高三寒假作业 上篇

假期是快乐的，玩耍时快乐，学习是快乐的，进步是快乐的，有玩有学，又学又玩最快乐！
高中数学知识总结（上篇）
一、集合与逻辑
1、区分集合中元素的形式：如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集，如（1）设集合{|3}M x y x ==+，集合N ＝
{}2|1,y y x x M =+∈，则M N = ___（答：[1,)+∞）；（2）设集合
{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈ ，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+ ，}R λ∈，则=N M _____（答：)}2,2{(--）
2、条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况
如：}012|{2=--=x ax x A ，如果φ=+R A ，求a 的取值。

（答：a ≤0）
3、补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

如已知函数
12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使0)(>c f ，求实数p 的取值范围。

（答：3(3,)2-）
4、注意命题p q ⇒的否定与它的否命题的区别:
命题p q ⇒的否定是p q ⇒⌝；否命题是p q ⌝⇒⌝
命题“p 或q ”的否定是“┐P 且┐Q ”，“p 且q ”的否定是“┐P 或┐Q ”
注意：如 “若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的
否命题是“若a 和b 不都是偶数，则b a +是奇数”
否定是“若a 和b 都是偶数，则b a +是奇数
二、函数与导数
1、对勾函数x a
x y +=是奇函数,上为增函数，，在区间时)0(),0(,0∞+-∞<a ；递减，在时)0,[],0(,0a a a ->
递增，在),a [],a (+∞--∞
2、单调性①定义法;②导数法. 如：已知函数
3()f x x ax =-在区间[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是____(答：(,3]-∞))；
注意①：0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。

如函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单
调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。

注意②：函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数,若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范
围。

（答：1223m -
<<） ③复合函数由同增异减判定④图像判定.⑤作用:比大小,解证不等式. 如函数
()212l o g 2
y x x =-+的单调递增区间是________(答：（1,2）)。

3、奇偶性：f(x)是偶函数⇔f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x);定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0);定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。

4、周期性。

（1）类比“三角函数图像”得：
①若()y f x =图像有两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则()y f x =必是周期函数，且一周期为2||T a b =-；
②若()y f x =图像有两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ≠，则()y f x =是周期函数，且一周期为2||T a b =-；
③如果函数()y f x =的图像有一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠，则函数()y f x =必是周期函数，且一周期为4||T a b =-；
如已知定义在R 上的函数()f x 是以2为周期的奇函数，则方程()0f x =在[2,2]-上至少有__________个实数根（答：5）
（2）由周期函数的定义“函数()f x 满足()()x a f x f +=(0)a >，则()f x 是周期为a 的周期函
数”得：①函数()f x 满足()()x a f x f +=-，则()f x 是周期为2a 的周期函数；②若1()(0)()f x a a f x +=≠恒成立，则2T a =；③若1()(0)()f x a a f x +=-≠恒成立，则2T a =. 如(1) 设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.47(f 等于_____(答：5.0-)；(2)定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[3,2]--上是减函数，若,αβ是锐角三角形的两个内角，则(sin ),(cos )f f αβ的大小关系为_________ (答：(sin )(cos )f f αβ>)；
5、常见的图象变换
①函数()a x f y +=的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左)0(>a 或向右)0(<a 平移a 个单位得到的。

如要得到)3lg(x y -=的图像，只需作x y lg =关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到(答：y ；右)；（3）函数()lg(2)1f x x x =⋅+-的图象与x 轴的交点个数有____个(答：2)
②函数()x f y =+a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上)0(>a 或向下)0(<a 平移a 个单位得到的；如将函数
a a x
b y ++=的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线x y =对称,那么 0,1)(≠-=b a A R b a B ∈-=,1)( 0,1)(≠=b a C
R b a D ∈=,0)( (答：C)
③函数()ax f y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴伸缩为原来的a 1
得到的。

如（1）
将函数()y f x =的图像上所有点的横坐标变为原来的1
3（纵坐标不变），再将此图像沿x 轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____(答：(36)f x +)；（2）如若函数(21)y f x =-是偶函数，则函数(2)y f x =的对称轴方程是_______(答：12x =-)．
④函数()x af y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿y 轴伸缩为原来的a 倍得到的.
6、函数的对称性。

①满足条件()()f x a f b x +=-的函数的图象关于直线2a b x +=对称。

如已知二次函数)0()(2≠+=a bx ax x f 满足条件)3()5(-=-x f x f 且方程x x f =)(有等根，则)(x f ＝
_____(答：212x x -+)；
②点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y -；函数()x f y =关于y 轴的对称曲线方程为()x f y -=； ③点(,)x y 关于x 轴的对称点为(,)x y -；函数()x f y =关于x 轴的对称曲线方程为()x f y -=； ④点(,)x y 关于原点的对称点为(,)x y --；函数()x f y =关于原点的对称曲线方程为()x f y --=；
⑤若f(a －x)＝f(b+x),则f(x)图像关于直线x=2b a +对称;两函数y=f(a+x)与y=f(b-x)图像关于直线x=2a
b -对称。

