粘性流体绕球体的流动
粘性流体力学知识点汇总
粘性流体力学知识点汇总粘性流体力学涉及到了流体的黏度、黏滞力和黏滞性等概念。
在本文中，我们将逐步思考和总结一些重要的粘性流体力学知识点。
1.流体的黏度黏度是流体抵抗剪切变形的能力，也可以理解为流体内部分子间相互作用力的一种体现。
黏度的大小决定了流体的流动性质。
一般来说，黏度越大的流体，其运动越困难，黏滞力越高。
2.层流和湍流在流体运动中，当流体的运动是有序的、分层的，流动速度沿着一个方向变化较小时，称为层流。
相反，当流体的运动是混乱的、无序的，流动速度沿着各个方向都有明显的变化时，称为湍流。
湍流比层流的黏滞力大，能量损失也较大。
3.流体的黏滞力黏滞力是流体内部分子之间的摩擦力，它使得流体在流动过程中出现阻力。
黏滞力与流体黏度有关，黏度越大，黏滞力也就越大。
黏滞力对于流体的流动速度和形状变化起着重要的作用。
4.斯托克斯定律斯托克斯定律描述了小球在粘性流体中的运动规律。
根据斯托克斯定律，当小球在粘性流体中运动时，流体对小球的阻力与小球的半径、流体的黏度和小球的速度成正比。
这个定律对于研究微小颗粒在流体中的运动十分重要。
5.纳维-斯托克斯方程纳维-斯托克斯方程是描述流体运动的基本方程之一。
它通过描述流体的连续性、动量守恒和能量守恒来描述流体的运动规律。
纳维-斯托克斯方程是非线性的偏微分方程，求解非常困难，因此通常需要借助数值方法进行求解。
6.流体流动的雷诺数雷诺数是描述流体流动状态的一个重要无量纲参数。
它由流体的惯性力与粘性力的比值得出，可以判断流体流动的稳定性。
当雷诺数较小时，流体流动呈现层流状态；当雷诺数较大时，流体流动呈现湍流状态。
7.流体黏度的测量方法测量流体黏度的常用方法包括粘度计法、旋转式粘度计法和圆柱旋转法等。
这些方法通过测量流体在不同条件下的流动性质，从而得到流体的黏度。
总结：粘性流体力学是研究流体的黏滞性和流动性质的一个重要分支。
本文逐步思考了一些粘性流体力学的知识点，包括流体的黏度、黏滞力和黏滞性等概念，层流和湍流的区别，斯托克斯定律和纳维-斯托克斯方程等基本原理。
小球在粘性液体中的运动
问题建模
考虑力学方程，规定向下为正方向有：
m dv mg 4r3 6rv
dt
3
定义初速通过积分求出速度和时间的关系：
v
1
18 r
[3mg
4 r 3 g
(4 r 3 g
18 rv0
3mg
6 rt
)e m
]
问题建模
对于以上公式可以在对于v积分得到位移随时 间的变化：
x
3mg 4r3g 18 r
1.动画设计的优化，因为仍然有些bug。 2.页面的优化。 3.之后会考虑小球的密度小于液体的情况。 4.考虑不同形状的物体的情况。
小球在粘性液体中的运动
邓石林
问题提出
原理： 小球在粘性液体中运动受到的阻力满足
斯托克斯公式为： f 6rv
同时，受到重力和浮力的作用
问题建模
近似和限制条件： 1.忽略了小球在进入液体时的作用。 2.没有考虑到雷诺系数过大，导致斯托
克斯公式不适用的情况。 3.由于计算较为复杂，只考虑了球的质
量大于液体质量的情况。
t
m
3mg
4r3g 18rv0 6 r
e
6 rt m
1
程序设计
页面，定义变量， 用js编写输入v和h随t的 变化关系，利用时间迭 0.56m 半径：7.70mm 质量：1.03g 液体密度：1000kg/m3 黏度系数：0.001N*m/s2
之后规划
5 粘性流体运动的基本性质
t0，r 时： Ω = 0
求解热传导方程的方法很多，现采用相似变换法进行求 解。相似变换法：引进由变量组合成的相似变量，将偏微分 方程化成常微分方程进行求解。这种方法能使变量数目减少 一个或更多，它在流体力学和传热学中应用较多。
5.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性
