平面向量与三角形三心
2016高考数学 常见题型 平面向量与三角形的“心”课件
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
答案 C
→ |＝|OB → |＝|OC → |知，O是三角形的外心，排除 解析 由 |OA 答案A，B. → ＋NB → ＋NC → ＝0得出N必然为重心． 由NA →· → ＝PB →· → ，∴(PA → －PC → )· → ＝0. ∵PA PB PC PB →· → ＝0，∴CA⊥PB，同理，AP⊥BC. ∴CA PB ∴P为△ABC的垂心，故选C.
平面向量与三角形的“心”
三角形的“心”的向量表示及应用 1．三角形各心的概念介绍
Hale Waihona Puke 重心：三角形的三条中线的交点；
垂心：三角形的三条高线的交点； 内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆 的圆心)； 外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接 圆的圆心)．
根据概念，可知各心的特征条件．比如：重心将中线长 度分成 2∶1 ；垂线与对应边垂直；角平分线上的任意点到角 两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等．
→ → → → AB AC BA BC →· →· (4)O 是△ABC 的内心⇔OA ( － )＝OB ( － ) → | |AC →| → | |BC →| |AB |BA → → CA CB →· ＝OC ( － )＝0. → | |CB →| |CA → → AB AC 注意 向量 λ( ＋ )(λ≠0)所在直线过△ABC 的内 → | |AC →| |AB 心(是∠BAC 的角平分线所在直线)
零，则两向量所在直线垂直 ” 、三角形的垂心的定义等相关 知识．将三角形的垂心的定义与平面向量有关运算及 “ 数量 积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合．
专题：平面向量与三角形四心问题
专题:平面向量与三角形四心问题三角形四心指的是三角形的垂心、重心、内心和外心，在高考中常常结合平面向量的知识进行考察，是高中数学的一个难点.很多学生对三角形四心总是产生混淆，面对与四心有关的问题也常常束手无策，为了解决广大学子的困扰，本文以四心的常见结论出发，借助几道经典的例题，对三角形四心问题进行系统梳理，希望能够为读者提供帮助.如果读者是在校高中生，则标注了星号的内容可作为拓展知识. 一、三角形的内心（1）定义：三角形内切圆的圆心，即三角形三条角平分线的交点（如图1）. （2）向量表示：若O 为△ABC 的内心→→→→=⋅+⋅+⋅⇔0OC c OB b OA a . （注：本文中的边a ，b ，c 分别表示BC ，AC ，AB .角A ，B ，C 分别表示BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠.）证明：→→→→→→→→→→=+⋅++⋅+⋅⇔=⋅+⋅+⋅0)()(0AC OA c AB OA b OA a OC c OB b OA a→→→→=⋅+⋅+⋅++⇔0)(AC c AB b OA c b a →→→⋅+⋅=⋅++⇔AC c AB b AO c b a )(||||||||)(→→→→→→→⋅⋅+⋅⋅=⋅++⇔AC AC AC c AB AB AB b AO c b a)||||()(→→→→→+⋅=⋅++⇔AC ACAB ABbc AO c b a)||||(→→→→→+⋅++=⇔AC ACAB AB c b a bc AO （图1）⇔点O 在角A 的角平分线上，同理点O 也在角B 、C 的角平分线上. ⇔O 为△ABC 的内心.（3）常用性质性质1：))(||||(R AC ACAB AB∈+⋅→→→→λλ所在的直线与A ∠的角平分线重合（经过内心）.证明：如图所示，||→→AB AB 表示→AB 上的单位向量，不妨记作→AD ，||→→AC AC 表示→AC 上的单位向量，不妨记作→AE .设→→→+=AE AD AP ，由平行四边形法则知，四边形ADPE 为菱形， 故直线AP 为A ∠的角平分线.))(||||(RAC ACAB AB∈+⋅∴→→→→λλ所在的直线与A ∠的角平分线重合（经过内心）.性质2：r c b a S ABC ⋅++=∆)(21（r △ABC 内切圆的半径）. 证明：由等面积法易证.性质3：O 为△ABC 的内心c b a S S S OAB OAC OBC ::::=⇔∆∆∆. 证明：由面积公式易证. （4）典例剖析例1-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足)||||(→→→→→→++=AC ACAB ABOA OP λ,),0(+∞∈λ.则动点P 的轨迹经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由性质1知，答案为A .例1-2：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若cb a PCc PB b PA a PO ++++=→→→→（其中P 是△ABC 所在平面内任意一点），则O 是△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由题意知→→→→→→++=++PC c PB b PA a PO c PO b aPO ，即+-→→)(PO PA a→→→→→=-+-0)()(PO PC c PO PB b ，化简得→→→→=⋅+⋅+⋅0OC c OB b OA a .根据内心的向量表示知，O 是△ABC 的内心，答案为A .例1-3：已知O 是△ABC 内的一点，且满足0)||||(=-⋅→→→→→AC ACAB ABOA ，则OA 所在的直线一定经过三角形的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：||→→AB AB 表示→AB 上的单位向量，不妨记作→1e ，||→→AC AC 表示→AC 上的单位向量，不妨记作→2e .故0)(21=-⋅→→→e e OA ，即→→→→⋅=⋅21e OA e OA ,即>>=<<→→→→21,,e OA e OA .∴直线OA 与A ∠的角平分线重合，故OA 所在的直线一定经过三角形的内心，答案A .二、三角形的外心（1）定义：三角形外接圆的圆心，即三角形三边中垂线的交点（如图2）. （2）向量表示：若O 为△ABC 的外心||||||→→→==⇔OC OB OA . （3）常用性质：奔驰定理*：已知O 为△ABC 内的一点（不一定为外心）， 则→→∆→∆→∆=⋅+⋅+⋅0OC S OB S OA S OAB OAC OBC .（该定理反之也成立）证明：不妨延长AO 到D （如下图），则 （图2）=++===∆∆∆∆∆∆∆∆ACD ABD OAC OAB ACD OAC ABD OAB S S S S S S S S AD AO ABC OACOAB S S S ∆∆∆+， 即→∆∆∆→+=AD S S S AO ABCOAC OAB .且根据B ，D ,C 三点共线知，→∆∆∆→∆∆∆→+++=AB S S S AC S S S AD OAC OAB OACOAC OAB OAB ，故→∆∆→∆∆→+=AB S S AC S S AO ABC OAC ABC OAB ，即)()(→→∆∆→→∆∆→-+-=-OA OB S S OA OC S S OA ABCOAC ABC OAB . →→∆→∆→∆=⋅+⋅+⋅∴0OC S OB S OA S OAB OAC OBC （反之易证）性质1*：O 为△ABC 的外心C B A S S S OAB OAC OBC 2sin :2sin :2sin ::=⇔∆.证明：如图2所示，O 为△ABC 的外心A R BOC R S OBC 2sin 212sin 2122=∠=⇔∆，B R AOC R S OAC 2sin 212sin 2122=∠=∆，C R AOB R S OAB 2sin 212sin 2122=∠=∆ C B A S S S OAB OAC OBC 2sin :2sin :2sin ::=⇔∆（R 为△ABC 外接圆半径）.性质2*：O 为△ABC 的外心→→→→=⋅+⋅+⋅⇔0)2(sin )2(sin )2(sin OC C OB B OA A . 证明：结合性质1与奔驰定理易证.（4）典例剖析例2-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足++=→→→2OCOB OP )cos ||cos ||(CAC AC BAB AB →→→→+λ，),0(+∞∈λ.则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：设线段BC 的中点为D ，故)cos ||cos ||(C AC AC BAB AB OD OP →→→→→→++=λ，即)cos ||cos ||(CAC AC BAB AB DP →→→→→+=λ,而)cos ||cos ||(CAC BC AC BAB BC AB BC DP →→→→→→→→⋅+⋅=⋅λ，即)cos ||cos ||||cos ||)cos(||||(CAC CBC AC B AB B BC AB BC DP →→→→→→→→⋅+-⋅=⋅πλ0|)|||(=+-=→→BC BC λ 即→→⊥BC DP ，故点P 在线段BC 的垂直平分线上. ∴动点P 的轨迹一定经过△ABC 的外心，答案B .例2-2：在△ABC 中，动点O 满足→→→→⋅=-BC AO AB AC 222，则点O 一定经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由题知→→→→→→⋅=+-BC AO AB AC AB AC 2))((，设D 为BC 的中点，则=⋅→→AD BC 2→→⋅BC AO 2,故0=⋅→→OD BC ,即→→⊥OD BC ，O ∴在BC 的垂直平分线上，故点O 一定经过△ABC 的外心，答案B .例2-3：已知O 为△ABC 所在平面内的一点，满足→→→→⋅=⋅BA OB AB OA ，=⋅→→BC OB→→⋅CB OC ，则O 为△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由→→→→⋅=⋅BA OB AB OA 知0)(=+⋅→→→OA OB AB ,即0)()(=+⋅-→→→→OA OB OA OB ，即||||→→=OA OB ,同理可得：||||→→=OC OB ，O ∴为△ABC 的外心，答案B .三、三角形的垂心（1）定义：三角形三条高的交点（如图3）.（2）向量表示：若O 为△ABC 的垂心→→→→→→⋅=⋅=⋅⇔OC OB OC OA OB OA . 证明：→→→→→→→→→→→⊥⇔=⋅=-⋅⇔⋅=⋅BC OA BC OA OB OC OA OC OA OB OA 0)(.同理→→⊥AC OB ,O AB OC ⇔⊥→→为△ABC 的垂心.（3）常用性质性质1*：O 为锐角△ABC 的垂心⇔=∆∆∆OAB OAC OBC S S S ::C B A tan :tan :tan . （图3）证明：ACDOC b BCDOC a OF b OE a S S OAC OBC ∠⋅⋅∠⋅⋅=⋅⋅=∆∆sin sin ,且在直角△BCD 和直角△ACD 中有 B BCD cos sin =∠，A ACD cos sin =∠.故BAA B B A A b B a S S OAC OBC tan tan cos sin cos sin cos cos =⋅⋅=⋅⋅=∆∆. 同理，CBS S OAB OAC tan tan =∆∆. C B A S S S OAB OAC OBC tan :tan :tan ::=∴∆∆∆，反之易证.性质2*：当O 为锐角△ABC 的垂心→→→→=⋅+⋅+⋅⇔0tan tan tan C OC B OB A OA .证明：利用性质1和“奔驰定理”易证. （4）典例剖析例3-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足)cos ||cos ||(CAC AC BAB AB OA OP →→→→→→++=λ，),0(+∞∈λ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由题知)cos ||cos ||(CAC AC BAB AB AP →→→→→+=λ,得=⋅+-⋅=⋅+⋅=⋅→→→→→→→→→→→→→→)cos ||cos ||||cos ||)cos(||||()cos ||cos ||(CAC CBC AC B AB B BC AB CAC BC AC BAB BC AB BC AP πλλ0|)|||(=+-→→BC BC λ，即→→⊥BC AP .P ∴在BC 边上的高上，过垂心，答案C .例3-2：已知O 为△ABC 所在平面内的一点，且满足=+=+→→→→2222||||||||AC OB BC OA22||||→→+AB OC ,则O 是△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由题知2222||||||||→→→→-=-BC AC OB OA ，即=+⋅-→→→→)()(OB OA OB OA)()(→→→→+⋅-BC AC BC AC ，即0)()(=+⋅++⋅→→→→→→OB OA AB BC AC AB ,即02=⋅→→OC AB ，故→→⊥OC AB ，同理→→⊥OB AC ，→→⊥OA BC∴O 是△ABC 的垂心，答案C .例3-3：设O 是△ABC 的外心，点P 满足→→→→=++OP OC OB OA ,则P 是△ABC 的（ ）A .内心B .任意一点C .垂心D .