提醒：证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；如（1）已知函数
)(1)(R a x a a x x f ∈--+=。

求证：函数)(x f 的图像关于点(,1)M a -成中心对称图形。

⑥）|()|f x 的图象先保留()f x 原来在x 轴上方的图象，作出x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形，然后擦去x 轴下方的图象得到；(||)f x 的图象先保留()f x 在y 轴右方的图象，擦去y 轴左方的图象，然后作出y 轴右方的图象关于y 轴的对称图形得到。

如（1）作出函数2|log (1)|y x =+及2log |1|y x =+的图象；（2）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于____对称 （答：y 轴）
7、.求解抽象函数问题的常用方法是：
（1）借鉴模型函数进行类比探究。

几类常见的抽象函数 ：
①正比例函数型：()(0)f x kx k =≠ ---------------()()()f x y f x f y ±=±；
②幂函数型：2()f x x = --------------()()()f xy f x f y =，()()()x f x f y
f y =； ③指数函数型：()x f x a = ----------()()()f x y f x f y +=，()()()f x f x y f y -=；
④对数函数型：()log a f x x = ---()()()f xy f x f y =+，()()()
x f f x f y y =-；
⑤三角函数型：()tan f x x = ----- ()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-。

如已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则
=-)2(T f __ （答：0）
8、题型方法总结
Ⅰ判定相同函数:定义域相同且对应法则相同
Ⅱ求函数解析式的常用方法：
（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：2()f x ax bx c =++；顶点式：2()()f x a x m n =-+；零点式：12()()()f x a x x x x =--）。

如已知()f x 为二次函数，且 )2()2(--=-x f x f ，且f(0)=1,图象在x 轴上截得的线段长为22,求()f x 的解析式 。

（答：21()212f x x x =++）
（2）代换（配凑）法――已知形如(())f g x 的表达式，求()f x 的表达式。

如（1）已知,sin )cos 1(2x x f =-求()
2x f 的解析式（答
：242()2,2]f x x x x =-+∈）；（2）若
221)1(x x x x f +=-，则函数)1(-x f =_____（答：223x x -+）；（3）若函数)(x f 是定义在R
上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，那么当)0,(-∞∈x 时，)(x f =________
（答：(1x ）. 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即()f x 的定义域应是()g x 的值域。

（3）方程的思想――对已知等式进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组。

如（1）已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式（答：2()33f x x =--）；（2）已知()
f x 是奇函数，)(x
g 是偶函数，且()f x +)(x g = 11
-x ,则()f x = 答：21x x -）。

Ⅲ求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?;偶次根式被开方数?;对数真数?，底数?;零指数幂的底数?);实际问题有意义;若f(x)定义域为[a,b],复合函数f[g(x)]定义域由a ≤g(x)≤b 解出；若f[g(x)]定义域为[a,b],则f(x)定义域相当于x ∈[a,b]时g(x)的值域；
如：若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则)(l o g 2x f 的定义域为__________（答：
{}
42|≤≤x x ）； （2）若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________（答：[1,5]）．
Ⅳ求值域:
①配方法：如：求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域（答：[4,8]）；
②逆求法（反求法）：如：
313x
x y =+通过反解，用y 来表示3x ，再由3x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围（答：（0,1））；
③换元法：如（1）22sin 3cos 1y x x =--的值域为_____（答：17[4,]8-）；（2
）21y x =+的值域为_____（答：[
)3,+∞）
t =，0t ≥。

运用换元法时，要特别要注意新元t 的
范围）；
④不等式法――利用基本不等式
,)a b a b R ++≥∈求函数的最值。

如设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则212
21)(b b a a +的取值范围是____________.（答：(,0][4,)-∞+∞ ）。

⑤单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

如求1(19)y x x x =-<<，
229
sin 1sin y x x =++
，()3log 5y x =--的值域为______（答：80(0,)9、11[,9]2、[)0,+∞）；
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

如（1）已知点(,)P x y 在
圆221x y +=上，求2y x +及2y x -
的取值范围（答：[
、[）；（2
）求函数
y =的值域（答：[10,)+∞）；
⑧判别式法：如（1）求
21x y x =+的值域（答：11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦）；（2）
求函数
y =的值域（答：1[0,]2）
（3）求
211x x y x ++=+的值域（答：(,3][1,)-∞-+∞ ） ⑨导数法;分离参数法;―如求函数32()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。

（答：－48）
用2种方法求下列函数的值域：①32([1,1])32x y x x +=∈--②（)0,(,32-∞∈+-=x x x x y ；③
)0,(,132-∞∈-+-=x x x x y
Ⅴ、恒成立问题:分离参数法;最值法;化为一次或二次方程根的分布问题.a ≥f(x)恒成立⇔a ≥
[f(x)]max,;a ≤f(x)恒成立⇔a ≤[f(x)]min;
Ⅵ、①任意定义在R 上函数f （x ）都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。