引进无量纲涡量函数F(η)，令 Γ0 Ω F t 式中η(r,t)是无量纲自变量：
5.1 粘性流体运动的有旋性
粘性流体运动必然有旋的情形分析： (2) 若 N-S 方程中的粘性项 ν2u0 ，则粘性流 体运动必然有旋。
用反证法证明：假设不可压缩粘性流体流动 是无旋的，则有u=φ，于是
2 u 2 2 0
由此可见，若流动无旋，则粘性项 ν2u 必为 零。因此，若粘性项 ν2u0 ，则粘性流体运动必 有旋。
5.1 粘性流体运动的有旋性
由上述的分析可以说明，只有在粘性项 ν2u=0，且流动边界是运动的这种极个别的 情况下，粘性流体运动才可能是无旋的。 例如：①不可压缩粘性流体绕旋转圆柱 体的定常流动；②不可压缩粘性流体在两个 共轴旋转的圆柱面之间作定常流动，且两旋 转圆柱面的角速度刚好调整到使其间的流速 分布为uθ1/r的情况。
F 4F C1
如果需要在η=0处， F(η)及F (η)均为有限值，则积分常 数C1应取为零。于是有 F 4F 0 积分上式得：
F C2 e
C Ω e t 式中 C Γ 0C2 。
4
C2 e
r2 4t
5.1 粘性流体运动的有旋性
虽然流体是否具有粘性与流体运动是否有旋是从不同 的角度提出来的，但是这两者之间有一定的联系。一般说 来，粘性流体运动总是有旋的。因此，处理势流的一整套 方法不再适用于粘性流体。下面用反证法证明这一性质。 对于不可压缩粘性流体的基本方程组是 u 0 Du 1 f p 2 u Dt 当边界为静止的固体壁面时，上述方程组的边界条件为 u n 0 ， ut 0
斯托克斯定理(流体)：球体在黏性流体中运动的阻力公式
斯托克斯定理（流体）：球体在黏性流体中运动的阻力公式一、引言斯托克斯定理是物理学中关于流体力学的重要定理之一。
它描述了一个球体在黏性流体中运动时所受到的阻力的公式。
本文将介绍斯托克斯定理的基本原理和推导过程，并探讨其在实际应用中的意义和局限性。
二、斯托克斯定理的基本原理斯托克斯定理是19世纪早期英国物理学家乔治·斯托克斯提出的。
它基于流体力学的基本方程，通过对流体的流动进行数学建模，进而推导出了球体在黏性流体中运动时所受到的阻力公式。
在黏性流体中，流体的流动可以用流体速度场来描述。
设流体速度场为V(r)，其中r为流体中的一个点。
根据流体力学的基本方程，可以得到流体中的速度场满足的方程为：∇·V = 0其中∇为梯度算子。
对于一个运动中的物体，其速度场可由以下公式给出：V(r) = V0 + ω×r其中V0为物体的整体运动速度，ω为物体的角速度，r为物体上的一个点。
接下来，我们考虑一个球体在黏性流体中的运动。
假设球体的半径为R，球心处的速度为V0，球体的角速度为ω。
我们可以将球体分解为无限多个微小的体积元素，每个体积元素的体积为dV。
根据斯托克斯定理，球体所受到的阻力可以通过对每个体积元素的贡献进行累加来得到。
由于流体的黏性，流体中的每个体积元素都会对周围的流体产生粘接力。
粘接力的大小与体积元素的速度梯度成正比。
根据流体力学的基本方程和牛顿第二定律，可以推导出球体所受到的阻力为：F = 6πηRV0其中F为球体所受到的阻力，η为流体的黏性系数，R为球体的半径，V0为球体的速度。
三、斯托克斯定理的应用斯托克斯定理在流体力学的研究中具有广泛的应用。
它可以用于解释流体中物体的运动特性，从而帮助科学家和工程师进行流体力学相关问题的分析和设计。
例如，在船舶设计中，斯托克斯定理可以用来计算船体在水流中的阻力，从而帮助设计师优化船体的形状和尺寸，提高船体的运动性能。
同样，在飞机设计中，斯托克斯定理可以应用于计算飞机在空气中的阻力，从而优化飞机的气动外形，提升飞机的飞行效率。
斯托克斯定理：球体在黏性流体中运动的阻力公式
斯托克斯定理：球体在黏性流体中运动的阻力公式第一章：引言斯托克斯定理是流体力学中的一个重要定理，描述了球体在黏性流体中运动时所受到的阻力。
