R T TX =（值域）是Y 的子空间；1()(0)N T T -是X 的子空间（称为T 的核或零空间）。
（2）若向量组{}i x X ⊂线性相关，则{}i Tx 亦线性相关；若A 是X 的子空间且dim A <∞，则dim dim TA A <。
（3）T 是单射(){0}N T ⇔=。
说明：若0()Tx Y x X ≡∈∈，则称T 为零算子，就记为0；若(),Tx x x X αα≡∈∈K 为常数，则称T 为纯量算子（或相似变换，若0α≠），记作I α，当0α=与1时，I α分别是零算子和单位算子。
对线性算子可定义两种自然的运算：线性运算与乘法。
若,:T S X Y →是线性算子，,αβ∈K ，则:T S X Y αβ+→是一个线性算子，它定义为()().(2.1.2)T S x Tx Sx x X αβαβ+=+∈若:R Y Z →是另一个算子，则由()()().(2.1.3)RT x R Tx x X =∈定义出一个线性算子:RT X Z →，称它为R 与T 的乘积。
实际上，线性算子的乘积就是它们的复合。
容易原子能正验证，如上定义的运算有以下性质：11(),()();R T S RT RS R R T RT R T +=+⎧⎨+=+⎩分配律()();()Q RT QR T =结合律()()(),()RT R T R T αααα==∈K只要以上等式的一端有意义。
第三章 线性算子与线性泛函
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定理3的证明：由于f 是M的有界线性泛函，那么 | f (x) ||| f ||M || x ||,这里|| f ||M sup{| f (m) |;mM}.
||m||1
令p(x) || f ||M || x ||,则p是X上的次可加正齐次泛函， 由定理1，存在X上的连续线性泛函F满足:
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2 在 扩 大 的 定 义 域 上 作 f的 线 性 延 拓 令 f1λx1yfyλc,λx1yX1.
易 证 f1是 X1上 的 线 性 泛 函 ,且 f1|Mf.
3 恰当选择被控制的延拓
f在X1上的线性延拓具有形式:
令f1λx1y f yλc,λx1yX1.
选择恰当的c使得
这表明sup p yM
y -
x1
f
y
inf
yM
p
y
x1
f
y.
取满足下面的不等式的c即可
sup p
yM
y -
x1
f
y
c
inf p y
yM
x1
f
y.
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2 做出f满足以下条件的全部延拓;
f |M f
f
x
px,xX
记这些延拓的全体为Γ.那么我们有
Γg|g是Dg上的线h-Steinhaus定理)：设X 是Banach空间，
Y是赋范线性空间，算子族{T; } B(X ,Y ) 满足:
sup || T x || ,x X .那么sup || T || .
推论1：设 fn是Banach空间X 上的一列有界线性泛函,
如果 fn在X的每点x处有界, 那么 fn一致有界.
数学专业的泛函分析
数学专业的泛函分析泛函分析是数学专业中的一门重要课程，它研究的是无穷维空间中的函数和算子。
本文将从概念、理论以及应用等方面对泛函分析进行介绍。
一、泛函分析的概念与基础理论1.1 范数空间与内积空间范数空间是指一个具有范数的线性空间，范数定义了空间中向量的长度或大小。
内积空间是指一个具有内积的线性空间，内积赋予了空间中向量之间的夹角和长度。
1.2 泛函的定义与性质泛函是将向量映射到实数或复数的函数，它是对线性空间上的向量进行研究的一种方法。
泛函有线性性、有界性等基本性质。
1.3 线性算子与连续性线性算子是将一个线性空间映射到另一个线性空间的线性映射。
连续性是线性算子的重要性质，涉及到收敛性和有界性的概念。
二、泛函分析的重要理论与方法2.1 凸分析与变分法凸分析是研究凸函数、凸集以及凸优化问题的分析方法。
变分法是泛函分析的重要应用领域，涉及到极值问题的研究。