即f
（x ）＝()()g x h x ＋，其中g （x ）＝f x f x 2（）＋（－）是偶函数，h （x ）＝f x f x 2（）－（－）
是
奇函数
②利用一些方法（如赋值法（令x ＝0或1，求出(0)f 或(1)f 、令y x =或y x =-等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。

如（1）若x R ∈，()f x 满足()()f x y f x +=
()f y +，则()f x 的奇偶性是______（答：奇函数）；（2）若x R ∈，()f x 满足()()f xy f x =()f y +，则()f x 的奇偶性是______（答：偶函数）；
（3）已知()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数，当03x <<时，()f x 的
图像如右图所示，那么不等式()cos 0f x x <
的解集是_____________（答：(,1)(0,1)(,3)22π
π-- ）；（4）设()f x 的定义域为R +，对任意,x y R +∈，都有
()()()x f f x f y y =-，且1x >时，()0f x <，又1()12f =，①求证()f x 为减函数；②解不等式2()(5)f x f x ≥-+-.（答：(][)0,14,5 ）．
9、导数几何物理意义:
k=f ‘(x 0)表示曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率。

V ＝s/(t)表示t 时刻即时速度,a=v ′(t)表示t 时刻加速度。

如：一物体的运动方程是2
1s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3t =时的瞬时速度为_____（答：5米/秒）
10、导数应用:⑴过某点的切线不一定只有一条; 如：已知函数3()3f x x x =-
过点(2,6)P -作曲线()y f x =的切线，求此切线的方程（答：30x y +=或24540x y --=）。

⑵研究单调性步骤:分析y=f(x)定义域;求导数;解不等式f ‘ (x)≥0得增区间;解不等式f ‘ (x)≤
0得减区间;注意f ’
(x)=0的点; 如：设0>a 函数ax x x f -=3)(在),1[+∞上单调函数，则实数a 的取值范围______（答：03a <≤）；
⑶求极值、最值步骤:求导数;求0)(='x f 的根;检验)(x f '在根左右两侧符号,若左正右负,则f(x)在该根处取极大值;若左负右正,则f(x)在该根处取极小值;把极值与区间端点函数值比较,最大的
为最大值,最小的是最小值. 如：（1）函数
5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值、最小值分别是______（答：5；15-）；
（2）已知函数32()f x x bx cx d =+++在区间[－1,2 ]上是减函数，那么b ＋c 有最__值__答：大，15
2-
）（3）方程0109623=-+-x x x 的实根的个数为__（答：1） 特别提醒：（1）0x 是极值点的充要条件是0x 点两侧导数异号，而不仅是()0f x '＝0，()0f x '＝0是0x 为极值点的必要而不充分条件。

（2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑0()0f x '=，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！
如：函数
()3221f x x ax bx a x =+++=在处有极小值10，则a+b 的值为____（答：－7）
三、数列
1、an=｛),2()1(*11N n n S S n S n n ∈≥-=- 注意验证a1是否包含在an 的公式中。

2、
)*,2(2)(111中项常数｝等差｛N n n a a a d a a a n n n n n n ∈≥+=⇔=-⇔-+-
?
,,,);0()(2=+=⇔+=⇔B A b a Bn An s b an a n n 的二次常数项为一次 2n n-1n 1n 1n a a a (n 2,n N)a }q();a 0n n a a +-⎧=⋅≥∈⇔⇔=⎨≠⎩｛等比定
?m ;a a 11n =⋅-=⇔⋅=⇔-n n n q m m s q
如若{}n a 是等比数列，且3n n S r =+，则r ＝ （答：－1）
3、首项正的递减(或首项负的递增)等差数列前n 项和最大(或最小)问题,转化为解不等式
)00(0011⎩⎨⎧≥≤⎩⎨⎧≤≥++n n n n a a a a 或,或用二次函数处理;(等比前n 项积?)，由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。

（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，200320040a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是 （答：4006）
4、等差数列中an=a1+(n-1)d;Sn=d n n na 2)1(1-+=d n n na n 2)1(--=2)(1n a a n +
等比数列中an= a1 qn-1;当q=1,Sn=na1 当q ≠1,Sn=
q q a n --1)
1(1=q q
a a n --11 5、常用性质：等差数列中, an=am+ (n －m)d, n
m a a d n m --=;当m+n=p+q,am+an=ap+aq ；
等比数列中，an=amqn-m; 当m+n=p+q ，aman=apaq ；
如（1）在等比数列{}n a 中，3847124,512a a a a +==-，公比q 是整数，则10a =___（答：512）；（2）各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ⋅=，则3132310l o g l o g l o g a a a +++=
（答：10）
6、常见数列：{an}、{bn}等差则{kan+tbn}等差;{an}、{bn}等比则{kan}(k ≠0)、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1、{anbn}、
⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 等比;{an}等差,则{}n
a c (c>0)成等比.{bn}(bn>0)等比,则{logcbn}(c>0且c ≠1)等差。

