3.1.3 导数的几何意义(优秀经典公开课比赛教案及联系解答)
教学设计：3.1.3 导数的几何意义
3.1.3 导数的几何意义【教学目标】 知识与技能目标：本节的中心任务是研究导数的几何意义及其应用，概念的形成分为三个层次：(1) 通过复习旧知“求导数的两个步骤”以及“平均变化率与割线斜率的关系”，解决了平均变化率的几何意义后，明确探究导数的几何意义可以依据导数概念的形成寻求解决问题的途径.(2) 借助两个类比的动画，从圆中割线和切线的变化联系，推广到一般曲线中用割线逼近的方法直观定义切线.(3) 依据割线与切线的变化联系，数形结合探究函数)(x f 在0x x =处的导数0()f x '的几何意义，使学生认识到导数0()f x '就是函数)(x f 的图象在0x x =处的切线的斜率.即：()()xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)(lim0000/＝曲线在0x x =处切线的斜率在此基础上，通过例题和练习使学生学会利用导数的几何意义解释实际生活问题，加深对导数内涵的理解.在学习过程中感受逼近的思想方法，了解“以直代曲”的数学思想方法.过程与方法目标：(1) 学生通过观察感知、动手探究，培养学生的动手和感知发现的能力.(2) 学生通过对圆的切线和割线联系的认识，再类比探索一般曲线的情况，完善对切线的认知，感受逼近的思想，体会相切是种局部性质的本质，有助于数学思维能力的提高.(3) 结合分层的探究问题和分层练习，期望各种层次的学生都可以凭借自己的能力尽力走在教师的前面，独立解决问题和发现新知、应用新知.情感、态度、价值观：(1) 通过在探究过程中渗透逼近和以直代曲思想，使学生了解近似与精确间的辨证关系；通过有限来认识无限，体验数学中转化思想的意义和价值；(2) 在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会，如：探究活动，让学生自主探究新知，例题则采用练在讲之前，讲在关键处.在活动中激发学生的学习潜能，促进他们真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展. 【教学重点与难点】重点：理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义及应用于解决实际问题，体会数形结合、以直代曲的思想方法.难点：发现、理解及应用导数的几何意义. 【学法指导】通过设计环环相扣的思考问题，引导学生主动地参与探究活动，体验学习的乐趣，教师在这个过程中不打断学生的思路，学生可以根据学案超前完成活动，期望有能力的学生走在老师的前面，同时，学生也可以根据需要寻求老师和同学的帮助，以更好地在课堂上完成学习任务.使学生充分经历“探索感知——讨论归纳——发现新知——应用新知解释现象”这一完整的探究活动，以获得理智和情感体验，让学生感受到数学知识的产生是水到渠成的.学生自主探索、动手实践、合作交流的学习方式，体现在整个教学过程中. 【数学知识线索】【教学流程】平均变化率瞬时变化率 导 数割线的斜率切线的斜率割 线切 线逼 近导数的几何意义 函数的增减性应 用数形结合类 比【教学过程】教 学 过 程设 计 意 图 一、创设情境、导入新课1.回顾旧知、引出研究的问题：前面我们学习了函数在0x x =处的导数0()f x '就是函数在该点处的瞬时变化率．．．．．.那么： 问：(1) 求导数0()f x '的步骤有哪几步? 生：第一步：求平均变化率()00()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； 第二步：求瞬时变化率()0000()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆.（即0x ∆→，平均变化率趋近．．于的确定常数．．．．就是该点导数．．） (2)观察函数()y f x =的图象，平均变化率()00()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆ 在图形中表示什么？老师引导学生回忆联系本节课的旧知识，下面探究导数的几何意义也是依据导数概念的形成，寻求解决问题的途径.教师板书，便于学生数形结合探究导复习旧知，自然引出研究问题动画类比、知识迁移，获得切线新定义数形结合，学生探索获得导数的几何意义通过例题和练习，巩固知识，加深对导数的认识生：平均变化率表示的是割线nPP的斜率.师：这就是平均变化率．．．．．(．y x∆∆)．的几何意义．．．．．，那么瞬时变化率(limxyx∆→∆∆)在图中又表示什么呢？今天我们就来探究导数的几何意义.教师引导学生观察割线与切线是否有某种内在联系呢？ 生：先感知后发现，当0x ∆→，随着点B 沿着圆逼近点A ，割线AB 无限趋近于点A 处的切线.◆把割线逼近切线的结论从圆推广到一般曲线，可得：多媒体显示【动画2】：动态演示教材上点00(,())n P x x f x x +∆+∆沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势图.师：类比【动画1】，当点00(,())n P x x f x x +∆+∆沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，即0x ∆→，研究割线n PP 的变化趋势.学生观察【动画2】，类比得出一般曲线的切线定义：当点00(,())n P x x f x x +∆+∆沿着曲线()f x 逼近点00(,())P x f x 时，即0x ∆→，割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置上的直线PT 称为点P 处的切线.突破研究的难点：0x ∆→，割线n PP →点P 处的切线 那么：0x ∆→，割线的斜率→？与导数0()f x '又有何关系呢？学生自选A 或B 组题目进行下面的探究活动.2.数形结合，探究导数的几何意义结合【动画2】的变化过程，学生思考下面的问题，探究导数的几何意义.分层自选(A)、(B)中的一组.【探究一(A)】1.已知曲线上两点0000(,()),(,())n x x P x f x P x f x +∆+∆： (1)根据切线定义可知：0x ∆→，割线n PP 趋近于切线PT .那么割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 又有何关系？纳和总结并深入体会知识间的联系.三、探索小结、重点讲评1.获得导数的几何意义◆学生快速探究活动后，展示研究成果，教师重点讲评： 割线n PP 的斜率是0000()()()n f x x f x k x x x +∆-=+∆-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ，即 0000()()lim ()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆切线PT 的斜率k 即为函数在0x x =处的导数. 导数的几何意义：00000()()()lim x f x x f x f x x x k x∆→+∆-'===∆曲线在处的切线的斜率师：由导数的几何意义，我们可以解决哪些问题？ 生：已知某点处的导数或者切线的斜率可以求另外一个量. 问：切线y kx b =+中，如果0k >，则切线有怎样的变化趋势？如果0k <呢？反之，由切线的变化趋势，能否确定斜率的情况？生：0k >，则切线呈上升趋势；0k <，则切线呈下降趋势.由切线的变化趋势可以得出切线的斜率情况，也即该点处的导数情况.2.了解以直代曲思想把点P 附近函数的图象放大，引导学生理解以直代曲思想是指某点附近一个很小的研究区域内，曲线与切线的变化趋势基本一致，故可由曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线.借助实物投影仪，展示学习成果，学生经历了完整的探究过程后，教师的讲评就可以有针对性和详略，学生也可以结合自己探究的体会更好地建构知识.突破导数的几何意义这个学习重点.复习一次函数的增减性，为后面利用导数研究函数的增减性埋下伏笔.通过将曲线一点PPP师：在某点附近一个很小的研究区域内，曲线与切线的变化趋势有何关系？如果切线的斜率为正，则该点附近曲线的增减情况怎样？生：点P附近，曲线和该点处的切线的增减变化情况一致.如果切线的斜率为正，则该点附近曲线呈上升趋势.处的局部“放大、放大、再放大”的直观方法，形象而逼真地再现“以直代曲”思想.渗透用导数的几何意义研究函数的增减性至此突破学习重点和难点，用时约15分钟四、知识应用、巩固理解1.导数几何意义的应用例题：如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数105.69.4)(2++-=ttth的图象.(1)(2)优生可在完成【探索一】后提前进行知识的应用.要求学生动脑(审题),动手(画切线)，动口(讨论)，体会利用导数的几何意义及运用导数来研究函数在某点附近的单调性，渗透“数形结合”的思想方法，运用以直代曲的思想方法.t O5.00.1【探究二(A)】1．用图形体现3.3)1(/-=h ，6.1)5.0(/=h 的几何意义.2．导数值的正负，反应该点附近的曲线有何变化趋势？ 3．请描述、比较曲线)(t h 在210,,t t t 附近增（减）以及增（减）快慢的情况.在43,t t 附近呢？分析：附近：瞬时．．，增减：变化率．．．，即研究函数在该点处的瞬时变化率，也就是导数.可借助切线的变化趋势得到导数的情况.生：作出曲线在这些点处的切线，在0t 处切线平行于x 轴，即0()0h t '=，说明在0t 时刻附近变化率为0，函数几乎没有增减；在12,t t 作出切线，切线呈下降趋势，即12()0,()0h t h t ''<<，函数在点附近单调递减.曲线在2t 附近比在1t 附近下降得更快，则是因为12|()||()|h t h t ''<.【探究二(B)】htO3t4t 0t1t 2t【探究二(B)】1.运用导数的几何意义，描述)(t h 在210,,t t t 附近增（减）以及增（减）快慢的情况.在43,t t 附近呢？2. 如何用导数研究函数的增减？小结：附近：瞬时．．，增减：变化率．．．，即研究函数在该点处的瞬时变化率，也就是导数.导数的正负即对应函数的增减.作出该点处的切线，可由切线的升降趋势，得切线斜率的正负即导数的正负，就可以判断函数的增减性，体会导数是研究函数增减、变化快慢的有效工具.同时，结合以直代曲的思想，在某点附近的切线的变化情况与曲线的变化情况一样，也可以判断函数的增减性.都反应了导数是研究函数增减、变化快慢的有效工具.例题变式1：函数32y x =+上有一点00(,)x y ，求该点处的导数0()f x '，并由此解释函数的增减情况.0000000()()()lim3()2(32)lim 3x x f x f x x f x x x x x x∆→∆→'=+∆-∆+∆+-+==∆解：函数在定义域上任意点处的瞬时变化率都是3，函数在定义域内单调递增.(此时任意点处的切线就是直线本身，斜率就是变化率)例题变式2：下图是函数()y f x =的图象，请回答下面的问题：【探究三(A)】1.请指出函数的单调区间，并用导数的几何意义说明.生：单调区间有：[52),[2,1),[1,3),[3,5]---，作出区间内一系列的曲线的切线，发现切线呈现一致的上升或下降的趋势，即切线的斜率一致为正或负，所以导数值在单调区间内恒正或恒负，对应函数单调递增或递减. 【探究三(B)】1.请指出函数的单调区间，并用导数的几何意义说明. 答案同上2.根据上题的结论，研究某点处的导数值、切线的斜率和函数的单调性之间有何关系？生：从数的角度：导数正负对应函数的增减，。