重心 解析：由题知→→→→→=-=+CP OC OP OB OA ，由于O 是△ABC 的外心，故→→→=+OD OB OA 2（D 为线段AB 的中点）且→→⊥AB OD ，即→→=OD CP 2，→→⊥∴AB CP ，同理→→⊥AC BP ，→→⊥BC AP ，故P 是△ABC 的垂心，答案C .四、三角形的重心（1）定义：三角形三条中线的交点（如图4）.（2）向量表示：若O 为△ABC 的重心→→→→=++⇔0OC OB OA . （3）常用性质 （ 图4 ）性质1：若O 为△ABC 的重心ABC OBC OAC OAB S S S S ∆∆∆∆===⇔31性质2：若O 为△ABC 的重心→→=⇔AF AO 32，→→=BD BO 32，→→=CF CO 32性质3：已知),(11y x A ，),(22y x B ,),(33y x C .若O 为△ABC 的重心)3,3(321321y y y x x x O ++++⇔.（4）典例剖析例4-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足)sin ||sin ||(CAC AC BAB AB OA OP →→→→→→++=λ，),0(+∞∈λ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由题知)sin ||sin ||(CAC AC BAB AB AP →→→→→+=λ，其中hC AC B AB ==→→sin ||sin ||（h 表示BC 边上的高），故)(hACh AB AP →→→+=λ→=AF h λ2（F 为线段BC 的中点）. P ∴在BC 边上的中线上，故动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心，答案D .例4-2：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足])21()1()1[(31→→→→++-+-=OC OB OA OP λλλ，R ∈λ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：设AB 的中点为D ，故])21()1(2[31→→→++-=OC OD OP λλ，由于+-3)1(2λ1321=+λ，即点P ，C ，D 三点共线. P ∴在AB 边上的中线上，故动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心，答案D .例4-3：已知O 在△ABC 内，且满足→→→→=++0432OC OB OA ，现在到△ABC 内随机取一点，次点取自△OAB ，△OAC ，△OBC 的概率分别记为1P 、2P 、3P ,则（ ）A .321P P P ==B .123P P P >>C .321P P P >>D .312P P P >> 解析：法一：如图，延长OA ，OB ，OC 使得OA OD 2=,OB OE 3=，OC OF 4=, 故→→→→=++0OF OE OD ，即O 是△DEF 的重心，即△OED 、△ODF 、 △OEF 的面积相等，不妨令它们的面积都为1. 61=∴∆OAB S ，81=∆OAC S ，121=∆OBC S ,故321P P P >>，答案C . 法二：由“奔驰定理”知，k S OBC 2=∆，k S OAC 3=∆，kS OAB 4=∆（k 为比例系数），故321P P P >>，答案C .法三：根据三角形内心的向量表示，不妨设O 是以2k ，3k ，4k （k 为比例系数）为边长的三角形的内心，所以OBC OAC OAB S S S ∆∆∆>>,即321P P P >>，答案C .五、等腰（边）三角形的四心 （1）等腰三角形等腰三角形只有顶角的角平分线与中线、高三线重合，其余的线不重合.另外，等腰三角形的四心不重合. （2）等边三角形性质1：若△ABC 为等边三角形⇔△ABC 四心合一. 性质2：若△ABC 为等边三角形⇔△ABC 三线合一. 六、欧拉线*瑞士数学家欧拉（1707~1783）于1765年在他的著作《三角形 的几何学》中首次提出：（如图5）任意△ABC （非等边三角形）的垂心D 、重心E 、外心F 三点共线，即欧拉线. （图5）特别地，（如图6）当△ABC 为直角三角形时（A 为直角），垂心D 与A 重合，外心F 在BC 的中点上，欧拉线为直角△ABC 的外接圆半径（或BC 边上的中线）.（图6）性质1：在任意三角形中，垂心与重心的距离是重心与外心距离的2倍，即EF DE 2=.。
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质
三角形“四心”向量形式的充要条件应用1．O 是ABC ∆的重心⇔=++; 若O 是ABC ∆的重心，则A BC A OB A OC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++uu u r uu r uu r uu u r⇔G 为ABC ∆的重心. 2．O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S A OB A OC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3．O 是ABC ∆的外心⇔||||||==(或222O C O B O A ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOCsin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB ||CA ||BC ||BA |AC|AB |=-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e (O )e e (O )e e (O 322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是c b a =++。
若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S A O B A O C B O C ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔u u u r u u u r u u u r u u r u u r u u r r是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠uu u r uu u ruu u r uu u r 所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心解析：因为是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又=-，则原式可化为)(21e e +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(,同理⊥，⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅得.即0,0)(=⋅=-⋅即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D. (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明 作图如右，图中=+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31++=. 证明 +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴++=0⇒++=0，即++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心解析：由0OA OB OC ++=uu r uu u r uuu r r 得OB OC OA +=-u u u r u u u r u u r，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=uu u r uu u r uuu r，由平行四边形性质知12OE OD =uu u r uuu r ，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。
向量与三心
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O⇔=++0OC OB OA ⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33321321y y y y x x x x ⇔O 是ABC ∆的重心.证法2：如图++ 02=+=OD OA ∴OD AO 2=∴D O A 、、三点共线，且O 分AD为2：1∴O 是ABC ∆的重心（2）⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=⋅=-⇔⋅=⋅ AC OB ⊥⇔同理BC OA ⊥，AB OC ⊥⇔O 为ABC ∆的垂心（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心.证明：b ACc AB 、分别为AC AB 、方向上的单位向量， ∴bAC c AB +平分BAC ∠,(λ=∴AO bACc AB +)，令c b a bc ++=λ∴c b a bcAO ++=（bAC c AB +)化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a∴0=++OC c OB b OA a（4==⇔O 为ABC ∆的外心。
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质
三角形“四心”向量形式的充要条件应用1．O 是ABC ∆的重心⇔=++; 若O 是ABC ∆的重心，则A BC A OB A OC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++uu u r uu r uu r uu u r⇔G 为ABC ∆的重心. 2．O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S A OB A OC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3．O 是ABC ∆的外心⇔||||||==(或222O C O B O A ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOCsin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB ||CA ||BC ||BA |AC|AB |=-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e (O )e e (O )e e (O 322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是c b a =++。
若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S A O B A O C B O C ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔u u u r u u u r u u u r u u r u u r u u r r是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠uu u r uu u ruu u r uu u r 所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心解析：因为是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又=-，则原式可化为)(21e e +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(,同理⊥，⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅得.即0,0)(=⋅=-⋅即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D. (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明 作图如右，图中=+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31++=. 证明 +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴++=0⇒++=0，即++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心解析：由0OA OB OC ++=uu r uu u r uuu r r 得OB OC OA +=-u u u r u u u r u u r，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=uu u r uu u r uuu r，由平行四边形性质知12OE OD =uu u r uuu r ，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。
平面向量与三角形三心