7、等差三数为a-d,a,a+d;四数a-3d,a-d,,a+d,a+3d;
等比三数可设a/q,a,aq ；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？)
如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。

（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）
8、等差数列{an}的任意连续m 项的和构成的数列Sm 、S2m-Sm 、S3m-S2m 、S4m - S3m 、……仍为等差数列。

等比数列{an}的任意连续m 项的和且不为零时构成的数列Sm 、S2m-Sm 、S3m-S2m 、S4m - S3m 、……仍为等比数列。

如：公比为-1时，4S 、8S -4S 、12S -8S 、…不成等比数列
9、.等差数列{an},项数2n 时,S 偶-S 奇＝nd;项数2n-1时,S 奇-S 偶＝an ; 项数为n 2时，则
q S S =奇偶
;项数为奇数21n -时，1S a qS =+奇偶.
10、求和常法:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构.
分组法求数列的和：如an=2n+3n 、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n 、裂项法求和：如求和：
111112123123n ++++=+++++++ （答：21n n +）、倒序相加法求和：如①求证：01235(21)(1)2n n
n n n n C C C n C n +++++=+ ；②已知22()1x f x x =+，则
111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++＝___（答：72）
11、求数列{an}的最大、最小项的方法（函数思想）：
①a n+1-a n =……⎪⎩⎪⎨⎧<=>000 如an= -2n 2+29n-3 ②⎪⎩⎪⎨⎧<=>=+1111 n n a a (a n >0) 如a n =n n n 10)1(9+ ③
a n =f(n) 研究函数f(n)的增减性 如a n =1562+n n
求通项常法: （1）已知数列的前n
项和n s ,求通项n a ，可利用公式:⎩⎨⎧≥-==-2)(n S S 1)(n S a 1n n 1n 如：数列{}n a 满足12211125222n n a a a n +++=+ ，求n a （答：{
114,12,2n n n a n +==≥） （2）先猜后证（归纳猜想证明）
（3）递推式为1n a ＋＝n a ＋f(n) (采用累加法)；1n a ＋＝n a ×f(n) (采用累积法)；
如已知数列{}n a 满足11a =，
n n a a n n ++=--11
1(2)n ≥，则n a =________（答
：1n a =）
（4）构造法形如1n n a ka b -=+、1n n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列如①已知
111,32n n a a a -==+，求n a （答：1231n n a -=- ）；
（5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决，适当注意以下3个公式的合理运用
an ＝（an －an-1）+(an-1－an-2)+……＋（a2－a1）＋a1 ； an ＝1122n 1n 1n n a a a a a a a －－－⋅
（6）倒数法形如
1
1n n n a a k a b --=+的递推数列都可以用倒数法求通项。

如①已知1111,31n n n a a a a --==+，求n a （答：132n a n =-）；②已知数列满足1a =1
=
求n a （答：
21n a n =
）
12、常见和：1123(1)2n n n ++++=+ ，222112(1)(21)
6n n n n +++=++ ，
33332
(1)123[]
2n n n +++++=
数学故事
“我们的希望是在21世纪看见中国成为数学大国。

”
——陈省身
年12月3日，国际数学大师、中科院外籍院士陈省1911年10月26日生于浙江嘉兴．少年时就喜爱数学，觉得数学既有趣又较容易，并且喜欢独立思考，自主发展，常常“自己主动去看书，不是老师指定什么参考书才去看”．陈省身1927年进入南开大学数学系，该系的姜立夫教授对陈省身影响很大．在南开大学学习期间，他还为姜立夫当助教．1930年毕业于南开大学，1931年考入清华大学研究院，成为中国国内最早的数学研究生之一．在孙光远博士指导下，发表了第—篇研究论文，内容是关于射影微分几何的．1932年4月应邀来华讲学的汉堡大学教授布拉希克对陈省身影响也不小，使他确定了以微分几何为以后的研究方向．1934年，他毕业于清华大学研究院，同年，得到汉堡大学的奖学金，赴布拉希克所在的汉堡大学数学系留学．在布拉希克研究室他完成了博士论文，研究的是嘉当方法在微分几何中的应用．1936年获得博土学位．从汉堡大学毕业之后，他来到巴黎．1936年至1937年间在法国几何学大师E 〃嘉当那里从事研究．E 〃嘉当每两个星期约陈省身去他家里谈一次，每次一小时．“听君一席话，胜读十年书．”大师面对面的指导，使陈省身学到了老师的数学语言及思维方式，终身受益．陈省身数十年后回忆这段紧张而愉快的时光时说，“年轻人做学问应该去找这方面最好的人”． 陈省身先后担任我国西南联大教授，美国普林斯顿高等研究所研究员，芝加哥大学、伯克利加州大学终身教授等，是美国国家数学研究所、南开大学数学研究所的创始所长．陈省身的数学工作范围极广，包括微分几何、拓扑学、微分方程、代数、几何、李群和几何学等多方面．他是创立现代微分几何学的大师．早在40年代，他结合微分几何与拓扑学的方法，
完成了黎曼流形的高斯—博内一般形式和埃尔米特流形的示性类论．他首次应用纤维丛概念于微分几何的研究，引进了后来通称的陈氏示性类．为大范围微分几何提供了不可缺少的工具．他引近的一些概念、方法和工具，已远远超过微分几何与拓扑学的范围，成为整个现代数学中的重要组成部分．陈省身还是一位杰出的教育家，他培养了大批优秀的博士生．他本人也获得了许多荣誉和奖励，例如1975年获美国总统颁发的美国国家科学奖，1983年获美国数学会“全体成就”靳蒂尔奖，1984年获沃尔夫奖．中国数学会在1985年通过决议．设立陈省身数学奖．他是有史以来惟一获得数学界最高荣誉“沃尔夫奖”的华人，被称为“当代最伟大的数学家”．被国际数学界尊为“微分几何之父”．韦伊曾说，“我相信未来的微分几何学史一定会认为他是嘉当的继承人”．
菲尔兹奖得主、华人数学家丘成桐这样评价他的老师：“陈省身是世界上领先的数学家……没有什么障碍可以阻止一个中国人成为世界级的数学家．”
2004年11月2日，经国际天文学联合会下属的小天体命名委员会讨论通过，国际小行星中心正式发布第52733号《小行星公报》通知国际社会，将一颗永久编号为1998CS2号的小行星命名为“陈省身星”，以表彰他对全人类的贡献．
假期是快乐的，玩耍时快乐，学习是快乐的，进步是快乐的，有玩有学，又学又玩最快乐！
四、三角函数
1、终边相同(β=2k π+α); 弧长公式：||l R α=，扇形面积
公式：211||22S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈
. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