课件14：3.1.3 导数的几何意义
2．设 f′(x0)＝0，则曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在
B．与 x 轴平行或重合
C．与 x 轴垂直
D．与 x 轴斜交
解析：f′(x0)＝0，说明曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率 为 0，所以与 x 轴平行或重合．
答案：B
3．在曲线 y＝x2 上切线倾斜角为π4的点是(
切线方程． 解：由 y＝13x3，得 y′＝
ΔΔyx＝
13（x＋Δx）3－13x3 Δx
＝13
3x2Δx＋3x（Δx）2＋（Δx）3 Δx
1 =3
[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝x2，y′|x＝3＝32＝9，
即曲线在 P(3，9)处的切线的斜率等于 9.
由直线的点斜式方程可得，
所求切线方程为 y－9＝9(x－3)，
)
A．(0，0)
B．(2，4)
C．41，116
D．21，14
解析：因为 y＝x2，所以 k＝y′＝
ΔΔyx＝
（x＋Δx）2－x2 Δx
＝
(2x＋Δx)＝2x，所以 2x＝tanπ4＝1，
所以 x＝12，则 y＝14.
答案：D
4. 若函数 f(x)在点 A(1，2)处的导数是－1，那么曲线 y＝f(x) 在点 A 处的切线方程是________． 解析：切点为(1，2)，k＝－1， 所以切线方程为 y－2＝－1×(x－1) 即：x＋y－3＝0.
解析：(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，直 线是曲线切线时，直线可能与曲线有两个以上的交点，正确．(2) 与曲线有且只有一个交点的直线不一定是曲线的切线，如直线 x＝1 与抛物线 y＝x2 有且只有一个公共点，但 x＝1 不是抛物 线 y＝x2 的切线，不正确．(3)f′(x0)是一个数值，不是变数，而 f′(x)是关于 x 的一个函数，正确．(4)求 f′(x0)时，可先求 f′(x)， 再求 f′(x0)，故(4)错误． 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
高中数学选修1-1优质学案：3.1.3 导数的几何意义
3.1.3 导数的几何意义[学习目标] 1.了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系.2.理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义.3.会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义.知识点一导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率.也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0).相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).知识点二函数的导函数当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)是f(x)的导函数(简称导数).f′(x)也记作y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.题型一 已知过曲线上一点求切线方程例1 若曲线y ＝x 3＋3ax 在某点处的切线方程为y ＝3x ＋1，求a 的值. 解 ∵y ＝x 3＋3ax .∴y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )3＋3a (x ＋Δx )－x 3－3axΔx ＝lim Δx →03x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3＋3a Δx Δx ＝lim Δx →0[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2＋3a ]＝3x 2＋3a . 设曲线与直线相切的切点为P (x 0，y 0)， 结合已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 20＋3a ＝3，x 30＋3ax 0＝y 0＝3x 0＋1， 解得⎩⎨⎧a ＝1－322，x 0＝－342，∴a ＝1－322. 反思与感悟 一般地，设曲线C 是函数y ＝f (x )的图象，P (x 0，y 0)是曲线C 上的定点，由导数的几何意义知k ＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程.跟踪训练1 求过曲线y ＝1x 在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线方程. 解 因为lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝lim Δx →012＋Δx －12Δx＝ lim Δx →0－12(2＋Δx )＝－14.所以这条曲线在点⎝⎛⎭⎫2，12处的切线斜率为－14，由直线的点斜式方程可得切线方程为y －12＝－14(x －2)，即x ＋4y －4＝0.题型二 求过曲线外一点的切线方程例2 已知曲线y ＝2x 2－7，求曲线过点P (3,9)的切线方程. 解 y ′＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0[2(x ＋Δx )2－7]－(2x 2－7)Δx ＝lim Δx →0 (4x ＋2Δx )＝4x . 由于点P (3,9)不在曲线上.设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝4x 0， 故所求的切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0). 将P (3,9)及y 0＝2x 20－7代入上式，得9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0). 解得x 0＝2或x 0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25). 从而所求切线方程为8x －y －15＝0或16x －y －39＝0.反思与感悟 若题中所给点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程. 跟踪训练2 求过点A (2,0)且与曲线y ＝1x 相切的直线方程.解 易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P (x 0，y 0)，由y ′|0x x =x ＝x 0＝lim Δx →01x 0＋Δx －1x 0Δx ＝－1x 20， 得所求直线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0).由点(2,0)在直线上，得x 20y 0＝2－x 0，再由P (x 0，y 0)在曲线上，得x 0y 0＝1，联立可解得x 0＝1，y 0＝1，所求直线方程为x ＋y －2＝0. 题型三 求切点坐标例3 在曲线y ＝x 2上过哪一点的切线， (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)与x 轴成135°的倾斜角.解 f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点. (1)因为切线与直线y ＝4x －5平行， 所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4， 即P (2,4)是满足条件的点.(2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直， 所以2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94，即P ⎝⎛⎭⎫－32，94是满足条件的点. (3)因为切线与x 轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1，即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14，即P ⎝⎛⎭⎫－12，14是满足条件的点. 反思与感悟 解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意[解析]几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，直线互相平行或垂直等. 跟踪训练3 已知抛物线y ＝2x 2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0? 解 设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2.∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx . 当Δx 无限趋近于零时，ΔyΔx 无限趋近于4x 0.即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1，该点为(1,3). (2)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直， ∴斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，该点为(2,9).计算切线与坐标轴围成的图形的面积求关于曲线的切线与坐标轴围成的图形的面积问题常见的题型有三类：(1)曲线的一条切线与两坐标轴围成的图形的面积.此类问题比较简单，只要求出切线方程与两坐标轴的交点，即可计算.(2)求通过曲线外一点引曲线的两条切线，两切线与坐标轴围成的图形的面积. 