《光纤光学教学课件》第五讲

在纤芯中选取贝赛尔函数Jl, 在包层中选取变态汉克尔函
数Kl..
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本征解的确定
Ez Hz
A
B
Jl
U a
r
e jl
C D Kl
W a
r ejl
(0 r a) 纤芯 (r a) 包层
纵向分量：A,B,C,D为待定常数，由边界条件确定 横向分量： 由纵横关系式求得
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纵横关系式
EH模的本征值方程：
Ju Kw uJ uwKw
1 u2
w12
HE模的本征值方程： k k1 2 2 2u JJu uw K K w w k k1 2 2 2u 12w 12
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3.4.2 模式本征值
贝塞尔函数递推公式(I)
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贝塞尔函数递推公式(II)
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P28-29更正
J0 u K0 w 0 • 模式的本征值β可由U或W求得 uJ0 u wK0 w • 在一般情况下由本征值方程求本征值很复杂,
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本征值方程
对TE模：E z0, =0,H z0使齐次方程得到不全为零的根，有：
J u K w
uJ
u
wK
w
0
TE模的本征值方程：
J0 u K0 w 0 uJ0 u wK0 w
对TM模： H z0, =0,E z0使齐次方程得到不全为零的根，有：
k12J uJ
u u
k22K wK
w w
0
可得： J 1 2 1 k k 1 2 2 2 K 1 k k 1 2 2 2 2 K 4 k k 1 2 2 2 K 2 2 u 1 2 k k 1 2 2 2w 1 2 u 1 2 w 1 2
令 “＋” EH模，令 “－” HE模，
C D
Kl
W a
r ejl
(0 r a) 纤芯 (r a) 包层
相互正交的 线偏振波
l≠0，椭圆 偏振波
齐次方程 .
本征值方程表达形式
形式1：
形式2: 设：
J U K W n n 1 2 2 2 J U K W l2 n n 1 2 2 2 U 1 2 W 1 2 U 1 2 W 1 2
11.792
特别注意：
远离截止条件为 但不包括U=0这个根，因为
因为：
.
J1(U)
3.823 7.016 10.173
TM0m模式（ l=0）
临近截止条件：
J0’=(1/2)(J-1－J1)=－J1 K0’=(－1/2)(K-1＋K1)=－K1
远离截止条件：
P30更正
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简并态
Leabharlann Baidu
由前分析知，
• TEom模与TMom在临近截止与远离截止时具 有相同的本征值，即两种模式处于简并
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3.4 模式分析
3.4.1 光纤中的模式及其分类
• 光纤中的模式可以分为以下几种：
➢ TE模：Ez=0，只有Hz ➢ TM模：Hz=0，只有Ez
A=0 or B=0 故 l=0
➢ EH模：电场占优势，Hz相位超前Ez
➢ HE模：磁场占优势，Ez相位超前Hz
Ez Hz
A B Jl
U a
r ejl
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波导场方程及导模本征解
• 场矢量： • 波导场方程：
将场做变量分离： 代入上式，得：
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d2g() d2
l2g()
0
角向为周期函数：
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本征解的选择
• 纵向场分量满足：l 阶贝塞尔方程
d2dFr(2r)drF(dr)r(ki22)rl22F(r)0 ki22i0ni2k02, i1,2
• 贝塞尔方程的解： – 第一类和第二类贝塞尔函数：Jl , Yl – 第一类和第二类变态汉克尔函数：Il , Kl
贝塞尔方程的标准形式为：
x2d d2y 2xxd d y xc2x2m 2y0
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纤芯
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包层
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场解的选取
• 依据：
– 导模场分布特点:在空间各 点均为有限值; 在芯区为 振荡形式,而在包层则为衰 减形式;导模场在无限远处 趋于零。
– 贝塞尔函数形式: Jl呈振荡 形式, Kl则为衰减形式。
• 本征解选取:
只能利用计算机进行数值计算。 • 两种情形可很容易地确定本征值:
–导模处于临近截止 –导模处于远离截止
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TE0m模式（ l=0）
J0’=(1/2)(J-1－J1)=－J1 K0’=(－1/2)(K-1＋K1)=－K1
临近截止条件：
远离截止条件：
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P29更正
J0(U)
2.405 5. 520 8.654
3.2 波导场方程及导模本征解
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模式分析的基本过程
• 数学模型 • 园柱坐标系中的波导场方程 • 边界条件 • 本征解与本征值方程 • 本征值与模式分析
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数学模型
阶跃折射率分布光纤(SIOF)是一种理想的数学模型,即认为光 纤是一种无限大直园柱系统,芯区半径a，折射率为n1； 包层沿径向无限延伸,折射率为n2； 光纤材料为线性、无损、各向同性的电介质。
光纤是一种介质光波导，具有如下特点： ①无传导电流； ②无自由电荷； ③线性各向同性。
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一、波导场方程 电场、磁场 变量分离
麦克斯韦方程
场的波动方程
时间、空间 变量分离
纵横分离
亥姆赫兹方程 （将直角坐标变换为圆柱坐标）
t2H E ((xx,,yy))2H E ((xx,,yy))0
代表场的任意一分量，到底是哪一分量？能方便 求出场的其他分量!
态;
• 在截止与远离截止之间其本征值并不相 同，称为简并击破。
• TE和TM模成对出现，成对消失！！
• TEom的本征值方程
TMom的本征值方程
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HE ι m模式
本征值方程
利用贝塞尔函数关系式将上式化为：
本征值方程： Jl1 (U ) Kl1 (W ) UJl (U ) WKl (W )
TM模的本征值方程：
k12J0 u k22K0w 0 uJ0 u wK0 w
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混杂模的本征值方程：
2 2 u 1 2 W 1 2 2 u J J u u w K K w w k u 1 2 J Ju u k w 2 2 K K w w
Ju
Kw
令
uJ uJ, wKwK
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3.3 本征值方程
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P27三处更正
本征值方程的物理意义
– 又称特征方程，或色散方程。其中U与W通过 其定义式与β相联系,因此它实际是关于β的一 个超越方程。当n1、n2、a和λ0给定时, 对于不 同的l值,可求得相应的β值。由于贝塞尔函数 及其导数具有周期振荡性质, 所以本征值方程 可以有多个不同的解βlm(l=0,1,2,3... m=1,2,3...), 每一个βlm都对应于一个导模。