（答：22
cm ）
2、函数y=++⋅)sin(ϕωx A b （0,0>>A ω）①五点法作图;②振幅?相位?初相?周期T=ωπ
2,频率?φ
=k π时奇函数;φ=k π+2π
时偶函数.③对称轴处y 取最值,对称中心处值为0;余弦正切可类比.
如（1）函数
52
2y s i n x
π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭的奇偶性是______（答：偶函数）；（2）已知函数
31f (x )ax bsin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f ()-=______（答：－5）；（3）函数
)cos (sin cos 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________（答：128k (
,)(k Z )ππ-∈、28k x (k Z )ππ
=+∈）；（4）已知f (x )sin(x )x )θθ=++为偶函数，
求θ的值。

（答：
6
k (k Z )
π
θπ=+
∈）
④变换:φ正左移负右移；b 正上移负下移;
)
sin()
sin(sin 1
|
|Φ+=−−−−−−−→
−Φ+=−−−−→−=Φx y x y x y ωω倍
横坐标伸缩到原来的左或右平移
)
sin(sin sin |
|1Φ+=−−−−→−=−−−−−−−→−=Φ
x y x y x y ωωωω左或右平移倍
横坐标伸缩到原来的
b
x A y x A y b A +Φ+=−−−−→−Φ+=−−−−−−−→−)sin()sin(|
|ωω上或下平移倍纵坐标伸缩到原来的
3、正弦定理:2R=A a sin =B b sin =C c
sin ; 内切圆半径
r=
c
b a S ABC ++∆2余弦定理：
a 2=
b 2+
c 2
-2bc A cos ,bc a c b A 2cos 222-+=;111
sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===
术语:坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基准方向为起点（一般为北方），依顺时针方式旋
转至指示方向所在位置，其间所夹的角度称之。

方位角α的取值范围是：0°≤α＜360°＝等
4、同角基本关系：如：已知11tan tan -=-αα，则ααα
αc os sin c os 3sin +-＝____；2cos sin sin 2
++ααα＝_________（答：35-
；513）；
5、诱导公式简记:奇变偶不变,符号看象限．(注意：公式中始终视α为锐角)
6、重要公式：
22cos 1sin 2αα-=
；22cos 1cos 2αα+=
．；αααααααs i n c o s 1c o s 1s i n c o s 1c o s 12
t a n -=+=+-±=;
2
sin
2cos )2sin 2(cos sin 12θ
θθθθ±=±=±
如：函数2
5f (x )sin xcos x x
=
-x R )∈的单调递增区间为___________
（答：
512
12[k ,k ](k Z )π
π
ππ-
+
∈）
巧变角：如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，
22
αβ
αβ++=⋅
，
(
)(
)
2
22αβ
β
ααβ+=-
--等），如（1）已知
2tan()5αβ+=，1
tan()44πβ-=，那么
t a n ()
4π
α+
的值是_____（答：3
22）；（2）已知,αβ为锐角，si n ,cos
x y αβ==，3cos()5αβ+=-
，则y 与x 的函数关系为______
（答：43
(1)
55y x x =<<）
7
、辅助角公式中辅助角的确定：
()
sin cos a x b x x θ+=+(其中
tan b
a θ=
)如：（1）
当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tan x 的值是______(答：
3
2-
)；（2）如果
()()s i n 2c o s ()
f x x x
ϕϕ=+++是奇函数，则tan ϕ=
(答：－2)；
五、平面向量
1、向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