解决这类问题的关键仍然是求出两条切线的方程与坐标轴的交点坐标. (3)求两曲线交点处的两条切线与坐标轴围成的图形的面积.其解题步骤为： ①求两曲线的交点坐标； ②求交点处两条切线的切线方程； ③求两切线与坐标轴的交点坐标； ④依据数形结合的思想计算图形的面积.例4 已知曲线y ＝1x和y ＝x 2.求两曲线交点处的两条切线与y 轴所围成的三角形的面积.解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.即两曲线的交点坐标为(1,1). 曲线y ＝1x 在点(1,1)处的切线的斜率为k 1＝f ′(1)＝lim Δx →011＋Δx －1Δx ＝lim Δx →0－11＋Δx ＝－1， 所以曲线y ＝1x 在点(1,1)处的切线方程为y ＝－x ＋2.同理，曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线的斜率为 k 2＝lim Δx →0(1＋Δx )2－12Δx ＝lim Δx →0 (2＋Δx )＝2， 故曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线方程为y ＝2x －1.如图所示，两切线分别与y 轴交于点(0,2)和(0，－1)，其与y 轴所围成的三角形的面积为S ＝12×3×1＝32.1.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为( ) A.4B.16C.8D.2 [答案] C[解析] f ′(2)＝lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx＝lim Δx →02(2＋Δx )2－8Δx＝lim Δx →0 (8＋2Δx )＝8，即斜率k ＝8. 2.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A.a ＝1，b ＝1 B.a ＝－1，b ＝1 C.a ＝1，b ＝－1 D.a ＝－1，b ＝－1[答案] A[解析] 由题意，知k ＝y ′|x ＝0＝lim Δx →0(0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b Δx ＝1，∴a ＝1. 又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A.3.已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为( ) A.30°B.45°C.135°D.165° [答案] B[解析] ∵y ＝12x 2－2，∴y ′＝lim Δx →012(x ＋Δx )2－2－⎝⎛⎭⎫12x 2－2Δx＝lim Δx →012(Δx )2＋x ·Δx Δx＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫x ＋12Δx ＝x . ∴y ′|x ＝1＝1.∴点P ⎝⎛⎭⎫1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°. 4.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________. [答案] (3,30)[解析] 设点P (x 0,2x 20＋4x 0)， 则f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →02(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4Δx Δx ＝4x 0＋4， 令4x 0＋4＝16得x 0＝3，∴P (3,30).5.曲线y ＝2x 2＋1在点P (－1,3)处的切线方程为________________. [答案] 4x ＋y ＋1＝0[解析] Δy ＝2(Δx －1)2＋1－2×(－1)2－1 ＝2(Δx )2－4Δx ， ΔyΔx＝2Δx －4， lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(2Δx －4)＝－4， 由导数几何意义知，曲线y ＝2x 2＋1在点(－1,3)处的切线的斜率为－4，切线方程为y ＝－4x －1，即4x ＋y ＋1＝0.1.导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.Δx2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值.3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.。
高中数学_3.1.3 导数的几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思
3.1.3导数的几何意义高二数学人教B版教材（选修1-1）一、教材分析本节课选自人教B版选修1-1第三章3.1.3导数的几何意义。
教材通过数形结合的方法，演示了割线斜率到切线斜率的变化过程，用形象直观的逼近方法定义了切线，引出了导数的几何意义，适合学生的认知规律，在学生学习中有着明确的学习方法指引，通过本节课的学习，学生们进一步认识了“逼近思想”在数学中的应用。
例题设计难度适中，既有简单求解切线斜率、切点的题目，又有求切线方程题型。
例题设计了“在一点处”型和“过一点”型的切线方程，可以培养学生思维全面严谨、分类讨论的能力。
二、教学目标知识与技能：理解导数的几何意义、熟练掌握求切点及函数“在一点处”型、“过一点”型的切线斜率的求法。
过程与方法：让学生体会割线斜率到切线斜率的过程，熟练掌握数形结合、分类讨论等数学思想方法。
情感态度与价值观：能够从生活中抽象出数学问题，在学习中养成积极探究，合作分享的学习态度。
通过认真训练，达到举一反三、融会贯通的目的。
三、重点、难点导数几何意义的理解与应用，“过一点”型的切线斜率的求解过程。
突出重点方法：“抓三线、突重点”，即(一)知识技能线：实例引入→抽象为数学问题→动态演示→形成概念；（二）过程与方法线:具体到抽象、数形结合、分类讨论的应用；（三）能力线：观察能力→数学思想解决问题能力→灵活运用能力及严谨态度.教学难点：导数的几何意义，从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高。
从知识本身特点来看，导数的几何意义是在平均变化率、瞬时速度与导数的基础上结合切线斜率再生成的一个知识点。
特别是在求“在一点处”型、“过一点”型的切线斜率，这是学生的难点，刚开始接触，好多学生可能不理解。
突破难点手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导。
《3.1.3导数的几何意义》教学案3
《导数的几何意义》导学案教学目标：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，知道导数的概念并会运用概念求导数.教学重难点：函数切线的概念，切线的斜率，导数的几何意义.教学过程：情景导入：如图，曲线C 是函数y =f (x )的图象，P (x 0，y 0)是曲线C 上的任意一点，Q (x 0+Δx ，y 0+Δy )为P 邻近一点，PQ 为C 的割线，PM //x 轴，QM //y 轴，β为PQ 的倾斜角. .tan ,,:β=∆∆∆=∆=x y y MQ x MP 则合作探究：探究任务：导数的几何意义问题1：当点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =，沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线的变化趋是什么？y x∆∆请问：是割线PQ 的什么?新知：当割线P n P 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线割线的斜率是：n k =____________.当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim()x f x x f x k f x x ∆→+∆-'==∆ 新知：函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率.即k =000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 精讲精练：例1 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图象，请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况.例2 如图，它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min )变化的函数图象.根据图象，估计t =0.2，0.4，0.6，0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).有效训练练1. 求双曲线1y x =在点1(,2)2处的切线的斜率，并写出切线方程. 练2. 求2y x =在点1x =处的导数.反思总结函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k =000()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆.。
高中数学人教B版选修1-1第三章《3.1.3 导数的几何意义》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
高中数学人教B版选修1－1第三章《3.1.3 导数的几何意义》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
(一)知识与技能目标:
1、理解切线的定义以及平均变化率的几何意义;
2、掌握导数的几何意义,并能熟练运用该知识点解决相应习题。
(二)过程与方法目标:
1、通过数形结合理解平均变化率的几何意义;
2、从幻灯片中动感的观察出一定点的割线逐渐变成切线的过程,充分理解导数的几何意义。
(三)情感态度与价值观目标:
通过对问题的逐渐深入的讨论,激发学生的求知欲和问题探究的热情,提高学生对数学的兴趣以及积极的数学学习态度。
2学情分析
学生在学习导数的几何意义之前,已经掌握了平均变化率和瞬时变化率的概念,本节课学生可以通过图像来感受平均变化率的意义,再通过幻灯片动画放映来理解导数的几何意义。
3重点难点
重点:通过图像来理解平均变化率以及瞬时变化率的几何意义,以及利用导数的几何意义来求曲线在某点处的切线方程;
难点:理解导数的几何意义。
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】复习导入
1、回想初中所学圆的切线定义(与一个圆只有一个公共点的直线叫做圆的切线)。