该定理由爱尔兰物理学家乔治·斯托克斯于19世纪中期提出，为黏性流体力学奠定了基础。
本文将介绍斯托克斯定理的原理和推导过程，并探讨其在实际应用中的意义和局限性。
第二章：黏性流体力学基础知识在介绍斯托克斯定理之前，我们需要了解一些黏性流体力学的基础知识。
黏性流体是一种具有内部摩擦力的流体，其粘度决定了其流动阻力的大小。
黏性流体的流动可以通过纳维-斯托克斯方程进行描述，该方程是黏性流体力学的基本方程之一。
第三章：斯托克斯定理的原理斯托克斯定理描述了球体在黏性流体中运动时所受到的阻力。
根据斯托克斯定理，当球体的流体速度足够小且流体黏度较高时，球体所受到的阻力与其速度成正比，与球体的质量和流体粘度有关。
第四章：斯托克斯定理的推导过程为了推导斯托克斯定理，我们可以利用黏性流体的基本方程和牛顿第二定律。
根据牛顿第二定律，球体所受到的合外力等于质量乘以加速度。
在黏性流体中，球体所受到的合外力包括重力和阻力，其中阻力与球体的速度和流体黏度有关。
第五章：斯托克斯定理的应用斯托克斯定理在实际应用中具有广泛的意义。
例如，在微观领域中，斯托克斯定理可以用来研究微小颗粒在微观流体中的运动。
在医学领域中，斯托克斯定理可以用来研究血液在血管中的流动。
此外，斯托克斯定理还可以应用于工程领域，例如在飞行器设计中研究空气对飞机的阻力。
第六章：斯托克斯定理的局限性虽然斯托克斯定理在描述球体在黏性流体中运动时的阻力方面发挥了重要作用，但也存在一些局限性。
首先，斯托克斯定理只适用于流体速度较小的情况，当流体速度较大时，需要考虑流体的非线性特性。
此外，斯托克斯定理假设流体是黏性的，不适用于非黏性流体。
第七章：总结本文介绍了斯托克斯定理的原理和推导过程，并探讨了其在实际应用中的意义和局限性。
斯托克斯定理是黏性流体力学中的重要定理，可以帮助我们理解球体在黏性流体中运动时所受到的阻力，并应用到实际问题中。
第六章 粘性流体绕物体流动
第六章
粘性流体绕物体流动
22
逆压梯度区——CE流动会发生分离
过C点之后，流线逐渐疏散，边界层内流体处于 减速增压的情况，动能转化成压能，同时也用以克服 流动阻力而消耗的能量。在S点处边界层内流体质点速 度下降为0。流体质点在S点停滞下来，继续流来的流 体质点将脱离原来的流线，沿另一流线SS’流去，从 而使边界层脱离了曲面，这样就形成了边界层的分离 现象，S点为分离点。SE段流体倒流，形成旋涡。
第六章
粘性流体绕物体流动
5
§6-1 边界层概念
一、边界层的定义
在实际流体绕流固体时，固体边界上的流速为0 （固体静止），在固体边界的外法线方向上的流体速 度从0迅速增大，在边界附近的流区存在相当大的速 度梯度，在这个流区内粘性作用不能忽略，边界附近 的流区称为边界层（或附面层），边界层外流区，粘 性作用可以忽略，当作理想流体来处理。（举例：平 板） 边界层定义：绕流物体表面上一层厚度很小且 其中的流动具有很大法向速度梯度的流动区域。
第六章
vx y y2 假设平板层流边界层内速度分布为： 2 2 U
粘性流体绕物体流动
15
可见，速度分布满足条件： y 0,vx 0; y ,vx U
动量损失厚度：
0
ux vx y y2 y y2 2 (1 )dy (2 2 )(1 2 2 )dy 0 U U 15
所以，
2 x 0.732 15 U
0 2
U
0.365U
1 2
U x
可见，0 随ｘ增加而减小， 0 x 。因ｘ增加时 增加， 使壁面速度梯度减小，所以 0 减小。
第8章 粘性流体绕物体的流动-复习
上式也称为广义牛顿定律。由上式可知切
应力与流体质点的角变形率大小成正比，而流
体的法向应力和流体的相当体积膨胀率 ，以及相应方向上的线变形率有关，因此在运
动的粘性流体中，和静止的状态不同，法向应
力在不同方向上大小可能不相等。
三、纳维－斯托克斯方程（简称N－S方程）