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇、四心的概念介绍(1) 重心——中线的交点：重心将中线长度分成 2 : 1 ；(2) 垂心一一高线的交点：高线与对应边垂直；(3) 内心一一角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等;(4) 外心一一中垂线的交点(外接圆的圆心) ：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合证法1设0(x, y), A(x i, yj B(X2, y2)，C(X3, y3)(1) OA OB 0C =0：二0是:ABC的重心.OA OB OC = 0 二(X i _X)+(X2 _X)+(X3 _ X) =0(y i -y) (y2 - y) 仏- y) =o % y 2 y33 O是ABC的重心•证法2:如图OA OB OC=OA 2OD =0.AO =2OD.A、O、D三点共线，且O分AD为2：1.O是ABC的重心(2) OA OB = OB OC = OC OA：= O为ABC 的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，OA OB =OB OC 二OB(OA -OC) =OB CA = 0二OB _ AC同理OA _ BC，OC _ AB=O为-ABC的垂心(3)设a, b , c是三角形的三条边长，O是厶ABC的内心▼faOA bOB cOC = 0 = O 为ABC 的内心.AB AC ——-——-证明：... AB、AC分别为AB、AC方向上的单位向量,ABcAC+ 平分N BAC, bX1X2X3y二D、E是垂足.AB AC)，令一be a b cbe AB ACAO()a b c c b化简得(a b c)OA bAB eAC =0 aOA bOB cOC = 0(4) OA=OB=OC 二 O 为占ABC 的外心。
典型例题分析［例题］已知点G 是丁ABC 内任意一点，点M 是丁ABC 所在平面内一点•试根据下列条件判断G 点可能通过VABC 的 _______ 心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”).［提出问题］⑵ 若点D 是丁 ABC 的底边BC 上的中点，满足GDGB 二GDGC ,则点G 可能通过VABC 的 __________.⑶若存在常数 上,满足MG = MA + 珥一-AB — +™AC —)仏丰0)，则点G 可能 AB 廉i nB AC 隔 nC 通过VABC 的 ___________通过VABC 的 __________ .［思路分析］以上四个问题的解决要求不同，除了熟悉三角形的“四心”的性质 同时更要熟悉平面向量的性质，对于平面向量与三角函数的结合也要相当熟悉形或三角形法则知，点G 是角平分线上的点，故应填内心. (2) 简单的变形后发现点G 是BC 边中垂线上的点，故应填外心. (3) 叮 ABVin B =|AC 蹩i nC/.记 ABVin B=| AC^i nC = h ,则AG =「(AB AC)('').由平面向量的平行四边形或三角形法则知，点G 是hBC 边的中线上的点，故应填重心.(4) 分析后发现，本题学生难以找到解决问题的突破口 ，主要在于平面向量的数量(1)若存在常数 ———A丸,满足MG = MA +九(—〜AB ACG 可能通过丁 ABCAC(4)若存在常数 ABAC■a^s a^s丸,满足MG = MA + k (—飞ABVosB ACPosC)(■ =0),则点G 可能［解答过程］(1)记 AB AB AC〜，一~■ (ej e 2).由平面向量的平行四边)(=0),第3页共4页积的充分利用•由MG =MA …(AB AB£osBAC AC \cosC得 AG = ■( 一 一+ —)(丸丰 0),AB Vos B AC \cosC (关键点)AGB^ (一亠—T )x BC (“o ) AB^cosB AC^CosC于是AG BC = ■( IAB A 啤乞+ AC 乎)(+) YosB〔ACpCosC =■( BC cos( -：-B) BC cosB)从而AG _ BC ，点G 是高线上的点，故应填垂心.［点评］以上四个问题处理的方法各不相同，注意到平面向量及三角形的“四心” 的性质在解答问题时的作用•特别注意第四问两边同乘以某个表达式的技巧•总结:(1) OA OB OC =0 = O 是 ABC 的重心.(2) OA OB =OB OC =OC OA ：= O 为 ABC 的垂心.(3) 设a , b , c 是三角形的三条边长， O 是厶ABC 的内心aOA bOB cOC = 0 = O 为 ABC 的内心.(4) OA=OB=OC= O 为 AABC 的外心。
平面向量中的三角形四心问题
平面向量中的三角形四心问题（一）向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。
本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。
在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。
一、重心（barycenter) 三角形重心是三角形三边中线的交点。
重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
在重心确定上，有著名的帕普斯定理。
结论1：是三角形的重心所在平面内一点，则为若G GC GB GA ABC G ⇔=++∆0的重心为故上在中线同理可得上在中线这表明，，则中点为证明：设ABC G CF BE G AD G GD GA GCGB GA GC GB GA GCGB GD D BC ∆=-∴+=-⇔=+++=,,202结论2：的重心是证明：的重心是所在平面内一点，则为若ABC G GC GB GA PC PG PB PG PA PG PC PB PA PG ABC G PC PB PA PG ABC ∆⇔=++⇔=-+-+-⇔++=∆⇔++=∆00)()()()(31)(31P二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。
结论3：的垂心是所在平面内一点，则为若ABC H HA HC HC HB HB HA ABC ∆⇔⋅=⋅=⋅∆H 为三角形垂心故同理，有证明：H ABHC CB HA ACHB AC HB HC HA HB HC HB HB HA ⊥⊥⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅,00)(结论4：可知命题成立由结论同理可证得，得，证明：由的垂心是所在平面内一点，则为若3)()(H 22222222222222HAHC HC HB HB HA HAHC HC HB HA HC HB HC HB HA CA HB BC HA ABC H AB HC AC HB BC HA ABC ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⇔-+=-++=+∆⇔+=+=+∆三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。
高中数学平面向量与三角形的“四心”
培优专题1 平面向量与三角形的“四心”三角形的内心、外心、垂心与重心问题，尤其是与平面向量相结合后，学生考查时感觉比较棘手，错误率较高，甚至无从下手。
因此，本讲将对与“四心”有关的知识进行总结归纳，借助典型例题说明解题要领。
知识点1 三角形的内心1、内心的定义：三个内角的角平分线的交点（或内切圆的圆心).如图，点P注：角平分线上的任意点到角两边的距离相等 2、常见内心的向量表示：（1）||||||0AB PC BC PA CA PB ++=（或0aPA bPB cPC ++=）其中,,a b c 分别是ABC ∆的三边AC AB BC 、、的长 （2）(),(0,)||||AB ACAP AB AC λλ=+∈+∞，则P 点的轨迹一定经过三角形的内心 （注：向量()AB AC ABACλ+(0λ≠)所在直线过ABC ∆内心(是BAC ∠角平分线所在直线)）3、破解内心问题，主要是利用了平面向量的共线法，通过构造与角平分线共线的向量，即两个单位向量的和向量。
拓展：是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，证明的轨迹一定通过的内心． 【解析】证明：、分别表示与、方向相同的单位向量， 的方向与的角平分线方向一致； 又，； 的方向与的角平分线方向一致， 点的轨迹一定通过的内心．知识点2 三角形的外心1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点（或外接圆的圆心）注：外心到三角形各顶点的距离相等. 2、常用外心的向量表示：（1）222||||||OA OB OC OA OB OC ==⇔==（2）()()()0OA OB AB OB OC BC OA OC AC +⋅=+⋅=+⋅= 变形：P 为平面ABC 内一动点，若()()()()()()0OA OB PB PA OB OC PC PB OA OC PC PA +⋅−=+⋅−=+⋅−=，则O 为三角形的外心3、破解外心问题，关键是运用平面向量的加减法和数量积的运算，结合数量积的运算律从而得到三角形的外心。
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质三角形“四心”向量形式的充要条件应用1. 0 是 AABC 的重心O OA + OB + dc = 0; 若 0 是AABC 的重心，则 == S AAOB =故 O X + 6B +OC = 0.P G = i -4- 评刀-4- A 。
) =G 为 AABC 的重心.2. 0 是 AABC 的垂心? dA OB = OB OC = OC OA .若。
是AABC (非直角三角形)的垂心，则S △HOC ： S^Aoc ： S DB = tan A ：tan B ： tan C故 tan AOA + tan BOB + tan COC = 63.0是AABC 的外心o IOAI=IOBI=IOCI (或。
^七而七成?)若 0 是 AABC 的外心则 S ABOC ： S 印疝 S^OB =sinZBOC ：sinZAOC ：sinZAOB =sin2A: sin2B: sin2C故 sin2AOA + sin2BOB + sin2COC = 6 4. 0 是内心AABC 的充要条件是I ABI AC ， IBAI IBCI ICAI ICBI■ . . —? —* —*引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记AB ,BC ,CA 的单位向量为勺弟2夹3,则刚才。
是AABC 内心的充要条件也可以是aOA + bOB + cOC = 0。
若。
是AABC 的内心，则°ABOC ：^AAOC 5 °A.XOB故 aOA + bOB + cOC = OggsinAOA + sinBOB + sinCOC = 6.| AB | PC+ \BC\PA+\CA\PB = QO P 是 AABC 的内心；向量"（辎+ 等）（膈°）所在直线过即。
的内心（是ZBAC 的角平 |AB| |AC| 分线所在直线）；（一）将平面向量与三角形内心结合考查例1.、是*上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 矛=函+人（雪+里K（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心T R解析：因为端是向量布的单位向量设屈与京方向上的单位向量分别为6和。
5.4平面向量与三角形的“四心”问题
三角形“四心”的向量特征：
（1）垂心：三角形三边上的高交于一点H，这一点叫三角形的垂心。 A
HA BC=HB AC=HC AB=0 HA HB=HA HC=HB HC
uuu r uuu r uu u r uu u r AB AC 变形： （1） OP OA ( uuu uuu ), (0, ) r r AB sin B AC sin C
Ｃ
uuu r uuu r uu u r uu u r AB AC （2） OP OA ( uuu r sin C uuu r sin B), (0, ) AB AC uuu r uuu r uu u r uu u r AB AC (3)OP OA ( uuu uuu ), (0, ) r r AB cos B AC cos C uuu r uuu r uu u r uuu r AB AC （4） PB PC ( uuu uuu ), (0, ) r r AB cos B AC cos C
AI bc a b c | AB | | AC |
AB AC ) (A，B，C所对的边分别是a,b.c) (
aIA bIB cIC 0
F c
I
Da
E
b
SIBC IA SIAC IB SIAB IC 0
B
C
例1. O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，
AB AC 动点P满足 OP = OA +λ ( + ), λ ∈[0,+∞). |AB| |AC|
平面向量痛点问题之三角形“四心”问题(解析版)--高一数学微专题