的相反向量是－。

)、共线向量、相等向量
注意:不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）
2±≤,
3、（5）向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为θ，则： ①0a b a b ⊥⇔∙=
；
②当，同向时，∙＝a b ，特别地，22,a a a a a =∙== ；当与反向时，∙＝－a b
；当θ为锐角时，a ∙b ＞0，且 a b 、
不同向，0a b ⋅> 是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，∙＜0，且 a b 、
不反向，0a b ⋅<
是θ为钝角的必要非充分条件；③||||||a b a b ∙≤ 。

如（1）已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→
b 的夹角为锐角，则λ的取值
范围是______（答：
43λ<-
或0λ>且1
3λ≠
）；
4、向量b 在方向上的投影︱b ︱cos θ
549、 →
1e 和→
2e 是平面一组基底,则该平面任一向量→
→
→
+=2211e e a λλ(21,λλ唯一)
特别：. OP ＝12OA OB λλ+ 则121λλ+=是三点P 、A 、B 共线的充要条件如平面直角坐标系中，
O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足=−→
−OC −→
−−→−+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且
121=+λλ,则点C 的轨迹是_______（答：直线AB ）
6、在ABC ∆中，①1()
3PG PA PB PC =++
⇔G 为ABC ∆的重心，特别地0PA PB PC P
++=⇔ 为ABC ∆的重心；②PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔
为ABC ∆的垂心；
③向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠
所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； ④||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔
ABC ∆的内心； ⑤S ⊿AOB ＝
A B B A y x y x -2
1
;
如：（1）若O 是ABC 所在平面内一点，且满足
2OB OC OB OC OA
-=+-
，则ABC 的形
状为____（答：直角三角形）；（2）若D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，
满足0PA BP CP ++=
，设||||AP PD λ= ，则λ的值为___（答：2）；（3）若点O 是ABC △的外心，
且0OA OB CO ++= ，则ABC △的内角C 为____（答：120
）；
六、不等式
1、注意课本上的几个性质，另外需要特别注意：
①若ab>0，则b a 11>。

即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。

②如
果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。

如：已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）； 2、比较大小的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量与“0”比，与“1”比或放缩法 ；(8)图象法。

其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。

如（1）设0,10>≠>t a a 且，比较
21log log 21+t t a a 和的大小（答：当1a >时，11log log 22a a t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11log log 22a a t t +≥（1t =时取等号））；（2）设2a >，12p a a =+-，2
422-+-=a a q ，试比较q
p ,的大小（答：p q >）
3、常用不等式：若0,>b a ，（1
）2
211
a b a b +≥≥+（当且仅当b a =时取等号） ；
（2）a 、b 、c ∈R ，222
a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；（3）若
0,0a b m >>>，则b b m
a a m +<
+（糖水的浓度问题）。

如：如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________（答：[
)
9,+∞）
基本变形：①≥+b a ；≥
+2
)2(
b a ；
注意：①一正二定三取等；②积定和最小,和定积最大。

常用的方法为：拆、凑、平方；如：①函数
)21
(4294>--
=x x x y 的最小值 。

（答：8）
②若若21x y +=，则24x y
+的最小值是______
（答：；
③正数,x y 满足21x y +=，则y x 11+
的最小值为______（答：3+；
4、
b
a b a b a +≤±≤-(何时取等？)；
5、证法:①比较法:差比:作差--变形(分解或通分配方)--定号.另:商比②综合法--由因导果;③分析法--执果索因;④反证法--正难则反。

⑤放缩法方法有： ⑴添加或舍去一些项，如：
a
a >+12；n n n >+)1(
⑵将分子或分母放大（或缩小）
⑶利用基本不等式，如：
4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (
5lg 3log 2=<=+<⋅；2)
1()1(++<+n n n n
⑷利用常用结论：
Ⅰ、
k k
k k k 21111<
++=
-+；
Ⅱ、k k k k k 111)1(112--=-< ；
11
1)1(112
+-=+>k k k k k （程度大） Ⅲ、)1111(21)1)(1(11112
2+--=+-=-<k k k k k k
； （程度小） ⑥换元法：常用的换元有三角换元和代数换元。

如：
已知2
22a y x =+，可设θθsin ,cos a y a x ==； 已知
122≤+y x ，可设θθsin ,cos r y r x ==(10≤≤r )； 已知122
22=+b y a x ，可设θθsin ,cos b y a x ==； 已知122
2
2=-b y a x ，可设θθtan ,sec b y a x ==；
⑦最值法,如：a>fmax(x),则a>f(x)恒成立.
6、解绝对值不等式:①几何法(图像法)②定义法(零点分段法);③两边平方
④公式法：|f(x)|>g(x)⇔ ;|f(x)|<g(x) ⇔ 。