2.2 傅立叶变换与解析函数傅立叶变换是一种将函数分解成正弦和余弦函数（或复指数函数）的方法，它在泛函分析中有广泛的应用。
解析函数是具有全纯性质的函数，具有重要的解析性质。
2.3 紧算子与算子的谱紧算子是泛函分析中的一种重要算子，它在有限维空间和无穷维空间中的性质存在差异。
算子的谱是研究线性算子特征值与特征向量的集合。
三、泛函分析的应用领域3.1 偏微分方程与泛函分析泛函分析在偏微分方程的理论研究以及数值计算中有重要应用，例如变分法可以用于求解偏微分方程的边值问题。
3.2 优化与控制理论泛函分析在优化与控制理论中有广泛应用，例如凸优化问题中的约束条件可以通过泛函的理论进行研究。
3.3 统计学与概率论泛函分析在统计学和概率论中的应用主要体现在随机变量空间的研究，例如概率分布的傅立叶变换等。
四、泛函分析的发展与挑战泛函分析作为数学专业中的重要学科，其发展也面临一些挑战。
例如，非线性泛函分析和无穷维空间的研究等问题，需要进一步深入和探索。
总结：泛函分析是数学专业中的重要课程，它研究的是无穷维空间中的函数和算子。
泛函中三大定理的认识
泛函中三大定理及其应用泛函分析科学体系的建立得益于20世纪初关于巴拿赫空间的三大基本定理，即Hahn-Banach 定理，共鸣定理和开映射、逆算子及闭图像定理。
其中：一致有界定理，该定理描述一族有界算子的性质；谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学数学描述中起核心作用；罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem ）研究了如何保范地将某算子从某子空间延拓到整个空间。
另一个相关结果则是描述对偶空间非平凡性的；开映射定理和闭图像定理。
1、Hahn-Banach 延拓定理定理：设G 为线性赋范空间X 的线性子空间，f 是G 上的任一线性有界泛函，则存在X 上的线性有界泛函F ，满足：(1) 当x G ∈时，()()F x f x =； (2) XGF f=；其中XF表示F 作为X 上的线性泛函时的范数；Gf 表示G 上的线性泛函的范数．延拓定理被应用于Riesz 定理、Liouville 定理的证明及二次共轭空间等的研究中．2、逆算子定理在微积分课程中介绍过反函数的概念，并且知道“单调函数必存在反函数”，将此概念和结论推广到更一般的空间．定义1逆算子(广义上)：设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，G X ⊂，算子T ：G Y →，T 的定义域为()D T G =；值域为()R T ．用1T -表示从()()R T D T →的逆映射(蕴含T 是单射)，则称1T -为T 的逆算子(invertiable operator)．定义2正则算子：设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，若算子T ：()G X Y ⊂→满足(1)T 是可逆算子； (2) T 是满射，即()R T Y =； (3) 1T -是线性有界算子， 则称T 为正则算子(normal operator)．注： ①若T 是线性算子，1T -是线性算子吗？②若T 是线性有界算子，1T -是线性有界算子吗？性质1 若T ：()G X Y ⊂→是线性算子，则1T -是线性算子． 证明 ：12,y y Y ∈，,αβ∈K ，由T 线性性知：1111212(())T T y y T y T y αβαβ---+--1111212()TT y y TT y TT y αβαβ---=+--1212()y y y y αβαβ=+--0=由于T 可逆，即T 不是零算子，于是1111212()T y y T y T y αβαβ---+=+，故1T -是线性算子．□定理2逆算子定理：设T 是Banach 空间X 到Banach 空间Y 上的双射(既单又满)、线性有界算子，则1T -是线性有界算子．例 1 设线性赋范空间X 上有两个范数1⋅和2⋅，如果1(,)X ⋅和2(,)X ⋅均是Banach 空间，而且2⋅比1⋅强，那么范数1⋅和2⋅等价．(等价范数定理)证明：设I 是从由2(,)X ⋅到1(,)X ⋅上的恒等映射，由于范数2⋅比1⋅强，所以存在0M >，使得x X ∀∈有112Ix x M x=≤于是I 是线性有界算子，加之I 既是单射又满射，因此根据逆算子定理知1I -是线性有界算子，即存在0M'>，使得x X ∀∈有1212I x x M'x -=≤．故范数1⋅和2⋅等价。