2、复习平均变化率的公式。
3、复习瞬时变化率(导数)的公式。
导数的几何意义优秀教学设计
《导数的几何意义》教学设计【教材分析】本节课选自高中数学人教A版选修1-1第三章《导数及其应用》中的3.1.3《导数的几何意义》第一课时。
导数是微积分的核心概念之一，它为研究函数提供了有效的方法。
教材从形的角度即割线入手，用形象直观的“逼近”方法，通过观察发现、思考归纳的方式定义了切线，获得导数的几何意义。
通过本节的学习，可以帮助学生进一步理解导数的定义，渗透数形结合、以直代曲的思想方法，体会导数是研究函数的单调性、函数值变化快慢等性质的有效工具。
【教学目标】知识与技能：了解平均变化率与割线之间、瞬时变化率与切线之间的关系，通过函数的图象理解并掌握导数的几何意义。
利用导数的几何意义会求曲线上某点处的切线方程。
过程与方法：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。
情感态度与价值观：通过分组讨论、合作探究、各组积分制等多种教学形式，培养学生的合作意识及竞争意识，提高学生的积极性。
体会类比、数形结合、以直代曲、从特殊到一般的思想方法。
【教学重点与难点】教学重点：导数的几何意义及利用导数的几何意义会求曲线上某点处的切线方程。
教学难点：发现、理解导数的几何意义，进一步理解导数的概念，渗透以直代曲的思想方法。
【指导思想】树立以学生发展为本的思想。
通过构建以学习者为中心、有利于学生主体精神、创新能力健康发展的宽松的教学环境，为学生提供自主探索和动手操作的机会，鼓励他们创新思考，亲身参与知识的形成过程，从而解决问题。
【教学方法】本节课以一个物体做直线运动为主线，对具体的由浅入深的问题进行分析引导，依据建构主义教学原理，从数的角度即平均变化率与瞬时变化率的关系和形的角度即割线与切线的关系，用形象直观的“逼近”方法，通过类比、从特殊到一般，逐步渗透从有限到无限，量变到质变，把新的知识化归到学生原有的认知结构中去。
【学法指导】在本节课中，学生对具体的问题进行逐步解决，经过探索、观察几何画板的动态演示、对比分析、自己发现结论的学习方法，以培养学生逻辑思维能力、自学能力、动手实践能力和探索精神，并渗透了辩证唯物主义认识论和方法论的教育。
导数的几何意义教案及说明
导数的几何意义教案及说明教案章节：一、导数的定义；二、导数的计算；三、导数的应用；四、导数与曲线的切线；五、导数与函数的单调性一、导数的定义1. 教学目标：理解导数的定义，掌握导数的几何意义。
2. 教学内容：引入导数的概念，解释导数的几何意义，举例说明导数表示曲线的切线斜率。
3. 教学步骤：a. 引入导数的概念，解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
b. 解释导数的几何意义，即导数表示曲线的切线斜率。
c. 举例说明导数表示曲线的切线斜率，通过图形演示导数的变化。
4. 教学练习：a. 练习计算函数在某一点的导数。
b. 练习根据导数的几何意义，确定曲线的切线斜率。
二、导数的计算1. 教学目标：掌握导数的计算方法，能够计算常见函数的导数。
2. 教学内容：介绍导数的计算方法，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数。
3. 教学步骤：a. 介绍导数的计算方法，包括常数函数的导数为0，幂函数的导数按幂次降次，指数函数的导数为自身，对数函数的导数为1/x。
b. 举例说明常见函数的导数计算，包括正弦函数、余弦函数、绝对值函数等。
4. 教学练习：a. 练习计算常见函数的导数。
b. 练习根据导数的计算结果，分析函数的单调性。
三、导数的应用1. 教学目标：理解导数在实际问题中的应用，掌握导数的基本应用方法。
2. 教学内容：介绍导数在实际问题中的应用，包括速度、加速度、优化问题等。
3. 教学步骤：a. 介绍导数在速度和加速度中的应用，解释速度是位置关于时间的导数，加速度是速度关于时间的导数。
b. 举例说明导数在优化问题中的应用，通过导数找到函数的最大值和最小值。
4. 教学练习：a. 练习根据导数计算速度和加速度。
b. 练习使用导数解决优化问题。
四、导数与曲线的切线1. 教学目标：理解导数与曲线的切线的关系，掌握求解切线方程的方法。
2. 教学内容：解释导数与曲线的切线的关系，介绍求解切线方程的方法。
3. 教学步骤：a. 解释导数与曲线的切线的关系，即导数表示曲线的切线斜率。
学案5：3.1.3 导数的几何意义
3.1.3 导数的几何意义一、学习目标1．通过作函数)(x f 图象上过点))(,(00x f x P 的割线和切线，直观感受由割线过渡到切线的变化过程.2．掌握函数在某一处的导数的几何意义，进一步理解导数的定义.3．会利用导数求函数曲线上某一点的切线方程.二、例题精讲例1：已知曲线y =，求曲线在点P （1，1）处的切线方程，求满足斜率为﹣的曲线的切线方程．例2：已知曲线y =上一点，求：（1）点P 处切线的斜率；（2）点P 处的切线方程．变式：已知函数f (x )＝x 2＋2.(1)求f ′(x )；(2)求f (x )在x ＝2处的导数．三、随堂练习1．如图所示，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( )A.12B ．1C ．2D ．0 2．已知曲线y ＝4x在点P (1,4)处的切线与直线l 平行且距离为17，则直线l 的方程为( )A ．4x －y ＋9＝0B ．4x －y ＋9＝0或4x －y ＋25＝0C ．4x ＋y ＋9＝0或4x ＋y －25＝0D ．以上均不对3．已知y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则b a＝________. 4．曲线f (x )＝3x ＋x 2在点(1，f (1))处的切线方程为__________．参考答案：二、例题精讲例1：解：y=的导数为y′=﹣，则曲线在点P（1，1）处的切线斜率为﹣1，即有曲线在点P（1，1）处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即为y=2﹣x；令y′=﹣=﹣，则求得切点的横坐标x=，即有切点为（，2），（﹣，﹣2）．则所求的切线方程为y﹣2=﹣（x﹣）或y+2=﹣（x+），即为y=﹣x+或y=﹣x﹣．例2：解：（1）y=的导数y′=x2，则点处的切线的斜率为y′|x=2=4；（2）由点斜式方程得，在点P处的切线方程：y﹣=4（x﹣2），即12x﹣3y﹣16=0．变式：解：(1)∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2＋2－(x2＋2)＝(Δx)2＋2x·Δx，∴ΔyΔx＝2x＋Δx.∴f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝2x.(2)f′(2)＝f′(x)|x＝2＝2×2＝4.三、随堂练习1．【解析】由图象知f(5)＝－5＋8＝3.由导数几何意义知f′(5)＝－1.∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.【答案】C2．【解析】y ′＝lim Δx →0 Δy Δx＝－4，∴k ＝－4， ∴切线方程为y －4＝－4(x －1)，即4x ＋y －8＝0， 设l ：4x ＋y ＋c ＝0，由题意17＝|c ＋8|42＋12， ∴c ＝9或－25，应选C.【答案】C3．【解析】 由题意lim Δx →0a (1＋Δx )2＋b －a －b Δx＝lim Δx →0 (a Δx ＋2a )＝2a ＝2， ∴a ＝1，又3＝a ×12＋b ，∴b ＝2，∴b a＝2. 【答案】 24．【解析】k ＝lim Δx →03(1＋Δx )＋(1＋Δx )2－3－12Δx＝5. ∵f (1)＝4.由点斜式得y －4＝5(x －1)，即y ＝5x －1.【答案】y ＝5x －1。
高中数学新人教版B版精品教案《3.1.3 导数的几何意义》
30’02”- 33’43”
已知=f在点P0,f0处的切线方程，可以列两个式子。
=2＋a＋b在点0，b处的切线方程是
－＋1＝0，求a和b的值。
思考例题，书写解题步骤，听老师讲授并回答问题。
展示例题和解题步骤
应用举例
33’44”-44 ’22”
利用导数的几何意义判断分段函数，图像不光滑的函数的导数是否存在，更进一步的理解导数的定义，并灵活应用导数的几何意义。
五、教学设计
教学环节
起止时间（’”-’”）
环节目标
教学内容
学生活动
媒体作用及分析
复习引入
0’12”- 1’38”
复习
平均变化率和导数的定义表达式
复习回顾口头回答问题
演示公式
提出问题
1’39”- 9’45”
掌握“切线”的定义，并引入新课：“导数的几何意义”
割线的极限位置是切线，重新理解切线的定义
思考并回答老师的提问
《导数的几何意义》教学设计
一、基本信息
学校
内蒙古师范大学附属中学
课名
《导数的几何意义》
教师姓名
王智娟
学科（版本）
人教B版 选修1-1
章节
第三章 313
学时
1学时
年级
高二年级
二、教学目标
1、知识与技能:理解导数的几何意义， 并会用求导数的方法求切线的斜率和切线方程；能利用导数的几何意义判断导数是否存在。
3、学生已经学习了导数的定义，掌握了利用定义表达式求简单函数导数的方法，并认识到平均变化率就是割线的斜率。
四、教学重难点分析及解决措施
教学重点：理解导数的几何意义；
教学难点：理解函数的导数就是在某点处的切线的斜率。解决措施：通过动画让学生体会从割线到切线的变化过程，从而理解从平均变化率到瞬时变化率（导数）的变化过程，并理解导数的几何意义；
3.1.3导数的几何意义教学设计
(1) 新课的引入：通过课件的展示，提出问题，激发学生的求知欲。
(2) 探索导数的几何意义：数形结合，让学生在观察，思考，发现中学习。
(3) 例题处理：始终从问题出发，引导学生在探索中获得答案。
(4) 随堂演练：深化对导数几何意义的理解与应用，巩固新知。
2
课堂教学过程结构设计(教学流程图)
开始
课件
复习回顾
课件
引导探究、获得 新知
课件
知识应用、巩固 理解
课件
思考总结，做好 笔记
思考变式 1
课件 完成例 2，例 3 学生板演变式 2,3
复习检测
讨论探究 完成例 1
教师评价
学生小结
教师补充
教学 环节
教学内容
结束
教师引领
学生活动 设计意图、依据
（1）
复 习 回 顾
<1>复习基本初等函数 的导数公式
(1) C ' ____ (C 为常 数)； (2) (xn)' ________ , n ∈ N+；
2、学情分析 通过对函数平均变化率和导数定义的学习，学生对有关导数的问题已经有了初
步的认识，但是由于导数定义的抽象性，学生理解起来仍具有一定的困难。选修 1-1
是文科学生学习的内容，学生的学习能力在年级里属中等程度。虽然学生学习兴趣
较高，但独立探索，解决问题的能力稍差，数学语言的表达及数形结合的能力、对
知识灵活运用的能力仍有不足.根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水