7、分式、高次不等式:通分因式分解后用根轴法（穿线法）.注意偶次式与奇次式符号.奇穿偶回
如（1）解不等式32
(3)(1)(2)0x x x +-+≥。

（答：{|13x x x ≥≤-或或2}x =-）；（2）解不等式
2
()
1ax x a R ax >∈-（答：0a =时，
{|x 0}x <；0a >时，1{|x x a >或0}x <；0a <时，1{|0}x x a <<
或0}x <）
七、立体几何
1、位置和符号①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法②直线与平面: a ∥α、a ∩α=A (a ⊄α) 、a ⊂α③平面与平面:α∥β、α∩β=a
2、常用定理:①线面平行ααα////a a b b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂;αββα////a a ⇒⎭⎬⎫⊂;α
αββα//a a a ⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
⊄⊥⊥
②线线平行:b a b a a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα
;b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα;b a b a ////⇒⎪⎭⎪
⎬⎫
=⋂=⋂γβγαβα;
b c c a b a //////⇒⎭⎬⎫
③面面平行:βαββαα////,//,⇒⎪⎭⎪
⎬⎫
=⋂⊂⊂b a O b a b a ;βαβα//⇒⎭⎬⎫
⊥⊥a a ;
γ
αβγβα//////⇒⎭⎬⎫
④线线垂直:b a b a ⊥⇒⎭
⎬⎫
⊂⊥αα;所成角
900；PA a AO a a PO ⊥⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
⊥⊂⊥αα(三垂线);逆定理?
⑤线面垂直:
ααα⊥⇒⎪⎭
⎪⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l b l a l O b a b a ,,;βαβαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫
⊥⊂=⋂⊥a l a a l ,;βαβα⊥⇒⎭⎬⎫
⊥a a //;αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a //
⑥面面垂直：二面角900;
βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊂a a ;
βααβ⊥⇒⎭
⎬⎫
⊥a a //
3、求空间角①异面直线所成角θ的求法：（1）范围：(0,]
2πθ∈；（2）求法：平移以及补形法、向量法。

如（1）正四棱锥ABCD P -的所有棱长相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与
PA 所成的角的余弦值等于____（答：33
）；（2）在正方体AC1中，M 是侧棱DD1的中点，
O 是底面ABCD 的中心，P 是棱A1B1上的一点，则OP 与AM 所成的角的大小为____（答：
90°）；②直线和平面所成的角：（1）范围[0,90]
；（2）斜线与平面中所有直线所成角中最
小的角。

：（3）求法：作垂线找射影或求点线距离 （向量法）；如（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1
中，已知AB=1，D 在棱BB1上，BD=1，则AD 与平面AA1C1C 所成的角为______（答：
arcsin 46
）；（2）正方体ABCD-A1B1C1D1中，E 、F 分别是AB 、C1D1的中点，则棱 A1B1 与截面A1ECF 所成的角的余弦值是______（答：13）；③二面角：二面角的求法：定义法、
三垂线法、垂面法、面积射影法：
cos S S θ
⋅射原＝、转化为法向量的夹角。

如（1）正方形
ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-A1C-A 的大小为________（答：60
）；（2）正四棱柱ABCD —A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°，则二面角C1—BD1—B1的大小为______
（答：
arcsin
）；（3）从点P 出发引三条射线PA 、PB 、PC ，
每两条的夹角都是60°，则二面角B-PA-C 的余弦值是______（答：1
3）；
4、平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体间联系
三棱锥中:侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)⇔顶点在底面射影为底面外心;侧棱两两垂直(两对对棱垂直)⇔顶点在底面射影为底面垂心;斜高相等(侧面与底面所成相等)⇔顶点在底面射影为底面内心;正棱锥各侧面与底面所成角相等为θ,则S 侧cos θ=S 底;正三角形四心?内切外接圆半径?;
5、求球面两点A 、B 距离①求|AB|②算球心角∠AOB 弧度数③用公式L 球面距离=θ球心角×R;纬线半径r ＝Rcos 纬度。