第三章有界线性算子
第三章有界线性算子第三章有界线性算子一有界线性算子与有界线性泛函 1 定义与例设1,X X 是赋范空间，T 是X 中线性子空间)(T D 上到1X 中的映射，满足条件：对于任意)(,T D y x ∈，K ∈α,)(Ty Tx Y x T +=+Tx x T αα=)(称T 是X 中到1X 中的线性算子。
称)(T D 是T 的定义域。
特别地，称赋范空间X 上到数域K 中的线性算子为线性泛函，并且它们是到实数域或复数域分别称为实线性泛函与复线性泛函。
如果一个线性泛函f 是有界的，即)( |||||)(|M x x M x f ∈≤称为f 有界线性泛函。
此外取算子范数作为空间中的范数。
定理1.1 设1,X X 是赋范空间，T 是X 上到1X 中的线性算子，如果T 在某一点X x ∈0连续，则T 是连续的。
定理1.2 设1,X X 是赋范空间，T 是X 上到1X 中的线性算子，则T 是连续的，当且仅当，T 是有界的。
2 有界线性算子空间设1,X X 是赋范空间，用),(1X X β表示所有X 上到1X 中的有界线性算子全体。
在),(1X X β中可以自然地定义线性运算，即对于任意∈B A ,),(1X X β及K ∈α，定义Bx Ax x B A +=+))((Ax x A αα=))((不难到，两个有界线性算子相加及数乘一个有界线性算子仍有界线性算子。
此个取算子范数作为空间),(1X X β的范数，具体见)(77P 。
由此可知，),(1X X β是一个赋范线性空间，如果1X X =，把),(1X X β简记为)(X β。
在空间),(1X X β中按范数收敛等价于算子列在X 中的单位球面上一致收敛。
事实上，设∈nA A ,),(1X X β,...)2,1(=n 及}1||:||{=∈=X X x S 。
如果)(∞→→n A A n ，则对任意0>ε，存在N ，当N n >时，对于每一个S x ∈≤-||||Ax x A n1||||sup =x ||||Ax x A n -=||||A A n-ε<。
对偶空间的性质
对偶空间的性质
＂对偶空间＂是指一种在数学理论中，将实数空间与其变换的一一对应关系而存在的抽象的代数空间，也称一下的数学结构。
作为一种数学结构，对偶空间有着十分重要的作用。
对偶空间将在多维空间上将实数空间中的变换进行抽象，从而有助于实现元数据抽象思想上的各种转换，从而使得某一类抽象变换在实数空间上集中表达。
此外，对偶空间也有着重要的应用：在几何变换中，它允许用户在不同的空间中进行类似的操作，比如可以在三维空间中进行平移、旋转、几何变换等操作后，再通过对偶空间的转换，将几何变换转换成一维的空间结构上的变换，进而实现相关的一维变换。
此外，对偶空间还能够有效地解决线性代数中的一些问题，比如用对偶空间的思想可以解决矩阵求逆和矩阵分解之类的问题，而且这种修改性质再完美地结合微积分中空间变换，能够实现可靠的分离及合并，以及对近似解得以计算，从而方便地获得准确解。
总之，对偶空间作为一种数学结构，具有重要的理论与应用价值，能够有效地促进几何变换的数学方法的应用，以及有效地解决线性代数的问题。
线性泛函和对偶空间
• 例 Rn 中取一组基 {e1 , e2 , ..., en }
1) A = (aij )n´n , 定义T : Rn ® Rn如下
n
n
n
å å å x = xkek , Tx = ykek , yk = aik xk
k =1
k =1
k =1
T (a x + b y) = aTx + bTy
Þ T是一个线性算子(代数中称为线性变换)
Pr . 定义 Þ|| Tx ||£|| T || × || x ||, "x Î X
|| T ||= sup || Tx ||£ sup || Tx ||£|| T ||
|| x|| =1
|| x||£1
Þ || T ||= sup || Tx ||= sup || Tx || .