• 将式（8－10）代入式（8－9）可得： （ 8－11）
（8－9）
方程左端为单位质量流体的惯性力；右端第一项 为作用于单位质量流体上的质量力；第二项为作 用于单位质量流体上的表面力。
该方程是牛顿第二定律的一个严格的描述，在推 导过程中适用于各种流体。但是，方程中质量力 为已知，而表面应力各分量未知。？
二、本构方程
本构方程指确立应力和应变率之间关系的方程式。 例如弹性力学中的胡克定律。对于大多数流体应 力与应变变化率成正比，也就是说，应力与应变 变化率之间存在着线性关系，服从这种关系的流 体称为牛顿流体。 斯托克斯通过引入假设条件将牛顿内摩擦定律推
流体经过机翼翼型（或叶片叶型）的流动如图8-18所示， v p 以 和 表示无穷远处流体流动所具有的速度和压强。 流体绕过翼型前驻点后，沿上表面的流速先增加，直增 加到曲面上某一点M，然后降低。由伯努利方程可知， 相应的压强先降低（dp/dx<0），而后再升高(dp/dx>0)。 M点处边界层外边界上的速度最大，而压强最低。沿曲 面各点法向的速度剖面和压强变化曲线的示意如图8-19 所示。图中实线表示流线，虚线表示边界层的外边界。
●边界层的构成：
1.层流边界层，当 流边界层。
较小时，边界层内全为层流，称为层 Re
2.混合边界层：除前部起始部分有一小片层流区，其余大 部分为紊流区，称为混合边界层。
第3章：粘性流体运动
p x dp dx L
1 h h 2 p v x vx dy h 0 12 L
Wh 3 p 流量 Q 12 L
(a)情形的流量是(b)情形和(c)情形的流量之和
圆管内的一维稳态流动分析。
不可压缩流体在水平 圆管内作一 维稳态层流流动。试写出该条件下的连 续性方程和运动微分方程。并证明管道 截面上任一点的总势能和轴向压力梯度 为常数。
re10510re1010re102580455lgre紊流边界层内沿平板壁面发向截面上的速度比层流边界层的速度增加得快在其它条件相同的情况下平板壁面上的切向应力沿着壁面的减小在紊流边界层中要比层流边界层减小得在同一下紊流边界层得摩擦阻力系数比层流边界层的大得多实际情况下边界层是层流和紊流同时存在的混合边界层re37re0462re036re0289re036re84re752re686re343re686re372re074边界层的基本特性速度分布规边界层厚度位移厚度动量损失厚切向应力总摩擦力摩擦阻力系以如图所示的圆柱绕流为例在势流流动中流体质点从d到e是加速的为顺压强梯度
Dv y
2 y 2 y 2 y 1 p fy 2 2 2 Dt y x y z
2 z 2 z 2 z Dvz 1 p fz 2 2 2 Dt z x y z
一 速度势函数
V 0 ，由矢量分析知，任一标 对于无旋流场，处处满足：
量函数梯度的旋度恒为零，所以速度 数 的梯度，即: V
连续方程和N－S方程是粘性流体流动应遵循的质量守恒和 动量守恒的数学表达式。
N-S方程应用概述
封闭条件：理论上方程是封闭的，但若要考虑到物性参数 的变化，应将物性变化的关系作为补充方程。
液体中的黏性与流体的流动特性
液体中的黏性与流体的流动特性液体是一种特殊的物质状态，它具有一定的黏性和流动性。
黏性是液体内部粒子之间相互阻碍运动的力量，而流体的流动特性则涉及了黏性与其它因素的综合影响。
本文将探讨液体中的黏性与流体的流动特性，以及对生活和工业应用的影响。
首先，我们需要了解黏性对液体流动的影响。
黏性是液体内部粒子之间相互摩擦和相互吸引的效应，这使得液体显示出一定的黏性。
黏性的大小与液体的分子间相互作用有关，分子间作用力越强，液体的黏性越大。
在液体流动中，黏性是一种阻碍粒子运动的力量，即使在外部施加了压力，黏性也会阻碍液体的流动速度。
因此，黏性越大的液体在相同的施加压力下，流动速度将会越慢。
据此，可以得出结论：黏性越大的液体，流动性越差。