平面向量痛点问题之三角形“四心”问题【题型归纳目录】题型一：重心定理题型二：内心定理题型三：外心定理题型四：垂心定理【知识点梳理】一、四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．二、三角形四心与推论：(1)O 是△ABC 的重心：S △BOC :S △COA :S △A 0B =1:1:1⇔OA +OB +OC =0．(2)O 是△ABC 的内心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =a :b :c ⇔aOA +bOB +cOC =0．(3)O 是△ABC 的外心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ⇔sin2AOA +sin2BOB +sin2COC =0 ．(4)O 是△ABC 的垂心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C ⇔tan AOA +tan BOB +tan COC =0．【方法技巧与总结】(1)内心：三角形的内心在向量AB AB +ACAC所在的直线上.AB ⋅PC +BC ⋅PC +CA⋅PB =0 ⇔P 为△ABC 的内心.(2)外心：PA =PB =PC⇔P 为△ABC 的外心.(3)垂心：PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA⇔P 为△ABC 的垂心.(4)重心：PA +PB +PC =0⇔P 为△ABC 的重心.【典型例题】题型一：重心定理1(2024·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习)如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ，AC 两边交于M ，N 两点(点N 与点C 不重合)，设AM =xAB ,AN =yAC ，则1x +1y的值为()A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】设MG =λMN ，则AG =AM +MG =AM +λMN =AM +λAN -AM=1-λ AM +λAN =x 1-λ AB +yλAC，又因为G 是△ABC 的重心，故AG =13AB +13AC，所以有x 1-λ =13yλ=13⇒1x +1y =31-λ +3λ=3.故选：A2(2024·全国·高一随堂练习)已知△ABC 中，点G 为△ABC 所在平面内一点，则“AB +AC -3AG=0”是“点G 为△ABC 重心”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】依题意AB +AC -3AG =AG +GB +AG +GC -3AG =GA +GB +GC =0，则G 是△ABC 重心，即充分性成立；若G 是△ABC 重心时，GA +GB +GC =0，可得GA +GB +GC =AG +GB +AG +GC -3AG =AB +AC -3AG =0所以AB +AC -3AG =0 ，必要性成立，故选：C .3(2024·全国·高一专题练习)已知O 是三角形ABC 所在平面内一定点，动点P 满足OP =OA+λAB AB sin B +AC AC sin C λ≥0 ，则P 点轨迹一定通过三角形ABC 的()A.内心 B.外心C.垂心D.重心【答案】D【解析】记E 为BC 的中点，连接AE ，作AD ⊥BC ，如图，则AB sin B =AC sin C =AD ，AB +AC =12AE ，因为OP =OA +λAB AB sin B +ACAC sin C，所以AP =OP -OA =λAB AB sin B +ACACsin C=λ|AD |(AB +AC )=λ2|AD |AE，所以点P 在三角形的中线AE 上，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心.故选：D .题型二：内心定理1(2024·全国·高一专题练习)在△ABC 中，cos ∠BAC =13，若O 为内心，且满足AO =xAB +yAC ，则x +y 的最大值为．【答案】3-32【解析】延长AO 交BC 于D ，设BC 与圆O 相切于点E ，AC 与圆O 相切于点F ，则OE =OF ，则OE ≤OD ，设AD =λAO =λxAB +λyAC ，因为B 、C 、D 三点共线，所以λx +λy =1，即x +y =1λ=AO AD =AO AO +OD ≤AO AO +OE =11+OE OA=11+OF OA =11+sin A 2，因为cos A =1-2sin 2A 2=13，0<A <π,0<A 2<π2，所以sin A 2=33，所以x +y ≤11+33=3-32．故答案是：3-322(2024·江苏南通·高一如皋市第一中学期末)已知点P 为△ABC 的内心，∠BAC =23π,AB =1,AC =2，若AP =λAB +μAC，则λ+μ=．【答案】9-372【解析】在△ABC ，由余弦定理得BC =AC 2+AB 2-2AC ⋅AB cos ∠BAC =7,设O ,Q ,N 分别是边AB ,BC ,AC 上的切点，设AN =AO =x ，则NC =QC =2-x ,BO =BQ =1-x ，所以BC =BQ +QC =1-x +2-x =7⇒x =3-72，由AP =λAB +μAC 得，AP ⋅AB =λAB +μAC ⋅AB ，即AO ⋅AB =λAB 2+μAC ⋅AB ⇒AO =λ-μ，①同理由AP ⋅AC =λAB +μAC ⋅AC⇒2AN =-λ+4μ,②联立①②以及AN =AO =x 即可解得：λ+μ=3x =3×3-72=9-372，故答案为：9-3723(2024·广西柳州·高一统考期末)设O 为△ABC 的内心，AB =AC =5，BC =8，AO =mAB +nBCm ,n ∈R ，则m +n =【答案】56【解析】取BC 中点D ，连接AD ，作OE ⊥AB ，垂足分别为E ，∵AB =AC ，∴AD 为∠BAC 的角平分线，∴O ∈AD ；又AB =5，BD =12BC =4，∴sin ∠BAD =45，则tan ∠BAD =43；∵△ABC 周长L =5+5+8=18，面积S =12BC ⋅AD =12×8×52-42=12，∴△ABC 内切圆半径r =OE =2S L =2418=43，∴AE =rtan ∠BAD=1，又OA =12+r 2=53，∴AO =59AD ，∵AD =AB +BD =AB +12BC ，∴AO =59AD =59AB +518BC ，∴m =59，n =518，∴m +n =59+518=56.故答案为：56.题型三：外心定理1(2024·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习)已知点O 是△ABC 的外心，AB =4，AC =2，∠BAC 为钝角，M 是边BC 的中点，则AM ⋅AO=．【答案】5【解析】如图所示，取AB 的中点E ，连接OE ，因为O 为△ABC 的外心，则OE ⊥AB ，所以AB ⋅AO =|AB ||AO |cos <AB ,AO >=|AB |×12|AB |=12×42=8，同理：AC ⋅AO =12|AC |2=12×22=2，所以AM ⋅AO =12(AB +AC )⋅AO =12AB ⋅AO +12AC ⋅AO =12×8+12×2=5.故答案为：5.2(2024·安徽六安·高一六安市裕安区新安中学校考期末)已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +OB 2+λCA CA cos A +CBCB cos B ，λ∈R ，则P 的轨迹一定经过△ABC 的．(从“重心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写)【答案】外心【解析】如图所示：D 为AB 中点，连接CD ，CA CA cos A +CB CB cos B⋅BA =CA ⋅BA CA cos A +CB ⋅BACB cos B=BA -BA =0，OP -OA +OB 2=OP -OD =DP ，故DP ⋅BA =λCA CA cos A +CB CBcos B ⋅BA =0，即DP ⊥BA ，故P 的轨迹一定经过△ABC 的外心.故答案为：外心3(2024·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习)已知△ABC 中，∠A =60°，AB =6，AC =4，O 为△ABC 的外心，若AO =λAB +μAC，则λ+μ的值为()A.1 B.2C.1118D.12【答案】C【解析】由题意可知，O 为△ABC 的外心，设外接圆半径为r ，在圆O 中，过O 作OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，则D ，E 分别为AB ，AC 的中点，因为AO =λAB +μAC ，两边乘以AB ，即AO ⋅AB =λAB 2+μAC ⋅AB ，AO ,AB 的夹角为∠OAD ，而cos ∠OAD =AD AO=62r =3r ，则r ×6×3r =36λ+μ×4×6×12，得6λ+2μ=3①，同理AO =λAB +μAC 两边乘AC ，即AO ⋅AC =λAB ⋅AC +μAC 2，cos ∠OAC =2r，则r ×4×2r =λ×6×4×12+16μ，得3λ+4μ=2②，①②联立解得λ=49，μ=16，所以λ+μ=49+16=1118．故选：C ．题型四：垂心定理1(2024·江苏泰州·高一统考期末)已知△ABC 的垂心为点D ，面积为15，且∠ABC =45°，则BD ⋅BC=；若BD =12BA +13BC ，则BD=.【答案】 3025【解析】如图，AH 是△ABC 的BC 边上的高，则AH ⋅BC =0；设AD =λAH ，因为∠ABC =45°，面积为15，所以12BABC sin45°=15，即BA BC =302；BD ⋅BC =BA +AD ⋅BC =BA +λAH ⋅BC =BA ⋅BC +λAH ⋅BC =BA BCcos45°=30.由第一空可知BD ⋅BC =30，所以BD ⋅BC =12BA+13BC ⋅BC =12BA ⋅BC +13BC 2=30；所以BC 2=45，由BA BC =302可得BA =210，即BA 2=40；因为BD =12BA +13BC ，所以BD 2=14BA 2+19BC 2+13BA ⋅BC =14BA 2+19BC2+10=10+5+10=25；故答案为：30 25.2(2024·湖北黄冈·高一校联考期末)若O 为△ABC 的垂心，2OA +3OB +5OC =0 ，则S△AOB S △AOC=，cos ∠BOC =．【答案】 53-217/-1721【解析】因为2OA +3OB +5OC =0，所以2OA +OC =-3OB +OC ，设M 为AC 的中点，N 为BC 的中点，则OA +OC =2OM ，OB +OC =2ON，所以2OM =-3ON ，所以MN 为△ABC 的中位线，且OM ON=32，所以O 为CD 的中点，所以S △AOC =S △AOD ，又OM AD =12，ON DB =12，所以AD DB =32，所以S △AOD S △BOD =32，所以S △AOB S △AOC=53，同理可得S △BOC S △AOC=23，所以S △AOB S △ABC =12，S △AOC S △ABC =310，又O 为△ABC 的垂心，OD =OC ，设OD =x ，OB =y ，则OC =x ，OE =3y7，所以cos ∠BOD =x y =cos ∠COE =3y7x ，即x 2=37y 2，所以x 2y 2=37，则x y =217所以cos ∠BOD =217，所以cos ∠BOC =cos π-∠BOD =-217，故答案为：53；-2173(2024·山西·高一校联考阶段练习)已知H 为△ABC 的垂心(三角形的三条高线的交点)，若AH=13AB+25AC ，则sin ∠BAC =.【答案】63/136【解析】因为AH =13AB +25AC，所以BH =BA +AH =-23AB+25AC ，同理CH =CA +AH =13AB -35AC ，由H 为△ABC 的垂心，得BH ⋅AC =0，即-23AB+ 25AC ⋅AC =0，可知25AC 2=23ACAB cos ∠BAC ，即cos ∠BAC =3AC5AB ，同理有CH ⋅AB =0，即13AB - 35AC ⋅AB =0，可知13AB 2=35ACAB cos ∠BAC ，即cos ∠BAC =5AB 9AC，所以cos 2∠BAC =13，sin 2∠BAC =1-cos 2∠BAC =1-13=23，又∠BAC ∈0,π ，所以sin ∠BAC =63．故答案为：63.【过关测试】一、单选题1(2024·全国·高一专题练习)在直角三角形ABC 中，A =90°，△ABC 的重心、外心、垂心、内心分别为G 1，G 2，G 3，G 4，若AG i =λi AB +μi AC(其中i =1,2,3,4)，当λi +μi 取最大值时，i =()A.1 B.2C.3D.4【答案】B【解析】直角三角形ABC 中，A =90°，D 为BC 中点，△ABC 的重心为G 1，如图所示，AG 1 =23AD =23×12AB +AC =13AB+13AC ，则λ1=μ1=13，λ1+μ1=23；直角三角形ABC 中，A =90°，△ABC 的外心为G 2，则G 2为BC 中点，如图所示，AG 2 =12AB +AC ，则λ2=μ2=12，λ2+μ2=1；直角三角形ABC 中，A =90°，△ABC 的垂心为G 3，则G 3与A 点重合，AG 3 =0，则λ3=μ3=0，λ3+μ3=0；直角三角形ABC 中，A =90°，△ABC 的内心为G 4，则点G 4是三角形内角平分线交点，直角三角形ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，设内切圆半径为r ，则S △ABC =12bc =12a +b +c r ，得r =bca +b +c，AG 4 =bc a +b +c ⋅AB AB +bc a +b +c ⋅AC AC =bc a +b +c ⋅AB c +bc a +b +c ⋅ACb =b a +b +cAB +ca +b +cAC ，λ=b a +b +c ,μ=c a +b +c ，λ+μ=b a +b +c +c a +b +c =b +ca +b +c <1.λ2+μ2=1最大，所以当λi +μi 取最大值时，i =2.