极坐标和直角坐标的互化

[0,2π )内的角θ 0,再表示为θ 0+2kπ ,k∈Z.
【归纳总结】 1.直角坐标与极坐标的关系
三角函数是点的直角坐标与极坐标的联系纽带,根据三
角函数定义,角θ 的顶点在原点O(极点),始边为横轴的 正半轴,M(x,y)为角θ 终边上的一点,|OM|= x 2 y2 ,
则sinθ = y ,cosθ = x ,所以y=ρ sinθ ,x=ρ cosθ .
【解析】在直角坐标系中,点(2016,-2016)到原点(极 点)的距离为2016 2 ,极角θ= 7 +2kπ,k∈Z, 4
因为0≤θ<2π,所以θ= 7 .
7 . 所以点(2016,-2016)的极坐标为 (2 016 2， ) 7 答案: (2 016 2， ) 4 4 4
【知识探究】 探究点 极坐标和直角坐标的互化
1.点与极坐标是一一对应的吗?
提示:在直角坐标系和极坐标系中,点M与直角坐标(x,y) 是一一对应的,点M与极坐标(ρ ,θ )不是一一对应的,
即点M的极坐标不唯一.
2.将点的直角坐标化为极坐标的关键是什么?
提示:将点的直角坐标化为极坐标的关键是运用公式
2 x 2 y 2， 分别计算极径和极角,求极角时先计算 y tan (x 0) x


2.特殊角的三角函数值 θ
6
1 2
4
3
2
sinθ
cosθ tanθ
2 2 2 2
3 2
1 2
1
0 不存在
3 2 3 3
1
3
3.由点的直角坐标确定极角 当点不在y轴上时,由tanθ = y 求出[0,2π )上的θ ;
x
当点在y轴正半轴上时,θ =
当点在y轴负半轴上时,θ =
; 2 3 . 2
A.(1,0)
C.(0,1)
B.(-1,0)
D.(0,-1)
x cos, x 1, 【解析】选B.由公式 得 所以点(1,π ) y sin, y 0，
对应的点的直角坐标为(-1,0).
2.在直角坐标系中,点(2016,-2016)的极坐标为 ________(ρ >0,0≤θ <2π ).
所以(1, 3 )即为所求.
5 ,求点P关于极点 2.若已知极坐标平面内的点P (2， ) 3
对称的点的极坐标及直角坐标.
【解析】点P关于极点的对称点P′到极点的距离仍为2, 即ρ=2. 又P与P′的极角间相差π+2kπ,k∈Z, 故θ=- 5 +π+2kπ,k∈Z,
2 故P′的极坐标可以为 (2， ), 3 3
【方法技巧】极坐标与直角坐标互化的策略 (1)点的直角坐标化为极坐标的注意事项.
化点的直角坐标为极坐标时,一般取ρ ≥0,θ ∈[0,
y 2π ),即θ 取最小正角,由tanθ = (x≠0)求θ 时,必须 x
根据角θ 的终边经过点(x,y)所在的象限来确定θ 的值.
(2)掌握特殊角的三角函数值,还需要掌握一些常用的 三角变换公式,如半角公式 cos 1 cos，
类型一
点的极坐标与直角坐标的转化
【典例】在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的非 负半轴为极轴,ρ ≥0,θ ∈R完成下列各题:
7 化为直角坐标. (1)将极坐标M (6， ) 6
(2)将直角坐标N(-2016,2016)化为极坐标.
【解题探究】将点的极坐标化为直角坐标的公式是什 么?将点的直角坐标化为极坐标的公式是什么?
x cos, 提示:由公式 将点的极坐标化为直角坐标,由 y sin 2 x 2 y 2 , 公式 将点的直角坐标化为极坐标. y tan (x 0) x
7 代入公式 【解析】(1)将点M的极坐标 (6， )
所以点的直角坐标为(-3
【解析】因为A点的极坐标为 （6, ）， 3
所以 x A 6 cos 3，y A 6 sin 3 3，
3 3
所以A(3, 3 3 ), 同理可得B(-4, 4 3 ). 设线段AB的中点为M(m,n),由线段的中点坐标公式可得
4 3 1 m ， 2 2 n 4 3 3 3 3 ， 2 2
由x=2cos ( 2 ) =-1,y=2sin ( 2 ) =- 3 ,
3 3
故点P′的直角坐标为(-1,- 3 ).
类型二
极坐标与直角坐标转化的应用
π 4π (6, )和(8, )，求线段 3 3
【典例】已知A,B两点的极坐标为 AB中点的直角坐标.
【解题探究】怎样求线段中点的直角坐标? 提示:先求出端点的直角坐标,再利用中点坐标公式求 中点的直角坐标.
第2课时
极坐标和直角坐标的互化
【自主预习】
极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示,把直角坐标系的原点作为
极点,x轴的正半轴作为极轴,且长度单位
相同,设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x,y), (ρ ,θ ).
ρ cosθ ρ sinθ
x2+y2
y x
【即时小测】 1.极坐标系中,点(1,π )的直角坐标为 ( )
1－cos sin 等. 2 2 2 2
【变式训练】1.(2016·绵阳高二检测)将点M的极坐标
化成直角坐标是 (2, ) 3
(
)
A.(-1,-1) C.(1, 3 )
B.(1,1) D.( 3 ,1)
x 1, x cos , 【解析】选C.由公式 得 y sin y 3,
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7 x 6cos 3 3, x cos, 6 得 y sin, y 6sin 7 3, 6
3
6
,-3).
(2)由点的直角坐标N(-2016,2016)与公式
2 x 2 y 2 , y 2 2 得 x y 2 016 2 ， tan 1， x tan yx(x 0), 且θ的终边经过点N(-2016,2016),所以θ= 3 , 4 3 所以点N的极坐标为 (2 016 2， 2k),k∈Z. 4