工程力学Chap05
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工程力学最新版教学课件第5章
整个T形截面对形心轴xc的惯性矩为:
I xc
II xc
I
II xc
204.2106(mm4)
截面的几何性质
5.1 截面静矩与形心
5.1.1 静矩
dSx dAy dS y dAx
Sx dSx ydA
A
A
S y dS y xdA
A
A
y
x
dA
y
x
5.1 截面静矩与形心
5.1.2 形心
y
形心坐标
x Sy A
y Sx A
截面对通过其形心的坐标轴的静矩恒为零;
反之,截面对于某一轴的静矩若等于零,则该轴必 通过截面形心。
简单截面图形对形心轴的惯性矩
矩形:
Ix
bh3 12
圆形:
Ix
πd 4 பைடு நூலகம்4
圆环形:
Ix
πD4 64
1 4
式中, = d / D,为内外径比
型钢截面: 查型钢表
y y
y
C C
d 工字钢 dD
x xx
x
5.3 平行移轴定理
y
yC
Iz IzC b2 A
z dA
a
C
zC
I y I yC a2 A
Ix Aix2
I y Aiy2
ix
Ix A
——图形对 x 轴的惯性半径
iy
Iy A
——图形对 y 轴的惯性半径
y
x dA
y
r
x
【例5-3】计算图示矩形截面对其形心轴xC和坐标轴x、y的惯性矩。
Ⅱ.3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理
组合截面的惯性矩
组合截面对某坐标轴的惯性矩等于各组成部分对于同一坐标轴 的惯性矩之和。
工程力学静力学(5)
ΣFx = 0, Fmax cos α − P sin α − F2 max = 0
ΣFy = 0, FN 2 − P cos α − Fmax sin α = 0
F2max = fs • FN2
解得:
Fmax =
sin α + f s cos α P cos α − f s sin α
所以,要维持物体平衡时,力F的值应满足的条件是
工程力学课件
二、自锁现象 由摩擦角的性质可知:如果作用于物体的 主动力的合力F的作用线在摩擦角之内(图a), 即φ≤φf,则无论这个力怎样大,总有一个全 反力FR与之平衡,物体保持静止。 反之,如果主动力的合力F的作用线在摩 擦角之外(图b),即φ>φf ,则无论这个力怎样 小,物体也不可能保持平衡。 这种与力的大小无关而与摩擦角(或摩擦 因数)有关的平衡条件称为自锁条件 自锁条件。物体 自锁条件 在这种条件下的平衡现象称为自锁现象。 自锁现象。 自锁现象
ΣFx = 0, F cos α − FS = 0
解得:
FS = F cos α = 100 N ×
3 = 86.7 N 2
所以,此时摩擦力的大小为
FS = 86.7 N
工程力学课件 为求拉动此物体所需最小力Fmin。需要考虑物体将要滑动但还没有滑动 的临界平衡情况,此时摩擦力达到最大值,即
Fmax = fs • FN
按图c列平衡方程
ΣFx = 0, Fmin cos α − Fmax = 0
ΣFy = 0, Fmin sin α + FN − W = 0
由式(b)可得
(a) (b)
FN = W − Fmin sin α
所以 F ax = fs (W − F in sin α) m m 代入式(a)可得 所以 Fmin =
工程力学第五章
图
qa2/2
MM
例题三
内力图
剪力、弯矩图直接画图法举例
FQ FQ
、
M 图
例题四
内力图
剪力、弯矩图直接画图法举例
FQ
、
M 图
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
可以通过积分方法确定剪力图、 弯矩图上 各点处的数值。
从左到右,向上(下)集中力作用处,剪力图向上(下) 突变,突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。
矩图
平衡微分方程
dFQ y = q dx
dMz dx = FQy
d2Mz dx2
=
q
FQy +dFQy FQy
类似地在xz平面内,也可以得到 类似的表达式,只是下标有所不同。
不失一般性,略去下标,写成
dFS = q; dx
dM dx
= FS
;
d 2M dx2
=q
平衡微分方程
此即适用于所有平面载荷作用情形 的平衡微分方程。
平衡微分方程
平衡微分方程