故选：B .2(2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习)若O 是△ABC 所在平面上一定点，H ，N ，Q 在△ABC 所在平面内，动点P 满足OP =OA +λAB AB +ACAC，λ∈0,+∞ ，则直线AP 一定经过△ABC 的心，点H 满足HA = HB = HC ，则H 是△ABC 的心，点N 满足NA +NB +NC=0，则N 是△ABC 的心，点Q 满足QA ·QB =QB ·QC =QC ·QA ，则Q 是△ABC 的心，下列选项正确的是()A.外心，内心，重心，垂心B.内心，外心，重心，垂心C.内心，外心，垂心，重心D.外心，重心，垂心，内心【答案】B【解析】OP =OA +λAB AB +AC AC ，变形得到AP =λAB AB +ACAC，其中AB AB ,ACAC 分别代表AB ,AC 方向上的单位向量，故AB AB +ACAC所在直线一定为∠BAC 的平分线，故直线AP 一定经过△ABC 的内心，HA = HB = HC，即点H 到△ABC 三个顶点相等，故点H 是△ABC 的外心，因为NA +NB +NC =0 ，所以NA +NB =-NC ，如图，取AB 的中点D ，连接ND ，则NA +NB =2ND ，所以NC =-2ND ，故C ,N ,D 三点共线，且CN =2ND ，所以N 是△ABC 的重心，由QA ·QB =QB ·QC 可得QA ·QB -QB ·QC =QA -QC ·QB =CA ·QB=0，故CA ⊥QB ，同理可得CB ⊥QA ,BA ⊥QC ，故Q 为△ABC 三条高的交点，Q 为△ABC 的垂心.故选：B 二、多选题3(2024·河南郑州·高一校联考期末)点O 为△ABC 所在平面内一点，则()A.若OA +OB +OC =0 ，则点O 为△ABC 的重心B.若OA ⋅AC AC -AB AB =OB ⋅BC BC -BABA=0，则点O 为△ABC 的垂心C.若OA +OB ⋅AB =OB +OC ⋅BC=0．则点O 为△ABC 的垂心D.在△ABC 中，设AC 2 -AB 2 =2AO ⋅BC，那么动点O 的轨迹必通过△ABC 的外心【答案】AD【解析】A ．由于OA =-OB +OC =-2OD ，其中D 为BC 的中点，可知O 为BC 边上中线的三等分点(靠近线段BC )，故O 为△ABC 的重心；选项A 正确.B ．向量AC AC ，ABAB，分别表示在边AC 和AB 上取单位向量AC 和AB ，它们的差是向量B C，当OA ⋅AC AC-AB AB =0，即OA ⊥B C 时，则点O 在∠BAC 的平分线上，同理由OB ⋅BC BC -BABA =0，知点O 在∠ABC 的平分线上，故O 为△ABC 的内心；选项B 错误.C ．OA +OB 是以OA ，OB 为边的平行四边形的一条对角线的长，而AB 是该平行四边形的另一条对角线的长，OA +OB ⋅AB =0表示这个平行四边形是菱形，即OA =OB ，同理有OB =OC，故O 为△ABC 的外心．选项C 错误.对于D ，设M 是BC 的中点，AC 2-AB 2=AC +AB ⋅AC -AB =2AO ⋅BC =2AM ⋅BC，即AO -AM ⋅BC =MO ⋅BC =0，所以MO ⊥BC ，所以动点O 在线段BC 的中垂线上，故动点O 的轨迹必通过△ABC 的外心.选项D 正确.故选：AD .4(2024·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考阶段练习)设点M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是()A.若AM =12AB +12AC ，则点M 是边BC 的中点B.若AM =2AB -AC ，则点M 是边BC 的三等分点C.若AM =-BM -CM ，则点M 是边△ABC 的重心D.若AM =xAB +yAC ，且x +y =13，则△MBC 的面积是△ABC 面积的23【答案】ACD【解析】对于A 中，根据向量的平行四边形法则，若AM =12AB +12AC =12(AB +AC)，则点M 是边BC 的中点，所以A 正确；对于B 中，由AM =2AB -AC ，则AM -AB =AB -AC ，即BM =CB，则B 为CM 的中点，所以B 错误；对于C 中，如图所示，由AM =-BM -CM ，可得AM +BM +CM =0，取BC 的中点D ，可得MA =-2MD，则点M 为△ABC 的重心，所以C 正确；对于D 中，由AM =xAB +yAC ，且x +y =13，所以3AM =3xAB +3yAC且3x +3y =1，设AN =3AM ，可得AN =3xAB +3yAC ，且3x +3y =1，所以N ,B ,C 三点共线，因为AN =3AM ，所以M 为AN 的一个三等分点(靠近A )，如图所示，所以S △MBC =23S △ABC ，即则△MBC 的面积是△ABC 面积的23，所以D 正确.故选：ACD .5(2024·山东枣庄·高一校考阶段练习)数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O 、G 、H 分别是△ABC 的外心、重心、垂心，且M 为BC 的中点，则()A.OH =OA +OB +OCB.S △ABG =S △BCG =S △ACGC.AH =3OMD.AB +AC =4OM +2HM【答案】ABD【解析】A . ∵OG =12GH ,∴OG =13OH ,∵G 为重心，所以GA +GB +GC =0,所以OA -OG +OB -OG +OC -OG =0 ,所以OG =13(OA +OB +OC ),∴13OH=13(OA +OB +OC ),所以OH =OA +OB +OC ，所以该选项正确.B .S △BCG =12×BC ×h 1,S △ABC =12×BC ×h 2，由于G 是重心，所以h 1=13h 2，所以S △BCG =13S △ABC ，同理S △ABG =13S △ABC ,S △ACG =13S △ABC ,所以S △ABG =S △BCG =S △ACG ，所以该选项正确.C .AH =AG +GH =2GM +2OG =2(OG +GM )=2OM,所以该选项错误.D .OH =3OG ,∴MG =23MO +13MH ,∴GM =23OM +13HM ,所以AB +AC =2AM =6GM =623OM +13HM =4OM +2HM ,所以该选项正确.故选：ABD6(2024·安徽池州·高一统考期末)已知△ABC 的重心为O ，边AB ,BC ,CA 的中点分别为D ,E ,F ，则下列说法正确的是()A.OA +OB =2ODB.若△ABC 为正三角形，则OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA=0C.若AO ⋅AB -AC=0，则OA ⊥BC D.OD +OE +OF =0【答案】ACD【解析】对于A ，因为D 为△OAB 中AB 的中点，所以OA +OB =2OD ，所以A 正确；对于B ，因为△ABC 为正三角形，所以OA ⋅OB =OA 2cos120°=-12OA 2，所以OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =-32OA2，所以B 不正确；对于C ，因为AO ⋅AB -AC =AO ⋅CB=0，所以OA ⊥BC ，所以C 正确；对于D ，因为O 为△ABC 的重心，D ,E ,F 分别为边AB ,BC ,CA 的中点，所以CO =2OD ，即2OD +OC =0 ，所以OD +OE +OF =12OA +OB +12OB +OC +12OA+OC=OA +OB +OC =2OD +OC =0 ，所以D 正确.故选：ACD .7(2024·广东广州·高一校考期末)下列命题正确的是()A.若A ，B ，C ，D 四点在同一条直线上，且AB =CD ，则AB =CDB.在△ABC 中，若O 点满足OA +OB +OC =0，则O 点是△ABC 的重心C.若a =(1,1)，把a 右平移2个单位，得到的向量的坐标为(3,1)D.在△ABC 中，若CP =λCA |CA |+CB|CB |，则P 点的轨迹经过△ABC 的内心【答案】BD【解析】对于A ，依题意如图，但AB ≠CD，故选项A 错误；对于B ，设BC 的中点为D ，由于OA +OB +OC =0 ，即OA =-(OB +OC )，所以OA =-2OD ，所以O 点是△ABC 的重心，故选项B 正确；对于C ，向量平移后不改变方向和模，为相等向量，故选项C 错误；对于D ，根据向量加法的几何意义知，以CA |CA |和CB|CB |为邻边的平行四边形为菱形，点P 在该菱形的对角线上，由菱形的对角线平分一组对角，故P 点的轨迹经过△ABC 的内心，故选项D 正确.故选：BD8(2024·新疆·高一兵团第三师第一中学校考阶段练习)点O 在△ABC 所在的平面内，则下列结论正确的是()A.若OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA ，则点O 为△ABC 的垂心B.若OA +OB +OC =0 ，则点O 为△ABC 的外心C.若2OA +OB +3OC =0，则S △AOB :S △BOC :S △AOC =3:2:1D.若AO ⋅AB AB =AO ⋅AC AC 且CO ⋅CA CA =CO ⋅CB CB ，则点O 是△ABC 的内心【答案】ACD【解析】对A ：如图所示，OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA，则(OA -OC )⋅OB =CA ⋅OB =0，(OB -OC )⋅OA =CB ⋅OA =0，(OB -OA )⋅OC =AB ⋅OC =0，∴OB ⊥CA ,OA ⊥CB ,OC ⊥AB ，∴O 为△ABC 的垂心，A 正确；对B ：如图，取AB 的中点D ，连接OD ，由OA +OB +OC =0 ，则OA +OB =2OD =-OC ，∴O ，D ，C 三点共线，又CD 是△ABC 的中线，且|OC |=2|OD |，∴O 为△ABC 的重心，B 错误；对C ：如图：D ，E 分别是AC ，BC 的中点，由2OA +OB +3OC =0 ，∴2(OA +OC )+(OB +OC )=0 ，∴4OD +2OE =0 ，∴OE =-2OD ，∴OD =13DE =16AB ，OE =23DE =13AB ，则S △AOC =16S △ABC ，S △BOC =13S △ABC ，S △AOB =12S △ABC ，则S △AOB :S △BOC :S △AOC =3:2:1，C 正确；对D ：如图，∵AO ⋅AB |AB |=AO ⋅AC|AC |，∴|AO ||AB |cos ∠BAO |AB |=|AO ||AC |cos ∠CAO |AC|，∴cos ∠BAO =cos ∠CAO ，∴∠BAO =∠CAO ，即AO 为∠BAC 的平分线，同理由CO ⋅CA |CA |=CO ⋅CB|CB|得∠ACO =∠BCO ，即CO 为∠ACB 的平分线，∴O 为△ABC 的内心，D 正确．故选：ACD 三、填空题9(2024·甘肃武威·高一校联考期末)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若O 为△ABC 的重心，OB ⊥OC ,3b =4c ，则cos A =.【答案】56【解析】连接AO ，延长AO 交BC 于D ，由题意得D 为BC 的中点，OB ⊥OC ，所以OD =BD =CD =12a ，AD =32a .因为∠ADB +∠ADC =π，所以cos ∠ADB +cos ∠ADC =94a 2+14a 2-c 22×32a ×12a +94a 2+14a 2-b 22×32a ×12a =0，得b 2+c 2=5a 2.故cos A =b 2+c 2-a 22bc=b 2+c 2-15b 2-15c 22bc=25b c +c b=25×34+43 =56.故答案为:56.10(2024·全国·高一专题练习)点O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上△ABC 的三个顶点，∠B 、∠C 分别是边AC 、AB 的对角，以下命题正确的是(把你认为正确的序号全部写上)．①动点P 满足OP =OA +PB +PC，则△ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中；②动点P 满足OP =OA +λAB |AB |+AC|AC |(λ>0)，则△ABC 的内心一定在满足条件的P 点集合中；③动点P 满足OP =OA +λAB |AB |sin B +AC|AC|sin C(λ>0)，则△ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中；④动点P 满足OP =OA+λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C(λ>0)，则△ABC 的垂心一定在满足条件的P 点集合中；⑤动点P 满足OP =OB +OC 2+λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C(λ>0)，则△ABC 的外心一定在满足条件的P 点集合中．