多项式中两类题的解法

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浅谈多项式分解的几种方法

浅谈多项式分解的几种方法摘要：多项式分解是数学中极为重要的一类问题，具有广泛的应用。

本文将介绍几种常见的多项式分解方法：因式分解、配方法、综合除法和提取公因式法，并比较它们的优缺点，帮助读者更好地理解多项式分解问题。

关键词：多项式、因式分解、配方法、综合除法、提取公因式法正文：多项式分解是数学中重要的一类问题，对于求解方程、展开式、计算复杂度等都有极大的帮助。

本文将介绍几种常见的多项式分解方法。

第一种方法是因式分解。

这个方法比较简单，即将多项式表示成乘积的形式。

例如，对于x2-4x+4这个多项式，可以进行因式分解为(x-2)2。

这种方法的优点是简单明了，但是只适用于特定形式的多项式，对于一些复杂的多项式不一定适用。

第二种方法是配方法。

这个方法可以将多项式化简成更可分解的形式。

例如，对于x2+2x+1这个多项式，可以进行配方法(x+1)2。

这种方法比因式分解适用范围更广，但是需要有一定的技巧。

第三种方法是综合除法。

这个方法通过将多项式除以一次式，得到商和余数，继续对余数进行除法，直到得到一次式或零。

例如，对于x3-2x2+3x-6这个多项式，可以进行综合除法(x-3)。

这种方法适用于任何多项式，但是需要进行多次除法运算，比较繁琐。

第四种方法是提取公因式法。

这个方法是通过将多项式中的公因式提取出来，得到一个更简化的多项式。

例如，对于3x3+6x2+9x，可以将其提取公因式3x得到3x(x2+2x+3)。

这种方法简单易懂，但是需求有一定的观察力。

综上所述，多项式分解是数学中的一个很重要的问题，本文介绍了其中的几种方法，并比较它们的优缺点。

我们可以根据具体情况选择不同的方法，以实现更快速、更准确的多项式分解。

除以上四种方法外，还有其他的多项式分解方法，如用幂级数展开的方法、有理方法、变量替换法等，但这些方法的适用范围较窄，不予深入讨论。

在实际应用中，我们需要根据不同的情况来选择不同的方法进行多项式分解。

恒成立问题常见类型及解法

恒成立问题常见类型及解法重庆清华中学张忠在近年高考试题中，常见条件中出现“恒”、“都”、“总”、“永远”、“一切”等关键词的试题，我们习惯上称之为恒成立问题。

对此类题，许多学生常常一筹莫展，但如果了解它的题型，选择合适的对策，解决问题就会游刃有余。

高中数学中的恒成立问题，总体上分为两种典型类型：等式的恒成立和不等式的恒成立。

一、等式的恒成立问题（恒等问题）【例】是否存在常数a 、b 、c 使得等式：122311122222··…++++=+++n n n n an bn c ()()()对一切自然数n 都成立？证明你的结论。

(一). 利用多项式恒等定理，建立方程组求参数多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于a 的任意一个取值，都有f (a )g (a )；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。

解法一：因为3222)1(n n n n n ++=+所以12231222··…++++n n ()=++++++++++++=++++++=+++()()()()()()()()()1232121212131211411231110222333222………n n n n n n n n n n n n n n显然当a b c ===31110，，时等式对一切自然数n 都成立。

(二). 待定系数法和数学归纳法对策：先用待定系数法探求a 、b 、c 的值，再利用数学归纳法证明等式对一切自然数n 都成立。

解法二：令n=1，n=2，n=3可得，解得。

以下用数学归纳法证明：等式1·22+2·32+…+n(n+1)=(3n 2+11n+10)对一切自然数n 都成立(证略)。

(三)、根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)((f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T ，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。

多项式各种运算的速算法和多项式方程

多项式各种运算的速算法和多项式方程【摘要】本节主要写数与多项式相关运算的统一关系，把数的各种运算和数的各种方程的求根方法应用到多项式中来。

多项式的各种算式及方程式是不定数的式子，而数的各种算式及方程式就是当x=10时，且系数是一位数的定数式子。

因而运算一一相关统一。

如二元一次多项式方程组的解法，不仅有加减消元法，同样也有代入消元法；一元二次多项式方程的解法，不仅有公式法，同样还有配方法，十字乘法等。

多项式的乘方开方运算及多项式方程，这是教科书上没有的，因此本节可以充实教科文，使多项式的计算领域得以拓展而完善。

【关键词】科学速算法多项式各种运算多项式方程充实教科文拓展完善多项式的各种运算，教科书上只有加减法和乘除法，而乘方也按乘法一样计算，其速算法不像数的各种运算的速算法研究那么热，甚至几乎没有谈及。

在乘法运算中，教科书上都是通过一一展开，然后合并同类项，算法相当繁琐，并且两个因式的项数多了，就很难计算。

多项式的开方运算和多项式方程，教科书上一片空白。

中小学数学教材第八册《整式的运算》，这一章写整式的加减法、乘除法（及分解因式），没有写乘方开方，更没有写多项式方程。

多项式的加减法和乘除法除了教科书上所写的方法之外，有没有更简捷的算法？多项式能不能开方？多项式方程能不能求解？这些都是本文要研究的问题。

(1)多项式加减法的快速运算；(2)多项式乘除法的快速运算；(3)多项式的乘方及开方的快速运算；(4)多项式方程的求解方法。

多项式的速算法也像数的速算法一样，采取同级（类）项科学速算法；多项式方程也像数的方程解法一样求解。

1.多项式的加减速算法例1:已知：f（x）＝－6x 7＋5x 6－11x 4＋3x 2－10x＋6ɡ（x）＝－4x 5－6x 4＋7x 3－9x＋5H（x）＝－7x 6－5x 4＋2x 3－6x 2＋13x－9求：f（x）－ɡ（x）＋H（x）解：将次数最高的f（x）所缺的项0x 5、0x 3补上，并按升幂排列或降幂排列，然后将－ɡ（x）、H（x）和f（x）的同级（类）项对齐地写在一起，算式如下：f（x）＝－6x 7＋5x 6＋0x 5－11x 4＋0x 3＋3x 2－10x＋6－ɡ（x）＝－－4x 5＋6x 4－7x 3 ＋9x－5H（x）＝+7x 6 －5x 4＋2x 3－6x 2＋13x－9∴f(x)－ɡ(x)＋H(x) ＝－6x 7＋12x 6－4x 5－10x 4－5x 3－3x 2＋12x－8（左右相加）把减法转化为加法运算就比较简捷。