考察 dx 微段的受力与平衡
FQ +dFQ FQ
平衡微分方程
FQ +dFQ FQ
ΣFy=0: FQy+q dx- FQy - d FQy =0 ΣMc=0: -Mz+(Mz+dMz)- FQy dx-
q dx .dx /2 =0 略去高阶项,得到: dFQ y = q
dx
q
例题5.2-6 续
D 解法2:1.确定约束力
B
4a
a qa
FBy
Fs (+)
(-) qa
7qa/4
2.确定控制面,即A 、B、D两侧截面。
工程力学电子教案(第三版)第5章 杆件的内力
§5-2 杆件扭转时的内力
例5-2 传动轴(图5-9a)的转速n=150r/min;
A处为主动轮,输入功率PA=70kW,B、C、D处
为从动轮,其输出功率分别为PB=30kW, PC=PD=20kW。试绘制该轴的扭矩图。
图5-9
§5-2 杆件扭转时的内力
(2)计算扭矩 须将轴分为AB、AC和CD三段, 逐段计算扭矩。应用截面法,假想地沿1-1横截 面把轴截开,取左段为研究对象(图5-9b),为保 持左段平衡,1-1横截面上的扭矩T1为
图5-2
§5-1 杆件拉(压)时的内力
3. 轴力
现以图5-3a所示拉杆为例,求其任意横截面
m-m上的内力。
应用截面法,假想地沿m-m截面把杆截开,
取左段为研究对象(图5-3b),列出平衡方程
得
∑Fx=0,FN-F=0
FN=F 由于内力FN的作用线与杆的轴线重合,故FN 称为轴力。
§5-1 杆件拉(压)时的内力
显然,图5-7所示m-m横截面上的扭矩为
正。
§5-2 杆件扭转时的内力
图5-8
§5-2 杆件扭转时的内力
●与求轴力的方法类似,用截面法计算扭矩时, 通常先假设扭矩为正,然后根据计算结果的正负 确定扭矩的实际方向。
●若作用于轴上的外力偶矩多于两个,也与拉 伸(压缩)问题中绘制轴力图相仿,以横坐标表示 横截面的位置、纵坐标表示相应横截面上的扭矩, 用图线来表示各横截面上扭矩沿轴线变化的情况。 这样的图线称为扭矩图。
1.工程实例:钻探机的钻杆(图5-5a)、机器中的 传动轴(图5-5b)
图5-5
§5-2 杆件扭转时的内力
2. 计算简图 这些杆件都是两端作用两个大小相等、方
向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶,致使 杆件的任意两个横截面之间都发生绕轴线的相对 转动,这种变形称为扭转变形。
工程力学(第二版)PPT吴玉亮主编-第5章 剪切与扭转
第5章 剪切与扭转
5.1 剪切的概念与实用计算
5.1.3 剪切胡克定律 微体在切应力作用下产生剪切变形,互相垂直的侧边所夹直角发生微小改变(见
图5-6)
第5章 剪切与扭转
5.1 剪切的概念与实用计算
5.1.3 剪切胡克定律 薄圆管的扭转试验表明(见图5-7):当切应力不超过材料的剪切比例极限τp时,
第5章 剪切与扭转
5.4 圆轴扭转的应力和强度条件
5.4.3 圆轴扭转时的强度条件 【例5-4】图5-23所示为一齿轮系,通过两根实心轴Ⅰ及Ⅱ传递功率。设Ⅰ轴的转
同样离圆心为ρ处的切应变为
第5章 剪切与扭转
5.4 圆轴扭转的应力和强度条件
5.4.1 圆轴扭转时的应力
(1)
几何关系
第5章 剪切与扭转
5.4 圆轴扭转的应力和强度条件
5.4.1 圆轴扭转时的应力
(2)
物理关系
根据剪切胡克定律,在弹性范围内,圆轴横截面上距圆心为ρ的任意点处的切应力τρ, 与该点处的切应变γρ成正比,即
切应力与切应变成正比,即τ∝γ。
第5章 剪切与扭转
5.1 剪切的概念与实用计算
5.1.3 剪切胡克定律 如果引进比例系数G,则
此关系称为剪切胡克定理。比例系数G称为剪切弹性系数,其值随材料而异,并由试 验测定。
第5章 剪切与扭转
5.1 剪切的概念与实用计算
5.1.4 剪切力互等定理 图5-8是从受剪构件中取出微体的受力情况,设微体的边长分别为dx、dy和dz。
示对应各横截面上转矩Mn的数值,由此得到转矩随截面位置变化的图线,这种图线 称为转矩图。
第5章 剪切与扭转
5.3 圆轴扭转时的内力、转矩图
5.3.1.3 转矩图 【例5-1】传动轴如图5-15(a)所示,主动轮A输入功率NA=50kW,从动轮B、
工程力学(第五章)
面积是CD段横截面面积的2 面积是CD段横截面面积的2倍。求杆内轴力及最大轴 CD段横截面面积的 力,绘轴力图,绝对值最大正应力及位置,绝对值最 绘轴力图,绝对值最大正应力及位置, 大剪应力及位置? 大剪应力及位置?
