圆形磁场中的几个典型问题的相关规律练习

圆形磁场中的几个典型问题的相关规律练习

一、当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，即“磁聚焦”存在两条特殊规律

规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入

射点的切线方向平行，如甲图所示。

规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒

子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所

有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点

的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。

【典型题目练习】

1．如图所示，在半径为R 的圆形区域内充满磁感应强度为B 的匀强磁

场，MN 是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P 垂直磁场射入大

量的带正电，电荷量为q ，质量为m ，速度为v 的粒子，不考虑粒子间

的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（ ）

A ．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN 上

B ．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心

C ．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长

D ．只要速度满足qBR v m

，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN 上 2．如图所示，长方形abed 的长ad =0.6m ，宽ab =0.3m ，O 、e 分别是ad 、bc 的中点，以e 为圆心eb 为半径的四分之一圆弧和以O 为圆心Od 为半径的四分之一

圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)

磁感应强度B=0.25T 。一群不计重力、质量m=3×

10-7kg 、电荷量q=+2×10-3C 的带正电粒子以速度v =5×102m/s 沿垂直ad 方向且垂

直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（ ）

A ．从Od 边射入的粒子，出射点全部分布在Oa 边

B ．从aO 边射入的粒子，出射点全部分布在ab 边

C ．从Od 边射入的粒子，出射点分布在ab 边

D ．从ad 边射人的粒子，出射点全部通过b 点

3．如图所示，在坐标系xOy 内有一半径为a 的圆形区域，圆心坐标为O 1（a ，0），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y =a 的上方和直线x =2a 的左侧区域内，有一沿x 轴负方向的匀强电场，场强大小为E ，一质量为m 、电荷量为+q （q >0）的粒子以速度v 从O 点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x 轴方向时，粒子恰好从O 1点正上方的A 点射出磁场，不计粒子重力，求：

（1）磁感应强度B 的大小；

（2）粒子离开第一象限时速度方向与y 轴正方向的夹角；

（3）若将电场方向变为沿y 轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v 从O 点垂直于磁

场方向、并与x轴正方向夹角θ=300射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间t。

4．如图所示的直角坐标系中，从直线x=−2l0到y轴区域存在两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向。

，−l0）点到C（−2l0，0）

在电场左边界从A（−2l

点区域内，连续分布着电量为+q、质量为m的

粒子。从某时刻起，A点到C点间的粒子依次连

续以相同速度v0沿x轴正方向射入电场。从A

点射入的粒子恰好从y轴上的A （0，−l0）点沿

沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图所示。不计

粒子的重力及它们间的相互作用。

（1）求从AC间入射的粒子穿越电场区域的时间t和匀强电场的电场强度E的大小。（2）求在A、C间还有哪些坐标位置的粒子通过电场后也能沿x轴正方向运动？

（3）为便于收集沿x轴正方向射出电场的所有粒子，若以直线x=2l0上的某点为圆心的圆形磁场区域内，设计分布垂直于xOy平面向里的匀强磁场，使得沿x轴正方向射出电场的粒子经磁场偏转后，都能通过x=2l0与圆形磁场边界的一个交点。则磁场区域最小半径是多大？相应的磁感应强度B是多大？

二、最值问题的解题关键——抓弦长

1．求最长时间的问题

例1 真空中半径为R=3×10-2m的圆形区域内，有一磁感应强

度为B=0.2T的匀强磁场，方向如图1所示一带正电的粒子以初速

度v0=106m / s 从磁场边界上直径ab 一端a 点处射入磁场，已知

该粒子比荷为q/m=108C / kg ，不计粒子重力，若要使粒子飞离磁

场时偏转角最大，其入射时粒子初速度的方向应如何？（以v0与

Oa 的夹角 表示）最长运动时间多长？

小结：本题涉及的是一个动态问题，即粒子虽然在磁场中均做同一半径的匀速圆周运动，但因其初速度方向变化，使粒子运动轨迹的长短和位置均发生变化，并且弦长的变化一定对应速度偏转角的变化，同时也一定对应粒子做圆周运动轨迹对应圆心角的变化，因而当弦长为圆形磁场直径时，偏转角最大．

2 ．求最小面积的问题

例2 一带电质点的质量为m，电量为q，以平行于Ox 轴

的速度v从y轴上的a点射人如图3 所示第一象限的区域．为

了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v 射出，可

在适当的地方加一个垂直于xoy平面、磁感应强度为B的匀强

磁场．若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求此圆形磁场区

域的最小面积，重力忽略不计．

小结：这是一个需要逆向思维的问题，而且同时考查了空间想象能力，即已知粒子运动轨迹求所加圆形磁场的位置．解决此类问题时，要抓住粒子运动的特点即该粒子只在所加磁场中做匀速圆周运动，所以粒子运动的 1 / 4 圆弧必须包含在磁场区域中且圆运动起点、终点必须是磁场边界上的点，然后再考虑磁场的最小半径．

上述两类“最值”问题，解题的关键是要找出带电粒子做圆周运动所对应的弦长．