(完整版)高等代数多项式习题解答

第一章多项式习题解答1.用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r .1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f9731929269791437134373132131232223232----+----+----+-x x x x x x x x x x x x x x 92926)(,9731)(--=-=x x r x x q . 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f17525422225200222223232342342-++--+-+--+---+-+-+++-x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q .2.q p m ,,适合什么条件时，有1）q px x mx x ++-+32|1m x m q x p m mx m x m qx p mx x mx x q px x x mx x --++++--+++--++++-+)()1()1(01222223232 当且仅当m q p m ==++,012时q px x mx x ++-+32|1.本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++-+32|1时，用12-+mx x 去除q px x ++3，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为q x -.于是有q x mq x q m x mx x q x q px x ++--+=-+-=++)1()()1)((2323.因此有m q p m ==++,012.2）q px x mx x ++++242|1由带余除法可得)1()2()1)(1(2222224m p q x m p m m p mx x mx x q px x --++--++-+-++=++ 当且仅当0)1()2()(22=--++--=m p q x m p m x r 时q px x mx x ++++242|1.即⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，即⎩⎨⎧=+=,1,0p q m 或⎩⎨⎧==+.1,22q m p 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++++242|1时，用12++mx x 去除q px x ++24，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为q ax x ++2.于是有)1)((2224++++=++mx x q ax x q px x.)()1()(234q x mq a x q ma x a m x ++++++++=比较系数可得.0,1,0=+=++=+mq a p q ma a m 消去a 可得⎩⎨⎧=+=,1,0p q m 或⎩⎨⎧==+.1,22q m p 3.求)(x g 除)(x f 的商)(x q 与余式)(x r .1）;3)(,852)(35+=--=x x g x x x x f解：运用综合除法可得327109391362327117083918605023---------商为109391362)(234+-+-=x x x x x q ，余式为.327)(-=x r2）i x x g x x x x f 21)(,)(23+-=--=.解:运用综合除法得:ii ii i i i 892521892421011121+----+-------商为)25(22i ix x +--,余式为i 89+-. 4.把)(x f 表成0x x -的方幂和，即表示成 +-+-+202010)()(x x c x x c c 的形式.1）1,)(05==x x x f ；2）;2,32)(024-=+-=x x x x f3）.1,73)1(2)(0234-=++-+-+=x i x x i ix x x f分析：假设)(x f 为n 次多项式，令])()()[()()()()(10021000202010--++-+-+=-++-+-+=n n nn x x c x x c c x x c x x c x x c x x c c x f0c 即为0x x -除)(x f 所得的余式，商为10021)()()(--++-+=n n x x c x x c c x q .类似可得1c 为0x x -除商)(x q 所得的余式，依次继续即可求得展开式的各项系数.解：1）解法一：应用综合除法得.5110141110416311563143211143211111111111100000115)(x x f =1)1(5)1(10)1(10)1(5)1(2345+-+-+-+-+-=x x x x x .解法二：把x 表示成1)1(+-x ，然后用二项式展开1)1(5)1(10)1(10)1(5)1(]1)1[(234555+-+-+-+-+-=+-=x x x x x x x2）仿上可得812226122412210412112082422128442302012-----------------432)2()2(8)2(22)2(2411)(+++-+++-=x x x x x f . 3）因为i iii i i i i i i i i i ii ii i i 2111510157104141173121-----------+-------+---- .)()(2))(1()(5)57(73)1(2)(432234i x i x i i x i i x i ix x i ix x x f +++-++-+-+=++-+-+=5.求)(x f 与)(x g 的最大公因式1）1)(,143)(23234--+=---+=x x x x g x x x x x f解法一：利用因式分解),13)(1(143)(3234--+=---+=x x x x x x x x f).1()1(1)(223-+=--+=x x x x x x g因此最大公因式为1+x .解法二：运用辗转相除法得)(3438)(01122132)(1434343)(41432112321212314121)(3122123423422223232x q x x q x x x x x x x x r x x x x x x x x x x r x x x x x x x x x x x x q =+=---------=--+---+--=------++--++-= 因此最大公因式为1+x .2）13)(,14)(2334+-=+-=x x x g x x x f .解：运用辗转相除法得（注意缺项系数补零）2564411627)(125627)(2565391649216491633323)(10310031004911916)(920910310132310323110391031)(13221232323423422223232--=--=+-+-+-+--=-++-+-+-++-+++--=+--++--+++-+-=x x q x x r x x x x x x x r x x x x x x x x x x x x x x x x r x x x x x x x x x x x x q .1))(),((=x g x f3）.124624)(,110)(23424+++-=+-=x x x x x g x x x f)()()22(24)()(123x r x f x x x x f x g +=---=，),()22)((241)122()22)(22()(21223x r x x r x x x x x x x f ++-=---+--= ,)()122(22)(24122231x x r x x x x x x x r -=--=--=- 因此.122))(),((2--=x x x g x f6.求)(),(x v x u 使:))(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+1）;22)(,242)(234234---+=---+=x x x x x g x x x x x f解：运用辗转相除法得：)()(1022)(222422)(222221)(3133123423422323242342x q x x q x x xx x r x x x x x x x x x x r xx x x x x x x x x x x x q ==--=---+---+-=--+----++= 因此2)())(),((22-==x x r x g x f .且有 )()()()(11x r x q x g x f +=，),()()()(221x r x q x r x g +=).()()(321x q x r x r =于是)()]()()([)()()()()(21212x q x q x g x f x g x q x r x g x r --=-=)()]()(1[)()(212x g x q x q x f x q ++-=..2)()(1)(,1)()(212+=+=--=-=x x q x q x v x x q x u2）;452)(,951624)(23234+--=++--=x x x x g x x x x x f解：运用辗转相除法得：)(96)(20999966936)(810249516241)(32422324523131)(3122123423422223232x q x x q x x x xx x x x r xx x x x x x x x x r x x x x x x x x x x x x q =+=+-+-+-+--=+--++--+-=+--+---++--+-= 因此1)())(),((2-=-=x x r x g x f .且有)()()()(11x r x q x g x f +=，),()()()(221x r x q x r x g +=).()()(321x q x r x r =于是)()]()()([)()()()()(21212x q x q x g x f x g x q x r x g x r --=-=)()]()(1[)()(212x g x q x q x f x q ++-=..13232)3131(21)()(1)(,3131)()(2212--=+---=--=+-==x x x x x q x q x v x x q x u 3）.1)(,144)(2234--=++--=x x x g x x x x x f解：运用辗转相除法得：)(32)(3331431441)(21211)(121222342342222x q x x x r x x x x x x x x x x x x r x x xx x x x x q =--=++-++---++--=-----+= 因此.1)())(),((2==x r x g x f 且有)()()()(11x r x q x g x f +=，),()()()(221x r x q x r x g +=).()()(321x q x r x r =于是)()]()()([)()()()()(21212x q x q x g x f x g x q x r x g x r --=-=)()]()(1[)()(212x g x q x q x f x q ++-=..23)1)(3(1)()(1)(,1)()(232212--+=+-+=+=--=-=x x x x x x q x q x v x x q x u7.设u tx x x g u x x t x x f ++=++++=323)(,22)1()(的最大公因式是一个二次多项式，求u t ,的值.解：运用带余除法有),()()2()1(1)(22)1()(12323x r x g u x t x t u tx x u x x t x x f +=+--++⋅++=++++= 由题意可得，)(1x r 即为)(),(x g x f 的最大公因式.因此有01≠+t .进一步),(])1(211)[()(221x r t t x t x r x g ++-++= ])1(21[)1()2()1()1()(22222t t u x t t t u t t x r +--++-++-+=. 要使)(1x r 为)(),(x g x f 的最大公因式的充要条件是.0)(2=x r 即⎩⎨⎧=--+=-++-+,0)]2()1[(,0)2()1()1(222t t u t t u t t 解得⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧±==⎩⎨⎧-==.2111,117;2111,117;231,0;4,0i t i u i t i u i t u t u 8.证明：如果),(|)(),(|)(x g x d x f x d 且)(x d 为)(x f 与)(x g 的一个组合，那么)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式.证明：由)(|)(),(|)(x g x d x f x d 可知)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个公因式.下证)(x f 与)(x g 的任意一个公因式是)(x d 的因式.由)(x d 为)(x f 与)(x g 的一个组合可知，存在多项式)(),(x v x u ，使得)()()()()(x g x v x f x u x d +=.设)(x ϕ是)(x f 与)(x g 的任意一个公因式，则)(|)(),(|)(x g x x f x ϕϕ.故)()()()(|)(x g x v x f x u x +ϕ即).(|)(x d x ϕ因此)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式.9.证明：)()(())(),(())()(),()((x h x h x g x f x h x g x h x f =的首项系数为1）. 证明：存在多项式)(),(x v x u ，使得)()()()())(),((x g x v x f x u x g x f +=.所以有)()()()()()()())(),((x h x g x v x h x f x u x h x g x f +=.即)())(),((x h x g x f 是 )()(x h x f 与)()(x h x g 的一个组合.显然有)(|))(),((),(|))(),((x g x g x f x f x g x f .从而)()(|)())(),((),()(|)())(),((x h x g x h x g x f x h x f x h x g x f .由第8题结果)())(),((x h x g x f 是)()(x h x f 与)()(x h x g 的一个最大公因式.又)(x h 是首项系数为1的，因此).())(),(())()(),()((x h x g x f x h x g x h x f =10.如果)(x f ，)(x g 不全为零，证明1))(),(()(,)(),(()((=x g x f x g x g x f x f . 证明：由)(x f ,)(x g 不全为零可得其最大公因式不为零多项式，即.0))(),((≠x g x f 又存在多项式)(),(x v x u ，使得)()()()())(),((x g x v x f x u x g x f +=.于是))(),(()()())(),(()()(1x g x f x g x v x g x f x f x u +=. 因此1))(),(()(,)(),(()((=x g x f x g x g x f x f . 11.如果)(x f ，)(x g 不全为零，且))(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+，那么1))(),((=x v x u .证明：由)(x f ,)(x g 不全为零可得.0))(),((≠x g x f 由))(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+有.1))(),(()()())(),(()()(=+x g x f x g x v x g x f x f x u 于是1))(),((=x v x u .12.证明：如果,1))(),((,1))(),((==x h x f x g x f 那么.1))()(),((=x h x g x f 证法一、由条件1))(),((,1))(),((==x h x f x g x f 可得存在多项式)(),(11x v x u ； )(),(22x v x u 使得1)()()()(11=+x g x v x f x u ，1)()()()(22=+x h x v x f x u .两式相乘得1)()()()()()]()()()()()()()()([21211221=+++x h x g x v x v x f x h x v x u x g x v x u x f x u x u . 因此有.1))()(),((=x h x g x f证法二、反证法证明.显然.0))()(),((≠x h x g x f 若,1))()(),((≠x h x g x f 则存在不可约多项式)(x p ，使得)(x p 为)(x f 与)()(x h x g 的公因式.因此有)(|)(x f x p 且)()(|)(x h x g x p .由)(x p 的不可约性有)(|)(x g x p 或)(|)(x h x p .若)(|)(x g x p ，则)(x p 为)(x f 与)(x g 的一个公因式，与1))(),((=x g x f 相矛盾.若)(|)(x h x p ，则)(x p 为)(x f 与)(x h 的一个公因式，与1))(),((=x h x f 相矛盾.因此1))()(),((≠x h x g x f 不成立，即有.1))()(),((=x h x g x f13.设)(),(),(),(,),(),(2121x g x g x g x f x f x f n m 都是多项式，而且).,,2,1;,,2,1(,1))(),((n j m i x g x f j i ===求证：1))()()(),()()((2121=x g x g x g x f x f x f n m .证明：由),,2,1(1))(),((1n j x g x f j ==，反复利用第12题结果可得1))()()(),((211=x g x g x g x f n .类似可得.,,2,1))()()(),((21m i x g x g x g x f n i ==再反复利用12题结果可得1))()()(),()()((2121=x g x g x g x f x f x f n m .14.证明：如果,1))(),((=x g x f 那么.1))()(),()((=+x g x f x g x f 证明：方法一.由,1))(),((=x g x f 存在多项式)(),(x v x u 使得1)()()()(=+x g x v x f x u .从而有,1)())()(())()()((,1))()()(()())()((111111=+-++=++-x g x v x u x g x f x u x g x f x v x f x v x u 因此有.1))()(),((,1))()(),((=+=+x g x f x g x g x f x f 由12题结果结论成立.方法二：用反证法.若.1))()(),()((≠+x g x f x g x f 则存在不可约多项式)(x p ，使得)(x p 为)()(x g x f 与)()(x g x f +的公因式.即)()(|)(x g x f x p 且)()(|)(x g x f x p +.由)(x p 的不可约性及)()(|)(x g x f x p ，有)(|)(x f x p 或)(|)(x g x p .若)(|)(x f x p ，又)()(|)(x g x f x p +，因此有)]())()([(|)(x f x g x f x p -+，即)(|)(x g x p ，也即)(x p 为)(x f 与)(x g 的一个公因式，与1))(),((=x g x f 相矛盾.类似可得当)(|)(x g x p 时也与已知1))(),((=x g x f 矛盾.所以.1))()(),()((=+x g x f x g x f15.求下列多项式的公共根：.12)(;122)(23423++++=+++=x x x x x g x x x x f解法一：利用因式分解可得);1)(1(122)(223+++=+++=x x x x x x x f ).1)(1(12)(22234+++=++++=x x x x x x x x g因此1))(),((2++=x x x g x f .)(x f 与)(x g 的公共根为.2321i ±- 解法二：运用辗转相除法求出)(x f 与)(x g 的最大公因式，最大公因式的根即为所求的公共根.),1(2)1)(()(2++--=x x x x f x g ).1)(1()(2+++=x x x x f因此1))(),((2++=x x x g x f .)(x f 与)(x g 的公共根为.2321i ±- 16.判别下列多项式有无重因式： 1）;84275)(2345-+-+-=x x x x x x f 解：,4421205)('234+-+-=x x x x x f运用辗转相除法可得.)2(44))('),((22-=+-=x x x x f x f 因此2-x 为)(x f 的三重因式.解法二：试根可得2为)(x f 的根)1()2()2()2()43)(2()(23232234++-=----=++--=x x x x x x x x x x x x f .因此2-x 为)(x f 的三重因式. 2).344)(24--+=x x x x f解：).12(4484)('33-+=-+=x x x x x f 1))('),((=x f x f .故)(x f 无重因式. 17.求t 值使13)(23-+-=tx x x x f 有重根.解法一：要使)(x f 有重根，则1))('),((≠x f x f ..63)('2t x x x f +-=),12(33)(')3131(13)(23+-+-=-+-=x t x f x tx x x x f .415)41523)(12(63)('2++-+=+-=t x x t x x x f当,033=-t 即3=t 时),(|)(',)1(3363)('22x f x f x x x x f -=+-=2)1())('),((-=x x f x f ，因此1为)(x f 的三重根. 当0415=+t ，即415-=t 时，21))('),((+=x x f x f ，21-为)(x f 的二重根.解法二：设b a x ab a x b a x b x a x x f 22232)2()2()()()(-+++-=--=. 因此有⎪⎩⎪⎨⎧==+=+.1,2,3222b a t ab a b a 由第一个方程有a b 26-=，代人第三个方程有,0132,1)23(232=+-=-a a a a 即0)12()1(2=+-a a .因此有⎪⎩⎪⎨⎧===,3,1,1t b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-=.415,4,21t b a即当3=t 时1为)(x f 的三重根；当415-=t 时，21-为)(x f 的二重根.18.求多项式q px x ++3有重根的条件.解：令q px x x f ++=3)(.显然当0==q p 时，0为)(x f 的三重根.当0≠p 时， p x x f +=23)('，q x px xf q px x x f ++=++=32)('31)(3，)427()42729)(32()('222p q p p q x p q x p x f ++-+=. 要使)(x f 有重根，则1))('),((≠x f x f .即,042722=+pq p 即.027423=+q p 显然 0==q p 也满足.027423=+q p 因此)(x f 有重根的条件是.027423=+q p19.如果,1|)1(242++-Bx Ax x 求.,B A解法一：利用整除判定方法，1|)1(242++-Bx Ax x 的充要条件是用2)1(-x 除124++Bx Ax ，余式为零.)31()42()32()1(12224B A x A B A B Ax Ax x Bx Ax --++++++-=++.因此有0)31()42(=--++B A x A B ，即⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=--=+.2,1.031,042B A B A A B 解法二：要使1|)1(242++-Bx Ax x 成立，则1至少是124++Bx Ax 的二重根.因此1既是124++Bx Ax 的根，也是其导数的根.而Bx Ax Bx Ax 24)'1(324+=++.故有⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=+=++.2,1.024,01B A B A B A 解法三：利用待定系数法.令Dx D C x D C A x A C Ax D Cx Ax x Bx Ax +-++-+-+=++-=++)2()2()2()()1(12342224因此有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+-=-.1,02,2,02D D C B D C A A C 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==.1,2,2,1D C B A 20.证明：!!212n x x x n++++ 不能有重根.证明：令,!!21)(2n x x x x f n++++= 则,)!1(!21)('12-++++=-n x x x x f n因此有,!)(')(n x x f x f n +=从而有)!),('())('),((n x x f x f x f n =.!n x n因式只有)0(≠c c 及)1,0(n k c cx k ≤≤≠.而)1,0(n k c cx k ≤≤≠显然不是)('x f 的因式.因此有1)!),('())('),((==n x x f x f x f n.所以)(x f 没有重根.21.如果a 是)('''x f 的一个k 重根，证明a 是)()()](')('[2)(a f x f a f x f ax x g +-+-=的一个3+k 重根. 证明：)],(')('[21)(''2)(')(''2)](')('[21)('a f x f x f a x x f x f a x a f x f x g ---=--++=).('''2)(''21)('''2)(''21)(''x f ax x f x f a x x f x g -=--+=显然有0)(")(')(===a g a g a g .由a 是)('''x f 的一个k 重根可得a 是)(''x g 的一个1+k 重根，设a 是)(x g 的s 重根，则3,12+=+=-k s k s .本题常见错误证法.错误证法一：由a 是)('''x f 的一个k 重根就得出a 是)(''x f 的一个1+k 重根，a 是)('x f 的一个2+k 重根，a 是)(x f 的一个3+k 重根，于是)(2)()()()](')('[2)(3x h a x a f x f a f x f a x x g k +-=+-+-=从而a 是)(x g 的3+k 重根.事实上，由a 是)('''x f 的一个k 重根推不出a 是)(''x f 的一个1+k 重根，a 是)('x f 的一个2+k 重根，a 是)(x f 的一个3+k 重根. 如3)()()()(23+-+-+-=+a x a x a x x f k ，则1)(2))(3()('2+-+-+=+a x a x k x f k ，2))(2)(3()(''1+-++=+k a x k k x f .a 既不是)(x f 的根，也不是)('x f 与)(''x f 的根.错误证法二：由)],(')('[21)(''2)(')(''2)](')('[21)('a f x f x f a x x f x f a x a f x f x g ---=--++=)('''2)(''21)('''2)(''21)(''x f ax x f x f a x x f x g -=--+=得出a 是)(''x g 的1+k 重根，直接得出a 是)(x g 的3+k 重根，缺了a 是)(x g 与)('x g 的根验证.22.证明：0x 是)(x f 的k 重根的充分必要条件是,0)()(')(0)1(00====-x f x f x f k 而.0)(0)(≠x f k证明：必要性.设0x 是)(x f 的k 重根，从而0x x -是)(x f 的k 重因式，从而是)('x f 的1-k 重因式，是)(''x f 的2-k 重因式，...，是)()1(x f k -的单因式，而不是)()(x f k 的因式.因此0x 是)(x f ，)('x f ，)(''x f ，...，)()1(x f k -的根，而不是)()(x f k 的根.故有,0)()(')(0)1(00====-x f x f x f k 而.0)(0)(≠x f k充分性.由,0)()(')(0)1(00====-x f x f x f k 而0)(0)(≠x f k 可知0x 是)(x f ，)('x f ，)(''x f ，...，)()1(x f k -的根，而不是)()(x f k 的根.因此0x 是)()1(x f k -的单根，是)()2(x f k -二重根，依此类推，是)(x f 的k 重根.23.举例说明断语“如果α是)('x f 的m 重根，那么α是)(x f 的1+m 重根”是不对的.解：例如2)()(1+-=+m x x f α，m x m x f ))(1()('α-+=.α是)('x f 的m 重根，但α不是)(x f 的根.24.证明：如果),(|)1(n x f x -那么)(|)1(n n x f x -.证明：由)(|)1(n x f x -可得)()1()(x g x x f n -=.从而.0)1(=f 因此有),()1()(x h x x f -=从而有).()1()(n n n x h x x f -=即)(|)1(n n x f x -.证法二：要证)(|)1(n n x f x -，只要证1-n x 在复数域上的各个根都是)(n x f 的根.1-n x 的根为.1,,2,1,0,2sin 2cos-=+=n k nk i n k x k ππ由)(|)1(n x f x -可得)()1()(x g x x f n -=.从而.0)1(=f 从而0)1()(==f x f nk .即,2sin 2cos nk i n k x k ππ+=1,,2,1,0-=n k 都是)(n x f 的根.因此有)(|)1(n n x f x -.25.证明：如果)()(|)1(32312x xf x f x x +++，那么).(|)1(),(|)1(21x f x x f x --证明：要证)(|)1(),(|)1(21x f x x f x --成立，只要证1是)(1x f 和)(2x f 的根.12++x x 的两个根为231,23121ii --=+-=εε.由)()(|)1(32312x xf x f x x +++可得)()1()()(23231x g x x x xf x f ++=+.于是,0)()1()()(,0)()1()()(2223222321112312131121=++=+=++=+εεεεεεεεεεεεg f f g f f即0)1(231)1(,0)1(231)1(2121=+-=--f if f i f .故有.0)1()1(21==f f 所以 )(|)1(),(|)1(21x f x x f x --.26.求多项式1-n x 在复数范围内和在实数范围内的因式分解. 解：1-n x 的根为.1,,2,1,0,2sin 2cos -=+=n k nk i n k k ππε故在复数范围内的分解式为)())()(1(112-----=-n n x x x x x εεε .在实数范围内，因k n k -=εε，)0(n k <<.当n 为奇数时，1-n x 的根中一个为实根，其余为虚根，其分解式为]1)([]1)(][1)()[1(12121222212++-++-++--=-+---x x x x x x x x n n n n nεεεεεε .当n 为偶数时，1-n x 的根中二个为实根，即,1±其余为虚根，其分解式为].1)([]1)(][1)()[1)(1(11212222212++-++-++-+-=-+---x x x x x x x x x n n n n nεεεεεε27.求下列多项式的有理根. 1);1415623-+-x x x解：多项式可能的有理根为.14,7,2,1±±±±由系数取值可知，x 取负数时，多项式的值均为负的，故该多项式没有负根.检验得2为其根，进一步运用综合除法可得074114821415612-----即)74)(2(14156223+--=-+-x x x x x x ，显然742+-x x 没有有理根.因此1415623-+-x x x 仅有一个有理根2，且为单根.2);157424---x x x解：多项式可能的有理根为.41,21,1±±±444222026242113121570421------------因此有)1()12()444()21(1574222224--+=--+=---x x x x x x x x x ，显然12--x x 没有有理根.因此21-为157424---x x x 的二重根.3).3111462345----+x x x x x解：多项式可能的有理根为.3,1±±检验得1-为其根，进一步运用综合除法可得1213630351133511038601138601311146111--------------故)3()1()12)(3()1(3111464222345-+=++-+=----+x x x x x x x x x x x .即1-为其四重跟，3为单根.28.下列多项式在有理数域上是否可约？ 1);12+x解：显然12+x 无有理根，又为二次的，故在有理数域上不可约. 2);2128234++-x x x解：取素数2=p ，满足艾森斯坦判别法的条件，因此在有理数域上不可约. 3）;136++x x 解：令,1+=y x).(3918211561)1()1(1)(234563636y g y y y y y y y y x x x f =++++++=++++=++=取素数,3=p )(y g 满足艾森斯坦判别法条件，因此在有理数域上不可约，从而)(x f 在有理数域上不可约.4）p px x p ,1++为奇素数；解：令1-=y x ，由p 为奇数可得1)1()1(1)(+-+-=++=y p y px x x f p p).()(1222211y g p y p C y C y C yC y p p p p p p p p p =-++--+-=---- 由组合数定义)11(-≤≤p k C kp 均为整数，且12)1()1()1(⋅-+--= k k k p p p C k p，分子中有因子p ，分母个各数均小于p ，又p 为素数，因此约分时p 不会被约去，因此有kpC p |，取素数为p ，)(y g 满足艾森斯坦判别式条件，因此)(y g 在有理数域上不可约，从而)(x f 在有理数域上不可约. 5）k kx x ,144++为整数. 解：令,1+=y x 则有).(2)1(4641)1(4)1(1423444y g y k y y y y k y kx x =+++++=++++=++取素数,2=p )(y g 满足艾森斯坦判别法条件，因此在有理数域上不可约，从而)(x f 在有理数域上不可约.。