O 3F
B 4F
C 3F
D 2F
1 取截面1 解: 、取截面1-1、2-2、3-3 O 3F 1 1 B 4F 2 2 C 3F 3 3 D 2F
FN
F + -F + x
F N —图 图
5.1.2
F F F
横截面上的内力和应力
F FN=F
σ
1、当外力沿杆件轴线作用时,横截面上只有轴力,也只有正应力。 、当外力沿杆件轴线作用时,横截面上只有轴力,也只有正应力。 2、大多情况下,杆件在轴力作用下均匀伸缩变形,因此,根据材料均匀性 、大多情况下,杆件在轴力作用下均匀伸缩变形,因此, 假定,横截面上的应力均匀分布。 假定,横截面上的应力均匀分布。
FN -图 图
∴FN max = 3F
(在OB段) 段
4、分段求σ max 、
FN 1 3 F = σ1 = 2A 2A F F σ2 = N2 = 2A 2A F 2F σ 3 = N3 = A A
∴σ
max
5、求 τ max 、
由斜截面剪应力公式: 由斜截面剪应力公式:
1 τ α = σ cos α sin α = σ sin 2α 2 1 1 F τ max = σ max sin 90 = σ max = 2 2 A
o o 1、当 α = 0 , cos 0 = 1, sin 0 = 0 , 、
∴σα = σ =σmax, τα = 0
∴σα = ,τα = = τ max 2 2
工程力学-第五章
F F
sin γ cos φ
sin
γ
sin
φ
Fz F cos γ
应当指出:力在坐标轴上的投影是代数量,有正、负两种可能;而力在平面上的投影为矢量。
5.1.3 空间汇交力系的合成与平衡条件
1.空间汇交力系的合成
设有空间汇交力系 F1,F2,…,Fn,利用力的四边形法则,可将其逐步合成为合力矢 R,
某轴之矩等于各分力对同轴的矩的代数和,即
M x FR M x F1 M x F2 M y FR M y F1 M y F2 M z FR M z F1 M z F2
Mx My
Fn Fn
Mx My
FFii
M
z
Fn
M
z
Fi
5.2.3 空间力系的合力矩定理
如图所示,设力F的作用线沿AB,O点为矩心,则力对 这一点之矩可用矢量来表示,称为力矩矢,用MO(F)表 示。力矩矢MO(F)的始端为O点,它的模(即大小)等 于力F与力臂d的乘积,方位垂直于力F与矩心O所决定的平 面,指向可用右手法则来确定。于是可得:
MO (F ) Fd 2A OAB
5.2.1 力对点之矩
5.1.3 空间汇交力系的合成与平衡条件
例 5-1 如图所示,在正方体的顶角 A 和 B 处分别作用有力 F1 和 F2,试求此二力在 x,y,z 轴上的
投影。
F1x F1 sin cos F1
2 3
1 2
3
3
F1
解:首先,求 F1 在 x,y,z 轴上的投影,即 F1y F1 sin sin F1
5.2.4 力对点之矩与力对轴之矩的关系
以矩心 O 为原点,取直角坐标系 Oxyz,如图所示。设力 F 在各坐标轴上的投影为 Fx,Fy,Fz;力作 用点 A 的坐标为(x,y,z),则有 F Fxi Fy j Fzk
工程力学(下)chapt5重点讲解
高度比L/h>5),上述公式的误差不大.