这对液体的使用和应用产生了很多重要影响。
例如，在工业生产中，液体的黏性会影响液体的输送和流动过程，如果液体太黏稠，会增加能源消耗，降低生产效率。
另外，对于液体的贮存和使用也会受到影响，黏性大的液体可能会沉积在管道中，导致堵塞和漏损问题。
然而，液体流动特性不仅受黏性的影响，还受到其他因素的综合作用。
其中，温度是一个重要因素。
液体的黏性随温度变化而改变，随着温度的升高，液体的黏性会降低，流动性会增强。
这是因为温度升高会增加液体内部粒子的平均动能，减小粒子间的相互作用力，从而降低黏性。
这也是为什么在冬季用于汽车机械传动的机油黏度会增加，而在夏季会减小的原因。
此外，液体的流动性还与液体的浓度、压强和外界作用力等因素有关。
浓度的变化会改变液体内部的分子间距离和作用力，从而影响流动。
压强越大，液体分子间产生的相互作用力越小，流动性越强。
外界作用力的改变，如振动、旋转或液体受到外力推动等，也会改变液体的流动特性。
总的来说，液体中的黏性和流体的流动特性是相互关联的。
黏性越大，流动性越差，而温度、浓度、压强和外界作用力等因素会影响流动性。
在实际应用中，我们需要根据液体的特性和实际需求来选择合适的液体，优化流动条件，以最大限度地发挥液体的应用价值。
《流体力学》第六章_粘性流体绕物体的流动
第四节 平面层流边界层的微分方程
❖ 在这一节里，将利用边界层流动的特点如流体的粘度大小、 速度与温度梯度大和边界层的厚度与物体的特征长度相比为 一小量等对N-S方程进行简化从而导出层流边界层微分方程。 在简化过程中，假定流动为二维不可压定常流，不考虑质量 力，则流动的控制方程N-S方程为：
vx
vx x
◆空间流动三维问题，N—S方程及其求解 ◆扰流阻力及其计算 ◆附面层的问题
第一节 不可压缩粘性流体的运动微分方程
以流体微元为分析对象，流体的运动方程可写为 如下的矢量形式：
DV F P
Dt
(8-1)
这里 ：
DV V V V
Dt t
(8-2)
是流体微团的加速度，微分符号：
D Dt
t
V
p 2
vr r
p
3
2 r0
cos
( ) r, rr0
(1 vr r
v0 r
v ) v
r
r
3
sin
2 r0
（8-25）
对上述两式积分，可分别得到作用在球面上的压强和切应力 的合力。将这两个合力在流动方向的分量相加，可得到流体 作用在圆球上的阻力为：
FD 6 r0 3 d
2vy z 2
)
p z
(2vz
x 2
2vz y 2
2vz z 2
)
（8－18）
一、蠕动流动的微分方程
●如果流动是不可压缩流体，则连续性方程为：
vx v y vz 0 x y z
（8－19）
将式（8－18）依次求
2 x
p
2
、
2 y
p
2
、 2
工程流体力学粘性流体绕物体的流动
0.664Rex1 2
第7章 粘性流体绕物体的流动
平均曳力系数
略
流体流过长度为L、宽度为b的平板壁面的总曳力
L
Fd b 0 τ sxdx
0.332μbu0
u0 L dx 0.664b ν0 x
μρLu03
CD
2Fd ρu02 A
2 0.664b μρLu03 ρu02bL
1.328ReL1 2
3 δ dδ
4 x
第7章 粘性流体绕物体的流动
3-4截面（压力）：
( pδ ( pδ) dx)(1) x
pδ ( pδ) dx x
2-3截面（压力） 因该截面与理想流体接
壤，故无剪应力，仅存在 着流体的压力
y
u0
2
δ
1
0
dx
p δ dx(1) p δ dx
x
x
3 δ dδ
4 x
第7章 粘性流体绕物体的流动
δ 0
ρuxdy(1)
dx
0
dx
δ dδ
4 x
δ
J3
u0m3
x
0
u0 ρuxdy(1) dx
第7章 粘性流体绕物体的流动
整个微元控制体内的净 y
u0 3
动量变化速率为流出与流
2
入之差，即
δ dδ δ
d (mux dθ
)
J2
J1
J3