初二数学因式分解技巧

初二数学因式分解技巧因式分解技巧方法多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是解决许多数学问题的有力工具。

因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。

初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。

本文将在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍。

一、提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法。

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) (a+b)(a-b) = a^2-b^2———a^2-b^2=(a+b)(a-b)2)。

(a±b)^2= a^2±2ab+b^2———a^2±2ab+b^2=(a±b)^23) (a+b)(a-ab+b) =a^2+b^2———a^2+b^2=(a+b)(a-ab+b)4)。

(a-b)(a+ab+b) = a^2-b^2———a^2-b^2=(a-b)(a+ab+b)下面再补充两个常用的公式：5) a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^26) a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)例如，已知a，b，c是三角形ABC的三边，且a+b+c=ab+bc+ca，则三角形ABC的形状是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解：a+b+c=ab+bc+ca⇒2a+2b+2c=2ab+2bc+2caa-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0a=b=c因此，三角形ABC为等边三角形。

三、分组分解法。

一）分组后能直接提公因式例如，分解因式：am+an+bm+bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

高中数学解多项式方程题型详解

高中数学解多项式方程题型详解在高中数学中，解多项式方程是一个重要的内容，也是学生们经常遇到的难题之一。

本文将详细介绍几种常见的多项式方程题型，并给出解题方法和技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应对这类题目。

一、线性多项式方程线性多项式方程是最简单的多项式方程形式，其解法也相对简单。

例如，解方程2x + 3 = 7。

解法：首先将方程转化为标准形式，即将常数项移到等号右边，得到2x = 7 - 3，即2x = 4。

然后将方程两边同除以2，得到x = 2。

因此，方程的解为x = 2。

对于线性多项式方程，解题的关键是将方程转化为标准形式，然后通过移项、合并同类项等基本运算，得到未知数的值。

二、二次多项式方程二次多项式方程是高中数学中常见的一类多项式方程，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数。

例如，解方程x^2 - 5x + 6 = 0。

解法：首先观察方程的形式，发现该方程可以因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0。

根据零乘法则，得到x - 2 = 0或x - 3 = 0，即x = 2或x = 3。

因此，方程的解为x = 2或x = 3。

对于二次多项式方程，解题的关键是观察方程的形式，尝试因式分解，找到方程的根。

三、高次多项式方程高次多项式方程是指次数大于2的多项式方程，解题相对复杂。

例如，解方程x^3 - 3x^2 + 2x - 6 = 0。

解法：对于高次多项式方程，通常需要使用数值方法或图像法求解。

其中，牛顿迭代法是一种常用的数值方法，可以通过迭代逼近的方式求得方程的近似解。

图像法则是通过绘制方程的图像，观察曲线与x轴的交点来确定方程的根。

对于高次多项式方程，解题的关键是灵活运用数值方法和图像法，通过逼近和观察来确定方程的根。

综上所述，解多项式方程是高中数学中的重要内容，也是学生们需要掌握的基本技能。

通过对线性多项式方程、二次多项式方程和高次多项式方程的解题方法和技巧的介绍，希望能够帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应对这类题目。