|| x||=1
• X ,Y是赋范空间, T : X ® Y 是有界线性 算子,定义 T 的范数:
|| T ||= sup || Tx || x¹0 || x ||
• 等价地,
|| T ||= sup || Tx ||= sup || Tx ||
|| x||£1
|| x|| =1
= inf{M ³ 0 : || Tx ||£ M || x ||, "x Î X }
"x, y Î D, "a , b Î K
T (a x + b y) = aT ( x) + bT ( y)
则称T是线性算子。取值在K中的线性 算子T，称为线性泛函。
• D称为T的定义域，记作 D(T )； • 集{Tx | x Î D}称为T的值域，记作 R(T ) ； • T的零空间 N (T ) = { x Î D | Tx = 0}(ker T ) 。
线性代数中的对偶空间
线性代数中的对偶空间在线性代数中，对偶空间是一种重要的概念。
它为我们理解线性空间中的向量和线性变换提供了一个强大的工具。
本文将探讨对偶空间的定义、性质以及其在线性代数中的应用。
一、对偶空间的定义对偶空间是线性代数中一个与给定线性空间相关联的概念。
给定一个线性空间V，其对偶空间V*定义为所有线性函数的集合，其中线性函数是从V到其所属域上的标量域的线性映射。
对于每个向量v∈V，我们都可以定义对应的线性函数f：V→F，使得f(v)是一个标量。
因此，V*中的元素可以被视为对V中向量的线性函数进行"评估"的函数。
对偶空间的维度通常与原始线性空间的维度相同。
假设V的维度为n，则V*的维度也为n。
这意味着V和V*之间存在一个一一对应关系。
在选择线性无关的向量组作为V的基础上，我们可以找到相应的对偶空间V*的基。
二、对偶空间的性质对偶空间具有以下性质：1. 若V是一个有限维线性空间，则对偶空间V*也是一个有限维线性空间。
2. 如果V是一个无限维线性空间，则对偶空间未必等于V。
3. 对于任何向量v∈V，我们可以定义一个对偶空间中的线性函数f：V→F，使得f(v)是一个标量。
4. 如果V是一个n维线性空间，则对偶空间V*的维度也为n。
5. 对偶空间的双重对偶（即对偶空间的对偶空间）与原始空间V是同构的。
三、对偶空间的应用对偶空间在线性代数中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：1. 线性函数的表示：对偶空间允许我们使用线性函数来表示一个线性空间中的向量。
通过在V中选择一个基，我们可以找到V*中对应的基，从而表示V中的向量。
2. 矩阵的转置：对于一个矩阵A，它的转置矩阵A^T可以通过对偶空间的概念来解释。
对于每个向量v∈V，我们可以定义v^T为v在对偶空间V*中的对应线性函数。
3. 线性函数的内积：在对偶空间中，我们可以通过内积来度量两个线性函数的相似性。
这种内积可以与原始空间中的内积相对应。
4. 零空间和列空间的对偶关系：对于一个线性变换T：V→W，它的零空间和列空间在对偶空间中有特殊的对偶关系。
线性泛函与对偶空间
线性泛函与对偶空间1. 线性空间 ● 线性空间的定义现有非空集合V 与数域P ，在非空集合V 上定义运算“加法”，在数域P 与非空集合V 之间定义运算“数乘”（这里暗含了运算的封闭性，即运算结果存在且唯一），满足下列8个规则：(1) ,V ∀∈αβ，有ββα+=+α；(2) ,,V ∀∈αβγ，有()()αβγαβγ++=++； (3) 0V ∃∈，对于V α∀∈，有0αα+=； (4) V α∀∈，都有V α∃-∈，使得()0αα+-=； 即，非空集合V 及其上定义的“加法”构成Abel 群 (5) V α∀∈，有1αα=；(6) ,k l P ∀∈及V α∈，有()()k l kl αα=； (7) ,k l P ∀∈及V α∈，有()k l k l ααα+=+； (8) k P ∀∈及,V αβ∈，有()k k k αβαβ+=+。
● 线性空间运算的基本性质(1) 零元素惟一 证：1122120=0+0=0+0=0 (2) 负元素惟一证：()()()()()()()()112122=++=++=αααααααα------ (3) 00α=，00k =，()1αα-=-证：()()001100αααααααα+=+==⇒=+-=，()(),00000V k k k αααα∀∈==⋅==，()()()()1=1111001αααααααα-+-+=-+==⇒-=-(4) 000k k αα=⇒==或者证：()10000k k k k ααα-≠=⇒=⇒=若，则2. 线性空间上的线性泛函 ● 线性泛函的定义线性空间V 到数域P 的线性映射f 称为V 上的线性泛函。