【答案】①②③④⑤【解析】对于①，因为动点P 满足OP =OA +PB +PC，∴AP =PB +PC ，则点P 是△ABC 的重心，故①正确；对于②，因为动点P 满足OP =OA+λAB |AB |+AC |AC |(λ>0)，∴AP =λAB |AB |+AC |AC |(λ>0)，又AB |AB |+AC |AC |在∠BAC 的平分线上，∴AP与∠BAC 的平分线所在向量共线，所以△ABC 的内心在满足条件的P 点集合中，②正确；对于③，动点P 满足OP =OA +λAB |AB |sin B +AC|AC|sin C(λ>0)，∴AP =λAB |AB |sin B +AC|AC|sin C，(λ>0)，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，则|AB |sin B =|AC|sin C =AD ，AP =λAD(AB +AC )，向量AB +AC 与BC 边的中线共线，因此△ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中，③正确；对于④，动点P 满足OP =OA +λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C(λ>0)，∴AP =λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C(λ>0)，∴AP ⋅BC =λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C⋅BC =λ(|BC |-|BC |)=0，∴AP ⊥BC ，所以△ABC 的垂心一定在满足条件的P 点集合中，④正确；对于⑤，动点P 满足OP =OB +OC 2+λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C(λ>0)，设OB +OC2=OE，则EP =λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C，由④知AB |AB |cos B +AC|AC|cos C⋅BC =0，∴EP ⋅BC=0，∴EP ⊥BC ，∴P 点的轨迹为过E 的BC 的垂线，即BC 的中垂线；所以△ABC 的外心一定在满足条件的P 点集合，⑤正确．故正确的命题是①②③④⑤．故答案为：①②③④⑤．11(2024·辽宁·高一校联考期末)某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧(劣弧)沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心(即三角形三条高线的交点).如图，已知锐角△ABC外接圆的半径为2，且三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点P.若AB=3，则sin∠PAC=；若AC:AB:BC=6:5: 4，则PA+PB+PC的值为.【答案】74234/5.75【解析】设外接圆半径为R，则R=2，由正弦定理，可知ABsin∠ACB=3sin∠ACB=2R=4，即sin∠ACB=34，由于∠ACB是锐角，故cos∠ACB=74，又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即AP⊥BC,故∠PAC=π2-∠ACB，所以sin∠PAC=cos∠ACB=7 4；设∠CAB=θ,∠CBA=α,∠ACB=β，则∠PAC=π2-β,∠PBA=π2-θ,∠PAB=π2-α，由于AC:AB:BC=6:5:4，不妨假设AC=6,AB=5,BC=4，由余弦定理知cosθ=62+52-422×6×5=34,cosα=42+52-622×4×5=18,cosβ=42+62-522×4×6=916，设AD,CE,BF为三角形的三条高，由于∠ECB+∠EBC=π2,∠PCD+∠CPD=π2,故∠EBC=∠CPD ,则得∠APC=π-∠CPD=π-∠EBC=π-∠ABC，所以PCsinπ2-β=PAsinπ2-θ=ACsin∠APC=ACsin∠ABC=2R=4，同理可得PBsinπ2-α=ABsin∠APB=ABsin∠ACB=2R=4，所以PA+PB+PC=4cosθ+cosα+cosβ=434+18+916=234,故答案为：74；23412(2024·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末)已知P 为△ABC 所在平面内一点，有下列结论：①若P 为△ABC 的内心，则存在实数λ使AP =λAB |AB |+AC|AC |；②若PA +PB +PC =0 ，则P 为△ABC 的外心；③若PA =PB =PC ，则P 为△ABC 的内心；④若AP =13AB +23AC ，则△ABC 与△ABP 的面积比为2:3．其中正确的结论是．(写出所有正确结论的序号)【答案】①【解析】设AB 中点D ，对于①若P 为△ABC 的内心，所以P 在∠BAC 的角平分线上，因为AB |AB |为AB 方向上的单位向量，AC|AC |为AC 方向上的单位向量，令AE =AB |AB |+AC|AC |，所以AE 在∠BAC 的角平分线上，即AE 与AP共线，所以存在实数λ使AP =λAE ，即AP =λAB |AB |+AC|AC |，故①正确；对于②，若PA +PB +PC =0，则2PD +PC =0 ，所以P 在中线CD 上且CP =2PD ，即P 为三角形重心，故②错误；对于③，PA =PB =PC，所以P 为△ABC 的外心，故③错误；若AP =13AB +23AC ，则13(AB -AP )+23(AC -AP )=0 ，即PB +2PC =0 ，所以P 为BC 上靠近C 的三等分点，所以BP =2PC ，故△ABC 与△ABP 的面积比为3:2，故④错误．故答案为：①13(2024·广西河池·高一校联考阶段练习)在△ABC 中，已知AB =5，AC =3，A =2π3，I 为△ABC 的内心，CI 的延长线交AB 于点D ，则△ABC 的外接圆的面积为，CD =.【答案】 49π3/493π；372/327.【解析】由余弦定理得BC 2=25+9-2×5×3×-12=49，∴BC =7.设三角形的外接圆的半径为R , 所以732=2R ，∴R =733,所以△ABC 的外接圆的面积为π×7332=493π.由余弦定理得cos ∠ACB =49+9-252×7×3=1114=1-2sin 2∠ACD ,所以sin ∠ACD =2114，cos ∠ACD =5714.所以sin ∠ADC =sin (∠A +∠ACD )=32×5714-12×2114=217.由正弦定理得3217=CD 32,∴CD =327.故答案为：49π3；372.14(2024·四川遂宁·高一遂宁中学校考阶段练习)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OB +OC 2+λAB AB cos B +ACAC cos C ，λ∈0,+∞ ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的(填序号)．①内心 ②垂心 ③ 重心 ④外心【答案】④【解析】设BC 的中点为D ，∵OP =OB +OC 2+λAB AB cos B +AC AC cos C，∴OP =OD +λAB AB cos B +ACAC cos C ，即DP =λAB AB cos B +ACAC cos C，两端同时点乘BC ，∵DP ⋅BC =λAB ⋅BC AB cos B +AC ⋅BCAC cos C =λAB ⋅BC cos π-B AB cos B +AC ⋅BC cos C ACcos C=λ-BC +BC=0，所以DP ⊥BC ，所以点P 在BC 的垂直平分线上，即P 经过△ABC 的外心故答案为：④.15(2024·高一课时练习)已知O 为△ABC 的内心，∠BAC =π3，且满足AO =xAB +yAC ，则x +y 的最大值为．【答案】23【解析】如图，延长AO 交BC 于D ，设BC ,AC 分别与圆切于点E ,F ，则OE =OF ，OE ≤OD ，设AD =λAO ，则AD =λxAB +λyAC ，因为B ,D ,C 三点共线，所以λx +λy =1，x +y =1λ=AO AD =AO AO +OD ≤AO AO +OE =11+OE AO =11+OF AO =11+sin A 2=11+sin π6=23，当且仅当D ,E 重合时等号成立．所以x +y 的最大值为23．故答案为：23．16(2024·高一课时练习)已知A ，B ，C 是平面内不共线的三点，O 为ΔABC 所在平面内一点，D 是AB 的中点，动点P 满足OP =132-2λ OD +1+2λ OCλ∈R ，则点P 的轨迹一定过△ABC 的(填“内心”“外心”“垂心”或“重心”).【答案】重心【解析】根据已知条件判断P ,C ,D 三点共线，结合重心的定义，判断出P 的轨迹过三角形ABC 的重心.∵点P 满足OP =132-2λ OD +1+2λ OC λ∈R ，且132-2λ +131+2λ =1，∴P ，C ，D 三点共线.又D 是AB 的中点，∴CD 是边AB 上的中线，∴点P 的轨迹一定过ΔABC 的重心.故答案为：重心17(2024·高一课时练习)已知点O 是ΔABC 的内心，若AO =37AB +17AC，则cos ∠BAC =.【答案】16【解析】因为-OA =37OB -OA +17OC-OA ，即OC =-3OA +OB ，取AB 中点D ，连接OD ，则OA +OB =2OD ，故OC =-6OD，故点C ,O ,D 共线，又∠ACO =∠BCO ，故AC =BC ，且CD ⊥AB ，所以cos ∠BAC =DA CA=OD OC =16.故答案为：16.18(2024·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考阶段练习)已知点O 是△ABC 的外心，AB =6，BC =8，B =2π3，若BO =xBA +yBC ，则3x +4y =．【答案】7【解析】如图，∵AB =6，BC =8，B =2π3，且BO =xBA +yBC ，∴BO ⋅BA =|BO |⋅|BA |⋅cos ∠ABO =12|BA |2=18，BO ⋅BC =|BO ||BC |⋅cos ∠CBO =12|BC |2=32，BA ⋅BC =6×8×-12 =-24，∴BO ⋅BA =xBA 2+yBA ⋅BC BO ⋅BC =xBA ⋅BC +yBC2 ，∴18=36x -24y 32=-24x +64y ，整理得，6x -4y =38y -3x =4 ，∴(6x -4y )+(8y -3x )=3x +4y =7．故答案为：719(2024·湖北武汉·高一期末)△ABC 中，AB =2，BC =26，AC =4，点O 为△ABC 的外心，若AO =mAB +nAC ，则实数m =．【答案】45/0.8【解析】由BC =AC -AB 可得BC 2=AC -AB 2=AC 2+AB 2-2AB ⋅AC =4+16-2AB ⋅AC =24，所以，AB ⋅AC =-2，同理可得BA ⋅BC =6，CA ⋅CB =18，故AB AC cos A <0即cos A <0，而A ∈0,π ，故A 为钝角.如下图所示：取线段AC 的中点E ，连接OE ，由垂径定理可得OE ⊥AC ，则AO ⋅AC =AE +EO ⋅AC =AE ⋅AC +EO ⋅AC =12AC 2，同理可得AO ⋅AB =12AB 2，因为AO =mAB +nAC ，则AO ⋅AC =mAB +nAC ⋅AC =mAB ⋅AC +nAC 2=-2m +16n =12AC 2=8；AO ⋅AB =mAB +AC ⋅AB =mAB 2+nAB ⋅AC =12AB 2，即4m -2n =2，故m =45故答案为：45.20(2024·湖北·高一校联考阶段练习)在△ABC 中，已知AB =2,AC =5,∠BAC =60°，P 是△ABC 的外心，则∠APB 的余弦值为.【答案】1319【解析】BC 2=AB 2+AC 2-2AB ⋅AC cos60°=4+25-10=19，故BC =19，设△ABC 的外接圆半径为R ，则R =BC 2sin60°=573，△APB 中，cos ∠APB =R 2+R 2-42R 2=1-2R 2=1319.故答案为：1319.21(2024·四川达州·高一达州中学校考阶段练习)设O 为△ABC 的外心a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若b =3，c =5，则OA ⋅BC =．【答案】8【解析】如图所示，因为O 为△ABC 的外心，取AB 中点E ，则OE ⊥AB ，则AO ⋅AB =OA AB cos ∠OAB =AB OA cos ∠OAC =AB ⋅12AB =12c 2=252，同理AO ⋅AC =12b 2=92，所以OA ⋅BC =OA ⋅AC -AB =-AO ⋅AC -AB =-AO ⋅AC +AO ⋅AB =-92+252=8．故答案为：822(2024·广东汕头·高一金山中学校考期末)已知O 为△ABC 的外心，若AO ⋅BC =4BO ⋅AC ，则cos A 最小值.【答案】34【解析】∵O 为△ABC 的外心，若AO ⋅BC =4BO ⋅AC ，∴AO ⋅AC -AB =4BO ⋅BC -BA ,∴AO ⋅AC -AO ⋅AB =4BO ⋅BC -4BO ⋅BA ，∴12AC 2-12AB 2=4×12BC 2-4×12BA 2,即b 2-c 2=4a 2-4c 2，即b 2+3c 2=4a 2，∴cos A =b 2+c 2-a 22bc =b 2+c 2-b 2+3c 242bc=3b 2+c 28bc ≥23bc 8bc=34,当且仅当3b =c 时取等号，∴cos A 的最小值为34.故答案为:34.23(2024·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末)某同学在查阅资料时，发现一个结论：已知O 是△ABC 内的一点，且存在x ,y ,z ∈R ，使得xOA +yOB +zOC =0 ，则S △AOB :S △AOC :S △COB =z :y :x ．请以此结论回答：已知在△ABC 中，∠A =π4，∠B =π3，O 是△ABC 的外心，且AO =λAB +μAC λ,μ∈R ，则λ+μ=．【答案】33/133【解析】如图，因为O 是△ABC 的外心，所以∠BOC =2∠BAC =π2,∠AOC =2∠ABC =2π3,∠BOA =2∠BCA =5π6，由结论可得S △BOC ⋅OA +S △AOC ⋅OB +S △BOA ⋅OC =0 ，即12R 2sin ∠BOC ⋅OA +12R 2sin ∠AOC ⋅OB +12R 2sin ∠BOA ⋅OC =0 ，可得sin π2⋅OA +sin 2π3⋅OB +sin 5π6⋅OC =0 ，即OA +32OB +12OC =0 .