平，制定如下教学目标和重点、难点。
二、
1、知识与技能：
教
理解导数的几何意义，掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程的方法。
学
导数的几何意义教案(后附教学反思
导数的几何意义教案（后附教学反思）一、教学目标1. 让学生理解导数的定义，掌握导数的几何意义。
2. 能够运用导数求解曲线的切线斜率。
3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
二、教学内容1. 导数的定义2. 导数的几何意义3. 导数与切线斜率的关系4. 求解曲线的切线斜率5. 应用实例三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义，导数的几何意义，求解曲线的切线斜率。
2. 难点：导数的几何意义的理解，求解曲线的切线斜率的应用。
四、教学方法1. 采用讲解法、问答法、案例分析法、互动讨论法等。
2. 通过图形演示、实例分析，引导学生直观理解导数的几何意义。
3. 以学生为主体，鼓励学生主动探究、积极参与，培养学生的动手能力和思考能力。
五、教学过程1. 导入：回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生思考如何描述曲线的变化率。
2. 讲解导数的定义：引入极限的概念，讲解导数的定义，强调导数表示的是函数在某一点的瞬时变化率。
3. 导数的几何意义：通过图形演示，解释导数表示的是曲线在某一点的切线斜率。
引导学生直观理解导数的几何意义。
4. 导数与切线斜率的关系：讲解导数与切线斜率的关系，引导学生掌握求解曲线的切线斜率的方法。
5. 应用实例：分析实际问题，运用导数求解曲线的切线斜率，巩固所学知识。
6. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固导数的几何意义及求解切线斜率的方法。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调导数的几何意义及求解切线斜率的方法。
8. 布置作业：布置课后作业，巩固所学知识。
教学反思：1. 讲解导数的定义时，要注重极限思想的理解，引导学生明白导数表示的是函数在某一点的瞬时变化率。
2. 通过图形演示，让学生直观地理解导数的几何意义，强化空间想象能力。
3. 结合实际问题，让学生学会运用导数求解曲线的切线斜率，提高学生的应用能力。
4. 课堂练习环节，要注意引导学生主动思考，培养学生的解决问题能力。
5. 教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够扎实掌握所学知识。
《导数的几何意义》优秀教学设计 比赛课优秀教案(公开课教案)
《导数的几何意义》教学设计教学内容解析1、教材分析《导数的几何意义》是人教A版选修2-2第一章《导数及其应用》§1.1.3的内容，本节课为第一课时。
微积分学是人类思维的伟大成果之一，它开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法。
导数是微积分的核心概念之一，有极其丰富的实际背景和广泛的应用。
导数的几何意义作为导数的概念的下位知识课，是学生掌握了上位知识——平均变化率、瞬时变化率以及导数的概念的基础上进一步从几何意义的角度理解导数的含义与价值，体会逼近，以直代曲和数形结合的数学思想方法。
同时，本节的学习也为下位知识——导数的计算以及导数在研究函数中的应用奠定坚实的基础。
因此，导数的几何意义具有承前启后的重要作用，是本章的关键内容。
2、教学重点与难点教学重点：理解导数的几何意义及其应用。
教学难点：逼近思想，以直代曲的思想。
二、教学目标设置（一）知识与技能：（1）会描述一般曲线的切线定义；（2）会根据导数的几何意义求切线斜率，并会用其分析描述“曲线在某点附近的变化情况”。
（二）过程与方法：（1）通过观察类比，合作探究，概括出一般曲线的切线定义；（2）经历发现导数的几何意义的过程，体会逼近、类比、数形结合的思想方法。
（三）情感态度与价值观：领悟有限与无限，量变与质变的辩证关系，感受人类理性思维的作用。
三、学生学情分析从知识储备上看，学生通过了对实例的分析，经历了由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解了导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，从数上体会了“逼近”的思想；同时，学生已经学习了直线的斜率与直线方程的相关知识。
从学习能力上看，教学对象是高二理科班的学生，思维活跃，具有一定的想象能力和研究问题的能力。
经过半年多的训练，学生逐步形成小组合作探究，代表上台解释概括总结的学习模式。
从学习心理上看，学生已经从实际意义，数值意义这些“数”的角度理解了导数，学生也渴求从几何意义，即“形”的角度来理解导数，但学生对切线认识存在一定的思维定势——“与曲线仅有一个公共点的直线是曲线的切线”。
《3.1.3导数的几何意义》教学案1
《导数的几何意义》教学案教学目标：1.知识与技能：了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2.过程与方法：理解曲线的切线的概念；3.情态与价值：通过函数的图像直观地理解导数的几何意义并会用导数的几何意义解题.教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义.教学难点：导数的几何意义．教学过程：创设情景(一)平均变化率、割线的斜率 (二)瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率，反映了函数y =f (x )在x =x 0附近的变化情况，导数0()f x '的几何意义是什么呢？新课讲授(一)曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？我们发现，当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时，割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.图3.1-2问题：⑴割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ ⑵切线PT 的斜率k 为多少？ 容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ，即0000()()lim()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆说明：(1)设切线的倾斜角为α，那么当Δx →0时，割线PQ 的斜率，称为曲线在点P 处的切线的斜率.这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法； ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.(2)曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关；2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限，则在此点有切线，且切线是唯一的；如不存在，则在此点处无切线；3)曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个.(二)导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率， 即 0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标；②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程. (三)导函数：由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到，当时，0()f x '是一个确定的数，那么，当x 变化时，便是x 的一个函数，我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '，即:0()()()limx f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．(四)函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系. 1)函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数.2)函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的， 就是函数f (x )的导函数3)函数()f x 在点0x 处的导数'0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值，这也是求函数在点0x 处的导数的方法之一.典例分析例1:(1)求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1，2)处的切线方程. (2)求函数y =3x 2在点(1,3)处的导数.解：(1)222100[(1)1](11)2|lim lim 2x x x x x x y x x=∆→∆→+∆+-+∆+∆'===∆∆，所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为22(1)y x -=-即20x y -=(2)因为222211113313(1)|lim lim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=--所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为36(1)y x -=-即630x y --= (2)求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2200(1)(1)2(1)lim lim (3)3x x y x x f x x x→→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆V V例2．(课本例2)如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h x x x =-++，根据图像，请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况．解：我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线，刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况．