7.三种典型截面对中性轴的惯性矩
1).矩形截面
2).实心圆截面
bh3 I z 12
Wz
Iz h/2
bh2 6
Iz
d 4
64
Wz
Iz d /2
d 3
32
3).截面为外径D、内
径d(a=d/D)的空心圆:
Iz
D 4
64
(1 a 4 )
Wz
Iz D/2
D3
32
(1 a 4 )
②梁的上下边缘处,弯曲正应力取得最大值,分别为:
Lmax
My1 ,
Iz
y m ax
My2 Iz
|
|max
(Iz
M / ymax)
M Wz
Wz I z / ymax —抗弯截面模量。
5.横截面上正 应力的画法:
min
M
min M
max
max
①线弹性范围
6.公式适用范围: ②适用于纯弯曲梁;
③对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面单来自: mmz20
120
z
20
y
2.计算截面惯性矩(根据平行移轴公式和组合图
形的惯性矩的计算方法):
I1z
0.12 (0.02)3 12
0.12 0.020.045
0.012
3.02 10 6 m4
I2z
0.02 (0.12)3 12
0.02 0.120.08
0.045 2
5.82 10 6 m4
σl ,max
6000 0.045 8.84 10-6
3.05107 Pa
30.5MPa
工程力学第5章 1静力学基本
z
F
α
Bβ O
Ac
r
ay
x
b
解:(1)
Fx = −F cosα sin β Fy = −F cosα cos β
Fz = F sinα
(2) r = a i + b j + c k
z
F
α
Bβ O
Ac
r
ay
x
b
i
j
k
MO (F ) =
a
b
c
−F cosα sin β −F cosα cos β F sinα
例题
解:
方法1 应用合力矩定理求解。 力F 沿坐标轴的投影分别为:
Fxx = F sin α
Fyy = 0
Fzz = −F cos α
由于力与轴平行或相交 时力对该轴的矩为零,则有
MMxx(FF) == ( MMxx FFZZ ) == −−FFzz(AABB ++CCDD) == −−FF(ll ++ bb)ccoossαα MMyy(FF) == MMyy(FFZZ ) == −−FFzzBBCC == −−FFllccooss αα MMzz(FF) == MMzz(FFxx) == −−FFxx(AABB ++CCDD) == −−FF(ll ++ bb)ssiinnαα
z
v F
=
v Fxi
+
Fy
v j
+
v Fz k
O x
Fx
=
v F
⋅ iv,
Fy
=
v F
⋅
vj ,
Fz
=
工程力学课件
< s 小柔度杆 cr s
四.求解临界力Fcr的
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步骤
1.求 L
i
2.由λ的范围选择求临界力的公式
P
cr
2E 2
Fcr
2EI (l)2
s P < s
稳定问题的实例
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稳定问题的实例
二 .稳定与失稳
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稳定—构件维持原有平衡状态的能力 失稳—构件失去原有的平衡状态 失稳破坏的特点:整体的,突然的 失稳破坏的危害:非常严重的
3. 各方向不同(柱铰) Imax Imin 在max 的平面内失稳
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例1 Q235钢 E=206GPa (a)d=16cm,la=500cm (b)b=20cm,h=30cm lb=900cm 求:cr Fcr
F F
稳定条件可解三类问题:
(1)校核稳定性;
(2)确定许可载荷;
(3)设计截面尺寸(设计要试算)
步骤
1.求临界力Fcr
2.求工作载荷F
3.求工作安全系数,作稳定校核
n
Fcr F
nst
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例3 已知:AB:D=76mm,d=68mm;
n
l
x
半波正弦曲线
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工程力学课件-图文全
F
G
FN2
G
约束力 特点 :
①大小常常是未知的;
FN1
②方向总是与约束限制的物体的位移方向相反;
③作用点在物体与约束相接触的那一点。
二、约束类型和确定约束反力方向的方法: 1. 柔索:由柔软的绳索、链条或皮带构成的约束
绳索类只能受拉, 约束反力作用在接触点, 方向沿绳索背离物体。
约束力方向与所能限制的物体运动方向相反。
T
F1 F2
约束力方向与所能限制的物体运动方向相反。
F2 F1
A
柔索约束
胶带构成的约束
柔绳约束
约束力方向与所能限制的物体运动方向相反。
链条构成的约束
