平面向量与三角形三心

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇

一、四心的概念介绍

（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合

（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.

证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O

⇔=++0OC OB OA ⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧++=++=⇔33321

321y y y y x x x x ⇔O 是ABC ∆的重心.

证法2：如图

OC OB OA ++

02=+=OD OA

∴OD AO 2=

∴D O A 、、三点共线，且O 分AD

为2：1

∴O 是ABC ∆的重心

（2）⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心.

证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.

0)(=⋅=-⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC OB OB OA

AC OB ⊥⇔

同理BC OA ⊥，AB OC ⊥

⇔O 为ABC ∆的垂心

（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心

O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心.

证明：b AC

c AB 、

分别为AC AB 、

方向上的单位向量， ∴b

AC c AB +

平分BAC ∠, (

λ=∴AO b

AC

c AB +)，令c b a bc ++=λ

B C

D

B

C

D

∴

c b a bc AO ++=

（b

AC

c AB +

) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a

∴0=++OC c OB b OA a

（4）==⇔O 为ABC ∆的外心。

典型例题分析

[例题]已知点G 是ABC 内任意一点,点 M 是ABC 所在平面内一点.试根据下列条件判断G 点可能通过ABC 的_______心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”).

[提出问题]

(1)若存在常数λ,满足()(0)AB AC MG MA AB

AC

λλ=++≠,则点G 可能通过ABC

的__________.

(2)若点D 是ABC 的底边BC 上的中点,满足GD GB GD GC =,则点G 可能通过

ABC 的__________.

(3)若存在常数λ,满足()(0)sin sin AB AC MG MA AB B

AC C

λλ=++

≠,则点G 可能

通过ABC 的__________.

(4)若存在常数λ,满足(

)(0)cos cos AB AC MG MA AB B

AC C

λλ=++

≠,则点G 可能

通过ABC 的__________.

[思路分析]以上四个问题的解决要求不同,除了熟悉三角形的“四心”的性质,同时更要熟悉平面向量的性质,对于平面向量与三角函数的结合也要相当熟悉. [解答过程](1)记

12,

AB AC e e AB

AC

==,则12()AG e e λ=+.由平面向量的平行四边

形或三角形法则知,点G 是角平分线上的点,故应填内心.

(2)简单的变形后发现点G 是BC 边中垂线上的点,故应填外心. (3)

sin sin ,AB B AC C =∴记sin sin AB B AC C h ==,

则''()()AG AB AC h

λ

λλ=+=.由平面向量的平行四边形或三角形法则知,点G 是

BC 边的中线上的点,故应填重心.

(4)分析后发现,本题学生难以找到解决问题的突破口,主要在于平面向量的数量

积的充分利用.由(

)(0)cos cos AB AC MG MA AB B

AC C

λλ=++

≠,

得()(0)cos cos AB AC

AG AB B

AC C λλ=+

≠,

(关键点) ()(0)cos cos AB AC AG BC BC AB B

AC C

λλ=+≠

于是(

)(0)

cos cos )()0

AB BC AC BC AG BC AB B

AC C

BC B BC B BC BC λλλπλ=+

≠=+-+=（cos(-cos ）=.

从而AG BC ⊥,点G 是高线上的点,故应填垂心.

[点评]以上四个问题处理的方法各不相同,注意到平面向量及三角形的“四心”的性质在解答问题时的作用.特别注意第四问两边同乘以某个表达式的技巧.

总结：

（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.

（2）⇔⋅=⋅=⋅OA

OC OC

OB OB OA

O 为ABC ∆的垂心. （3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心

O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心.

（4）==⇔O 为ABC ∆的外心。 或者

若P 点为ABC 内任意一点，若P 点满足:

1．(

),0()0AB AC

AP AB AC P ABC BA BC BP t t BA BC λλ⎧=+>⎪⎪⎪

⇒⎨

⎪=+>⎪⎪⎩

为的内心，; 2.D E 、两点分别是ABC 的边BC CA 、上的中点,且

DP PB DP PC

P ABC EP PC EP PA

⎧=⎪⇒⎨

=⎪⎩为的外心; 3. 1(),3

1()3AP AB AC P ABC BP BA BC ⎧

=+⎪⎪⇒⎨

⎪=+⎪⎩

为的重心，;