(1) 当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴，所以，在0t t =附近曲线比较平坦，几乎没有升降．(2) 当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<，所以，在1t t =附近曲线下降，即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减．(3) 当2t t =时，曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率2()0h t '<，所以，在2t t =附近曲线下降，即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减．从图3.1-3可以看出，直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度，这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢．例3．(课本例3)如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位：/mg mL )随时间t (单位：min )变化的图象．根据图像，估计0.2,0.4,0.6,0.8t =时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)．解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度()f t 在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线()f t 在此点处的切线的斜率．如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．作0.8t =处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则它的斜率为：0.480.911.41.00.7k -=≈--所以(0.8) 1.4f '≈-下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：1．求曲线y =f (x )=x 3在点(1,1)处的切线；2．求曲线y =(4,2)处的切线．回顾总结：1．曲线的切线及切线的斜率； 2．导数的几何意义.。
导数的几何意义优秀教案 (公开课优秀教学比赛教学设计)
《导数的几何意义》教学设计（教案）授课时间： XXX 年 X 月 XXX 日 授课人： 学期累计课时数： 2 教学课题：§1.1.3导数的几何意义 课型：新授课学习目标：1．通过作函数)(x f 图像上过点))(,(00x f x P 的割线和切线，直观感受由割线过渡到切线的变化过程；2．掌握函数在某一点处的导数的几何意义，进一步理解导数的定义；3．会利用导数求函数曲线上某一点的切线方程.重点：导数的几何意义，导数的实际应用，“以直代曲”数学思想方法．难点：对导数几何意义的理解与掌握，在每处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解．教学方法 诱思 教 具多媒体教学活动1． 提出问题---引入课题 温故知新，诱发思考：提问：初中平面几何中圆的切线的定义是什么？学生（预设）：直线和圆有惟一公共点时，直线叫做圆的切线，惟一公共点叫做切点．教师：这种定义是否适用于一般曲线的切线呢？——学生（预设）：学生回答适应，教师举出反例子；——学生（预设）：不能用公共点的个数来定义，教师：你能否用你已经学过的函数曲线的切线举出反例？ 学生（预设）：正弦函数的曲线与直线可能相切时有两个公共点． 教师（强调）：圆是一种特殊的曲线，这种定义并不适用于一般曲线的切线．如图曲线c ，直线l 3虽然与曲线c 有惟一公共点，但它与曲线c 不相切；而另一条直线l 2，虽然与曲线c 有两个公共点B 和C ，但与曲线c 相切于点B ．因此，直线与曲线的公共点的个数不能用来定义一般曲线的切线．我必须用新的方法来定义曲线的切线．，设计意图：帮助学生反思圆的切线的定义的局限性，寻找更加科学的方法来定义曲线的定义．2．自主思考，参与探究---形成概念实验观察，思维辨析：如图，当点(,())n n n P x f x （1n =，2，3，4）没着曲线()f x 趋近点()()00,P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？师生互动 学生 自学、讨论教师：当1P 向P 逐步逼近的时候你发现了什么？ （板书）：曲线的切线的定义： 1．曲线的切线的定义当n P P →时，割线n PP →（确定位置）PT ，PT 叫做曲线在点P 处的切线．教师：有没有同学用你学的知识告诉我：割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系呢？割线n PP 的斜率是：（板书） ()00)(n n PP n f x f x k x x -=-．当点n P 无限趋近于点P 时，n PP k 无限趋近于切线PT 的斜率k ．再次通过教师逐步的引导得出函数()f x 在0x x =处导数就是切线PT 的斜率k ．即（教师重复定义，并写出板书）．教师 巡视指导双边互动2．函数f （x ）在x =x 0处的导数是切线PT 的斜率k ．即 000()()limx f x x f x k x→+-=()0f x '=。
《3.1.3导数的几何意义》教学案3
《3.1.3导数的几何意义》导学案【教学目标】知识与技能目标：(1)使学生掌握函数)(x f 在0x x =处的导数()0/x f 的几何意义就是函数)(x f 的图像在0x x =处的切线的斜率.(数形结合)，即：()()xx f x x f x fx ∆-∆+=→∆)(lim0000/＝切线的斜率(2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法.过程与方法目标：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的.【教学重点与难点】重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法. 难点：发现、理解及应用导数的几何意义【教学过程】(一)作业点评，承上启下：问题：在高台跳水运动中，t 秒)(s 时运动员相对于水面的高度是105.69.4)(2++-=t t t h (单位：m )，求运动员在s t 1=时的瞬时速度，并解释此时的运动状态；在s t 5.0=时呢？教师点评作业的优点及不足；由学生甲解释s t 1=，s t 5.0=时运动员的运动状态. (说明：实例引入，承上启下，有效铺垫，直接过渡) (二)课题引入，类比探讨：由导数的物理意义是瞬时速度，我们知道了导数的本质. 问(一)：导数的本质是什么？写出它的表达式. 学生活动：在“学生动手实践”中，学生写出：导数)(0/x f 的本质是函数)(x f 在0x x =处的瞬时变化率，即：()()xx f x x f x fx ∆-∆+=→∆)(lim0000/(说明：教师不能代替学生的思维活动，学生将大脑中已有的经验、认识转换成数学符号，有利于学生思维能力的有效提高，为学生“发现”，感知导数的几何意义奠定基础)问(二)：导数的本质仅是从代数(数)的角度来诠释导数，若从图形(形)的角度来探究导数的几何意义，应从哪儿入手呢？教师引导学生：数形结合是重要的思想方法.要研究“形”，自然要结合“数”：即：导数的代数表达式，并回忆求导数)(0/x f 的步骤. 问(三)求导数)(0/x f 的步骤有哪几步？ 教师引导学生回答： 第一步：求平均变化率xx f x x f ∆-∆+)()(00；第二步：当x ∆趋近于0时，平均变化率xx f x x f ∆-∆+)()(00无限趋近于的常数就是)(0/x f .(回归本质，数形结合)教师进一步引导学生：这是从“数”的角度来求导数，若从“形”的角度探索导数的几何意义，类比地，也可以分两个步骤：问(四)：第一步：平均变化率xx f x x f ∆-∆+)()(00的几何意义是什么？请在函数图像中画出来；学生动手活动：见“学生动手实践”. 由学生乙回答：平均变化率xx f x x f ∆-∆+)()(00的几何意义是割线AB 的斜率.)),(,(00x f x A ))(,(00x x f x x B ∆+∆+.教师提醒学生A 、B 两点的坐标必须写清楚.问(五)：第二步：0→∆x 时，割线AB 有什么变化？请画出来. 学生动手活动：见“学生动手实践”.教师展示学生作品，引导学生观察：类比数的变化：0→∆x ，→∆+∆+))(,(00x x f x x B )),(,(00x f x A当0→∆x ，割线AB 有一个无限趋近的确定位置，这个确定位置上的直线叫做曲线在0x x =处的切线，请把它画出来.学生动手活动：见“学生动手实践”. 教师展示学生作品， 引导学生发现，并说出： (形)0→∆x ，割线→AB 切线AD ， 则割线AB 的斜率→切线AD 的斜率 由数形结合，得 ()()xx f x x f x fx ∆-∆+=→∆)(lim0000/＝切线AD 的斜率所以，函数)(x f 在0x x =处的导数()0/x f 的几何意义就是函数)(x f 的图像在0x x =处的切线AD 的斜率.(数形结合).(说明：动手实践，探索发现.使学生经历探究“导数的几何意义”的过程以获得理智和情感体验，建构“导数及其几何意义”的知识结构，准确理解 “导数的几何意义”，掌握“数形结合，类比探讨”的数学思想方法.) (三)训练巩固、加强理解：1．在函数105.69.4)(2++-=t t t h 的图像上，(1)用图形来体现导数3.3)1(/-=h ，6.1)5.0(/=h 的几何意义，并用数学语言表述出来.(2)请描述、比较曲线)(t h 在210,,t t t 附近增(减)以及增(减)快慢的情况.在43,t t 附近呢？()，体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法.)2．如图表示人体血管中的药物浓度)(t f c =(单位：mL mg /)随时间t (单位：min )变化的函数图像，根据图像，估计8.0,6.0,4.0,2.0=t (min )时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出.(精确到0.1)体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法.)(四)抽象概括，归纳小结：1．抽象概括：由练习2抽象概括出导函数(简称导数)的概念： ()0/x f 是确定的数(静态)，()x f /是x 的函数(动态)由()()xx f x x f x fx ∆-∆+=→∆)(lim0000/(特殊——一般)()()xx f x x f x fx ∆-∆+=→∆)(lim 0/(静态——动态)(说明：体验从静态到动态的变化过程，领会从特殊到一般的辩证思想 2．归纳小结：由学生进行开放式小结： (1)函数)(x f 在0x x =处的导数()0/x f的几何意义就是函数)(x f 的图像在0x x =处的切线AD 的斜率.(数形结合)，即：()()xx f x x f x fx ∆-∆+=→∆)(lim0000/＝切线AD 的斜率(2)利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”、“以直代曲”的思想方法.。