多项式习题解答

第一章多项式习题解答P44. 1. 用)(x g 除•x f )(,求商)(x q 和余式)(x r .解: 1)17262()()()()3999f xg x x x =-+--. 92926)(,9731)(--=--=x x r x x q . 2)2()()(1)(57)f x g x x x x =+-+-+. 75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q .2. 求m , p ,q 适合什么条件时, 有1) q px x mx x ++-+32|1 2) q px x mx x ++++242|)1(.解: 1) 方法1.q px x mx x ++-+32|1 x-mx 3+mx 2-x-m x 2+(p +1)x +q-m x 2-m 2x +m2(1)()()p m x q m r x +++-=由余式2(1)()0p m x q m +++-=得:21m q p q =⎧⎨=-⎩. 方法2. 设))(1(23q x mx x q px x --+=++, 两个多项式相等当且仅当同次项系数对应相等, 于是⎩⎨⎧=--=-p mq q m 10, 即21m q p q =⎧⎨=-⎩. 2) 解: 假设))((,|)(q ax x 1mx x q px x q px x 1mx x 2224242++++=++++++则,展开右边与左边比较, 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=+pma q a mq a m 100,消去a , 得⎩⎨⎧=+-=-p m q m mq 102 , 所以当m 0时, q=1, p=2-m 2; 当m=0时, p=q+1.3. 求g (x )除f (x )的商)(x q 和余式)(x r .解: 用综合除法求商和余式.1) 3)(,83552)(+=--=x x g x x x x f .解: 作综合除法算式:得：.327)3)(109391362()(234-++-+-=x x x x x x f商.327)(,109391362)(234-=+-+-=x r x x x x x q 余式为2) .21)(,23)(i x x g x x x x f +-=--=解: 商q(x)=22(52)x ix i --+, 余式r(x)=98i -+.4. 把f (x )表成(x-x 0)的方幂和.1) 50(),1f x x x ==.解: 用综合除法:155432()(1)5(1)10(1)10(1)5(1)1f x x x x x x ∴=-+-+-+-+-+.当然也可以55()[(1)1]f x x x ==-+=5432(1)5(1)10(1)10(1)5(1)1x x x x x -+-+-+-+-+. 2) 42432()23(2)8(2)22(2)24(2)11f x x x x x x x =-+=+-+++-++ 3) 432()2(1)37f x x ix i x x i =+-++++432432()2()(1)()3()7()2()(1)()5()75x i i i x i i i x i i x i i i x i i x i i x i x i i =+-++--++--+-++=+-++++-+++ 5. 求f (x ), g (x )的最大公因式.1) f (x )=x 4+x 33x 24x 1, g (x )=x 3+x 2x 1.解法1: 作辗转除法:f (x )g (x )q 1(x )=x x 4+x 33x 24x 1 x 3+x 2x 1–21x+41=q 2(x) x 4+x 3x 2 x x 3+(3/2)x 2 +(1/2) x 38x+34 r 1(x)= 2x 23x 1 (1/2) x 2(3/2) x 1 =q 3(x ) 2x 22x (1/2) x 2(3/4) x (1/4) x1 r 2(x)=(3/4) x (3/4) x10 ((),())1f x g x x =+.解法2: 由于最大公因式的常数倍仍然是最大公因式, 所以, 在辗转相除的过程中, 为了方便可以给多项式乘以一个非零常数.f (x )g (x )q 1(x )=x x 4+x 33x 24x1 x 3+x 2x 12x 3+2x 22x 2 –x +1=q 2(x )x 4+x 3 x 2 x 2x 3+3x 2 + x2x -1 r 1(x)= 2x 23x 1 x 23 x 22x 26 x 4=q 3(x ) 2x 22x 2 x 23 x 1x 1 3 x 3x 1 x +10 ((),())1f x g x x =+. 解法3: )13)(1()(3--+=x x x x f , 22()(1)(21)(1)(1)g x x x x x x =-++=-+,((),())f x g x x =+ 2)32()31g x x x =-+不可约, 14)(34+-=x x x f 不可约, ∴()(),()1f x g x =. 3))122)(122(110)(2224---+=+-=x x x x x x x f4323222()61,())(1)g x x x f x x x x =-+++=-++=--∴()2(),()1f x g x x =--6. 求u (x ), v (x )使u (x )f (x )+v (x )g (x )=(f (x ), g (x )).1) 242)(234---+=x x x x x f , 22)(234---+=x x x x x g解法1: )2()1()(22-+=x x x f , 22()(2)(1)g x x x x =-++.因为1)1,1(2=+++x x x , 所以(f (x ), g (x )) = x 2 2.因为[]22(1)(1)(1)(2)1x x x x x +-+++++=, 所以2)()()()(2-=+x x g x v x f x u , 即 []22222(1)(1)(2)(2)(1)(2)2x x x x x x x x -++-++++-=-.解法2：作辗转除法:g (x ) f (x )q 2(x )=x +1 22)(234---+=x x x x x g 242)(234---+=x x x x x f q 1(x )=1x 4-2x 2 22234---+x x x xx 3+x 2-2x -2 r 1(x )= x 3-2x q 3(x )=x x 3-2x x 3-2xr 2(x)=x 2-2 r 3=0因为r 2(x)| r 1(x ), 所以(f (x ), g (x )) = r 2(x) = x 2-2. 再由)()()()(),()()()(22111x r x q x r x g x r x q x g x f +=+=, 得)].()[())()(1)(()(),()]()()([)()()()()(221221212x q x f x q x q x g x r x q x q x g x f x g x q x r x g x r -++=--=-=令u (x )=-(x +1), v (x )=(x +2), 则2(2)(1)()(2)()x x f x x g x -=-+++.2) (f (x ), g (x )) = r 2(x) = x -1.21221(1)()(1)()333x x f x x x g x -=--+--. 3)144)(234++--=x x x x x f , 2()1g x x x =--∴2()()(3)(2)f x g x x x =-+-, ()(2)(1)1g x x x =-++∵21((3))(1)f g x x g =---++，132(1)()(32)()x f x x x x g x =-+++--.7. 如果f (x )和g (x )的公因式是一个二次多项式, 求t,u 的值. 其中u tx x x g u x x x x f ++=++++=223)(,22)41()(.解: 22()()1(1)(2),()(1)(2)f x g x t x t x u r x t x t x u =+++-+=++-+.2222212()(2)2()()()(1)1(1)(1)(1)t t t u t t g x r x x x u t t t t -+++--=+++-++++ 由题意()()()|()r x x r x g x 与g 的公因式应为二次所以. 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=-++-+0)1()3(t)(10)4()3(322223t u t t u t u t t . ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++-+-≠0)3(0)4()3(3 .)(,1223u t t u t u t t x r t 为一次的否则得解出(ⅰ)当.0)1)(4(,04330223=+-+=+-+=t t t t t t u 时 ∴¡32¡314π±=±=-=e t t 或. (ⅱ)311,03,02t t t t u -=+=++≠只有时当. )433(31433)4()3(3233232+-+-=++-+=⇒-++-+t t t t t t t t u u t u t t . ∴)4(2]246)82)(3[(3122+-=++-+++-=t t t t t t u 即⎩⎨⎧=+++-=03)4(22t t t u , 2111i t ±-=, i u 117--=. 8. 证明: 如果()|(),()|()d x f x d x g x , 且()d x 是f(x)和g(x)的一个组合, 那么d(x)是f (x )和g (x )的一个最大公因式.证明: 因为()|(),()|()d x f x d x g x , 所以()d x 是f (x )和g (x )的一个公因式. 又已知：()()()d x f x g x 是与的组合, 所以存在u (x ), v (x )P[x ]使得u(x )f (x )+v (x )g(x )=d (x ).若()|(),()|(),()|()h x f x h x g x h x d x 得, 所以()d x 是一个最大的公因式.9. 证明(()(),()())((),())().f x h x g x h x f x g x h x =（()h x 的首系=1）证：设(()(),()())()f x h x g x h x m x =, ()((),())()()()().d x f x g x u x f x v x g x ==+ 由()()|()()d x h x f x h x , ()()|()()d x h x g x h x , 得()()d x h x 是f (x )h (x )和g (x )h (x )的一个公因式. 所以()()|()d x h x m x .考虑到()()()()(),d x u x f x v x g x =+()()((),())()()()()()()().d x h x f x g x h x u x f x h x v x g x h x ∴==+因为()|()(),()|()()m x f x h x m x g x h x , 所以由上式得, ()|()()m x d x h x . 而h (x )的首项系数为1，所以()()()m x d x h x =, 即((),())()(()(),()()).f x g x h x f x h x g x h x =10. 如果(),()f x g x 不全为0, 证明()()(,) 1.((),())((),())f xg x f x g x f x g x = 证：设()((),()).d x f x g x = 由(),()f x g x 不全为0得()0.d x ≠设1()()(),f x d x f x = 1()()(),g x d x g x =及()()()()().d x u x f x v x g x =+则11()()()()()()().d x u x f x d x v x g x d x =+消去()0d x ≠得111()()()()u x f x v x g x =+. ()()(,) 1.((),())((),())f xg x f x g x f x g x = 11. 证明: 如果(),()f x g x 不全为0, 且()()()()((),())u x f x u x g x f x g x +=, 那么(u (x ), v (x ))=1.证：设()((),()).d x f x g x =由于(),()f x g x 不全为0, 所以d (x )0.11()()(),()()(),f x f x d x g x g x d x ==设则1111()()()()()()(),()()()()1u x f x d x u x g x d x d x u x f x u x g x +=+=, (u (x ), v (x ))=1. 12. 如果1))(),((,1))(),((==x h x f x g x f , 那么1))()(),((=x h x g x f .证: 设21111111,1,1uf vg u f v h uu f ufv h vgu f vu gh +=+=+++=两式相乘得. ∴1111()()1(,)1uu f uv h vgu f v u gh f gh +++=⇒=.13. 设1212,,(,g )=1,=1,2,...,m;=1,2,...,n.m n i j f f f g g g f i j 都是多项式且求证 1212(,)1m n f f f g g g =.证: ∵ (,g )1i i f =，由12题, 固定12:(,)1i i f g g =,…, 12(,.)1i n f g g g =. 令12n g g g g =⋯,(,)1i i f g ∴=每个12(,)1,f f g ⇒= 123(,)1f f f g =, …,1212(,)1m n f f f g g g =. 推广若((),())1,f x g x =则∀m ，n N, 有((),())1m n f x g x =.14. 如果1))()(),((,1))(),((=+=x g x f x f x g x f 那么.证法1：(,)11()()1(,)1f g uf vg u v f v g f f g f =⇒+=⇒-++=⇒+= 同理(,)1g g f +=. 由12题(,)1fg f g +=.证法2：设d (x )是f 和f +g 的任一个公因式, ()|(),()|()()d x f x d x f x g x +, 所以 ()|()d x g x , 因为(f , g )=1, 所以d (x )=c (常数). 所以(f , f +g )=1. (,)1g g f +=. 由12题得(,)1fg f g +=.15 . 求下列多项式的公共根: f (x )=x 3+2x 2+2x +1, g (x )=x 4+x 3+2x 2+x +1解：g(x )=f (x )(x-1)+2(x 2+x +1), f (x )=(x 2+x +1)(x +1), 即(f (x )，g(x )) = x 2+x +1.令(x 2+x +1)=0得231,23121i i --=+-=εε ∴f (x )与g (x )的公共根为21,εε.16 判断下列多项式有无重因式:1)5432()57248f x x x x x x =-+++- 2)344)(24--+=x x x x f解: 1)4421205)('234+-+-=x x x x x f , 作辗转相除法:325()'()(1)3(25412)f x f x x x x x =---+. 23221549'()(25412)(5)(44)22f x x x x x x x =--+-+-+, )32)(44()12452(223++-=+--x x x x x x ,得22)2(44))('),((-=+-=x x x x f x f , 故)(x f 有重因式3)2(-x .2))12(4484)('3-+=-+=x x x x x f ,作辗转相除法:32()(21)(233)f x x x x x x =+-+-+.)1311()32)(332()('2-+++-=x x x x x f2661311(233)(1113)(2)(33)1111x x x x ⨯-+=--++ 1))(').((=∴x f x f .17. 求t 的值 13)(23-+-=tx x x x f 有重根.解法1：设f (x )有重根a , 则a 0，且)1()()(22ax a x x f +-=. 于是 1)2()12(13)(222323--++-+=-+-=x aa x a a x tx x x x f . 由多项式相等的概念, 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-t a a a a 232122 (*).解方程得t=3，415-. 解法2: t x x x f +-=63)('2, 作辗转相除法:)3()62()1)((')(3-+-+-=t x t x x f x f .当3=t , 3)1()(-=x x f 有三重根.当.3≠t 则)2152()2153)(22()('2++-+=t x x x f . 此时必须415-=t , 有重因式)4()21()(2-+=x x x f . 18. 求多项式q px x x f ++=3)(有重根因式的条件分析: 若q px x x f ++=3)(有重根, 则有二重根或三重根. 若有三重根, 则32233333)()(a x a ax x a x q px x x f -+-=-=++=.得: 0,0===q p a . 此时0为三重根. 如下只需考虑2重根的情形即可. 解法1: p x x f +='23)(, 利用辗转相除法:23()(3)23f x x p x px q =+++)0(≠p ,22223327(3)(23)()()244a q x p px q x p p p p +=+-++. 得324270p q +=.解法2: b a x a ab x a b x b x a x q px x x f 222323)2()2()()()(-+++-=--=++=.⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+q b a a ab p a b 22202,⎪⎩⎪⎨⎧=-=3223aq a p , 得324270p q +=. 19. 如果2(1)|()x f x -,其中42()1f x Ax Bx =++,求A, B.解法1：设),1()1(1)(2224-+-=++=bx Ax x Bx Ax x f 展开右边并比较系数: 1)1()21()2(123424-++-+-+-+=++x b x b A x A b Ax Bx Ax得⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=-011202b B b A A b , 于是2,1-==B A .解法2: 因为2(1)|()x f x -, 所以(1)|'()x f x -由)4)(1()24(24)('23d Ax x x B Ax x Bx Ax x f +-=+=+=, 于是比较两边系数得: 2A B =-.所以42()21f x Ax Ax =-+. 又)1)(1()(),()1(23-++-=-cx bx Ax x x f x f x 设, 于是4221Ax Ax -+=)1)(1(23-++-cx bx Ax x , 右边展开并比较系数:⎪⎩⎪⎨⎧=---=-=-0120c A b c A b .2,1-==∴B A .20证明2()12!!n x x f x x n =+++无重因式（重根）. 证法1： '()()!nx f x f x n =- (',)(,)!yx f f f n ∴=. 因为1),(=x f , 所以(,)1()n f x f x =⇒无重因式. 证法2: 由于f (x )有重因式的充要条件是1))('),((=x f x f , 所以设)())('),((x d x f x f =, 我们证明d (x )=1.事实上, 由!|)()),(')((|)()("|)(),(|)(n x x d x f x f x d x f x d x f x d n即得-. 所以0,)(≥=k x x d k . 若k >0, 则x |f (x ), 矛盾. 所以k =1, d (x )=1.21. 如果a 是()f x '''的一个k 重根, 证明a 是)()()](')('[2)(x f x f a f x f a x x g +-+-=的一个k +3重根. 证明: 验证得g(a )=0, 设a 是g (x )的t 重根.g ′(x )=12[ f ′(x )+ f ′(a )]+()()2x a f x f x -'''-⇒ g ′(a )=0 . 111()''()()()()()()()02222x a g x f x f x f x f x x a f x g a -''''''''''''''=++-=-⇒= 由于a 是()f x '''的k 重根, 以及a 是(x-a )的根, 所以a 是()g x ''的k+1重根.再由假设a 是g(x)的t 重根, 则a 是()g x ''的t 2重根, 于是t 2=k +1, 得t =k +3, 即()a x 是g 的k+3重根.22. 证明0x 是f (x )的k 重根的充要条件是0)()(')(0)1(00====-x f x f x f k , 但是0)(0)(≠x f k .证明: 必要性显然（见定理6推论1）.充分性: 若x 0是f (x )的t 重根，t ＞k ，由定理⇒0)()(')(0)1(00====-x f x f x f k , 且f (k)( x 0)=0.若t ＜k ⇒(1)0()0k f x -≠，所以矛盾. 所以t=k.23. 举例说明断语”如果a 是)('x f 的m 重根, 则a 是f (x )的m +1重根”是不对的. 例如1()1,0()(1)m m f x x x f x m x m +'=+==+则是的重根,0()x f x =但不是的根.24. 若(1)|(),(1)|()n n n x f x x f x --则.证法1: 因为(1)|(),n x f x -所以1是()n f x 的根, 即f (1)=0. 这样(1)|()x f x -. 存在g(x )使得()(1)()f x x g x =-. 于是()(1)()n n n f x x g x =-, 得)(|1n n x f x -.证法2：由条件知, f (1)=0. 设全体n 次单位根为1，121,...,,-n ξξξ. 对每一个:k ξ0)1()(==f f n k ξ, 所以.1,...,1,0),(|)(-=-n k x f x n k ξ 再由于,1-x ,1ξ-x ...,1--n x ξ两两互素, 所以)(|)1(),(|)())(1(11n n n n x f x x f x x x -----即ξξ .25 . 如果x 2+x +1|)()(3231x xf x f +, 那么12(1)|(),(1)|().x f x x f x --且证法1：设x 2+x +1的两个根312,,1i εεε=, i =1,2. 2121()()x x x x εε++=--.33111213322222()()0()()0f f f f εεεεεε⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,112122(1)(1)0(1)(1)0f f f f εε+=⎧⎨+=⎩即. 把上式看作是以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2111εε为系数矩阵的齐次线性方程组, 则由于系数行列式非零, 所以12(1)(1)0f f ==. 即12(1)|(),(1)|().x f x x f x --且证法2: 设111)()1()(r x q x x f +-=, 222)()1()(r x q x x f +-=, 则x r x q x x r x q x x xf x f 232313133231)()1()()1()()(+-++-=+. 对于x 2+x +1的两个根331212,: 1.εεεε== 所以121123123111311313121311)()1()()1()()(0εεεεεεεεεεr r r q r q f f +=+-++-=+=,221223223221321323221321)()1()()1()()(0εεεεεεεεεεr r r q r q f f +=+-++-=+=.于是⎩⎨⎧=+=+0221121εεr r r r .把上式看作是以⎪⎪⎭⎫⎝⎛2111εε为系数矩阵的齐次线性方程组, 则由于系数行列式非零, 所以只有零解: 021==r r . 即12(1)|(),(1)|().x f x x f x --且证法3：设111)()1()(r x q x x f +-=,222)()1()(r x q x x f +-=, 由条件x 2+x +1|)()(3231x xf x f +, 而)()(3231x xf x f +=x r x q x x r x q x 23231313)()1()()1(+-++-, 考虑到x 2+x +1|(x 31)，所以x 2+x +1|r 1+r 2x . 再由次数之关系得r 1=r 2=0. 所以12(1)|(),(1)|().x f x x f x --且26. 求多项式1n x -在复数范围内和实数范围内的因式分解. 解: 0221cossin ,0,1,2,1k k k i k n n nππεε==+=-设. 则121,...,,,1-n εεε是1n x -是全部根(n 次单位根全体).1112211211122(),1()(1)((cossin )).(),,21:21(1)()(1)()()(1)(2cos1).n n ni i k m m m nk k n k k k k k k i C x x x x i n nii R n n m k x x x x x x x x x nππεπεεε--==----===-=-=--+=--=--=---=--+∏∏∏∏∏在中在中若为奇数12122:1(1)(1)(2cos1).m nk k n m x x x x x nπ-==-=-+-+∏当时n 为偶数 n 为奇数 27. 求有理根： 1) f (x )=x 36x 2+15x14.解法1：有理根可能为±1、±2、±7、±14.∵当a <0时f （a ）<0，所以f (x )的有理根是可能1,2,7,14. f (1)=40, f (2)=0, f (7)=1400, f (14)=17640, 只有一个x =2.解法2：有理根可能为±1、±2、±7、±14. f (1)=4, f (1)=36. 对于每一个可能的根, 考虑αα+--1)1(1)1(f f 及: 当=2时:121)1(421)1(-=+-=-αf f 及, 验证得f (2)=0. 作综合除法: 2 16 151428 142 1 4 7 02 41 2 30f (x )=(x2)(x 24x +7).令g(x )= x 24x +7, g(1)=4， g(1)=12. g(x )可能的有理根只有±7.71)1(±g 非整数, 所以±7都不是g(x )的根, 从而也不是f (x )的根. 2) f (x )=4x 47x 25x1 .解：f (x )有理根可能为±1、±21、±41，∵f (1)=-9≠0，f (-1)=1≠0,f (21)= 5, f (21)=0, f (41) = 26443, f (41) =6411. 所以f (x )只有一个有理根x = 21.3) f (x )=x 5+x 46x 314x 211x3解：可能有有理根为±1、±3、f (1)= 32, f (1)=0.作综合除法: 1 1 61411311 0 6 8 31 0 683 01 1 1 5 3 1 153 01 123 1 23 01 1 3 13 0f (x )=(x +1)4(x 3). f (x )的有理根为1，1，1，1，3.28. 下列多项式在有理数域上是否可约? 1) x 2+1解: 令 x=y +1, 则x 2+1=y 2+2y +2. 取p=2, 由Eisenstein 判别法可知它不可约. 2) 4328122x x x -++解: 取P=2，由Eisenstein 判别法，该多项式不可约. 3) x 6+x 3+1 解: 令x =y +1则x 6+x 3+1=y 6+6y 5+15y 4+21y 3+15y 2+9y +3取P=3, 则这个多项式不可约. 4) x p +px +1, p 为奇素数解：取y =x+1, x p+px +1=y p+1((1)(1)1pi p i i p i c y p y -=-+-+∑=y p+21((1)2p i i p i p i c y py p --=-+-∑取素数为p ，由于1,...,2,1,-=p j C j p 都是p 的倍数, 所以应用Eisenstein 判别法可知它不可约. 5) x 4+4kx +1, k 为整数解：令x =y +1,则f (x ) = x 4+4kx +1=y 4+4y 3+6y 2+(4+4k )y +(4k +2)取p =2，则p 可整除首相以外的所有系数, 但是p 2不整除常数项，由Eisenstein 判别法，f (x )于Q 上不可约.第一章补充题1. 设0),()()(),()()(11≠-+=+=bc ad x dg x cf x g x bg x af x f 且, 证明11(()())((),())f x g x f x g x =，.证: 设).())(),((),())(),((111x d x g x f x d x g x f == 要证明d (x )|d 1(x )及d 1(x )|d(x ). 首先因为d (x )|f (x ), d (x )|g (x ), 所以由条件知d (x )|f 1(x ), d(x )|g 1(x ), 从而d (x )|d 1(x ).另一方面, 由于ad bc 0, 所以由条件知111111()(()()),()(()())f x df x bg x g x cf x ag x ad bc ad bc=--+--.于是由d 1(x )|f 1(x ), d 1(x )|g 1(x ), 得d 1(x )|f (x ), d 1(x )|g (x ), 从而d 1(x )|d (x ). 所以d 1(x )=d (x ). 2. 证明: 只要))(),(()(,))(),(()(x g x f x g x g x f x f 的次数都大于零, 就可适当地选择适等式u (x )f (x )+v (x )g(x )=d (x )中的u(x )和v(x )使得))(),(()())((0,))(),(()())((0x g x f x f x v x g x f x g x u <∂<<∂<.证明：设（f (x )，g(x )）=d (x ), 存在u 1(x ), v 1(x )使得u 1(x ) f (x )+v 1(x )g(x )=d (x )..1))(),(()()())(),(()()(11=+x g x f x g x v x g x f x f x u记f (x )=f i (x )d (x ), g(x )=g 1(x )d (x ), 则有u 1(x )f 1(x )+v 1(x )g 1(x )=1. (*)a)若∂(u 1(x ))<∂(g 1(x )), 由上式, ∂(u 1(x ))+∂(f 1(x ))=∂(v 1(x ))+∂(g 1(x )), 得∂(v 1(x ))<∂(f 1(x )). b) 若∂(u 1(x ))∂(g 1(x )), 令u 1 (x )=q 1(x )g 1(x )+u 2(x ), ∂(u 2)<∂(g 1(x ))=∂())(),(()(x g x f x g ).v 1(x )=q 2(x )f 1 (x )+v 2(x ), ∂(v 2)<∂(f 1(x ))=∂())(),(()(x g x f x f ). 代入(*)式: 得f 1(x )u 2(x )+g 1(x )v 2(x )+f 1(x )g 1(x )q 1(x )+f 1(x )g 1(x )q 2(x )=1,f 1(x )u 2(x )+g 1(x )[v 2(x )+f 1(x ) q 1(x )+f 1(x ) q 2(x )]=1.令u (x )=u 2 (x ), v (x )= v 2(x )+f 1(x ) q 1(x )+f 1(x ) q 2(x ), 则由于∂(u)= ∂(u 2)<∂(g 1(x )), 得∂(v)= ∂(v 2)<∂(f 1(x )), 且有u (x )f (x )+v (x )g(x )=d (x ).3. 证明: 如果()(),(()(1).m m f x x f x x m ≥与g 互素那么)与g 也互素证：由于f (x )与g(x )互素, 所以存在u(x ), v(x )使得u (x )f (x )+v (x )g(x )=1. 于是有u (x m )f (x m )+v (x m )g(x m )=1. 即f (x m )与g(x m )互素.4. 证明: 如果)(),...,(),(121x f x f x f s -的最大公因式存在, 那么)(),...,(),(121x f x f x f s -,f s (x )的最大公因式也存在, 且当)(),...,(),(121x f x f x f s -, f s (x )全不为零时有1,211()((,,),).s s s f f f f f f -=再利用上式证明存在)(),...,(),(21x u x u x u s 使得),...,,(212211s s s f f f f u f u f u =++ . 证明：设d =(f 1,f 2…f s )，d 1=(f 1…f s-1), d ′=(d 1, f s ), 要证明d = d ′.一方面, s d f 及d |d 1⇒d |d ′.另一方面，d ′|d 1, 's d f ⇒d ′|f i （i ∀）⇒d ′|d. 又d, d ′都是首项系数为1的多项式, 所以d=d ′.为了证明第二个结论,应用数学归纳法. 当s=2时, 结论显然成立.假设对于s-1个多项式结论成立,考虑s 个多项式的情形:此时, 对于)(),...,(),(121x f x f x f s -,由归纳假设'∃i u (i =1,2，…,s-1)，使'''111111,,s s s s u f u f d v u vd u f d --++=∃+=又使得′. 所以 ∴d =d ′=1s s vd u f + =v （1'1s i i i u f -=∑）+s s u f .令'i i u vu = i=1,2…,s-1, 则d =u 1f 1+…+u s-1f s-1+s s u f . 5. 多项式m (x )称为)(,)(x g x f 的一个最小公倍式, 如果 1) )(|)(,)(|)(x m x g x m x f ;2) )(,)(x g x f 的任一个公倍式都是m (x )的倍式.我们以[)(,)(x g x f ]表示首系数是1的那个最小公倍式, 证明如果)(,)(x g x f 的首系数都是1，那么[)(,)(x g x f ]=))(),(()()(x g x f x g x f .证明: 因为)(,)(x g x f 的首系数都是1，所以它们都是非零多项式, 于是它们的最大公因式不等于零. 设(f (x ),g (x ))=d (x ), f (x )=f 1(x )d (x ), g (x )=g 1(x )d (x ), 则(f 1(x ),g 1(x ))=1.设m (x )=f 1(x )g 1(x )d (x ), 则一方面显然有 f (x )|m (x ), g (x )|m (x ), 故m (x )是一个公倍式. 另一方面, 设l (x )是)(,)(x g x f 的任一个公倍式, 则)(|)(,)(|)(x l x g x l x f ，令l (x )=d (x )l 1(x )，则f 1(x )|l 1(x ), g 1(x )|l 1(x )∵(f 1(x ), g 1(x ))=1, ∴f 1(x )g 1(x )|l 1(x )⇒f 1(x )g 1(x )d (x )|l , 即m (x )|l (x ). 所以m (x )是f (x ), g (x )的一个最小公倍式. 即证得：[f (x ), g (x )]=f 1(x )g 1(x )d (x )=))()(()()(x g x f x g x f ⋅⋅.6. 证明：设p (x )是次数大于零的多项式，如果对于任何多项式f (x ), g (x ) ，由 p (x ) | f (x )g (x )可以推出p (x ) | f (x )或者p (x ) | g (x ), 那么p (x )是不可约多项式.证明: 采用反证法. 设p (x )可约，则有p (x ) = p 1(x ) p 2(x )且p 1(x )和p 2(x )的次数低于p (x )的次数. 那么由条件可得p (x ) | p 1 (x )或p (x ) | p 2(x ), 这是不可能的，因为后面两个多项式的次数低于 p (x )的次数.7. 证明：次数> 0且首项系数为1 的多项式f (x )是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件是, 对任意的多项式g (x ), 或者(,)1f g =或者存在正整数m 使得).(|)(x g x f m证明: 必要性：设f (x ) = p s (x )（其中p (x )是不可约多项式），则对任意多项式g (x )，有 a) ( p (x ), g (x )) =1; 或b) p (x ) | g (x ).对于 a) 有( f (x ), g (x )) =1.对于b)有p s (x ) | g s (x )，此即f (x )|g s (x ).再令m = s ，即可.充分性：若 f (x )不是某一个不可约多项式的方幂，则f (x )有典型分解式:).0,2(),()()()(221>≥=i r k r k k k r x p x p x p x f取g (x )=p 1(x )，则( f (x ), g (x )) = p 1(x ), 且对任意的正整数m, f (x )不整除g m (x ). 与题设f (x )与g (x )应满足( f (x ), g (x )) =1或f (x ) | g m (x ),(m 为某一正整数)矛盾，即证. 8．证明：次数> 0且首项系数为1 的多项式f (x )是某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是：对任意的多项式g (x ), h (x )，由f (x ) | g (x )h (x )，可以推出f (x ) | g (x )，或者对某一正整数m , f (x ) | h m (x ).证明: 必要性.设f (x )= p m (x )是某一不可约多项式p (x )的方幂, 则由于p (x )不可约,所以由f (x ) | g (x )h (x )，可推知p (x ) | g (x )h (x )，及p (x ) | g (x )或p (x ) | g (x ). 所以必存在正整数使得p m (x ) | h m (x ), 即f (x ) | h m (x ) .充分性. 若 f (x )不是某一个多项式的方幂，则f (x )有典型分解式:).0,2(),()()()(221>≥=r r k r k k k r x p x p x p x f取),()(1x p x g k= ),()()(22x p x p x h r kr k= 则 f (x ) | g (x )h (x )，但是出f (x )既不整除g (x )，也不能整除h (x )的任意方幂 h m (x ). 9. 证明：n n m x ax b -++没有重数＞2的非零根证明：设 f (x ) = x n + ax n-m + b ，则f '′(x ) = x n-m-1[nx m + (n-m )a ].又因为 f (x )的非零根都是多项式g (x ) = nx m +(n −m )a 的根，而g (x )的m 个根都是单根，因而f '′(x )没有不为零且重数大于2的根.10. 证明: 如果f (x )| f (x n ), 那么f (x )的根只能是0或单位根.证明: 设a 是f (x )的任一个根，由f (x ) | f (x n )知，a 也是f (x n )的根，即f (a n ) = 0, 所以a n 也是f (x )的一个根. 以此类推下去，则,......,,2n n ααα都是 f (x )的根.f (x )是一个次数有限的多项式，所以f (x )最多只可能有限个相异的根，于是必有()i jn ni j αα=>不妨设,01)(=--jn i njn αα, 0,1m x αα==则或或是的根.11. 如果f (x ) | f (x )，证明f (x )有n 重根，其中n = ∂( f (x )).证明: 设a 1 , a 2,..., a s 是f ′(x )的s 个不同的根，且它们的重数分别为k 1 , k 2,..., k s ，由于f ′(x )是n −1次多项式，因而k 1 +k 2+...+ k s =n-1. 其次，由 f ′(x )|f (x ), a 1, a 2,..., a s 分别为f (x )的k 1 +1, k 2+1， ..., k s +1重根，但k 1 +1+k 2+1+...+ k s +1=n-1+s=n, 从而s =1. 这就是说，f ′(x )只可能有一个根1 a ，且重数为k 1= n −1.故f (x )有n 重根. 12. 设a 1, a 2,..., a n是n 个不同的数, 而).())(()(21n x x x x F ααα---=证明: 1);1)()()(1∑=='-ni ii F x x F αα2)对任意多项式f (x ),用F (x )除所得的余式为.)()()()(1∑='-ni ii i F x x F f ααα证明：1)∑=----='ni i n x x x x x F 121)()())(()(αααα ,所以)())(()()(111n i i i i i i i F ααααααααα----='+- .)())(()()())(()()()()(11111n i i i i i i n i i i i αααααααx αx x x F x x F --------='---- αααααα(=g i (x )). 则∂(g i (x ))≤ n −1, 且g i (a i )=1, g i (a j )=0, 当i j . 所以∑=='-ni ii F x x F 11)()()(αα.2) 对于任意的多项式f (x )，用F (x )除得f (x ) = q (x )F (x ) + r (x ) (r (x ) = 0或∂(r (x ))≤n −1).当r (x )=0时，结论显然成立. 当∂(r (x ))≤n −1时，若令k (x )=∑='-ni ii i F x x F f 1)()()()(ααα, 则∂(k (x ))≤n −1，于是r (a i ) =f (a i ) = k (a i ) (i =1,2,...,n ), 所以r (x )=k (x )=∑='-ni ii i F x x F f 1)()()()(ααα.13. a 1, a 2,..., a n 与上题相同, b 1, b 2,..., b n 是任意数,显然∑='-=ni ii i F x x F b x L 1)()()()(αα适合条件L (a i )=b i , i =1,2,…,n. 这称为Lagrange 插值公式, 利用上面的插值公式求: 1) 一个次数<4的多项式f (x ), 它适合条件f (2)=3, f (3)=-1, f (4)=0, f (5)=2. 2)一个二次多项式f (x )，它在0,2π, π处与函数sin x 有相同的值. 3）一个次数尽可能低的多项式f (x )，使f (0) =1, f (1)=2, f (2)=5, f (3)=10.解: 1) 由Lagrange 插值公式: 取321(3)(4)(5)1()(124760)(23)(24)(25)6x x x l x x x x ---==--+----322(2)(4)(5)111()1920(32)(34)(35)22x x x l x x x x ---==-+----323(2)(3)(5)131()515(42)(43)(45)22x x x l x x x x ---==+++---324(2)(3)(4)1313()4(52)(53)(54)623x x x l x x x x ---==++----43212341217203()(())()30242326i i i f x l x f a l l l l x x x =∴==-+⋅+=-+-+∑2) 已知f (0) =sin 0=0， f (2π)=sin 2π=1, f (π)sin π=0. 设F (x )=x (x-2π)(x-π), 则得到)(4)(2ππ--=x x x f .3) 同理可得321(1)(2)(3)111()1(01)(02)(03)66x x x l x x x x ---==-+-+---,32(0)(2)(3)15()3(10)(12)(13)22x x x l x x x x ---==-+---,323(0)(2)(3)()23(20)(21)(23)2x x x x l x x x ---==-++---,324(0)(2)(3)111()(30)(31)(32)623x x x l x x x x ---==-+---,21234()()2()5()10()1f x l x l x l x l x x ∴=+++=+14. 设f (x )是一个整系数多项式, 试证: 如果f (0)和f (1)都是奇数, 则f (x )不能有整数根.。