所谓“线性映射”是指满足条件,P λμ∀∈及,V αβ∈，有()()()f f f λαμβλαμβ+=+的映射f 。
● 线性泛函由其在基向量上的作用惟一决定(1) 设f 是V 上的线性泛函，取定线性空间V 的一组基向量12,,,n εεε，i i ix x V ε∀=∈∑，其中12,,,n x x x P ∈，那么()()i i i i i if x f x x f εε⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑；(2) 取定线性空间V 的一组基向量12,,,n εεε，给定数域P 中的一个n 元数组12,,,n a a a P ∈，则惟一决定了一个线性空间V 上的线性泛函f ，使得i i ix x V ε∀=∈∑，有()i i if x x a =∑。
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定义3.3.3（对偶空间）
当赋范空间 X 上定义的线性算子空间
B ( x , y ) 中的元素为有界线性泛 X * 表示。
举例：
1、Rn中由点积定义的泛函
2、Lp[a,b]空间
3.3.3 希尔伯特空间上泛函的一般形式
定理3.3.4（黎斯表现定理） 希尔伯特空间 H上任一有界线性泛函可由内积表示，即 f ( x ) = < x , z > （对任意 x ∈ H ）
h ( x , y) = < S x , y> x∈ H1 ，y∈H2
其中S： H1 → H2 为一有界线性算子，且 由 h 唯一确定，并有范数 ‖ S‖ = ‖ h‖
3.3 有界线性泛函和对偶空间 3.3.1 有界线性泛函 定义3.3.1（线性泛函） 设 X 为线性
空间，f 为 D ( f )（含于X）到数域 K 的
线性算子，则称 f 为线性泛函，D ( f ) 为 f
的定义域，而
R ( f ) = { f ( x ) ∣x ∈ D ( f ) }
为 f 的值域。简单说：值域为数域的算子 称为泛函。
实双线性泛函，简称双线性泛函。
举例
1
2
有界及范数的定义
定义3.3.7（二次泛函）在双线性泛函中，
如果令 x = y，则称为 X × X 到 R 上的泛
函，称作二次泛函。
举例：二次型，信号的能量
定理3.3.8（双线性泛函的黎斯表示）
设 H1、H2为希尔伯特空间，h： H1 × H2 → K 为有界复双线性泛函，则 h 可以 表示为
定义3.3.2（有界线性泛函）
设X是数域K上的赋范空间，f： D ( f )
→K是线性泛函，如果存在常数 C > 0，使
得对所有 x ∈ D ( f ) 有
︱f ( x )︱ ≤ C ‖x‖ 则称 f 为有界线性泛函，其范数与以前定义
的算子的范数一致。
举例：
1、点积
2、定积分
3、范数
3.3.2 对偶空间
3.3.4 双线性泛函和二次泛函
定义3.3.6（双线性泛函）设 X、Y 是同一 数域上的线性空间，如果映射 h： X × Y → K
对所有x，x1，x2 ∈ X 及所有y，y1，y2 ∈ Y，α，β ∈ K 均有 （1）h ( x1 + x2 , y ) = h ( x1 , y) + h ( x2 , y )
（2）h ( x , y1 + y2 ) = h ( x , y1) + h ( x , y2 )
（3）h ( α x , y ) = α h ( x , y)
（4）h ( x , β y ) = β h ( x , y)
则称 h 是 X × Y 上的复双线性泛函，若
K = R，X，Y都是实线性空间，h 就称为
其中 z ∈ H 依赖于 f 并由 f 唯一地确定，其 范数为 ‖ z ‖ = ‖ f‖
引理3.3.5（相等性）
若v，v1，v2 ∈ X，X为内积空间，对
所有 ω ∈ X，均有 < v1 , ω > = < v2 , ω > ,
则v1 = v2 ；若 < v , ω > = 0 , 则有v = θ。