0
x
δ 0
ρu
x2dy
(1)
dx
x
δ 0
ν
y xy x y2 y3
(1) y 0, ψ 0 y
(2) y 0, ψ 0 x
ψ (3) y , y u0
演示文稿粘性流体的流动及规律
（优选）粘性流体的 流动及规律
一、层流、湍流
（laminar flow 、turbulent flow)
❖ 层流
甘油缓慢流动
层流示意图
流动的液体，实际 分成许多平行与管 壁的薄圆桶状薄层 ，各层之间有相对 运动。
管内的甘油的流动是分层的，这种流动称为 层流（laminar flow）
1.速度梯度(velocity gradient)
黏性流体作层流时，速度的逐层变化可以用速度梯度 来定量表示。
速率差为相v距，则x的ΔΔ两xv流表层示的 这两层之间的速率变化率。
速率梯度：
dv 称为沿
lim dv
v
dx x0 x
黏性流体的流动
x 方向（与流速方向垂直）的速率梯度。
dx
2.内摩擦力
小球在黏性流体 中自由下沉
当小球的下降速度 达到一定值时,重力、 浮力和黏性摩擦阻 力三力平衡
小球匀 速下降
小球这时的速度称为
终极速度(terminal velocity)
或沉降速度(sedimentation velocity) 或收尾速度（terminal velocity）
用vT表示
实验证明
内摩擦力的大小：F S dv
dx
牛顿黏滞定律
内摩擦力的方向：与流体层平行，是切向力
S：两流体层间的接触面积
η：黏度（viscosity）或黏性系数，是反映
流体黏性的宏观物理量。取决于流体的性质，
并与温度有关。
4.黏度（ viscosity）（黏滞系数） ⑴单位：N ·s ·m-2或Pa·s（帕·秒）；
流体层流时，流动稳定，相邻各层 以不同的速度作相对运动，彼此不相混 合。
流体力学第九章 粘性流体绕过物体的流动
第四节 层流边界层微分方程
层流边界层微分方程组 普朗特边界层微分方程
第五节 边界层的动量积分方程
边界层内的流体是黏性流体的运动，理论上可以用N-S方程 来研究其运动规律。但由此得到的边界层微分方程中，非 线性项仍存在，因此即使对于外形很简单的绕流物体求解 也是很复杂的，目前只能对平板、楔形体绕流层流边界层 进行理论计算求得其解析解。但工程上遇到的很多问题， 如任意翼型的绕流问题和紊流边界层，一般来说求解比较 困难，为此人们常采用近似解法，其中应用的较为广泛的 是边界层动量积分方程解法。它是定常流动积分形式的动 量方程在边界层流动中的应用。
边界层定义：速度梯度很大的薄层。粘性在该薄层内起作用。
v y v
v 0.99
边界层流δ
v
y
外部势流 v
(x)
o L
x
Re>>1
s
尾涡区
u
图1平壁面绕流的边界层
图2 大Re数绕流流场划分
全流场分成二个流动区域（Plandtl BL Model） ：
外流区（y>）： 可略去粘性的作用，无粘流。 边界层（y<）：沿壁面法向的速度梯度大，考虑粘性。
( CD D
1 2
V2 A
1.2
半管 半管
4 ×104
1.2
4 ×104
2.3
方柱 平板
3.5×104
2.0
104×106
1.98
椭柱
2:1
1×105
0.46
椭柱
三元物型
球 半球 半球 方块
8:1
2 ×105
0.20
( Re Vd n
CD D
1 2
V2 A
十一章粘性流体绕物流动
1 ~ 0 2 才成立。 则只有 Re 2 1 2 ~0 即 Re l
1
1 2 0
反比于
Re ，故随 Re , 。
上述方程是普朗特于1904年推出，称普朗 特边界层方程，又称二维恒定层流边界层。 方程中 p y 0，说明 p与 y无关，则
p dp x dx
Re c 5 10 3 10
5
6
对平板绕流 有层和紊的边界层称混合边界层。 边界层特点 （1） 与绕流长度相比，δ为小量，从前驻 点开始随x↑而增厚，随Re ↑而↓。 （2）在边界层内，沿法线方向，速度梯度很 大。外部为势流区。