多项式的根和多项式方程的解法

多项式的根和多项式方程的解法多项式是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。

在学习多项式时，我们需要理解多项式的根和多项式方程的解法。

本文将介绍多项式根和多项式方程解法的相关知识，帮助读者更好地理解和应用多项式。

一、多项式的根多项式的根指的是能使多项式等于零的值。

对于一元多项式来说，根可以是实数或复数。

对于二元、三元或更多变量的多项式，根可以是有序对、有序三元组等。

判断一个数是否为多项式的根有多种方法，其中最常用的方法是使用综合除法。

综合除法是通过除法运算找到多项式的根，并将多项式分解为更简单的因式。

例如，对于一元多项式P(x)，如果我们使用综合除法将其除以(x-a)，其中a是实数或复数，如果余数为零，则说明a是P(x)的根。

二、多项式方程的解法多项式方程指的是将多项式与零等式连接的方程。

多项式方程的解即为能使多项式方程成立的值。

对于一元多项式方程来说，我们通常使用求根的方法来求解。

1. 因式分解法如果多项式能够被因式分解，我们就可以根据因式分解的性质来求解多项式方程。

例如，对于一元二次多项式的方程ax^2+bx+c=0，我们可以将其因式分解为(a'x-d)(a''x-e)=0的形式，然后利用因式分解的性质得到x的值。

2. 配方法对于一些无法用因式分解法解决的多项式方程，我们可以使用配方法。

配方法可以将多项式方程转化为完全平方或立方等形式，进而求解方程。

这种方法需要根据方程的类型进行具体分析和操作。

3. 使用求根公式对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以使用求根公式来求解。

求根公式给出了一元二次方程的两个根的表达式：x_1 = (-b + √(b^2-4ac))/(2a)x_2 = (-b - √(b^2-4ac))/(2a)使用求根公式时需要注意判别式(b^2-4ac)的值，如果判别式大于零，则方程有两个不相等的实数根；如果判别式等于零，则方程有两个相等的实数根；如果判别式小于零，则方程没有实数根，但有两个共轭复数根。

高中数学多项式方程解题方法

高中数学多项式方程解题方法一、一元多项式方程的解法在高中数学中，我们经常会遇到一元多项式方程，即只含有一个未知数的多项式方程。

解一元多项式方程的方法有很多种，下面我将介绍其中几种常用的方法。

1.1 因式分解法当方程可以进行因式分解时，我们可以通过因式分解来求解方程。

例如，考虑如下方程：x^2 - 5x + 6 = 0我们可以将其因式分解为：(x - 2)(x - 3) = 0从而得到方程的解为 x = 2 或 x = 3。

因式分解法适用于方程的系数比较简单的情况，能够快速求解方程。

1.2 完全平方公式法当方程可以写成完全平方的形式时，我们可以利用完全平方公式来求解方程。

例如，考虑如下方程：x^2 - 6x + 9 = 0由于方程可以写成 (x - 3)^2 = 0 的形式，根据完全平方公式，我们知道方程的解为 x = 3。

完全平方公式法适用于方程的系数较为复杂，但方程可以写成完全平方形式的情况。

1.3 二次方程求根公式法对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，我们可以利用二次方程求根公式来求解方程。

二次方程求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)例如，考虑如下方程：2x^2 - 5x + 2 = 0根据二次方程求根公式，我们可以得到方程的解为 x = 1 或 x = 0.5。

二次方程求根公式法适用于一元二次方程的解法，可以求解任意一元二次方程。

二、多元多项式方程的解法除了一元多项式方程，我们还会遇到多元多项式方程，即含有多个未知数的多项式方程。

解多元多项式方程的方法也有很多种，下面我将介绍其中几种常用的方法。

2.1 消元法消元法是解多元多项式方程的常用方法之一。

通过逐步消去未知数的方法，将方程化简为只含有一个未知数的方程，从而求解方程。

例如，考虑如下方程组：2x + 3y = 74x - 5y = 1我们可以通过消元法将方程组化简为：2x + 3y = 78x - 10y = 2然后再通过加减法或代入法求解方程组。