因为AO =λAB +μAC =λ(OB -OA )+μ(OC -OA )，所以(1-λ-μ)OA +λOB +μOC =0 ，所以λ1-λ-μ=32μ1-λ-μ=12 ，即λ+μ1-λ-μ=3+12，即1-(λ+μ)λ+μ=3-1，解得λ+μ=33.故答案为：33.24(2024·辽宁大连·高一育明高中校考期末)已知点P 在△ABC 所在的平面内，则下列各结论正确的有①若P 为△ABC 的垂心，AB ⋅AC =2，则AP ⋅AB =2②若△ABC 为边长为2的正三角形，则PA ⋅PB +PC 的最小值为-1③若△ABC 为锐角三角形且外心为P ，AP =xAB +yAC 且x +2y =1，则AB =BC④若AP =1AB cos B +12 AB +1AC cos C +12AC ，则动点P 的轨迹经过△ABC 的外心【答案】①③④【解析】对于①，若P 为△ABC 的垂心，则AB ⋅PC =0，又AB ⋅AC =2，所以AP ⋅AB =AB ⋅AC +PC =AB ⋅AC +AB ⋅PC =2+0=2，①正确；对于②，取CB 的中点O ，连接OA ，以O 为坐标原点，BC ，OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系，则B -1,0 ,C 1,0 ,A 0,3 ，设P m ,n ，则PA ⋅PB +PC =-m ,3-n ⋅-2m ,-2n =2m 2+2n 2-23n =2m 2+2n -32 2-32，故当m =0,n =32时，PA ⋅PB +PC =2m 2+2n -32 2-32取得最小值，最小值为-32，②错误；对于③，有题意得AP =xAB +yAC =1-2y AB +yAC ，则AP -AB =y -2AB +AC ，即BP =y BA +BC ，如图，设D 为AC 的中点，则BA +BC =2BD ，故BP =2yBD ，故B ,P ,D 三点共线，因为P 是△ABC 的外心，所以BD 垂直平分AC ，所以AB =BC ，③正确；对于④，AP =AB AB cos B +AC AC cos C +12AB +AC ，AP ⋅BC =AB ⋅BC AB cos B +AC ⋅BC AC cos C +12AB +AC ⋅BC=AB ⋅BC cos π-B AB cos B +AC ⋅BC cos C AC cos C +12AB +AC ⋅BC =-BC +BC +12AB +AC ⋅BC =12AB +AC ⋅BC ，所以2AP ⋅BC =AB +AC ⋅BC ，如图，设E 是BC 的中点，则AB +AC =2AE ，故2AP ⋅BC =2AE ⋅BC ，即AP -AE ⋅BC =EP ⋅BC =0，故则动点P 的轨迹经过△ABC 的外心，④正确.故答案为：①③④25(2024·全国·高一专题练习)(1)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP =OA +λ(AB +AC )，λ∈(0,+∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的(填“内心”“外心”“重心”或“垂心” )．(2)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP =OA +λAB |AB |+AC |AC |，λ∈(0,+∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的．(填“内心”“外心”“重心”或“垂心” )【答案】 重心内心【解析】空1：由已知，AP =λ(AB +AC )，根据平行四边形法则，设△ABC 中BC 边的中点为D ，知AB +AC =2AD ，∴AP =2λAD ，∴AP ⎳AD ，则A ，P ，D 三点共线，∴点P 的轨迹必过△ABC 的重心；空2：由已知，AP =λAB |AB |+AC |AC |，而AB |AB |表示与AB 同向的单位向量，AC |AC |表示与AC 同向的单位向量，∴AP 在∠BAC 的角平分线上，∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．故答案为：重心；内心．四、解答题26(2024·全国·高一专题练习)已知△ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于P ，交边AC 于Q ，设△APQ 的面积为S 1，△ABC 的面积为S 2，AP =pPB ，AQ =qQC .(1)求GA +GB +GC ；(2)求证：1p +1q=1.(3)求S 1S 2的取值范围.【解析】(1)延长AG 交BC 于D ，则D 为BC 中点，∴GB +GC =2GD ，∵G 是重心，∴GA =-2GD ，∴GA +GB +GC =-2GD +2GD =0 ；(2)设AB =a ,AC =b ，∵AP =pPB ，∴AP =p 1+p a ，∴a =1+p p AP ∵AQ =qQC ，∴AQ =q 1+q b ，∴b =1+q q AQ ∵AG =23AD =23⋅12(AB +AC )=13a +b =13⋅1+p p AP +13⋅1+q qAQ 且P ,G ,Q 三点共线，∴13⋅1+p p +13⋅1+q q =1，∴1p +1 +1q+1 =3即1p +1q =1；(3)由(2)AP =p 1+p AB ，AQ =q 1+q AC ，∴S 1S2=12AP ⋅AQ ⋅sin ∠BAC 12AB ⋅AC ⋅sin ∠BAC =AP ⋅AQ AB ⋅AC =p 1+p ⋅q 1+q ，∵1 p +1q=1，q=pp-1，可知p>1，∴S1S2=p1+p⋅q1+q=p1+p⋅p2p-1=p22p2+p-1=1-1p2+1p+2=1-1p-122+94，∵p>1，∴0<1p<1，则当1p=12时，S1S2取得最小值49，当1p=1时，S1S2取得最大值12，∵1 p ≠1，则S1S2的取值范围为49,12.。
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质
三角形“四心”向量形式的充要条件应用1. 0 是AABC 的重心 O OA+OB + OC=0=AAOe = AAOB若0 是AABC 的重心，则“g AAX一故OA+OB + OC = 0；PC = 4-(戸N + RS + OG 为A4BC的心.ABoe △ABC2. 0 是AABC的垂心o OA OB =OB OC = OC・OA ；若0是AABC （非宜角三角形）的垂心，则^ABOC：S MO"S DB = tan A：taii B：taii C 故tan AOA + tan BOB + tan COC= 03. 0 是AABC的外心o lOAimOBITOCI (或dX? =OB^ =OC^)若0 是AABC 的外心则'ABOC：S^OB = sinZBOCtsinZAOC ：slnZAOB = $ln2A ; sIn2B:sln2C故sInZAOA + slnlBOB + sInZCOC =CAI CAI ICBI4. 0是内心AABC的充要条件是6^"珞-篦川页务-壬引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记而,，不的单位向量为引，则刚才0是IBCIAABC 内心的充要条件可以写成OA. (Cj+63)= OB.(e,+€2)= 00.(62+63) = 0AABC内心的充要条件也可以是aOA + bOB+cOC = 0 。
若o是AABC的内心，则S QM； S4WB = 3： bj c故aOA + b 而 + cOC = OsSsInAOA + sInBOT + sInCOC = 0I丽1疙+|5?1莎+1乙5lP5 = 6oP是AABC的内心;向助鴿+ 所在直线过WC的内心（是ZBAC的角平广n分线所在直线）;（一）将平面向量与三角形内心结合考査例1. 0是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP = OA + 2(AB AC —+）,A € [0,4-3）JOO P点的轨迹一定通过M3C的（）A Cl（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心4 R解析：因为A"_是向量廳的单位向量设廳与疋方向上的单位向量分别为勺和又AB "OP-OA = AP,则原式可化为川>=久2|+勺），由菱形的基本性质知AP平分Z3AC,那么在MBC中，AP平分ZBAC,则知选B.（二）将平面向量与三角形垂心结合考査“垂心定理”例2. 〃是△磁所在平面内任一点，HA H B^HB HC^HC HA O点〃是△磁的垂心.由蔽帀=帀汞0帀蔽-丽=0 0市益-oo丽丄衣,同理花丄而，HA±^•故〃是△磁的垂心•（反之亦然（证略））例3.（湖南）P是△ABC所在平面上一点，若PA・PB = PB、PC = P CPA,则P是ZkABC的（D ）D.垂心A.外心B.内心C.重心解析：由莎•而=而•尢得莎而一而药=0.即PB・（PA — PC）=（X即PB・C4 = 0则PB丄（X同理PA丄BUPC丄AB所以P为MBC的垂心•故选D.（三）将平面向量与三角形重心结合考査“重心定理”例4. G是△磁所在平面内一点，刃+而+云=0o点G是△磁的重心.线. 证明作图如右，图中^ + GC = GE连结朋和⑦ 则d包，庞曲70 磁F为平行四边形=>e是％的中点，Q为％边上的中将而+云=52代入方+而+炭=0,得^ + ^=0=> ^ = -GE = -2GD,故G是△磁的重心•（反之亦然（证略））例5. P是△磁所在平面内任F G是△磁的重心。
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质
三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识点总结1．O是的重心;若O是的重心，则故;为的重心.2．O是的垂心;若O是(非直角三角形)的垂心，则故3．O是的外心(或)若O是的外心则故4．O是内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记的单位向量为，则刚才O是内心的充要条件可以写成，O是内心的充要条件也可以是。
若O是的内心，则故;是的内心;向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；xx 例(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在xx，AP平分，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H是△ABC所在平面内任一点，点H是△ABC的垂心.由,同理，.故H是△ABC的垂心. （反之亦然（证略））例3.(xx)P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（D ）A．外心B．内心C．重心D．垂心解析:由.即则所以P为的垂心. 故选D.(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G是△ABC所在平面内一点，=0点G是△ABC的重心.证明作图如右，图中连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将代入=0，得=0，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略））例5． P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心.证明∵G是△ABC的重心∴=0=0，即由此可得.（反之亦然（证略））例6 若为内一点，，则是的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心解析：由得，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则，由平行四边形性质知，，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。
(四) 将平面向量与三角形外心结合考查例7若为内一点，，则是的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心解析：由向量模的定义知到的三顶点距离相等。
三角形的“四心”与平面向量
线( O ， G ， H 三点连线称为欧拉线)，且 OG ＝ GH .
三角形的“四心”与平面向量
题型一 三角形的“重心”与平面向量
重心：三角形三条中线的交点叫重心.它到三角形顶点距离与该点
到对边中点距离之比为2∶1.
在向量表达形式中，设点 G 是△ ABC 所在平面内的一点，则当点 G
1
是△ ABC 的重心时，有 ＋ ＋ ＝0或 ＝ ( ＋ ＋ )(其
｜｜cos
所以 ＝ － ＝λ
所以 · ＝ ·λ
＋
｜｜cos
｜｜cos
｜｜cos
＋
＋
，
｜｜cos
｜｜cos
｜ ｜)＝0，
所以 ⊥ ，所以点 P 在 BC 的高线上，
即动点 P 的轨迹一定通过△ ABC 的垂心.
示△ AB 1 C 1的面积，
1
1
所以 S △ COA ＝ S ， S △ AOB ＝ S ，
9
6
1
1
1
1
S △ BOC ＝ △1 ＝ × △1 1 ＝ S .
2
2
3
18
1
1
1
于是 S △ BOC ∶ S △ COA ∶ S △ AOB ＝
平行四边形为OAC'B， OC 与 AB 交于点 D (图略)，则 D 为 AB 的中点，由
＋ ＝ ′ 得， ＝－ ′ ，即 C ， O ， D ，C'四点共线，故 CD
为△ ABC 的中线，所以 O 在边 AB 的中线上，同理可证， O 在边 AC 的中
线上， O 在边 BC 的中线上，所以 O 是三角形 ABC 的重心.