（3）普朗特理论：边界层内惯性力与粘性力 量级相等。
vx 2 vx vx ~ 2 x y
U 2
l
U ~ 2
2
~ l 2 Ul
1 ~ l Re
（4）边界层内流态 实验测量表明边界层内 层流态向湍流态转捩的 雷诺数为 Rexcr 3.2 105
（5）沿曲面壁绕流时，边界层易分离并产生 尾涡。
第二节
边界层微分方程
先看数量级，然后将N—S方程化简得到 假定不可压缩流体恒定二维流动，μ不变， 略去质量力，则:
1 0 1
2
1 2 0
11 0
1 0
2 v y 2 v y p 1 v y v y vx + + + vy 2 2 y Re x x y y
1 0
0 0
l
2
1 0
1 0 01
用 V 除连续方程各项
v x v y + 0 x y
)
阴影面积 A V vx dy 取一
5 粘性流体运动的基本性质
2
2
5.2.1 不可压缩粘性流体流动的涡量方程
N-S方程变成
u tu Ω f 1 p 2u u 2 2
对上式两端进行旋度运算，可得
u t u Ω f 1 p 2 u u 2 2
5.2.1 不可压缩粘性流体流动的涡量方程
设在t=0时刻外加能量突然中断，现分析t >0时该微小直 涡管旋涡强度的扩散(衰减)情况以及旋涡的扩散规律。
5.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性
在圆柱坐标系中，初始时刻t=0且r >0处，有
Ωr = 0， Ωθ = 0， Ωz = Ω，
(ur)t=0 =0，(uz)t=0 =0，
u
t0
u t0
高等流体力学
5 粘性流体运动 的基本性质
5 粘性流体运动的基本性质
粘性流体的运动特征与理想流体运动存 在着巨大的差别。
从数学角度看，N-S方程与Euler方程的 阶数不同，前者为二阶非线性偏微分方程， 后者为一阶非线性偏微分方程，这个差别导 致所要求的定解条件的个数以及解法不同。
5 粘性流体运动的基本性质
2r 动。
5.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性
在理想流体中，由于没有粘性，该微小直涡管的强度守 恒，且不会向周围流体扩散，不需要外加能量来维持流体质 点的定常圆周运动。
在粘性流体中，由于存在粘性，旋涡强度将会衰减并扩 散，要维持流体质点的定常圆周运动，就需要有外加的能量 供给微小直涡管，使其保持涡管强度Γ0。
求解热传导方程的方法很多，现采用相似变换法进行求 解。相似变换法：引进由变量组合成的相似变量，将偏微分 方程化成常微分方程进行求解。这种方法能使变量数目减少 一个或更多，它在流体力学和传热学中应用较多。
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粘性流体绕球体的流动
（一）绕流阻力
绕流阻力由摩擦阻力和压差阻力两部分组成。
黏性流体绕流物体流动，由于流体的黏性在物体表面上产生切向应力而形成摩擦阻力，可见，摩擦阻力是作用在物体表面的切向应力在来流方向分力的总和，是黏性直接作用的结果；而压差阻力是黏性流体绕流物体时由于边界层分离，物体前后形成压强差而产生的。
压差阻力大小与物体行状有根大关系，也称形状阻力。
摩擦阻力和压差阻力之和统称为物体阻力。
对于流体纵向流过平板时一般只有摩擦阻力，绕流流线型物体时压差阻力很小，主要由摩擦阻力来决定。
而绕流圆柱体和球体等钝头体时，绕流阻力与摩擦阻力和压差阻力都有关，高雷诺数时，压差阻力却要比摩擦阻力大得多。
由于从理论上求解一个任意行状物体的阻力是十分困难的，目前都是自实验测得，工程上习惯借助无因次阻力系数来确定总阻力的大小，目摩擦阻力的计算公式相似，只是用阻力系数取代C D摩擦阻力系数C f，即
