充分条件和必要条件课堂

典型例题
例1、下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充
分条件？ q是p的必要条件？ （1）若x=1，则x2 –4x+3=0；
p? q
（2）若f（x）=x，则f（x）为增函数；
（3）若x 为无理数，则x2 为无理数
解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题， 所以命题（1）（2）中的p是q的充分条件，也可以称q是p的 必要条件。
要想获得真理和知识，惟有两件武器，那就是 清晰的直觉和严格的演绎.
——笛卡尔
问题情境
当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候， 你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈” .
你想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说： “这是我的孩子”吗？
合作探究
判断下列命题是真命题还是假命题：
（1）若 x ? a 2 ? b2 ，则 x ? 2ab ； 真
已知 p : 整数 a是6的倍数， q：整数 a是2和3的倍 那么p是q的什么条件？ q又是p的什么条件
一般地，如果既有 p ? q，又有 q ? p，就记作 p? q
此时，我们说， p是q的充分必要条件，简 充要条
如果 p ? q，那么 p与q互为充要条
练习：p：三角形的三条边相等； q：三角形的三个角相等．
例 2：下列“若 p，则 q”形式的命题中，哪些 命题中的 q是 p的必要条件？
（1）若 x ? y，则 x 2 ? y2 ; （2）若两个三角形全等， 则这两个三角形的面 相等 ; (3) 若 a ? b, 则 ac ? bc .
解 : 命题 (1)(2)是真命题 , 命题(3)是假命题 . 所以, 命题(1)(2)中的q是p的必要条 .
(2)p: x>0,y>0, q: xy>0;
(3)p: a>b,
q: a+c>b+c. p ?
q.
解：在(1)(3)中，p ? q .所以(1)(3)中的p是q
的充要条件。在(2)中，q ? p，所以(2)中p的 不是q的充要条件。
巩固提高
练习1 ．指出下列各组命题中， p是q的什么条件 .
（在“充分不必要条件”、 “必要不充分条件”、 “充要条件”、 “既不充分也不必要条件”中选
x ? a 2 ? b2 ? x ? 2ab
（2）若ab ? 0，则 a ? 0 ； 假
（3）全等三角形的面积相等； 真
两三角形全等? 两三角形面积相等
（4）对角线互相垂直的四边形是菱形； 假
（5）若方程ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)有两个不等的实数解，
则b2 ? 4ac ? 0 ． 真
?
命题（2） p是q 充分不必要条件
?
命题（3） p是q 既不充分也不必要条件
[规律方法] 判断p是q的什么条件，主要判断p? q及q? p两命题的正
确性，若p? q为真，则p是q成立的充分条件，若q? p为真，则p是q成
立的必要条件．
例3、下列各题中,那些p是q的充要条件?
(1)p: b=0,
q: 函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数;
结论：
(1)原命题与逆否命题同真假。
(2)原命题的逆命题与否命题同真假。
反证法
反证法的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立,即假 反设 设结论的反面成立；
(2)从这个假设出发，经过推理 论证，得出矛盾；
归谬
(3) 由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。
结论
1. 2充分条件与必要条件（第一课时）
1 ）“一个整数的末位数字为 0”是“这个数可被5 整除”
的 充分而不必要 条件
2) “两个整数的和为偶数”是“这两个数都是偶数”
? ? 3) “的a能必被6要整而除不”充是分“a能被条3整件除充”分而不必要
条件
充分而不必要
? ? 4) “x A∩B ”是“ x A”的必要而不充分 条件
5) “x A∪B ”是“ x A ”的
（4）如果p ?/ q,且q ?/ p, 那么称p是q的既不充分也不必要条件
例2、 下列“若p，则q”形式的命题中，p是 q (1) 若x=的y，什则么x2条=y件2。？
(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等。
(3) 若a>b ，则ac>bc 。
? 解：命题（1） p是q 充分不必要条件
方程有 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 两个不等的实数解 ? b2 ? 4ac ? 0
（6）若 x2 ? y2，则 x ? y； 假
充分条件与必要条件 ：一般地，如果已知 p ? q那
么就说， p 是q 的充分条件， q 是p 的必要条件．
例如：
x ? a 2 ? b2 ? x ? 2ab
x ? a 2 ? b2是x ? 2ab 的充分条 x ? 2ab是x ? a 2 ? b2的必要条
两三角形全等 ? 两三角形面积相等 两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件．
两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件．
⑴ p 是 q 的充分条件── 有 p就可推出 q ;
⑵ q 是 p 的必要条件── 没有 q 就推不出 p .
( 1择)）p : x - 1 = 0; q : (1x -x )( + 2) = 0充分不必要件条
（2）p:四边形的四条边相等 ;q:四边形是正方形
必要不充分件条 ( 3 ) p : a > b; q : a 2 > b2既不充分也不必要条件
（4）p:两直线平行 ; q:内错角相等充分必要条件
练习2：填空
四种命题之间的相互关系
原命题 若p 则q 互
否
若否? 命p 则题? q
互逆 互逆
逆命题 若q 则p
互
否 逆否命题Hale Waihona Puke Baidu
若? q 则? p
四、命题真假性判断
（1） 原命题为真，则其逆否命题一定为 真。但其逆命题、否命题不一定为真。 （2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为 真。但其原命题、逆否命题不一定为真。
条
件x ? N x? Z 充分而不必要
6)“
”是“
”的
条件
10
建构数学
充分条件和必要条件的定义 :
一般地,如果p ? q ,那么称 p是q 的充分条件，
如果q ? p ,那么称q是 p的充分条件，
由此可得：
（1）如果p ?
q,且q ?
p, 那么称p是q的
充分必要条件 (充要条件）
（2）如果p ? q, 且q ?/ p, 那么称p是q的充分不必要条件
（3）如果p ?/ q, 且q ? p, 那么称p是q的必要不充分条件