高阶多项式函数的最值与极值问题解法总结

高阶多项式函数的最值与极值问题解法总结高阶多项式函数在数学中扮演着重要的角色，研究其最值与极值问题对于优化问题的解决以及数学建模都具有重要意义。

本文将总结高阶多项式函数的最值与极值问题的解法，帮助读者更好地理解和运用相关知识。

一、函数的最值问题在讨论高阶多项式函数的最值问题之前，首先需要明确什么是函数的最值。

对于一个给定的函数，其最大值和最小值被称为最值。

在数学中，寻找函数的最值是一个常见的问题。

对于高阶多项式函数，可以考虑以下解法：1. 导数法利用导数的性质可以帮助我们求解函数的最值。

对于一个高阶多项式函数，可以通过求导找到其极值点。

通过求一阶导数和二阶导数，我们可以判断极值点的情况。

a) 一阶导数法通过求一阶导数，我们可以得到函数的导函数，导函数的根即为函数的临界点。

通过判断导函数在临界点处的符号来确定函数的最值。

b) 二阶导数法求二阶导数可以帮助我们判断函数极值点的性质。

如果二阶导数大于零，则函数在该点处为极小值；如果二阶导数小于零，则函数在该点处为极大值。

2. 完全平方法对于特定形式的高阶多项式函数，可以利用完全平方来求解函数的最值。

通过将函数进行形式转化，找到其完全平方的形式，可以方便地求解最值问题。

二、问题的解法总结针对高阶多项式函数的最值与极值问题，综合考虑以上两种解法可得以下总结：1. 确定函数的定义域在求解函数的最值问题之前，需要先确定函数的定义域。

由于函数的定义域可能受限制条件的约束，因此需要明确函数的自变量的取值范围。

2. 导数法求解如果函数可以通过求导获取导函数，可以尝试使用导数法求解函数的最值问题。

通过求解导函数的根，并结合二阶导数的符号判断，可以得到函数的最值及对应的自变量取值。

3. 完全平方法求解对于特定形式的高阶多项式函数，可以尝试通过将函数转化为完全平方的形式来求解最值问题。

通过合理变量替换和形式转化，将函数转化为完全平方后，可以方便地求解最值问题。

通过上述的解法总结，我们可以针对不同的高阶多项式函数的最值与极值问题进行合理选择，并结合实际情况和具体计算进行求解。

多项式的运算与应用

又 f (x) 除以 x－2 的余式为 4，故由余式定理知 f (2) = 4
代入 x = 1 及 x = 2
得

f f
(1) a b 2 ，即 (2) 2a b 4
a b 2

2a

b

4
，可解得
a b

2 0
所以 f ( x) ( x 1)( x 2)q( x) 2x

r

(ax

b)

1 a
q(
x)

r
所以 f (x) 除以 ax－b 的商式是 1 q( x)，余式仍然是 r。 a
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若多项式 f ( x) 2x3 x2 3x 4 a( x 1)3 b( x 1)2 c( x 1) d，其中 a，b，c，d 是常数，试求： (1) a，b，c，d 之值。
(2) 题目条件表示 x4 与 x3 的系数皆为 0
因此 a 2 0，且 b 1 0，故 a 2，b 1
故此多项式为 x2 (2)2 1 3 x2 2 即常数项为 2
多项式的定义 p.76 ~ p.78
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两多项式相等：当两多项式相对应的每一单项的系数都相同，则称这两个多项式相等。
将此式改写成
f (x)

2g(
x )
1 2
q(
x)

r(
x)
这表示 f (x) 除以 2g(x) 的商式是 1 q( x) ， 2
余式仍然是 r (x)
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多项式的解法公式

多项式的解法公式一、一元一次多项式（形如ax + b = 0，a≠0）1. 解法公式。

- 移项：将含x的项移到等号一边，常数项移到等号另一边，得到ax=-b。

- 求解x：x =-(b)/(a)。

二、一元二次多项式（形如ax^2+bx + c = 0，a≠0）1. 解法公式。

- 求根公式：x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。

- 当b^2-4ac>0时，方程有两个不同的实数根。

- 当b^2-4ac = 0时，方程有两个相同的实数根（即一个实数根）。

- 当b^2-4ac<0时，方程没有实数根，在复数范围内有两个共轭复数根。

三、二元一次多项式方程组（形如a_1x + b_1y=c_1 a_2x + b_2y=c_2）1. 解法公式。

- 代入消元法。

- 由第一个方程a_1x + b_1y=c_1解出x（或y），例如x=(c_1 - b_1y)/(a_1)（a_1≠0）。

- 将x=(c_1 - b_1y)/(a_1)代入第二个方程a_2x + b_2y=c_2，得到关于y的一元一次方程，然后求解y。

- 把求出的y值代入x=(c_1 - b_1y)/(a_1)求出x。

- 加减消元法。

- 若要消去x，则给第一个方程乘以a_2，给第二个方程乘以a_1，得到a_1a_2x + a_2b_1y=a_2c_1 a_1a_2x + a_1b_2y=a_1c_2。

- 两式相减(a_1a_2x + a_2b_1y)-(a_1a_2x + a_1b_2y)=a_2c_1 - a_1c_2，即(a_2b_1 - a_1b_2)y=a_2c_1 - a_1c_2，然后求解y。