S 球=4πR2;V 球＝3
4πR3;
6、 平面图形翻折(展开):注意翻折(展开)后在同一平面图形中角度、长度不变;
7、从点O 引射线OA 、OB 、OC,若∠AOB=∠AOC,则A 在平面BOC 的射影在∠BOC 平分线上;若A 到OB 与OC 距离相等,则A 在平面BOC 的射影在∠BOC 平分线上；
8、常用转化思想:①构造四边形、三角形把问题化为平面问题②将空间图展开为平面图③割补法④等体积转化⑤线线平行⇔线面平行⇔面面平行⑥线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直⑦有中点等特殊点线,用“中位线、重心”转化.
八、解析几何
1、倾斜角α∈[0,π],α=900斜率不存在;斜率k=tan α=
1
212x x y y --
2、直线方程:点斜式 y-y1=k(x-x1);斜截式y=kx+b; 一般式:Ax+By+C=0 两点式:
1
21
121x x x x y y y y --=
--;截距式:
1=+b y a x (a ≠0;b ≠0);求直线方程时要防止由于零截距和无斜率
造成丢解,直线Ax+By+C=0的方向向量为=(A,-B)
3、两直线平行和垂直①若斜率存在l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2则l1∥l2⇔k1∥k2,b1≠b2;l1⊥
l2⇔k1k2=-1
②若l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0； ③若A1、A2、B1、B2都不为零
l1∥l2⇔21
212
1C C B B A A ≠=;
④l1∥l2则化为同x 、y 系数后距离d=
2
221|
|B A C C +-
4、圆:标准方程(x －a)2+(y －b)2=r2;一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)
5、若(x0-a)2+(y0-b)2<r2(=r2,>r2),则 P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2内(上、外)
6、直线与圆关系,常化为线心距与半径关系，如：用垂径定理,构造Rt △解决弦长问题，又:ｄ>r ⇔相离;d=r ⇔相切;d<r ⇔相交.
7、圆与圆关系,常化为圆心距与两圆半径间关系.设圆心距为d,两圆半径分别为r,R,则d>r+R ⇔两圆相离;d ＝r+R ⇔两圆相外切;|R －r|<d<r+R ⇔两圆相交;d ＝|R －r|⇔两圆相内切;d<|R －r|⇔两圆内含;d=0,同心圆。

8、把两圆x2+y2+D1x+E1y+C1=0与x2+y2+D2x+E2y+C2=0方程相减即得相交弦所在直线方程:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0;
9、圆上动点到某条直线(或某点)的距离的最大、最小值的求法(过圆心) 10、椭圆①方程
1b y a x 22
22=+(a>b>0);②定义:
|PF1|+|PF2|=2a>2c ③e=2
2
a b 1a
c -=,a2=b2+c2④长轴长
为2a ，短轴长为2b ⑤通径(最短焦点弦)
a
b 22⑥
2
1F PF S ∆=
2
tan
b 2θ
,当P 为短轴端点时∠PF1F2最大,
近地a-c 远地a+c;
11、双曲线①方程1b y a x 222
2=-(a,b>0)②||PF1|-|PF2||=2a<2c ③e=22
a b 1a
c +=,c2=a2+b2④四点坐标？x,y 范围?实虚轴、渐进线交点为中心⑤通径(最短焦点弦)
a
b 22
c
b 2⑥
2
1F PF S ∆=
2
cot
b 2θ
⑦渐进线
b y a x 22
22=-或
x a b y ±=;焦点到渐进线距离为b;
12、抛物线①方程y2=2px ②定义:|PF|=d 准③顶点为焦点到准线垂线段中点;x,y 范围?轴？焦点F(
2
p
,0),准线x=-
2
p ,④焦半径
2
p
x AF A +
=;焦点弦AB
＝x1+x2+p;y1y2=－p2,x1x2=42
p 其中
A(x1,y1)、B(x2,y2)⑤通径2p,焦准距p;
13、. B>0,Ax+By+C>0表示直线斜上侧区域;Ax+By+C<0表示直线斜下侧区域; A>0,Ax+By+C>0表示直线斜右侧区域;Ax+By+C<0表示直线斜左侧区域; 求最优解注意①目标函数值≠截距②目标函数斜率与区域边界斜率的关系.
14、过圆x2+y2=r2上点P(x0,y0)的切线为:x0x+y0y=r2;过圆x2+y2=r2外点P(x0,y0)作切线后切点弦方程:x0x+y0y=r2;过圆外点作圆切线有两条.若只求出一条,则另一条垂直ｘ轴.
15、对称①点(ａ,ｂ)关于ｘ轴、ｙ轴、原点、直线y=x 、y=-x 、y=x+m 、y=-x+m 的对称点分别是(ａ,-ｂ),(-ａ,ｂ),(-ａ,-ｂ),(ｂ,ａ),(-ｂ,-ａ),(b-m 、a+m)、(-b+m 、-a+m)②点(ａ,ｂ)关于直线Ax+By+C=0对称点用斜率互为负倒数和中点在轴上解
16、相交弦问题①用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后,注意用判别式、韦达定理、弦长公式;注意二次项系数为0的讨论;注意对参数分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用;注意焦点弦可用焦半径公式,其它用弦长公式
|a |)k 1(x x k 1AB x x
2
122
∆+=-⋅+=1
22y y k
11-⋅+=|a |)k 11(y y 2∆+=②涉及弦中点与斜率问题常用“点差法”.如: 曲线
1b y a x 22
22=±(a,b>0)上
A(x1,y1)、B(x2,y2)中点
为M(x0,y0),则KABKOM=2
2
a b ;对抛物线y2=2px(p ≠0)有KAB ＝2
1y y p
2+
17、轨迹方程:直接法(建系、设点、列式、化简、定范围)、定义法、几何法、代入法(动点P(x,y)。