柔绳约束
约束力方向与所能限制的物体运动方向相反。
柔索
绳索、链条、皮带
2 光滑支承面约束
约束反力作用在接触点处,方向沿公法线,指向受力物体
P P
N
N
NB NA
N
N
凸轮顶杆机构
3 光滑圆柱铰链约束
固定铰支座:物体与固定在地基或机架上的支座 有相同直径的孔,用一圆柱形销钉联结起来,这 种构造称为固定铰支座。 中间铰:如果两个有孔物体用销钉连接 轴承:
光滑圆柱铰链约束
FN FN
Fx FN Fy
圆柱铰链 A
YA
A
XA
A
约束反力过铰链中心,用XA、YA表
一、概念
§1-3 约束与约束反力
自由体: 位移不受限制的物体叫自由体。
非自由体: 位移受限制的物体叫非自由体。
约束:对非自由体的某些位移预先施加的限制条件称为约束。 (这里,约束是名词,而不是动词的约束。)
约束力:约束与非自由体接触相互产生了作用力,约束作用于 非自由体上的力叫约束力或称为约束反力。
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图7.1
p
M
(b)
第5章 构件的应力与强度
正应力 的合力即为轴力,对截面形心的合 力矩即为弯矩;剪应力 的合力即为剪力。
p
FQ
A
FN M
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(b)
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第5章 构件的应力与强度
应力的正负号规定:正应力以拉应力为正 (即外法线方向),压应力为负;剪应力以使所 作用的微段有顺时针方向转动趋势者为正,反之 为负。
渐进的、有(a) 预兆的。在常温
下,钢材和顺纹受力的木材
表现为塑性材料。
屈服
线弹性
O
理想弹塑(性b) -e 模型
b e P s
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第5章 构件的应力与强度
低碳钢压缩时的曲 线如右图中实线所示。 试验表明,其弹性模量
E、屈服极限s与拉伸时
基本相同,但流幅较短。 屈服结束以后,试件抗 压力不断提高,既没有 颈缩现象,也测不到抗 压强度极限,最后被压 成腰鼓形甚至饼状。
能力较差,不宜用作大跨结构。
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第5章 构件的应力与强度
材料的力学性能并非一成不变的。在不同的 受力条件下,材料所表现出的塑性或脆性是不同 的。随着环境的温度和加载速度的改变,材料的 力学性能也会改变。一般在低温、反复加载或高 速加载条件下,材料会表现出脆性,如钢材。因 此,应根据环境温度和使用工况来合理选取建筑 材料以发挥材料力学性能的优势。
试件中部等直部分图的5 .3长度l0称为原始标距, 中部直径为d0,若l0=5d0称为五倍试件, l0=10d0 称为十倍试件。
All Rights Reserve力与强度
将试件装入材料试验机的夹头中,启动试验 机开始缓慢加载,直至试件最后拉断。加载过程 中,试件所受的轴向力F可由试验机直接读出, 而试件标距部分的伸长(称为轴向线变形,用l 表示)可由变形仪读出。根据试验过程中测得的 一系列F与l的数据,用试件横截面上的正应力,
F
表现出的o 应力-应变特征。
o
这类材料被称为脆性材料。拉伸
(a)
(b)
右图为混凝土单向拉
伸/压缩时的曲线。
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第5章 构件的应力与强度
混凝土拉伸压缩时没有明
(N/mm2)
显的直线部分,试件拉也伸 没 有明显的屈服和颈F 缩现象。
C B
D
混凝土单向压缩时,没有
第5章 构件的应力与强度
上侧压碎 下侧开裂
简支梁受荷后的弯曲破坏
截取右图示构件的
m-m截面,将其划分为
m
若干微小面积,则内力
将分布到每个微面积上,
而全部微面积上的力的
合力应等于内力。
m
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(a)
第5章 构件的应力与强度
当微面积划分得足
够小而趋于零时,微面
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图 7.10
第5章 构件的应力与强度
结构设计计算时,为简
便计,常将上述-Re' 曲线简
B
真实应力
化为E 右A图所示形式R。这类材
料在P 受力变形名过义应程力 中存在明
显的屈服流动现象,有显著
的永久性塑性变形,故被称
为o 塑性材料,其破坏过程是
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第5章 构件的应力与强度
n
y
y
y
y
D A z n
C
B
x
x
u
(b)
D
C C'
A
B B' x
z
(c)
ex
lim x0
u x
D' D A
C' C
B' Bx
(d)
(5.2)
上式表示A点沿x方向单位长度线段的伸长或缩短,