- 将y的值代入原方程组中的一个方程求解x。

多项式最大公因式性质定理及求解方法

多项式最大公因式性质定理及求解方法作者：xxx 指导教师：xxx摘要对多项式最大公因式理论中的重要性质定理进行总结归纳及对其中一个性质定理的结构进行进一步的研究，以及研究最大公因式的几种求解方法：因式分解法；辗转相除法；矩阵的初等变换法．关键词公因式最大公因式辗转相除法初等变换最大公因式是多项式理论的核心概念，最大公因式的性质在多项式理论的研究中具有关键作用，本文将分三个方面阐述这些内容：首先总结归纳最大公因式的性质定理；其次对其中的一个重要性质定理作进一步的研究；最后将对最大公因式的求解方法：因式分解法、辗转相除法、矩阵的初等变换法进行研究．本文所考虑的多项式均为数域F 上的一元多项式环]x [F 内的多项式．§1．最大公因式的定义及性质首先我们给出最大公因式的定义：定义1：设)x (d 是多项式)x (f 与)x (g 的一个公因式，若是)x (d 能被)x (f 与)x (g 的每一个公因式整除，那么)x (d 叫做)x (f 与)x (g 的一个最大公因式．以))x (g ),x (f (表示)x (f 与)x (g 在]x [F 中最高项系数为1的最大公因式．例1．如果)x (q )x (g )x (f ⋅=，那么)x (g 是)x (f 和)x (g 的最大公因式．证明：按定义1．有)x (g 是)x (f 与)x (g 的一个公因式，设)x (h 是)x (f 和)x (g 的任一公因式，则有：)x (g |)x (h ，所以按定义，有)x (g 是)x (f 与)x (g 的最大公因式．为研究多项式最大公因式的性质定理下面将给出一个引理：引理1：如果多项式)x (h 是多项式)x (f 和)x (g 的公因式，)x (a 和)x (b 是]x [F 上的两个任意多项式，那么)x (h 一定是多项式)x (g )x (b )x (f )x (a ⋅+⋅的因式．证明：因为)x (h 是)x (f 的因式，所以可设 )x (m )x (h )x (f ⋅=， )x (n )x (h )x (g ⋅=，其中)x (m ，)x (n ∈]x [F ．又因为 )x (n )x (b )()x (m )x (a )x (h )x (g )x (b )x (f )x (a ⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅x h)]()()()()[(x n x b x m x a x h +⋅=．所以 )x (h 是)x (g )x (b )x (f )x (a ⋅+⋅的因式．注：应用引理1有时可以方便的求两个多项式的最大公因式．例2：求12x 3x )x (f 3--=和52x 3x )x (g 3-+=的最大公因式．解：由上面的引理可知：所求的最大公因式一定是：)1x (4)x (g )x (f -=+-的因式，又因为 0)1(f =，0)1(g =，可知所求的最大公因式就是1x -．定理1:设0)(≠x g ，)x (r )x (q )x (g )x (f +⋅=，其中))(())((x g x r ︒︒∂<∂，则有 ))x (r ),x (g ())x (g ),x (f (= ．注：定理1的结论可以形象的叙述为：)()(除式，余式被除式，除式=.证明：设)x (d 是)x (g 和)x (r 的最大公因式，那么根据引理１得：)x (d 也是)x (f 的因式，从而)x (d 是)x (f 和)x (g 的公因式；其次，设]x [F )x (h ∈是)x (f 和)x (g 的任一公因式，那么由引理１得：)x (h 是)x (q )x (g )x (f )x (r ⋅-=的因式，所以)x (h 是)x (r 的因式.因此, )x (h 是)x (g 和)x (r 的公因式,从而可知)x (h 能够整除)x (d ；所以)x (d 是)x (f 和)x (g 的最大公因式．根据引理１和定理１不难得到：定理２：如果)x (f 和)x (g 不全是零多项式，那么)x (f 和)x (g 一定有最大公因式，并且)x (f 和)x (g 的最大公因式，除了一个零次多项式的因式差别之外是唯一确定的．具体证明过程可参阅[1] 、[2]．两个多项式的最大公因式存在的一条非常重要的性质：定理３：若)x (d 是]x [F 的多项式)x (f 和)x (g 的公因式，则以下命题等价：（i ）)x (d 为)x (f 和)x (g 的一个最大公因式；（ii ）在]x [F 里存在多项式)x (u 与)x (v 使)x (d )x (g )x (v )x (f )x (u =⋅+⋅.证明：由(i)推(ii):若0)x (g )x (f ==，那么0)x (d =，这时]x [F 中任何两个多项式都可以取作)x (u 与)x (v ．若)x (f 与)x (g 不都等于零，不妨假定0)x (g ≠，用辗转相除法来求（)x (f ，)x (g ）.用)x (g 去除)x (f 应用带余除法，得商式)x (q 1及余式)x (r 1．如果)x (r 1≠0，那么再以)x (r 1除)x (g ，得商式)x (q 2及余式)x (r 2．如果)x (r 2≠0，再以)x (r 2除)x (r 1，得商式)x (q 3及余式)x (r 3如此继续下去，因为余式的次数在带余除法中每次降低，所以作了有限次这种除法后，必然得出这样一个余式0x )(r k ≠，使得)()()(11x q x r x r k k k +-⋅=，于是我们得到一串等式：)x (r )x (q )x (g )x (f 11+⋅=，)x (r )x (q )x (r )x (g 221+⋅=，)x (r )x (q )x (r )x (r 3321+⋅=， (1))x (r )x (q ).x (r )x (r 1-k 1-k 2-k 3-k +=，)x (r )x (q )x (r )x (r k k 1-k 2-k +⋅=，)x (q )x (r )x (r 1k k 1-k +⋅=．则 )x (r k 就是)x (f 与)x (g 的一个最大公因式，考察等式组（1）的倒数第二个等式，得)x (r )x (q )x (r )x (r k k 1-k 2-k =⋅-，令 1)x (u 1=，)x (q )x (v k 1-=，那么上面的等式可以写成 :)x (r )x (v )x (r )x (u )x (r k 11-k 12-k =⋅+⋅．（3）由（1）的倒数第三个等式，得)x (q )x (r )x (r )x (r 1-k 2-k 3-k 1-k ⋅-=．把)x (r 1-k 的这个表达式带入(3)中，并令 )x (v )x (u 12=，)x (q )x (v )x (u )x (v 1-k 112⋅-=，所以有)x (r )x (v )x (r )x (u )x (r k 22-k 23-k =⋅+⋅．如此继续利用（1）中的等式，最后可得到)x (r )x (v )x (g )x (u )x (f k k k =⋅+⋅．但)x (f 与)x (g 的最大公因式)x (d 等于F 中不为零的数c 与)x (r k 的积：)x (r c )x (d k ⋅=，因此取)x (u c )x (u k ⋅=，)x (v c )x (v k ⋅=，即得所证．由(ii)推(i):设)x (h 是)x (f 与)x (g 的任一公因式，则)x (f |)x (h ，)x (g |)x (h ，由引理1得h(x)是)x (d )x (g )x (v )x (f )x (u =⋅+⋅的因式，即)x (d |)x (h ．又因为)x (d 是)x (f 与)x (g 的公因式，所以)x (d 是)x (f 与)x (g 的一个最大公因式．若1))x (g ),x (f (=，则称多项式)x (f 与)x (g 互素．与定理3类似的还有下面一条重要的定理：定理4 ：在]x [F 中，设)x (f )x (d )x (f 1⋅=，)x (g )x (d )x (g 1⋅=，且)x (f 与)x (g 不全为零，则)x (d 是)x (f 与)x (g 的最大公因式⇔))x (g ),x (f (111=．证明：充分性：如果))x (g ),x (f (111=，则由多项式互素的判定定理有，存在)x (u ，)x (v 使1)x (v )x (g )x (u )x (f 11=⋅+⋅，则等式两边同时乘以)x (d ，得d(x ))x (v )x (g )()x (u )x (f d(x )11=⋅⋅+⋅⋅x d ,由命题条件)x (f )x (d )x (f 1⋅=，)x (g )x (d )x (g 1⋅=知)x (d 是)x (f 与)x (g 的公因式，结合上式同时有)x (d )x (v )x (g )x (u )x (f =⋅+⋅，所以，由定理3得)x (d 是)x (f 与)x (g 的一个最大公因式．必要性：若)x (d 是)x (f 与)x (g 的一个最大公因式，则由定理3得，存在)x (u ，)x (v 使)x (d )x (v )x (g )x (u )x (f =⋅+⋅．因为 )x (f )x (d )x (f 1⋅=，)x (g )x (d )x (g 1⋅=，所以代进上式变为)x (d )]x (v )x (g )x (u )x (f [)x (d 11=⋅+⋅⋅，又因为)x (f ，)x (g 不全为零，所以0)(≠x d ，可用)x (d 除等式两边，得1)x (v )x (g )x (u )x (f 11=⋅+⋅，所以 1是)x (f 与)x (g 的公因式，由3Th 得,))x (g ),x (f (111=．已知))x (g ),x (f ()x (d =，则)x (d ))x (g ),x (af (=，)x (d ))x (g ),x (g )x (f (=+,一般地有：定理5 ：令)x (f 与)x (g 是]x [F 的多项式，而a 、b 、c 、d 是F 中的数，并且0bc ad ≠-，则)x (d 是)(x f 与)x (g 的最大公因式⇔)x (d 也是)x (bg )x (af +与)x (dg )x (cf +的最大公因式．证明：设)x (d 是)x (f 与)x (g 的最大公因式，并令))x (g ),x (f ()x (d =.命 )x (bg )x (af )x (F +=，)x (dg )x (cf )x (G +=，现只需证明))x (G ),x (F ()x (d =即可．由引理1知，d(x)是F(x)的因式，同时d(x)也是G(x)的因式，所以 )x (d 是F(x)与G(x)的公因式．设 )x (h 是F(x)与G(x)的任一公因式，现证明)x (d |)x (h 如下：因为 )x (bg )x (af )x (F +=，)x (dg )x (cf )x (G +=，且0≠-bc ad ,所以从F(x)与G(x)的表达式中可得：)x (G bcad b )x (F bc ad d )x (f ---=， )x (G bcad a )x (F bc ad c )x (g -+--=，又由于h(x)是F(x)与G(x)的公因式，所以)x (f |)x (h ，)x (g |)x (h ,从而)x (d |)x (h ．即证明了)x (d 是)x (bg )x (af +与)x (dg )x (cf +的最大公因式．""⇐因为 )x (d 是)x (bg )x (af +与)x (dg )x (cf +的最大公因式，由3Th 可知在F[x]里总可以求得多项式)x (u 与)x (v 使)x (d )]x (dg )x (cf )[x (v )]x (bg )x (af )[x (u =+++ ,即 )x (d )]x (dv )x (bu )[x (g )]x (bv )x (au )[x (f =+++．令 )x (cv )x (au )x (u 1+=,)x (dv )x (bu )x (v 1+=,则)x (d )x (g )x (v )x (f )x (u 11=+． ①由引理1得)(x d 是)x (f )bc ad ()]x (dg )x (cf [b )]x (bg )x (af [d -=+-+的因式，同时也是)x (g )ad bc ()]x (dg )x (cf [a )]x (bg )x (af [c -=+-+的因式．又)x (g |)x (d ),x (f |)x (d ,0bc ad ∴≠- , ②综合3Th ①、②由得)x (d 是)x (f 与)x (g 的最大公因式．§2．关于定理3中)x (u ，)x (v 的结构前面研究了多项式最大公因式的性质定理，为了更好理解这一定理，现将对定理3中的)x (u ，)x (v 作进一步分析，从而得出有关)x (u ，)x (v 的一些新的结论，以此作为上述定理3的补充．定理3中涉及一个事实，即∀]x [F )x (),x (f ∈g ,0)x (f ≠与0)x (g ≠，∃]x [F )x (v ),x (u ∈，使得))x (g ),x (f ()x (g )x (v )x (f )x (u =⋅+⋅, ①设))x (g ),x (f ()x (d =，)x (f )x (d )x (f 1⋅=，)x (g )x (d )x (g 1⋅=，由§1中定理4得1))x (g ),x (f (=．作了上面的准备工作，现给出)x (u ，)x (v 的结构定理，并加以证明．定理6：（1）设s(x),t(x)∈F(x),∀]x [F )x (h ∈，取)x (g )x (h )x (u )x (s 1⋅+=，)x (f )x (h )x (v )x (t 1⋅-=，则))x (g ),x (f ()x (g )x (t )x (f )x (s =⋅+⋅；（2）如果有]x [F )x (t ),x (s ∈使))x (g ),x (f ()x (g )x (t )x (f )x (s =⋅+⋅，则∃]x [F )x (h ∈，使)x (g )x (h )x (u )x (s 1⋅+=，)x (f )x (h )x (v )x (t 1⋅-=．证明：（1）设d(x)=(f(x),g(x)),将)x (g )x (h )x (u )x (s 1⋅+=，)x (f )x (h )x (v )x (t 1⋅-=，代入下式得)x (g ))x (f )x (h )x (v ()x (f ))x (g )x (h )x (u ()x (g )x (t )x (f )x (s 11⋅⋅-+⋅⋅+=⋅+⋅ =)()()()()()()()()()(11x g x f x h x f x g x h x g x v x f x u -++其中)x (d )x (g )x (v )x (f )x (u =⋅+⋅．又因为 )x (g )x (f )x (d )x (f (x )g )x (f )x (g 1111⋅=⋅⋅=⋅,所以 0)x (g )x (f )x (h )x (f )x (g )x (h 11=⋅⋅-⋅⋅，从而 ))x (g ),x (f ()x (g )x (t )x (f )x (s =⋅+⋅．（2）因为 ))x (g ),x (f ()x (g )x (t )x (f )x (s =⋅+⋅))x (g ),x (f ()x (g )x (v )x (f )x (u =⋅+⋅，上边两式左右两边同时作差得：0)x (g )]x (v )x (t [)x (f )]x (u )x (s [=⋅-+⋅-，因为 0)x (d ≠，两边同除以)x (d ，则有：0)x (d /)x (g )]x (v )x (t [)x (d /)x (f )]x (u )x (s [=⋅-+⋅-，又因为 1))x (d /)x (g ),x (d /)x (f (=，从 )x (d /)x (g )]x (t )x (v [)x (d /)x (f )]x (u )x (s [⋅-=⋅- (*)中，得)]x (u )x (s [|)]x (d /)x (g [-，即 ∃]x [F )x (h ∈，使得)x (d /)x (g )x (h )x (u )x (s ⋅=-，又因为)x (g )x (d /)x (g 1=，)x (f )x (d /)x (f 1=，所以有 )x (g )x (h )x (u )x (s 1⋅=-，代入(*)式得)x (f )x (h )x (t )x (v 1⋅=-即 ⎩⎨⎧⋅-=⋅+=)x (f )x (h )x (v )x (t )x (g )x (h )x (u )x (s 11．这个定理一方面指出了满足①的)x (u ，)x (v 是不唯一的，同时也给出了所有)x (u ，)x (v 的一般形式，这对研究多项式最大公因式的理论是有很大的作用．§3．最大公因式的求解方法在前面对多项式最大公因式的理论研究指导下，现来研究一下多项式最大公因式的几种求解方法．1．因式分解法利用因式分解法求多项式的最大公因式，一般先求两个（或多个）多项式的标准分解式，如设多项式)x (f 与)x (g 的标准分解式分别为：s 1r r 1k s k 1r k r k 1)x (q )x (q )x (p )x (ap )x (f ++=，t 1r r 1l t _l 1r _l r l 1)x (q )x (q )x (p )x (bp )x (g ++=，其中每一)x (q i ，)s ,,1r i ( +=不等于任何)x (q j _)t ,,1r j ( +=，令i m 是i k 与i l 两个自然数中较小的一个)r ,,2,1i ( =，那么r 21m r m 2m 1)x (p )x (p )x (p )( =x d ，就是)x (f 与)x (g 的最大公因式．例3．求实数域R 上多项式1x x x x x )x (f 2345+++++=与1x x x )x (g 34+++=的最大公因式．解：分别对两个多项式进行标准因式分解得 1x x x x x )x (f 2345+++++=22(x 1)(x 1x)(x 1x)=++++-，1x x x )x (g 34+++=)x 1x ()1x (22-++=，由)x (f 与)x (g 的标准分解式可看出： 1x )1x x )(1x ())x (g ),x (f (32+=+-+=．应该指出的是多项式的标准分解式一般不易求得．因此，求两个多项式的最大公因式一般不用此法．2．辗转相除法利用辗转相除法不但证明任意两个多项式都存在最大公因式，而且也是求最大公因式的一种有效方法．但是在运算过程中经常会出现分数运算，为了简化过程可用]x [F 中一个非零常数去乘被除式或除式，这种做法可在求最大公因式的每个步骤中进行，而对求出多项式的最大公因式d(x)的结果不会受到影响，原因如下:设f(x)，g(x)∈F(x),其中q(x)是g(x)除f(x)的商式，r(x)是余式，即表示为：)x (r )x (q )x (g )x (f +⋅=，对F c ∈∀且0≠c 有)x (cr )]x (cq [)x (g )x (cf +⋅= ⑴，)x (r )]x (q c1[)]x (cg [)x (f +⋅= ⑵，故由§1定理1得：))x (g ),x (f ())x (r ),x (g ())x (cr ),x (g ())x (g ),x (cf (===，))x (g ),x (f ())x (r ),x (g ())x (r ),x (cg ())x (cg ),x (f (===．根据此结论，在用辗转相除法求最大公因式的过程中，用F 中的非零常数去乘被除式或除式，会给运算带来很大的方便，以下用例题说明：例4．令F 是有理数域，求]x [F 的多项式：34x 4x 2x x )x (f 234-+--=与34x 5x 2x )x (g 23+--=的最大公因式．解法一，对)x (f 与)x (g 作辗转相除法，但对过程中的系数不作处理，这种解法的过程略．解法二，对)x (f 与)x (g 作辗转相除，对相除中的系数作一些处理：观察)x (f 与)x (g 的系数，先对)x (f 的系数作处理即 2)x (f =68842234-+--x x x x ，用)x (g 去除2)x (f ，商x ，余65423-+-x x x ，观察此步对系数作处理得2（65423-+-x x x ）=12108223-+-x x x ，用)x (g 去除12108223-+-x x x ，商1，余151432-+-x x ，观察此步对系数作处理得 912x 15x 6x )x (3g 23+--=，用151432-+-x x 去除912x 15x 6x 23+--，商-2x ，余942132+-x x ，观察此步对系数作处理得 )94213(32+-x x =27126392+-x x ，用151432-+-x x 去除27126392+-x x ，商-13，余16856-x ，观察此步对系数作处理得 3)16856(561-=-x x ，用3-x 去除151432-+-x x ，商x 3-，余155-x ，观察此步对系数作处理得 3)155(51-=-x x ，用3-x 去除3-x ，商1，余0.所以 3x ))x (g ),x (f (-=.由上式的求解过程可以看出，有时系数很大，给运算带来不便，根据§1中引理可知，将被除式减去除式的某个倍式，再做辗转相除法而不影响求))x (g )x (f (，的结果，由§1中引理1有： ))x (g ),x (f ())x (r ),x (g ())x (g ),x (g )x (b )x (f )x (a (==⋅+⋅．解法三，对)x (f 与)x (g 作辗转相除：65x 4x x )x (x g )x (2f 23-+-=-，令 65x 4x x )x (r 231-+-=，则有 1514x 3x )x (2r )x (g 21+-=-，令 1514x 3x )x (r 22+-=，则有)3x ()3x (2182x )x (x r )x (3r 221-⋅+=-=-，令 182x )x (r 23-=，则有)3x (144214x )x (r 23)x (r 32--=+-=-，故 3x ))x (g ),x (f (-=．很明显，解法三比解法一、二均简便，所以在解题的过程中应尽量利用最大公因式的性质定理使求解过程更简便．3．矩阵的初等变换法给出数域F 上)2n (n ≥个多项式，如何求其最大公因式?现给出n 个多项式的最大公因式的定义：定义2：设)x (f ,),x (f ),x (f n 21 是数域F 上的n 个多项式，并且)x (d 是多项式),x (f 1)x (f 2，．．．,)x (f n 的一个公因式，若是)x (d 能被)x (f ,),x (f ),x (f n 21 中的每一个公因式整除，那么)x (d 叫做)x (f ,),x (f ),x (f n 21 的一个最大公因式．规定用符号()x (f ,),x (f ),x (f n 21 )表示)x (f ,),x (f ),x (f n 21 在)(x F 中最高次项系数为1的最大公因式．由上述定义及§1的结论得关于数域F 上n 个一元多项式最大公因式的性质：（1）：设)(,),(,),(,),(1x f x f x f x f n j i 是F(x)中的n 个一元多项式，则有))x (f ,),x (f ,),x (f ),x (f (n j i 1 =))x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f (n i j 1 ,n j i 1≤≤≤．（2）：设)(,),(,),(,),(1x f x f x f x f n j i 是F(x)中的n 个一元多项式，则有 ))x (f ,),x (f ,),x (f ())x (f ,),x (cf ,),x (f (n i 1n i 1 =，且n j i 1≤≤≤，F c ∈≠0为常数．（3）：设)(,),(,),(,),(1x f x f x f x f n j i 是F(x)中的n 个一元多项式，则有 ))x (f ,),x (f ,),x (f )x (f ,),x (f ())x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f (n j j i 1n j i 1 ±=, 其中n j i 1≤≤≤．性质（1）、（2）、(3)阐述了在求解多项式的最大公因式时的不变性，由这些不变性又可得到下面推论：推论1：设)(,),(,),(,),(1x f x f x f x f n j i 是F(x)中的n 个一元多项式，则有))x (f ,),x (f ,),x (cf )x (f ,),x (f ())x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f (n j j i 1n j i 1 ±=，其中n j i 1≤≤≤，F c 0∈≠为任意常数.再给出一个引理：引理2：设),,2,1)((n i x f i =是F 上的n 个一元多项式，d(x)= ()x (f ,),x (f ),x (f n 21 )，若)x (f ,),x (f ),x (f n 21 中至少有一个常数项不为0，则它们的最大公因式)x (d 的常数项必不为0．证明：假设)x (d 的常数项等于0，则)x (d 能被x 整除，所以),,2,1)((n i x f i =的常数项均为0，与条件矛盾，证毕．再由前3个性质及推论1得性质4：（4）：设)(,),(,),(,),(1x f x f x f x f n j i 是F(x)中的n 个一元多项式，并设)x (g x )x (f i k =，其中n i 1≤≤，k 为非负整数，)x (f j 为常数项不为0的一元多项式，其中n j 1≤≤，且j i ≠，则 ))x (f ,),x (f ,),x (g ,),x (f ())x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f (n j i 1n j i 1 =．证明：设))x (f ,),x (f ,),x (g ,),x (f (n j i 1 )x (d =,显然 )x (d 是)x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f n j i 1 的一个公因式．其次设)x (h 是)x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f n j i 1 的任一公因式，则)x (f |)x (h i ，)x (g x |)x (h i k ，而 ()x (f 1…,)x (f i ,)x (f 1i +,…,)x (f j ,…,)(x f n )的常数项非零，则)x (h 不含k x 这一因式，从而)x (g |)x (h i ，因而)x (h 是)x (f 1…,)x (g i ,…,)(x f n 的公因式,所以 )x (d |)x (h .所以 ))x (f ,),x (f ,),x (g ,),x (f ())x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f (n j i 1n j i 1 =．为了更方便的介绍n 个多项式最大公因式的求解，现将上述四条性质相应的称为：第一种，第二种，第三种，第四种初等变换，并用以下内容概括：⑴交换两个多项式的位置，所求的最大公因式不会改变；⑵用一非零常数乘以某一多项式，所求的最大公因式不会改变；⑶把某一多项式的k 倍)0k (≠，加到另一个多项式上，所求的最大公因式不会改变；⑷性质4我们暂称为替换变换，它也不改变其最大公因式（只有在某一多项式常数项不为0的条件下才成立）．现再给出n 行多项式矩阵的定义：定义3：设),,2,1)((n i x f i =是F 上的n 个一元多项式，且这n 个多项式的最高次项的次数是m 次，现将每个多项式各项的系数（按逐次降幂次序排列，缺少次数的项的系数取0）排出来作为矩阵的一行，这样构造出来一个n 行m+1列矩阵，我们称这个矩阵为n 个多项式的n 行多项式矩阵，n 个多项式)x (f ,),x (f ,x )(f n 21 所组成的n 行多项式矩阵记为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)x (f )x (f n 1 ，并规定该矩阵表示()x (f ,),x (f ,x )(f n 21 )的最高次项系数为1的最大公因式．下面将给出关于n 行多项式矩阵的一些结论：定理7：设),,2,1)((n i x f i =是F 上的n 个一元多项式，对这n 个多项式（至少有一个常数项不等于0）组成的多项式矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)x (f )x (f n 1 ，作四种初等变换，所求的最大公因式不会改变；该定理可由前面谈到的n 个多项式最大公因式的四条性质直接得到．在前面的基础上，现给出定理8：定理８：对于n 行多项式矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)x (f )x (f n 1 ，一定可以通过四种初等变换，化成⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0 0)x (d 的形式，其中)x (d 就是它的最大公因式．定理8的证明过程参阅[3]．下面以实例阐述多项式最大公因式的矩阵求法．例5．设84x 2x x )x (f 23+--=，44x x x )x (g 23+--=，求))x (g ),x (f (．解：对矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=44-1-18421A 施行矩阵的初等变换得： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→40104-0104-01004-0140108421A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→00004010. 故 4x )0,4x ())x (g ),x (f (22-=-=.例6．设23x 5x 2x )x (f 23+++=，2x x 24x )x (g 23++=，343x 6x )x (h +=+x x 272+ 2+，求它们的最大公因式．解：对矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=227360224023520A 施行初等变换得：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→000000000021211000000000000112001120011200112000336077140011120002160335200120001-2162352001120A 故 21x 21x )0,0,21x 21x ())x (h ),x (g ,f(x)(22++=++=. 参考文献：[1]余元庆.方程论初步．上海：教育出版社,1979.[2]张禾瑞,郝炳新．高等代数（第四版）．北京：高等教育出版社，1997.[3]郁金祥．多项式最大公因式求解方法的推广．嘉兴学院学报，2003，（3）：27-29.[4]汪军．关于多项式最大公因式的进一步探讨．工科数学，1999，（3）：137-139.[5]王向东．高等代数常用方法．科学出版社，1989.[6]万哲先．代数导引．科学出版社，2004.The proprties and methods about the greatestcommon divisor of the polynomialsWang Fei Directed by Prof .Dong HuiyingAbstract This paper summaries the important proprties about the greatest common divisor of the polynomials,among which is further researched for its serucfure ,and gives several methods of finding the greatest common divisors of the polynomials :factoring method;Euclidean algorithm;matrix method ．Key words common divisors greatest common divisors Euclidean algorithm elemetary transform。