式中：C D为无因次阻力系数；0.5ρν2A为单位体积来流的动能，Pa；A为物体垂直于运动方向或来流方向的投影面积，m2。
工程上遇到黏性流体绕球体的流动情况也很多，像燃料炉炉膛空气流中的煤粉颗粒、油滴、烟道烟气中的灰尘以及锅炉汽包内蒸汽空间中蒸汽夹带的水滴等，都可以近似地看作小圆球。
因此我们要经常研究固体微粒和液体细滴在流体中的运动情况。
比如，在气力输中要研究固体微粒在何种条件下才能被气流带走；在除尘器中要解决在何种条件下尘粒才能沉降；在煤粉燃烧技术中要研究煤粉颗粒的运动状况等问题。
当煤粉和灰尘等微小颗粒在空气、烟气或水等流体中运动时，由于这些微粒的尺寸以及流体与微粒间的相对运动速度都很小，所以在这些运动中雷诺数都很小，即它们的惯性力与黏性力相比要小得多，可以忽略不计。
又由于微粒表面的附面层板薄，于是质量力的影响也很小，也可略去（这种情况下的绕流运动常称为蠕流）。
这样，在稳定流动中，可把纳维托克斯方程简化为
不可压缩流体的连续性方程
1851年斯托克斯首先解决了黏性流体绕圆球作雷诺数很小(Re<1)的稳定流动时，圆球所受的阻力问题。
在这种情况下，除略去惯性力和质量力外，还假定绕流时在球面上不发生附面层的分离如图：
将连续性方程式转化为球坐标形式，并结合边界条件进行理论求解，可得解析结果为速度分布：
实验表明，绕流阻力系数的大小，主要取决于雷诺数Re的大小和物体的形状，也与物体在流场中的方位密切相关。
目此，在不可压缩流体中，对于与来流方向具有相同方位的几何相似体，其阻力系数C D只是Re的函数。
如下图（6-8）为绕流圆球、圆盘的阻力系数的与雷诺数的关系曲线。
（二）圆球临界Re数的测定
(三)球体绕流在生活及工业中的应用
现以绕流圆球为例分析阻力系数随雷诺数的变化。
当Re≤1时，流体平顺绕过球体，边界层没有分离，C D与Re成反比，在图上为一段直线，这时只有摩擦阻力。
雷诺数Re>l 时，层流边界层发生分离，并且边界层分离点随Re增大而前移，摩擦阻力在物体阻力中的比例逐渐减小，关系曲线下降的坡度变缓，当Re≈103～2.5×105，摩擦阻力所占比例已经很小，全部物件阻力都是压差阻力造成，C D稳定为0.4～0.5，几乎不随Re变化。
这时，继续增大Re≈3×l05时，上游的层流边界层变为紊流边界层，紊流的相互掺混作用使边界层紧挨壁面的流体微团速度增太，从而分离点后移，压差阻力显著降低，C D骤然跌落减小至0.2左右，同理，绕流无限长圆柱体阻力系数的变化趋势与圆球基本相似，在Re≈2×105～105时，C D从1.2下降至0 .3左右。
而对于绕流圆盘，从图（6-8）可知，阻力系数C D在Re>103后为一常数，不存在骤然的跌落，是由于其边界层分离点固定在圆盘边缘，没有前移的缘故。
综上所述，可采用以下措施来减小绕流物体的阻力：
(1) 改进绕流物体外形使物体升压降速区的压强梯度减小，从而避免边界层分离或使分离点向后移，大大减小压差阻力。
例如汽轮机叶片叶形和机翼翼型设计成流线型。
汽车也可通过尾部形状改进从最初箱型车阻力系数0.8降至现在的0.137，阻力减小为原来的1/5。
(2) 对于流线型物体，因为没有边界层分离，此时压差阻力很小，阻力主要是摩擦阻力。
层流边界层的摩擦阻力要比紊流边界层的摩擦阻力小得多，为进一步减小摩阻，应该使层流边界层尽可能长，例如采用层流型体，并使绕流表面光滑度很高。
(3) 对于非流线型物体应使其边界层为紊流边界层，虽然这增加了摩擦阻力，但由干紊流边界层紧接壁面的流体微团速度增大，因而能够大大推迟边界层的分离，大大减小了压差阻力。
摩阻略增，压阻大减，最终使总的物体阻力有所降低。
例如高尔夫球表面有很多窝坑，在同样大小和重量下，飞行距离为光滑球的5倍。
（4）对附面层进行人工控制。
这样可防止和推迟附面层的分离，从而减小压差阻力。
具体方法有吹喷和抽吸等，以增加附面层内流体的动能，使附面层不分离或减缓附面层分离。