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质
三角形“四心”向量形式的充要条件应用1．O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++; 若O 是ABC ∆的重心，则AB C AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2．O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3．O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB |CB |CA |CA (OC |BC |BC |BA |BA (OB ACAC |AB |AB (OA =⋅=⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 。
若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心 解析：因为是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(,同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得.即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D. (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明 作图如右，图中GE GC GB =+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心解析：由0OA OB OC ++=得OB OC OA +=-，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=，由平行四边形性质知12OE OD =，2OA OE =，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。
平面向量三角形垂心基本定理
平面向量三角形垂心基本定理1. 引言嘿，朋友们！今天咱们来聊聊一个听起来有点高深，但其实特别有趣的数学话题——平面向量三角形的垂心基本定理。
听名字可能有点绕，但别担心，咱们慢慢来，保证你听完之后不仅懂了，还能跟朋友们侃侃而谈，感觉自己像个数学高手！这就像吃大餐，慢慢咀嚼才好吃嘛。
2. 什么是垂心？2.1 垂心的定义首先，我们得搞明白什么是垂心。
垂心，听起来就像个神秘的术语，其实就是一个三角形的一个特定点，它就是三角形的三个高（从一个顶点到对边的垂直线）的交点。
换句话说，如果你在三角形的每个顶点各画一条垂线，最后这些线交汇的地方，就是咱们的垂心。
想象一下，就像三角形里的小精灵，它在高高的地方俯瞰着整个三角形，真是妙不可言！2.2 垂心的重要性为什么垂心这么重要呢？简单来说，垂心在很多几何问题中都是个关键角色，就像那种默默无闻但总能救场的朋友。
在一些复杂的计算中，它能帮我们找到许多关于三角形的秘密，比如角度、边长，甚至是面积！它就像一把万能钥匙，能打开几何世界的各种门。
3. 垂心的性质3.1 向量的运用好啦，接下来我们来聊聊垂心的性质。
用向量来描述它，其实很简单。
假设我们有一个三角形ABC，顶点分别为A、B和C。
那么，垂心H的坐标可以用向量的方式来表示。
假如我们知道了A、B、C的坐标，通过一些向量运算，我们就能求出H的坐标。
这就像一场数学的寻宝游戏，找到H，就像找到宝藏一样令人兴奋！3.2 垂心的特殊情况还有一点，垂心在不同类型的三角形中表现得也不一样。
比如，在直角三角形中，垂心恰好就在那个直角的顶点，真是让人心服口服；而在锐角三角形和钝角三角形中，垂心就各自藏在不同的地方。
这种感觉就像每个三角形都有自己的性格，垂心就像那个特立独行的朋友，永远和大家不一样！4. 总结所以啊，平面向量三角形的垂心基本定理可不是光鲜亮丽的理论，而是一个能帮助我们解锁几何世界的金钥匙。
只要我们掌握了垂心的概念和计算方法，就能在几何题中游刃有余，真是太爽了！数学不再是冷冰冰的公式，而是一场充满乐趣的冒险旅程。
平面向量基本定理中关于三角形五“心”的向量性质及推论
AP PO
| |
2 1
，由定理知
x
y
=
| |
AP AO
| |
2 3
；
（2）若 P为 ABC 的内心，由文[2]中性质2的
证明过程知
| |
PO AP
| |
sin
sin B
A sin
C
，故
x
y
| |
AP AO
| |
sin
sin A
B sin
sin C B sin
C
；
（3）若 P为 ABC 的外心，由文[2]中性质1的
（1）若
P
为
ABC
的重心，则
4 3
；
（2）若 P 为 ABC 的内心，
则
2sin A sin B sin C sin A sin B sin C
；
（3）若 P 为 ABC 的外心，
则
2sin 2A sin 2B sin 2C sin 2A sin 2B sin 2C
；
（4）若 P 为非直角 ABC 的垂心，
一个关于方差不等式的再加强
王恒亮 李一淳 广东省珠海市实验中学高中部（519090）
对于数组 x1 ，x2 ，，xn ，记 M max{x1 ，x2 ，，xn} ，
m
min{x1
，x2
，，xn} ，R
M
m ， 2
1 n
n
(xj
j 1
x)2
，
其中
x
1 n
n
xj
j 1
，则关于方差有如下的一个加强型不
A P
B OC 图1
A F PE BDC 图2Fra bibliotekA P
平面向量中的三角形四心问题
平面向量中的三角形四心问题(总5页)本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March平面向量中的三角形四心问题向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。
本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。
在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。
一、重心（barycenter) 三角形重心是三角形三边中线的交点。
重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
在重心确定上，有著名的帕普斯定理。
结论1：是三角形的重心所在平面内一点，则为若G GC GB GA ABC G ⇔=++∆0的重心为故上在中线同理可得上在中线这表明，，则中点为证明：设ABC G CF BE G AD G GD GA D BC ∆=-∴+=-⇔=+++=,,22结论2：的重心是证明：的重心是所在平面内一点，则为若ABC G ABC G ABC ∆⇔=++⇔=-+-+-⇔++=∆⇔++=∆)()()()(31)(31P二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。
结论3：的垂心是所在平面内一点，则为若ABC H ABC ∆⇔⋅=⋅=⋅∆H 为三角形垂心故同理，有证明：H ABHC CB HA ACHB AC HB HC HA HB HC HB HB HA ⊥⊥⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅,00)(结论4：可知命题成立由结论同理可证得，得，证明：由的垂心是所在平面内一点，则为若3)()(H 22222222222222ABC H ABC ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⇔-+=-++=+∆⇔+=+=+∆三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。
用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。
结论5：命题成立证明：由外心定义可知的外心是所在平面内一点，则是若ABC O OC OB OA ABC O ∆⇔==∆结论6：的外心是（所在平面内一点，则是若ABC O AC OA OC CB OC OB BA OB OA ABC O ∆⇔⋅+=⋅+=⋅+∆)()()的外心为故故证明：ABC O OCOB OA OAOC OC OB OB OA OAOC OCOB OB OA OB OA OB OA BA OB OA ∆==⇒-=-=--=⋅+-=⋅+∴-=-+=⋅+2)()())(()(四、内心(incenter)三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。
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向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O⇔=++0OC OB OA ⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33321321y y y y x x x x ⇔O 是ABC ∆的重心.证法2：如图OC OB OA ++02=+=OD OA∴OD AO 2=∴D O A 、、三点共线，且O 分AD为2：1∴O 是ABC ∆的重心（2）⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=⋅=-⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC OB OB OAAC OB ⊥⇔同理BC OA ⊥，AB OC ⊥⇔O 为ABC ∆的垂心（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心.证明：b ACc AB 、分别为AC AB 、方向上的单位向量， ∴bAC c AB +平分BAC ∠, (λ=∴AO bACc AB +)，令c b a bc ++=λB CDBCD∴c b a bc AO ++=（bACc AB +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a∴0=++OC c OB b OA a（4）==⇔O 为ABC ∆的外心。
典型例题分析[例题]已知点G 是ABC 内任意一点,点 M 是ABC 所在平面内一点.试根据下列条件判断G 点可能通过ABC 的_______心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”).[提出问题](1)若存在常数λ,满足()(0)AB AC MG MA ABACλλ=++≠,则点G 可能通过ABC的__________.(2)若点D 是ABC 的底边BC 上的中点,满足GD GB GD GC =,则点G 可能通过ABC 的__________.(3)若存在常数λ,满足()(0)sin sin AB AC MG MA AB BAC Cλλ=++≠,则点G 可能通过ABC 的__________.(4)若存在常数λ,满足()(0)cos cos AB AC MG MA AB BAC Cλλ=++≠,则点G 可能通过ABC 的__________.[思路分析]以上四个问题的解决要求不同,除了熟悉三角形的“四心”的性质,同时更要熟悉平面向量的性质,对于平面向量与三角函数的结合也要相当熟悉. [解答过程](1)记12,AB AC e e ABAC==,则12()AG e e λ=+.由平面向量的平行四边形或三角形法则知,点G 是角平分线上的点,故应填内心.(2)简单的变形后发现点G 是BC 边中垂线上的点,故应填外心. (3)sin sin ,AB B AC C =∴记sin sin AB B AC C h ==,则''()()AG AB AC hλλλ=+=.由平面向量的平行四边形或三角形法则知,点G 是BC 边的中线上的点,故应填重心.(4)分析后发现,本题学生难以找到解决问题的突破口,主要在于平面向量的数量积的充分利用.由()(0)cos cos AB AC MG MA AB BAC Cλλ=++≠,得()(0)cos cos AB ACAG AB BAC C λλ=+≠,(关键点) ()(0)cos cos AB AC AG BC BC AB BAC Cλλ=+≠于是()(0)cos cos )()0AB BC AC BC AG BC AB BAC CBC B BC B BC BC λλλπλ=+≠=+-+=（cos(-cos ）=.从而AG BC ⊥,点G 是高线上的点,故应填垂心.[点评]以上四个问题处理的方法各不相同,注意到平面向量及三角形的“四心”的性质在解答问题时的作用.特别注意第四问两边同乘以某个表达式的技巧.总结：（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.（2）⇔⋅=⋅=⋅OAOC OCOB OB OAO 为ABC ∆的垂心. （3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心.（4）==⇔O 为ABC ∆的外心。
或者若P 点为ABC 内任意一点，若P 点满足:1．(),0()0AB ACAP AB AC P ABC BA BC BP t t BA BC λλ⎧=+>⎪⎪⎪⇒⎨⎪=+>⎪⎪⎩为的内心，; 2.D E 、两点分别是ABC 的边BC CA 、上的中点,且DP PB DP PCP ABC EP PC EP PA⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩为的外心; 3. 1(),31()3AP AB AC P ABC BP BA BC ⎧=+⎪⎪⇒⎨⎪=+⎪⎩为的重心，;4. 0AP BC P ABC BP AC ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩为的垂心.结合运用：例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 分析：如图所示ABC ∆，E D 、分别为边AC BC 、的中点.AD AC AB 2=+∴AD OA OP λ2+=AP OA OP += AD AP λ2=∴AP ∴//AD∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的重心，即选C .例2：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ B ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心分析：ACAB分别为AC AB 、方向上的单位向量，∴AC AB +BAC ∠,∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的内心，即选B .例3：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心B CD分析：如图所示AD 垂直BC ，BE 垂直AC ， D 、E 是垂足.+BC ⋅++=-=0∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的垂心，即选D .练习：1．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为（ ）A ．2B ．23C ．3D ．6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( ) A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 3．点O 在ABC ∆内部且满足022=++OC OB OA ，则ABC ∆面积与凹四边形ABOC 面积之比是（ ）A ．0B ．23 C ．45 D ．344．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若OC OB OA OH ++=，则H 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心5．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=， 则实数m =C7．已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形8．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形练习答案：C 、D 、C 、D 、D 、1、D 、C。