解多项式方程的常见方法与技巧

解多项式方程的常见方法与技巧多项式方程是以未知数的幂指数递减排列的代数方程，广泛应用于数学和科学领域。

解多项式方程是数学中重要的任务之一。

本文将介绍解多项式方程的常见方法与技巧，并提供详细的步骤和示例以帮助读者更好地理解和应用这些方法。

一、整数解法整数解法是解决多项式方程中整数解的方法之一。

其思路是通过整除、因式分解等方式找到方程的整数解。

下面通过一个简单的例子来说明该方法的应用：例1：解方程2x^2 - 3x - 2 = 0这是一个二次方程，我们首先考虑整数解，根据因式分解的思路，我们将方程进行因式分解：2x^2 - 3x - 2 = (2x + 1)(x - 2) = 0由此可得到两个因式：2x + 1 = 0 和 x - 2 = 0。

令2x + 1 = 0，解得x = -1/2；令x - 2 = 0，解得x = 2。

因此方程的整数解为x = -1/2和x = 2。

二、有理数解法有理数解法是解决多项式方程中有理数解的方法之一。

其核心思想是通过有理根定理找到方程的有理数解。

有理根定理表明，如果一个多项式方程有有理数解p/q（p和q互质），那么p是方程常数项的因子，q是方程最高次项系数的因子。

例2：解方程x^3 - 4x^2 + 5x - 2 = 0首先，根据有理根定理，我们可以列出所有可能的有理数解，即将方程的常数项和最高次项的因子进行排列组合。

在本例中，最高次项的因子是1，常数项的因子是1和2。

因此可能的有理数解为±1, ±2。

我们可以通过试除法得到方程的有理数解。

试除1，计算结果为0；试除-1，计算结果也为0。

试除2，计算结果为0。

因此方程的有理数解为x = 1和x = -2。

三、二次方程的解法二次方程是多项式方程中最常见的形式之一，解二次方程有多种方法，如因式分解法、配方法和求根公式等。

以下将介绍其中两种常用的解法：1. 因式分解法通过将二次方程进行因式分解，将其转化为两个一次方程相乘的形式。

多项式方程的解法与应用

多项式方程的解法与应用多项式方程是数学中常见的一类方程，它由多个项组成，每个项均为变量的幂次与系数的乘积。

解决多项式方程的问题是数学中的一个重要课题，本文将介绍多项式方程的解法和其在实际应用中的重要性。

一. 多项式方程的解法1. 代数法代数法是解决多项式方程的一种基本方法。

对于一元多项式方程，我们可以通过代数运算来求出未知数的值。

常见的代数法包括整理方程、提取公因式、配方法、因式分解等。

其中，配方法和因式分解在解决二次及高阶多项式方程时尤为常用。

2. 数值法数值法是通过逼近的方式来求解多项式方程的解。

它通过选择一些特定的数值作为输入，计算出相应的函数值，并判断函数值的正负性来确定解的位置。

常见的数值法有二分法、牛顿法、割线法等。

数值法的优点是简单易行，但对于高次多项式方程，可能需要进行多次迭代才能得到精确的解。

二. 多项式方程的应用多项式方程在实际应用中有着广泛的应用和重要性，下面将介绍其中的两个方面：1. 几何应用多项式方程在几何学中有着重要的应用。

例如，通过对多项式方程进行因式分解，我们可以得到函数的零点，从而确定曲线与坐标轴的交点。

这对于解析几何问题和曲线绘制非常有帮助。

2. 物理应用多项式方程在物理学中也有广泛的应用。

例如，牛顿第二定律 F = ma 是一个多项式方程，其中 F 为力，m 为质量，a 为加速度。

通过求解该方程，我们可以得到物体的加速度。

类似地，通过建立多项式方程，我们可以描述和解决各种物理量之间的关系。

三. 多项式方程的解决策略解决多项式方程的策略包括但不限于：1. 确定方程类型：根据方程的次数和形式，确定使用何种解法。

2. 化简与整理：对方程进行整理，化简为标准形式，便于后续的求解。

3. 选择适当的解法：根据方程的特点，选择代数法或数值法进行求解。

4. 注意验证：对于解得的根，需要进行验证是否满足原方程的条件，以排除可能的误解。

5. 理解应用背景：在解决实际问题时，要对多项式方程所描述的问题有深入的理解，确保求解的结果符合实际意义。

多项式方程与不等式的解法

多项式方程与不等式的解法1. 引言多项式方程与不等式是数学中的重要概念，它们在各个领域都有广泛应用。

本文将介绍多项式方程与不等式的解法，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。

2. 多项式方程的解法多项式方程是指包含一个或多个未知数的多项式等式。

解决多项式方程的关键是找到使等式成立的未知数的值。

2.1 一次多项式方程的解法一次多项式方程形式为ax + b = 0，其中a和b为已知常数，x为未知数。

解这种方程只需一步，即将方程两边同乘以倒数，得到x = -b/a。

2.2 二次多项式方程的解法二次多项式方程形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c为已知常数，x为未知数。

解这种方程有两种常见方法：配方法和求根公式。

2.2.1 配方法配方法是将二次多项式进行因式分解，将方程转化为两个一次方程的乘积等于0的形式。

通过这种方式，我们可以从两个一次方程的解中求得二次方程的解。

2.2.2 求根公式求根公式用于解决任意二次方程。

对于方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以使用以下求根公式来解决：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)通过计算并代入已知数值，即可得到方程的解。

3. 不等式的解法不等式是指包含一个或多个未知数的不等式。

解决不等式的关键是找到满足不等式条件的未知数的取值范围。

3.1 一次不等式的解法一次不等式形式为ax + b > 0（或 < 0），其中a和b为已知常数，x 为未知数。

解这种不等式只需一步，即根据正负号来确定解的范围。

3.2 二次不等式的解法二次不等式形式为ax^2 + bx + c > 0（或 < 0），其中a、b和c为已知常数，x为未知数。

解这种不等式需要使用图像法或区间法求解。

3.2.1 图像法通过画出二次函数的图像，我们可以找到函数图像在x轴上的交点，从而确定解的范围。

3.2.2 区间法通过判断二次多项式的根和函数值的正负关系，我们可以将定义域分成几个区间，并确定函数在每个区间的取值范围，从而确定解的范围。

多项式方程的解法应用与例题

多项式方程的解法应用与例题一、解一元多项式方程的基本方法解一元多项式方程的基本方法有因式分解法、配方法、特殊关系法、根的判别式法等。

下面我们将针对不同类型的多项式方程进行详细的解析。

1. 因式分解法对于形如a·x^n + b·x^(n-1) + ... + k = 0（n为正整数）的多项式方程，可以尝试进行因式分解。

通过观察各项之间的关系，找到公因式或利用特定的公式进行分解，从而使方程转化为多个可解的一次方程或二次方程。

例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以将其分解为(x -2)(x - 3) = 0，得到x = 2和x = 3两个解。

2. 配方法对于形如ax^2 + bx + c = 0的二次多项式方程，可以尝试使用配方法进行求解。

通过对方程两侧进行配方，将其转化为完全平方的形式，从而方便求解。

例如，对于方程x^2 + 2x + 1 = 0，可以进行配方得到(x + 1)^2 = 0，再解得x = -1。

3. 特殊关系法特殊关系法是根据多项式方程中的特殊关系进行求解。

例如，对于二次多项式方程ax^2 + bx + c = 0，如果方程的两个根的和等于- b/a，根的积等于c/a，则可以直接得到方程的解。

这种方法在特定条件下较为有效，但对于一般情况并不适用。

4. 根的判别式法对于二次多项式方程ax^2 + bx + c = 0，可以利用根的判别式法来求解。

根的判别式Δ = b^2 - 4ac可以用来确定方程的根的性质。

当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实根；当Δ < 0时，方程没有实根。

根据根的判别式可以进一步求解方程的根。

二、多项式方程的解法应用1. 解决实际问题多项式方程的解法广泛应用于解决实际问题，如物理问题、经济问题、几何问题等。

例如，在物理学中，使用多项式方程的解法可以计算得到物体从静止出发的运动轨迹；在经济学中，多项式方程的解法可以用于计算利润最大化或成本最小化的问题。

初中数学多项式方程的解法与应用知识点总结

初中数学多项式方程的解法与应用知识点总结数学中，多项式方程是学习代数的重要部分。

初中阶段，我们开始接触并学习多项式方程的解法与应用知识点。

本文将对初中数学中关于多项式方程的解法以及应用知识点进行总结，帮助读者更好地理解和掌握相关内容。

一、多项式方程的基本概念在开始介绍解法和应用知识点之前，我们先来回顾一下多项式方程的基本概念。

多项式方程由多项式和等号构成，其中多项式由一系列单项式相加或相减而成，而等号表示两个多项式相等。

例如，下面的方程就是一个多项式方程的例子：3x^2 + 4x - 7 = 0其中，左边的3x^2 + 4x - 7是一个二次多项式，右边的0表示两个多项式相等。

二、多项式方程的解法在解多项式方程时，我们的目标是找出使得方程成立的变量的值。

接下来，将介绍几种常见的解多项式方程的方法。

1. 因式分解法如果我们可以将多项式方程分解成两个或多个因式相乘的形式，那么我们可以通过令每个因式等于零来求得方程的解。

例如，考虑以下方程：x^2 - 5x + 6 = 0我们可以将其分解为：(x - 2)(x - 3) = 0这样，我们就可以得到两个因式，分别是(x - 2)和(x - 3)。

通过令这两个因式等于零，我们可以得到x的两个解：x = 2和x = 3。

2. 公式法对于一些特殊形式的多项式方程，我们可以使用一些已知的公式来求解。

二次多项式方程是一个常见的例子。

对于形如ax^2 + bx + c = 0的二次多项式方程，我们可以使用二次根式公式来求解：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a例如，考虑以下方程：2x^2 + 5x - 3 = 0我们可以得到a = 2, b = 5, c = -3，将这些值代入二次根式公式，就可以求解出x的值。

3. 引入新的变量法有时候，我们可以通过引入新的变量来简化多项式方程的解法。

比如，考虑以下方程：x^3 + 2x^2 + 2x + 1 = 0我们可以将x^2引入一个新的变量y，将方程转化为：y^2 + 2y + 2y + 1 = 0这样，我们就得到了一个二次多项式方程，可以使用公式法求解。

多项式方程的解法

多项式方程的解法引言多项式方程是数学中常见的一个概念。

它是由多个项组成的方程，每个项由一个变量的幂次和系数乘积得到。

解多项式方程可以帮助我们求得方程中的未知数的值。

本文将介绍几种解多项式方程的常用方法。

试错法试错法是一种简单而直接的解多项式方程的方法。

其基本思想是猜测方程中未知数的值，并代入方程中进行验证。

如果验证结果不符合方程，则继续猜测直至找到合适的解。

例如，对于一个一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以通过试错法逐个尝试各个可能的解。

假设我们猜测x=m，代入方程得到am^2+bm+c=0。

如果验证结果不为0，则继续猜测下一个可能的解，直至找到满足方程的解为止。

试错法的优点是简单易懂，适用于简单的多项式方程。

然而，对于高阶多项式方程或复杂的方程，试错法可能不够高效。

因式分解法对于一些特殊的多项式方程，可以利用因式分解法来解方程。

如果多项式可以因式分解为两个或多个较简单的多项式的乘积，那么方程的解就可以由各个因子为零时所对应的未知数值确定。

例如，对于一个一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0，如果我们能因式分解为(x-m)(x-n)(x-p)=0，那么方程的解就是x=m，x=n，x=p。

因式分解法可以准确快速地解决一些特殊的多项式方程。

但是并非所有的多项式方程都能通过因式分解法来解。

数值求解法数值求解法是一种基于数值逼近的解多项式方程的方法。

这种方法适用于无法通过试错法或因式分解法求解的复杂多项式方程。

数值求解法基于数值分析和计算机算法，通过迭代运算逼近方程的解。

这种方法的原理是从一个初始值开始，根据方程的性质和运算规则，逐步生成更接近真实解的近似值，直至达到预定的精度。

数值求解法的应用范围广泛，可以解决各类复杂的多项式方程。

但是需要注意的是，数值求解法得到的解是近似解，可能存在误差。

结论解多项式方程是数学中的一项重要任务。

本文介绍了试错法、因式分解法和数值求解法这三种常用的解多项式方程的方法。

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多项式中两类题目的解法
一、不含某次项
例：使（x2+px+8）（x2﹣3x+q）乘积中不含x2与x3项的p、q的值是（）A．p=0，q=0 B．p=3，q=1 C．p=﹣3，q=﹣9 D．p=﹣3，q=1
解：∵（x2+px+8）（x2﹣3x+q）=x4﹣3x3+qx2+px3﹣3px2+pqx+8x2﹣24x+8q，=x4+（p﹣3）x3+（q﹣3p+8）x2+（pq﹣24）x+8q．
∵乘积中不含x2与x3项，∴p﹣3=0，q﹣3p+8=0，∴p=3，q=1．
方法：
（1）展开（2）合并同类项，中间用加号连接
（3）若不含某项，则这项的系数为零，建立方程。

（4）解方程。

巩固练习
（1）．若（x+m）（x﹣8）中不含x的一次项，则m的值为
（2）（x2﹣mx+6）（3x﹣2）的积中不含x的二次项，则m的值是
3．若x+m与2﹣x的乘积中不含x的一次项，则实数m的值为
二、两个多项式相等。

若两个多项式相等，则同次幂的系数相等
例．若（x﹣5）（2x﹣n）=2x2+mx﹣15，则m、n的值分别是（）
A．m=﹣7，n=3 B．m=7，n=﹣3 C．m=﹣7，n=﹣3 D．m=7，n=3解：∵（x﹣5）（2x﹣n）=2x2+mx﹣15，
∴2x2+（﹣10﹣n）x+5n=2x2+mx﹣15，
故，解得：．
方法：
（1）展开（2）合并同类项，中间用加号连接（3）找同次幂，建立方程（4）解方程。

巩固练习：
1．若（y+3）（y﹣2）=y2+my+n，则m、n的值分别为
2 ..如果（x﹣2）（x+3）=x2+px+q，那么p、q的值为
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