它度量了微段AB的变形程度。ex为正时,微段
O
压 缩
F拉 伸
e 图 7 .1 2
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第5章 构件的应力与强度
2. 脆性材料的力学性能
与塑性材料不同,某 压缩
些材料在外力作用下没有
(N/mm2) C
明显的屈服阶段或屈拉伸服阶 段很短,如混凝土F 和砖石
B D
等材料在拉伸和压缩时所
A
E
压缩
A E
R' B
R
碳钢的弹性模量为200
P
b e p Sσ
GPa左右。而p为直线
OP段的最高点处的应
力,称为比例极限。
O
e
图5.4
Ee ( p )
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第5章 构件的应力与强度
② 屈服阶段(EA
段)。应力超过弹性极
R'
限后,试件中产生弹性
B
变形和塑性变形,且应
5.1.2 应变
受外力作用时,构件的形状和尺寸也将发生 改变,即发生变形。构件长度的改变为线变形, 角度的改变为角变形。一般而言,构件内不同部 位的变形是不同的。与应力类似,定义应变来描 述构件某点处的微小变形。
在构件上任意截取一段并将其划分为若干微 小的六面体,选取某点A处的一个微六面体进行 研究,如下图所示。
A
E
显著的屈服流动,是逐渐
F
o
o
过渡的,整体表现出有限
的塑性变形。 (a)
(b)
随应变增长,试件上相继出现多条不连续 的纵向裂缝,横向变形急剧发展,承载力明显 下降,混凝土骨料与砂浆的粘结不断遭到破坏, 裂缝连通形成斜向破坏面。
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第5章 构件的应力与强度
积收缩为一点,其上分
布的内力就称为该点的
应力。记作:
p lim F (5.1)
A0 A m △F
常将应力p分△A解为一
个与截面垂直的法M 向分
量和一个与截面相切的
切向分量。称 为m正应
力; 为剪(a)应力。
图7.1
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m △F △A M
m
(a)
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第5章 构件的应力与强度
m
n
y
y y
D
C
A
B
x
z
m
n
变形前后该微元的形态如(a) 下图所示。
x
u
(b)
n
y
y
y
D A z n (a)All Rights Reserved
C
D
B
x
A
x
u
z
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D'
D
C
C C'
B
B' x A
的改变量为剪应变、切应变或角应变,以g 表示, 则g = a + b 。切应变无量纲,单位为弧度,规定:
直角变小时,取正;直角变大时,取负。
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第5章 构件的应力与强度
5.2 工程材料的力学性能(★★)
工程材料的力学性能是指在外力作用下材料 在变形和破坏过程中所表现出的性能,通常用应 力-应变的变化规律来表示。工程材料的力学性能 除取决于材料的成分和组织结构外,还与应力状 态、温度和加载方式等因素有关。
第5章 构件的应力与强度
5.1 应力及应变(★)
5.1.1 应力
构件上应力的大小由外荷载决定,而构件承 受荷载的能力(承载力、抗力)是由其材料性质 和几何特征决定的,因此当构件的抗力不足以抵 抗外荷载产生的应力时,构件就会发生局部甚至 整体的破坏,例如局部开裂、整体压碎等情况。
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限,用e表示。在弹性
阶段中有很大一部分是 直线(OP段),即线
弹性段,与e成正比。
b e p Sσ
A E
P
R' B
R
O
e
图5.4
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第5章 构件的应力与强度
下式称为胡克定律(或 虎克定律)。式中,E 为材料的弹性模量,其 常用单位是GPa,如低
C30混凝土压缩的轴心抗 压强度约为30MPa,拉抗伸 拉 强度一般只有抗压F 强度的 1/10~1/20,约为3Mpa, 其抗压能力远远大于抗拉
o
能力。
(N/mm2)
C B
D
A
E
F o
(a)
(b)
可见,脆性材料受力变形过程中没有显著
的屈服流动阶段,塑性变形不明显,其破坏是
突发的、无预兆或预兆时间较短。且抗劈拉的
AB伸长;反之,微段AB缩短。同样,可定义A
点处沿y、z方向的线应变ey和ez。
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第5章 构件的应力与强度
n
y
y
y
y
D A z n
C
D
B
x
A
x
u
z
(b)
C C' B B' x
D' D A