《3.1.3导数的几何意义》教学案1
《3.1.3导数的几何意义》教学案教学目标：1知识与技能：通过实验探求和理解导数的几何意义，理解导数在研究函数性质中的作用，培养学生分析、抽象、概括等思维能力.2过程与方法：在寻找切线新定义的过程中，使学生通过有限认识无限，发现数学的美；通过“以直代曲”思想的具体运用，使学生达到思维方式的迁移，了解科学的思维方法.3情感、态度与价值观：在导数几何意义的推导过程中，渗透逼近和以直代曲的思想，使学生了解近似与精确间的辨证关系，激发学生勇于探索、勤于思考的精神.教学重点：运用导数的几何意义研究函数教学难点：导数几何意义的推导思路教学过程：一复习回顾1.平均变化率2.瞬时变化率3.导数的定义4.点斜式直线方程二新课讲授1、导数的几何意义:我们发现，当点Q沿着曲线无限接近点P，即Δx→0时，割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT 称为曲线在点P 处的切线.那么当Δx →0时，割线PQ 的斜率趋向于过点P 的切线PT 的斜率2、例题讲解例1 求抛物线y =x 2在点P (1，1)处的切线的斜率.解：在点(1，1)切线的斜率是即:'00000()()()lim limx x f x x f x yk f x x x∆→∆→+∆-∆===∆∆切线()()()()'000,.y f x x f x f x =由导数意义可知，曲线过点的切线的斜率等于'02020(1)(1)(1)lim(1)1lim 2()lim 2.x x x f x f f k x x xx x x∆→∆→∆→+∆-=∆+∆-=∆∆+∆==∆ 因此，抛物线y =x 2在点(1，1)切线的斜率为2.例2.求双曲线1y x =过点1(2,)2的切线方程. 解：因为00(2)(2)lim1122lim 11lim ,2(2)4x x x f x f xx xx ∆→∆→∆→+∆-∆-+∆=∆==-+∆ 所以，这条双曲线在点1(2,)2的切线的斜率为1.4- 由直线方程的点斜式，得切线方程为111(2), 1.244y x y x -=--=-+即例3 求抛物线y =x 2过点5(,6)2的切线方程.解：设此切线经过抛物线上的点200(,).x x 由例1及导数的意义知此切线的斜率为2x 0.又因为此切线过点5(,6)2和点200(,).x x 其斜率应满足200062,52x x x -=-由此x 0应满足200560.x x -+=解得x 0=2，3.即切线过抛物线上的点(2，4)，(3，9).所以切线方程分别为 y -4=4(x -2) ， y -9=6(x -3) . 化简得y =4x -4， y =6x -9. 此即所求的切线方程.小结:求过某点P曲线的切线方程的一般步骤：(1)判断点P是否在曲线上.(2)若点P在曲线上，3)若点P不在曲线上，设出切点坐标，利用切线的斜率，求出切点的坐标.代入点斜式，求出切线的方程.。
人教版高中数学优质教案2：3.1.3 导数的几何意义 教学设计
3.1.3 导数的几何意义教学目标1.知识与技能理解导数的几何意义，初步体会“以直代曲”的辩证思想；掌握求曲线上一点出的切线的斜率的方法．2．过程与方法培养学生的观察、动手动脑、归纳总结的能力；培养学生合作学习、创新能力．3．情感、态度与价值观经过Flash动画演示割线“逼近”成切线过程，让学生感受函数图象的切线“形成”过程，获得函数图象的切线的意义；增强学生问题应用意识教育，让学生获得学习数学的兴趣与信心．教学重点、难点重点：导数的几何意义，求曲线上过一点处的切线方程．难点：“以直代曲”的数学思想方法；以及切线定义的理解——在每处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解．教学方案设计●教学建议为了更好的完成本节课的教学目标，帮助学生理解本节课内容，突出重点，突破难点，宜设计了如下的教法和学法：(1)教学设计：探讨教学法，即教师通过问题→诱导→演示→讨论→探索结果→归纳总结．(2)学法设计：自主思考，参与探究、合作交流、形成共识．(3)教学手段：以“多媒体辅助教学手段”为辅，以“问题的探讨，学生发言、演板，老师黑板板书”为主．课前自主学习：自主导学：知识点1：导数的几何意义问题导思1．我们知道，导数f′(x0)表示函数f(x)在x0处的瞬时变化率，反映了函数f(x)在x＝x0附近的变化情况，那么，导数f′(x0)是否有一定的几何意义呢？答：f′(x0)有几何意义．2．如图，当点P n(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4)，沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PP n 的变化趋势是什么？答：点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于过点P 的切线PT .3．第2题图中割线PP n 的斜率k n ＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0，当点P n 无限趋近于点P 时，此斜率与切线PT 的斜率有何大小关系？答：k n 无限趋近于切线PT 的斜率．1．设点P (x 0，f (x 0))，P n (x n ，f (x n ))是曲线y ＝f (x )上不同的点，当点P n (x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4…)沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0，f (x 0))时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为过点P 的切线，且PT 的斜率k ＝lim Δx →0f (x n )－f (x 0)x n －x 0＝f ′(x 0)． 2．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率，在点P 的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．知识点2：导函数的概念从求函数f (x )在x ＝x 0处导数的过程看到，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数；当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称为f (x )的导函数，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx. 问题导思导函数f (x )与函数在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)相同吗？它们有什么区别与联系？答：不相同．(1)两者的区别：由导数的定义知，f ′(x 0)是一个具体的值，f ′(x )是由于f (x )在某区间I 上每一点都存在导数而定义在I 上的一个新函数，所以两者的区别是：前者是数值，后者是函数．(2)两者的联系：在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数.例题讲解：类型1：导数几何意义的理解例1：若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()思路探究：(1)导数的几何意义是什么？(2)y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，说明y＝f(x)图象的切线有什么特点？[解析]因为函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，由导数的几何意义可知，在区间[a，b]上各点处的切线斜率是逐渐增大的，只有A选项符合．[答案]A规律方法：1．f′(x0)即为过曲线y＝f(x)上点P(x0，f(x0))切线的斜率．2．若曲线y＝f(x)在(a，b)上任一点处的导数值都大于零，可以判断曲线y＝f(x)在(a，b)上图象呈上升趋势，则函数y＝f(x)在(a，b)上单调递增．而若y＝f(x)在(a，b)上任一点处的导数都小于零，则函数y＝f(x)的图象在(a，b)上呈下降趋势，y＝f(x)在(a，b)单调递减．当函数y＝f(x)在(a，b)上的导数值都等于零时，函数y＝f(x)的图象应为垂直于y轴的直线的一部分．变式训练：已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是()A．f′(x A)＞f′(x B)B．f′(x A)＝f′(x B)C．f′(x A)＜f′(x B)D．f′(x A)与f′(x B)大小不能确定[解析]由y＝f(x)的图象可知，k A＞k B，根据导数的几何意义有：f′(x A)＞f′(x B)．[答案]A类型2：求曲线的切线方程例2：(1)求曲线y ＝x 2＋x ＋1在点(1,3)处的切线方程．(2)求过点(－1,0)与曲线y ＝x 2＋x ＋1相切的直线方程．[解析] (1)所给点是切点吗？(2)若是切点，该如何求切线方程？若不是切点该怎么办？解： (1)y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋(x ＋Δx ＋1)－(x 2＋x ＋1)Δx＝2x ＋1，∵(1,3)在曲线上，∴切线斜率k ＝y ′|x =1＝2×1＋1＝3.∴所求切线方程为y －3＝3(x －1)，即3x －y ＝0.(2)y ′＝2x ＋1，∵点(－1,0)不在曲线上，设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线斜率为k ＝2x 0＋1＝y 0x 0＋1. ∵y 0＝x 20＋x 0＋1，∴x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，切线斜率k ＝1，过(－1,0)的切线方程为y －0＝x ＋1，即x －y ＋1＝0， 当x 0＝－2时，切线斜率k ＝－3，过(－1,0)的切线方程为y －0＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0，故所求切线方程为x －y ＋1＝0或3x ＋y ＋3＝0.规律方法：1．如果所给点P (x 0，y 0)就是切点，一般叙述为“在点P 处的切线”，此时只要求函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)，即得切线的斜率k ＝f ′(x 0)，再根据点斜式得出切线方程．2．如果所给点P 不是切点，应先设出切点M (x 0，y 0)，再求切线方程．要特别注意“过点P 的切线”这一叙述，点P 不一定是切点，也不一定在曲线上．变式训练：求曲线y ＝1x 在点A (12，2)处的切线的斜率，并写出切线方程． 解：∵Δy ＝f (12＋Δx )－f (12) ＝21＋2Δx －2＝－4Δx 1＋2Δx ， ∴Δy Δx ＝－41＋2Δx， ∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝12＝lim Δx →0－41＋2Δx＝－4.∴切线方程为y－2＝－4(x－12)，即4x＋y－4＝0.类型3：导数几何意义的综合应用例3：抛物线y＝x2在点P处的切线与直线4x－y＋2＝0平行，求P点的坐标及切线方程．[解析]设切点P x0，y0→求导数y′＝f′x→由k＝4，求x0→确定切点P x0，y0→求切线方程解：设P点坐标为(x0，y0)，y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(x＋Δx)2－x2Δx＝limΔx→02x·Δx＋(Δx)2Δx＝limΔx→0(2x＋Δx)＝2x.∴y′|x＝x0＝2x0，又由切线与直线4x－y＋2＝0平行，∴2x0＝4，∴x0＝2，∵P(2，y0)在抛物线y＝x2上，∴y0＝4，∴点P的坐标为(2,4)，∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.规律方法：1．导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点．2．导数几何意义的综合应用题的解题关键是对函数进行求导，注意灵活利用题目提供的诸如斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围等关系求解相应问题．变式训练：已知曲线C：y＝x3.求：(1)曲线C上横坐标为1的点处的切线方程；(2)(1)中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？解：(1)将x＝1代入曲线C的方程，得y＝1，∴切点为P(1,1)．∵y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(x＋Δx)3－x3Δx＝limΔx→03x2Δx＋3x(Δx)2＋(Δx)3Δx＝limΔx→0[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝3x2，∴y ′|x ＝1＝3.∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2＝0，y ＝x 3，可得(x －1)2(x ＋2)＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为P (1,1)或P (－2，－8)．说明切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另外的点(－2，－8)．错题警示：错把所给点当作切点致误典例：已知曲线y ＝2x 2－7，求曲线过点P (3,9)的切线方程．错解：f ′(3)＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0[2(3＋Δx )2－7]－(2×32－7)Δx＝lim Δx →0(12＋2Δx ) ＝12.故切线斜率为12.由直线的点斜式方程，得切线方程为y －9＝12(x －3)，即12x －y －27＝0.错因分析：点P 不是切点，故切线斜率不是在x ＝3处的导数．防范措施：求曲线的切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，否则极易出错． 正解：f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0[2(x 0＋Δx )2－7]－(2×x 20－7)Δx＝lim Δx →0(4x 0＋2Δx )＝4x 0. 由于2×32－7＝11≠9，故点P (3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝4x 0，故所求的切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)．将P (3,9)及y 0＝2x 20－7代入上式，得9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0)．解得x 0＝2，或x 0＝4.所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x －y －15＝0，或16x －y －39＝0.课堂小结：1．函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)，相应地，切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．导数f′(x)，是针对某一区间内任意点x而言的，函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f′(x0)，根据函数的定义，在区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函数f(x)的导函数f′(x)．。
【教学设计】第三章3.1.3导数的几何意义Z
【教学设计】第三章3.1.3导数的几何意义Z
3.1.3 导数的几何意义
【教材分析】
（一）三维目标
（1）知识与技能
1）了解平均变化率与割线斜率之间的关系；
2）理解曲线的切线的概念；
3）通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题
（2）过程与方法
通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；（3）情感、态度与价值观
通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力。
（二）教学重点
曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；
（三）教学难点
曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义。
（四）教学建议
本节课的教学过程中，应该在理解导数的几何意义，求简单曲线在某点的切线斜率和切线方程。
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3.1.3导数的几何意义
教学目标：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，知道导数的概念并会运用概念求导数.
教学重难点：函数切线的概念，切线的斜率，导数的几何意义
教学过程：
情景导入：如图,曲线C 是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C 上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P 邻近一点,PQ 为C 的割线,PM//x 轴,QM//y 轴,β为PQ 的倾斜角.
.tan ,
,:β=∆∆∆=∆=x y y MQ x MP 则
展示目标：见学案
检查预习：见学案
合作探究：探究任务：导数的几何意义
问题1：当点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =，沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线的变化
趋是什么？
y x
∆∆请问：是割线PQ 的什么?
新知：当割线P n P 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C
在点P 处的切线
割线的斜率是：n k = 当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导数
就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()x f x x f x k f x x
∆→+∆-'==∆ 新知：
函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率.
即k =000()()()lim x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆ 精讲精练：
例1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图象,请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况.
解:可用曲线 h(t) 在 t0 , t1 , t2 处的切线刻画曲线 h(t) 在上述三个时刻附近的变化情况.
(1) 当 t = t0 时, 曲线 h(t) 在 t0 处的切线 l0 平行于 x 轴.故在 t = t0 附近曲线比较平坦, 几乎没有升降.(2)当 t = t1 时, 曲线 h(t) 在 t1 处的切线 l1 的斜率 h’(t1) <0 .故在t = t1 附近曲线下降,即函数 h(t) 在 t = t1 附近单调递减.(3)当 t = t2 时, 曲线 h(t) 在 t2处的切线 l2 的斜率 h’(t2) <0 .故在 t = t2 附近曲线下降,即函数 h(t) 在t = t2 附近也单调递减.从图可以看出，直线 l1 的倾斜程度小于直线 l2 的倾斜程度，这说明 h(t) 曲线在 l1 附近比在 l2 附近下降得缓慢。
例2 如图,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min)变化的函数图象.根据图象,估计t =0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)
有效训练
练1. 求双曲线1y x =在点1(,2)2
处的切线的斜率,并写出切线方程. 练2. 求2y x =在点1x =处的导数. 反思总结 函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k =000()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆。