极坐标和直角坐标的互化
极坐标方程与直角坐标方程的互化
一、极坐标方程与直角坐标方程的互化互化条件：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，长度单位相同.互化公式：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ θ的象限由点(x,y)所在的象限确定.例1.⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为θρcos 4=，θρsin 4-=．(I)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(II)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．练习：曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化成直角坐标方程为(A) x 2+(y+2)2=4 (B) x 2+(y-2)2=4(C) (x-2)2+y 2=4 (D) (x+2)2+y 2=4二、已知曲线的极坐标方程,判断曲线类型常见的直线和圆的极坐标方程及极坐标系中的旋转不变性:1、直线的极坐标方程(a>0)(1)过极点,并且与极轴成α角的直线的极坐标方程:θ=α;(2)垂直于极轴和极点间的距离为a 的直线的极坐标方程:ρcos θ=a;(3)平行于极轴和极轴间的距离为a 的直线的极坐标方程:ρsin θ=a;(4)不过极点,和极轴成α角,到极点距离为a 的直线的极坐标方程:ρsin(α-θ)=a.2、圆的极坐标方程(a>0)(1)圆心在极点,半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=a;(2)圆心在(a,0),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=2acos θ;(3)圆心在(a,π),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=θcos 2a -;(4)圆心在(a,2π),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=2asin θ; (5)圆心在(a,23π),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=θsin 2a -; (6)圆心在(a, θ0),半径为a 的圆的极坐标方程: ρ=2acos(θ-θ0).3、极坐标系中的旋转不变性:曲线f(ρ,θ+α)=0是将曲线f(ρ,θ)=0绕极点旋转|α|角(0>α时,按顺时针方向旋转,0<α时,按逆时针方向旋转)而得到.例2．极坐标方程4ρsin 22θ=5所表示的曲线是（ ） (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线练习：极坐标方程ρ=cos(4π-θ)所表示的曲线是（ ） (A) 双曲线 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)圆三、判断曲线位置关系例3．直线θ=α和直线ρsin(θ-α)=1的位置关系（ ）(A) 垂直 (B) 平行 (C) 相交但不垂直 (D) 重合四、根据条件求直线和圆的极坐标方程例4．在极坐标系中,如果一个圆的方程是ρ=4cos θ+6sin θ，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是（ ）(A) ρsin θ=3 (B) ρsin θ = –3 (C) ρcos θ =2 (D) ρcos θ = –2练习：在极坐标方程中,与圆ρ=4sin θ相切的一条直线的方程是(A) ρsin θ=2 (B)ρcos θ=2 (C)ρcos θ= 4 (D) ρcos θ=- 4(答案:B)五、求曲线中点的极坐标例5．在极坐标系中，定点A(1,2π),点B 在直线0sin cos =+θρθρ上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标是_________.练习：极坐标方程5ρ2cos2θ+ρ2-24=0所表示的曲线焦点的极坐标为_________.六、求距离例6．在极坐标系中，直线 的方程为ρsin θ=3，则点(2,6π)到直线 的距离为__________.练习：极坐标方程分别是ρ=cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距是 (A) 2 (B) 2 (C) 1 (D)22七、判定曲线的对称性例7．在极坐标系中,曲线ρ= 4sin(θ-3π)关于 (A) 直线θ=3π轴对称 (B)直线θ=65π轴对称 (C) 点(2, 3π)中心对称 (D)极点中心对称八、求三角形面积例8．在极坐标系中,O 是极点，设点A(4,3π)，B(5,65π-)，则△OAB 的面积是 .欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
极坐标与直角坐标的互化推导公式
极坐标与直角坐标的互化推导公式在数学中，极坐标和直角坐标是两种不同的坐标系，它们可以互相转换并描述同一点的位置。
下面将通过推导公式，介绍极坐标与直角坐标之间的转换关系。
极坐标与直角坐标的基本概念首先，我们先来了解一下极坐标和直角坐标的基本概念。
•极坐标：极坐标使用极径和极角来表示平面上的点的位置。
其中，极径表示点到原点的距离，极角表示点与正半轴之间的角度。
•直角坐标：直角坐标使用横坐标和纵坐标来表示平面上的点的位置。
其中，横坐标表示点在 x 轴上的投影，纵坐标表示点在 y 轴上的投影。
极坐标转直角坐标接下来，我们将推导出将极坐标转换为直角坐标的公式。
设点 P 在极坐标系中的坐标为(r, θ)，在直角坐标系中的坐标为 (x, y)。
利用三角函数的关系可得：$$x = r \\cos(\\theta)$$$$y = r \\sin(\\theta)$$这两个公式将极坐标系中的点的坐标转换为直角坐标系中的坐标。
直角坐标转极坐标同样地，我们也可以推导出将直角坐标转换为极坐标的公式。
设点 P 在直角坐标系中的坐标为 (x, y)，在极坐标系中的坐标为(r, θ)。
利用三角函数的反函数可得：$$r = \\sqrt{x^2 + y^2}$$$$\\theta = \\arctan\\left(\\frac{y}{x}\\right)$$这两个公式将直角坐标系中的点的坐标转换为极坐标系中的坐标。
推导过程下面，我们将推导出上述的转换公式。
极坐标转直角坐标首先，考虑直角三角形 OPX，如下图所示：|| O|-----------|-----r | x||P根据三角函数的定义，我们可以得到：$$\\cos(\\theta) = \\frac{x}{r}$$$$\\sin(\\theta) = \\frac{y}{r}$$将上面两个等式进行整理，可以得到：$$x = r \\cos(\\theta)$$$$y = r \\sin(\\theta)$$这就是将极坐标转换为直角坐标的公式。
直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化关系是什么
直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化关系是什么直线是几何学中最基本的图形之一，它可以通过不同的数学表示方式来描述。
其中，直角坐标系和极坐标系是两种常用的坐标系统。
直线的极坐标方程和直角坐标方程之间存在互化关系，通过相互转换可以方便地描述直线的性质和特征。
本文将介绍直线的极坐标方程和直角坐标方程，并探讨它们之间的转换关系。
直角坐标系直角坐标系是最常见的坐标系统，由两个垂直的坐标轴组成，分别为 x 轴和 y 轴。
坐标轴的交点称为原点（0, 0），x 轴正向为右，y 轴正向为上。
直角坐标系中，可以使用坐标对 (x, y) 来表示一个点的位置，其中 x 表示横坐标，y 表示纵坐标。
直线在直角坐标系中可以用一般式方程表示：Ax + By + C = 0其中 A、B、C 为常数，代表直线的性质和位置。
极坐标系极坐标系是另一种常用的坐标系统，它由极轴和极角组成。
极轴是一条从原点出发的直线，极角是该直线与 x 轴的夹角。
极角通常用θ（theta）表示。
极坐标系中，可以使用坐标对(r, θ) 来表示一个点的位置，其中 r 表示点到原点的距离，θ表示点与正极轴的夹角。
同样，在极坐标系中，直线可以通过方程表示：r = p / (cos(θ - α))其中 p 为直线到原点的距离，α 为直线与正极轴的夹角。
极坐标方程与直角坐标方程的互化关系直线的极坐标方程和直角坐标方程之间存在互化关系，可以相互转换。
极坐标方程转直角坐标方程进行极坐标方程转换时，我们需要把极坐标系转换为直角坐标系。
由于极坐标系中的点与直角坐标系中的点之间存在一一对应的关系，我们可以通过以下公式将极坐标方程转换为直角坐标方程：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中，x 和 y 分别为直角坐标系中的横纵坐标，r 和θ 分别为极坐标系中的极径和极角。
将极坐标方程r = p / (cos(θ - α)) 转换为直角坐标方程，可以得到：x * cos(θ) + y * sin(θ) = p / cos(α)此为直线在直角坐标系中的一般式方程。
极坐标方程与直角坐标方程的互化
极坐标方程与直角坐标方程的互化一、引言极坐标和直角坐标是两种常用的描述平面上点位置的方式。
在数学和物理学中，这两种坐标系都有广泛的应用。
本文将介绍极坐标方程与直角坐标方程之间的互化关系。
二、极坐标系和直角坐标系的定义1. 极坐标系极坐标是一种描述平面上点位置的方式，它使用极径和极角来表示点在平面上的位置。
其中，极径表示点到原点的距离，而极角表示该点与正半轴之间的夹角。
通常用符号(r,θ)表示一个点在极坐标系中的位置。
2. 直角坐标系直角坐标系是一种描述平面上点位置的方式，它使用x轴和y轴上的数值来表示点在平面上的位置。
通常用符号(x,y)表示一个点在直角坐标系中的位置。
三、从直角坐标系到极坐标系1. 由(x,y)求(r,θ)要将一个点从直角坐标系转换为极坐标系，需要求出该点到原点的距离r和该点与正半轴之间的夹角θ。
其中，r可以通过勾股定理求得：r = √(x² + y²)而θ可以通过反三角函数求得：θ = arctan(y/x) (当x>0时)θ = arctan(y/x) + π (当x<0,y≥0时)θ = arctan(y/x) - π (当x<0,y<0时)θ = π/2 (当x=0,y>0时)θ = -π/2 (当x=0,y<0时)θ = 未定义 (当x=0,y=0时)2. 由(r,θ)求(x,y)要将一个点从极坐标系转换为直角坐标系，需要求出该点在x轴和y 轴上的坐标值。
其中，x可以通过余弦函数求得：x = r cos(θ)而y可以通过正弦函数求得：y = r sin(θ)四、从极坐标系到直角坐标系1. 由(r,θ)求(x,y)同样地，要将一个点从极坐标系转换为直角坐标系，也需要求出该点在x轴和y轴上的坐标值。
其中，x可以通过余弦函数求得：x = r cos(θ)而y可以通过正弦函数求得：y = r sin(θ)2. 由(x,y)求(r,θ)同样地，要将一个点从直角坐标系转换为极坐标系，也需要求出该点到原点的距离r和该点与正半轴之间的夹角θ。
极坐标方程与直角坐标方程互化
互化条件 ：
（1）以原点作为极点,x轴的 正半轴作为极轴 （2）两种坐标系中取相 同的长度单位
ρ
θ
点M的直角坐标为（x，y） 设点M的极坐标为(ρ，θ)
X =ρcosθ, y =ρsinθ
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
1.进行直角坐标方程与极坐标方程互化
a=-8或2
sin 3，则点（ ， ）到直线l的距离是＿＿＿ 2 2
6. 2010广东）在极坐标系（ ，）（0 2）中， （ . 标为
直线（cos sin） 1与（sin - cos）交点的极坐
＿＿＿＿
7. 2008广东）已知曲线 1，C2的极坐标方程分别为： （ . C
（， ） 1 2
（ 极坐标为 2 3， ） ＿＿＿＿ 6
cos 3， 4cos（0 ）则两曲线交点的
2
8. 2009.辽宁）在直角坐标系 中，x正半轴为 （ xoy 极轴建立极坐标系。曲 C的极坐标方程为 线
3 （1 ）写出C的直角坐标方程，并求n 4cos 1 2 2 （2）y x - 2x -1 0 （2） 2 - 2cos -1 0 （3） 3 （3）y 3x（x 0）
2
1 2 2 （6） （6）x 4y - 2x -1 0 3 2 - cos
cos（ - ） 1，M , N分别为C与x轴，y轴的交点。
（2）设MN的中点为p，求直线op的极坐标方程
2 3 （ ）x 3y 2 M(2,0) N（ 1 ，） 3 2
（2）
6
1 4）y 2 -4 x -1 （ （ ） 2 2 2 2 （5） cos2 4 （5）x - y 4
极坐标方程与直角坐标方程的互化公式
极坐标方程与直角坐标方程的互化公式1. 引言在数学中，坐标系是描述空间中点位置的一种方式。
直角坐标系是最常见的坐标系，也被称为笛卡尔坐标系。
而极坐标系则是另一种常用的坐标系，它通过径向和极角来描述点的位置。
本文将介绍极坐标方程与直角坐标方程之间的互化公式。
2. 极坐标方程与直角坐标方程2.1 极坐标方程在极坐标系中，点的位置由半径和极角来确定。
半径表示点到原点的距离，极角表示点与正半轴的夹角。
一个点的极坐标可以表示为(r, θ)，其中r是非负实数，表示点到原点的距离，θ是弧度制的角度，表示点与正半轴的夹角。
在极坐标系中，可以用以下极坐标方程来表示曲线:r = f(θ)其中f(θ)是一个关于θ的函数，描述了曲线的形状。
2.2 直角坐标方程直角坐标系使用x和y轴来描述点的位置，点的坐标表示为(x, y)。
对于一个点的直角坐标方程，可以通过以下公式进行转换:x = r * cos(θ) y = r * sin(θ)其中，r是点到原点的距离，θ是点与正半轴的夹角。
3. 极坐标方程到直角坐标方程的转换公式极坐标方程可以通过转换成直角坐标方程来描述同一曲线的形状。
根据上述的直角坐标方程，可以得到以下转换公式:x = r * cos(θ) y = r * sin(θ)其中，r是极坐标方程中的半径，θ是极坐标方程中的极角。
4. 直角坐标方程到极坐标方程的转换公式直角坐标方程也可以通过转换成极坐标方程来描述同一曲线的形状。
通过对转换公式进行逆运算，可以得到以下转换公式:r = sqrt(x^2 + y^2) θ = arctan(y / x)其中，x和y是直角坐标方程中的坐标，r是极坐标方程中的半径，θ是极坐标方程中的极角。
5. 举例说明下面通过一个具体的例子来说明极坐标方程和直角坐标方程之间的转换关系。
考虑一个圆形曲线的方程r = 1，我们将使用这个方程进行转换。
通过直角坐标方程转换到极坐标方程:对于x = r * cos(θ)，代入r = 1，得到x = cos(θ) 对于y = r * sin(θ)，代入r = 1，得到y = sin(θ)因此，r = 1的直角坐标方程可以转换为极坐标方程x = cos(θ)，y = sin(θ)。
曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
问题2：在极坐标系中，以极点O为圆心, 1为半径的圆 的方程是什么？
1
问题3：这两个方程可以互化吗？ 可以
【例1】指出下列方程所表示的曲线的形状.
(1)ρcos(θ- )=2; (2)ρ2cos2θ=3;
3
(3)ρ2-3ρcosθ+6ρsinθ-5=0; (4)ρ= 2 .
1 sin
C. 2(sin cos ) D. 2(sin cos )
3 ________. 答案 : 3
2
课堂小结：
1、将直角坐标方程化成极坐标方程，只要将 x = ρcos θ，y = ρsin θ代入再化简即可
2、将极坐标方程化为直角坐标方程,可将方 程化成 ρcos θ，ρsin θ 和ρ2的形式,再 分别替换成 x，y，x2 +y2，有时要两边先乘 以ρ ；
§2.4曲线的极坐标方程与直 角坐标方程的互化(x, y)，极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
通常情况下，将点的直角坐标, 化为极
坐标时，取 0, 0,
问题1：在直角坐标系中，以原点O为圆心, 1为半径的 圆的方程是什么？
(5) sin 3cos
练习：把极坐标方程化为直角坐标方程
(1) ρsin（θ π） 2 42
(2) ρ2cosθ ρ 0
(3)
ρ
4 2－cosθ
(4)4ρsin2 θ 5； 2
(5) ρ 4 4 2sinθ； ρ
例2、将下列曲线的方程直角坐标 化为极坐标方程
(1) x y 2 0 (2) x2 y2 2ax 0
1.极坐标方程 sin2 2 cos 0表示的曲线是_抛__物_线_ 2.极坐标方程 4sin2 3所表示的曲线是（ B ） A.两条射线 B.两条相交直线 C.圆 D.抛物线
1.2.4极坐标方程与直角坐标方程的互化
设M( , )为直线上的任意一点， 将x cos , y sin代入直线方程
2x y 7 0得
2 cos sin 7 0这就是所求的极坐标方程
2、极坐标方程sin 1 ( R)表示的曲线是A
3 A、两条相交的直线 B、两条射线
答案 C
点击2 极坐标方程与直角坐标方程的互化 【例2】 (2010·广东高考)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲
线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标 为________．
解析 曲线 ρ(cos θ＋sin θ)＝1 与 ρ(sin θ－cos θ)＝
代入
所给的直角坐标方程中，得
(1)2cos 6sin 1 0
(2)2 cos2 2 sin2 25
化简得 2 cos 2 25
1、求过A(2,3)且斜率为2 的直线的极坐标方程。
解 ： 由 题 意 可 知 ， 在 直角 坐 标 系 内 直 线 方 程 为
王新敞 wxckt@ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@
y2
y0
2.若两条曲线的极坐标方程分别为 1 与
2 cos ,它们相交于 A, B 两点,求线段
3
AB的长．
1 的直角坐标方程分别为 x＋y＝1 和 y－x＝1，两条直线 的交点的直角坐标为(0，1)，化为极坐标为1，π2 .
答案
1，π2
例4.把下列的直角坐标方程化为极坐标方程
(1)2x+6y-1=0
ห้องสมุดไป่ตู้(2)x2 -y2=25
极坐标系与直角坐标的互化 课件
解 结合坐标系及直角坐标的特点知，
(1)2
3，π2.
(2)
2，32π.
(3)32π，0.
类型三 极坐标与直角坐标互化的应用
例3 已知A，B两点的极坐标为6，π3 坐标.
和8，43π
，求线段AB中点的直角
引申探究 1.若本例条件不变，求线段AB中点的极坐标. 解 由例 3 知，AB 中点的直角坐标为－12，－ 23， ∴ρ2＝x2＋y2＝1，∴ρ＝1. 又 tan θ＝yx＝ 3，∴θ＝43π， ∴极坐标为1，43π.
2.若本例条件不变，求AB的直线方程. 解 因为 A 点的极坐标为6，π3， 所以 xA＝6×cos π3＝3，yA＝6×sin π3＝3 3，
所以 倾斜角为π3，故斜率 k＝ 3， 故直线 AB 的方程为 y－3 3＝ 3(x－3)，即 3x－y＝0.
引申探究
1.若规定θ∈R，上述点的极坐标还惟一吗？
解 (1)4，23π＋2kπ(k∈Z).
(2)2
2，116π＋2kπ(k∈Z).
(3)3
22π，π4＋2kπ(k∈Z).
极坐标不惟一.
2. 若 点 的 直 角 坐 标 为 (1)(0,2 3 ) ， (2)(0 ， － 2 ) ， (3) 32π，0化 为 极 坐 标 (ρ≥0,0≤θ<2π).
y
tan θ = __x__(x≠0).
类型一 点的极坐标化直角坐标
例1 把下列点的极坐标化为直角坐标.
(1)A2，76π；
解
由公式xy＝ ＝ρρscions
θ， θ，
得
x＝2cos 76π＝－ 3，y＝2sin 76π＝－1，
∴点 A 的直角坐标为(－ 3，－1).
点的极坐标与直角坐标的互化
点的极坐标与直角坐标的互化
点的极坐标与直角坐标的互化
点的极坐标与直角坐标的互化，是将极坐标和直角坐标进行转换的一种运算方式。
两者的转换有以下两种情形：
1. 极坐标到直角坐标的转换
给定某点的极坐标(r,θ)，其直角坐标依据以下公式计算：
x=r·cosθ
y=r·sinθ
2. 直角坐标到极坐标的转换
给定某点的直角坐标(x,y)，其直角坐标依据以下公式计算：
r=√(x^2＋y^2)
θ=tan^-1(y/x)
上述就是极坐标与直角坐标的互化的简单介绍，因为极坐标和直角坐标之间的转换是日常用到的，如果一个点的坐标出现任何一种情况，可以根据上述的公式将其转换为另一种类型的坐标。
- 1 -。
极坐标和直角坐标的互化
极坐标和直角坐标的互化1．极坐标系的概念(1)定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的正方向． (3)图示：2．极坐标(1)极坐标的定义：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O 的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M 的极坐标是M (ρ，θ)，则点M 的极坐标也可写成M (ρ，θ＋2k π)(k ∈Z)．若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系．3．极坐标与直角坐标的互化公式如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)．(1)极坐标化直角坐标⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θＷ. (2)直角坐标化极坐标⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).1．极坐标系中，与点⎝⎛⎭⎪⎫3，π6相同的点是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13π6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，176πD.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－5π6解析：选A.因为极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z)表示同一个点，故选A. 2．关于极坐标系的下列叙述：①极轴是一条射线； ②极点的极坐标是(0，0)； ③点(0，0)表示极点；④点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π4与点N ⎝⎛⎭⎪⎫4，5π4表示同一个点； ⑤动点M (5，θ)(θ∈R)的轨迹是以极点为圆心，半径为5的圆．其中，所有正确的叙述的序号是________．解析：结合极坐标系概念可知①③⑤正确，其中，②极点的极坐标应为(0，θ)，θ为任意实数，②不正确；④点M ，N 关于极点对称，所以不正确．答案：①③⑤3．在极坐标系中，已知点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，5π12，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，－7π12，则|AB |＝________． 解析：由于5π12与－7π12的终边互为反向延长线，所以|AB |＝1＋2＝3.答案：3由极坐标确定点的位置在极坐标系中，画出点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32π，C ⎝⎛⎭⎪⎫3，－π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，194π. [解] 在极坐标系中先作出射线θ＝π4，再在射线θ＝π4上截取|OA |＝1，这样可得到点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4. 同样可作出点B ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2，C ⎝⎛⎭⎪⎫3，－π4. 由于194π＝3π4＋4π，故点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，194π可写成D ⎝⎛⎭⎪⎫4，3π4，如图位置．(1)由极坐标确定点的位置的方法建立极坐标系―→作出极角的终边―→以极点为圆心，以极径为半径分别画弧―→确定点的位置．(2)由极坐标确定点的位置应注意的问题由极坐标确定点的位置，常常首先由θ的值确定射线(方向)，再由ρ的值确定位置．如果θ的值不在[0，2π)范围内，先根据θ＝θ0＋2k π(k ∈Z)确定出θ0∈[0，2π)的值再确定方向．1.在极坐标系中，下列各点中与⎝⎛⎭⎪⎫2，π6不表示同一个点的是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫2，－116π B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，136π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，116π D ．⎝⎛⎭⎪⎫2，－236π 解析：选C.与极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6相同的点可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6＋2k π(k ∈Z)，只有⎝⎛⎭⎪⎫2，116π不合适．2．如图，在极坐标系中， (1)作出以下各点：A (5，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π2，D ⎝⎛⎭⎪⎫2，－3π2.(2)求点E ，F 的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0，θ∈R)．解：(1)如图，在极坐标系中，点A ，B ，C ，D 的位置是确定的．(2)由于点E 的极径为4，在θ∈[0，2π)内，极角θ＝7π6，又点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0，θ∈R)，所以点E 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，2k π＋7π6(k ∈Z)． 同理，点F 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2k π＋2π3(k ∈Z)． 点的极坐标与直角坐标的互化(1)分别将下列点的极坐标化为直角坐标．①⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π4；②⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53π.(2)分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ>0，0≤θ<2π)． ①(－1，1)；②(4，－43)；③⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2；④(－6，－2)． [解] (1)①ρ＝4，θ＝π4，所以x ＝ρcos θ＝4cos π4＝22，y ＝ρsin θ＝4sin π4＝22，所以点(4，π4)的直角坐标为(22，22)．②因为x ＝2cos 5π3＝1，y ＝2sin 5π3＝－ 3.所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3的直角坐标为(1，－3)．(2)①ρ＝(－1)2＋12＝2，tan θ＝－1，θ∈[0，2π)， 由于点(－1，1)在第二象限，所以θ＝3π4，所以点(－1，1)的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4. ②ρ＝42＋(－43)2＝8，tan θ＝－434＝－3，θ∈[0，2π)，由于点(4，－43)在第四象限，所以θ＝5π3，所以点(4，－43)的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫8，5π3.③ρ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＝32π2，tan θ＝3π23π2＝1，θ∈[0，2π)，由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2在第一象限，所以θ＝π4，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32π2，π4. ④ρ＝(－6)2＋(－2)2＝22，tan θ＝－2－6＝33，θ∈[0，2π)，由于点(－6，－2)在第三象限，所以θ＝7π6，所以点(－6，－6)的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，7π6.(1)点的极坐标化为直角坐标的方法将极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x ，y )的公式是x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ. (2)点的直角坐标化为极坐标的方法将直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的公式是ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)，在利用此公式时要注意ρ和θ的取值范围．1.点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4解析：选B.点P (－2，2)在第二象限，与原点的距离为2，且与极轴夹角为3π4.2．若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．(1)已知点A 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，求它的直角坐标； (2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标(ρ＞0，0≤θ＜2π)．解：(1)因为x ＝ρcos θ＝4·cos5π3＝2. y ＝ρsin θ＝4sin5π3＝－2 3. 所以A 点的直角坐标为(2，－23)． (2)因为ρ＝x 2＋y 2＝22＋(－2)2＝22， tan θ＝－22＝－1.且点B 位于第四象限内，所以θ＝7π4，所以点B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4. 又因为x ＝0，y ＜0，所以ρ＝15，θ＝32π.所以点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫15，3π2. 极坐标系中的对称问题和距离问题(1)A ，B 两点的极坐标分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫5，π3，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，－π6，则A ，B 两点的距离为|AB |＝________．(2)设点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴，直线l ，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，－π<θ≤π)．[解] (1)如图所示，|OA |＝5，|OB |＝2，∠AOB ＝π3－(－π6)＝π2.所以|AB |＝|OA |2＋|OB |2＝5＋4＝3.故填3.(2)如图所示，关于极轴的对称点为B ⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3.关于直线l 的对称点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π. 关于极点O 的对称点为D ⎝⎛⎭⎪⎫2，－23π. 四个点A ，B ，C ，D 都在以极点为圆心，2为半径的圆上．(1)极坐标系中点的对称问题点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)或(ρ，2π－θ)；关于极点的对称点是(ρ，π＋θ)；关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点是(ρ，π－θ)．(2)极坐标系中两点间的距离问题求极坐标系中两点间的距离应通过由这两点和极点O 构成的三角形求解，也可以运用两点间距离公式|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos(θ1－θ2)求解，其中A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)，注意当θ1＋θ2＝2k π(k ∈Z)时，|AB |＝|ρ1－ρ2|.当θ1＋θ2＝2k π＋π(k ∈Z)时，|AB |＝|ρ1＋ρ2|.1.点M 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6，它关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，7π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－11π6解析：选B.因为ρ＝－2<0，所以找点(－2，－π6)时，先找到角－π6的终边，再在其反向延长线找到离极点2个单位的点，就是(－2，－π6)，如图，故M ⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6关于直线θ＝π2的对称点为M ′⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，但是选项没有这样的坐标．又因为M ′⎝⎛⎭⎪⎫2，π6的坐标还可以写成M ′⎝⎛⎭⎪⎫－2，7π6，故选B.2．已知M ⎝⎛⎭⎪⎫5，5π6，N ⎝⎛⎭⎪⎫8，－17π6，则|MN |＝________． 解析：因为N ⎝⎛⎭⎪⎫8，－17π6也可写为N ⎝⎛⎭⎪⎫8，7π6，所以|MN |＝82＋52－2×8×5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－5π6＝64＋25－80cos π3＝7.答案：73．极坐标系中，分别求下列条件下点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3关于极轴的对称点M ′的极坐标： (1)ρ≥0，θ∈[0，2π)；(2)ρ≥0，θ∈R.解：因为M ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3与M ′(ρ，θ)关于极轴对称， 所以ρ＝3，θ＝－π3＋2k π(k ∈Z)．(1)当θ∈[0，2π)时，θ＝5π3， 所以M ′(3，5π3)． (2)当θ∈R 时，M ′(3，2k π－π3)(k ∈Z)．1．对极坐标系的理解(1)在平面上建立一个极坐标系时，四个要素(极点；极轴；长度单位；角度单位及它的正方向)缺一不可．(2)一般地，不作特别说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．其中极点的极径ρ＝0，极角θ可取任意值．(3)极坐标系下的点与它的极坐标不是一一对应关系，一个点可以有多个极坐标．可统一表示为(ρ，θ＋2k π)，其中ρ≥0，k ∈Z.2．极坐标与直角坐标的区别与联系(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件是①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴非负半轴重合；③两种坐标系中取相同的长度单位．(2)由ρ2＝x 2＋y 2确定ρ时，ρ不取负值；由tan θ＝yx(x ≠0)确定θ时，根据点(x ，y )所在的象限取最小正角．当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝yx按上述方法确定．当x ＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：①当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值； ②当x ＝0，y >0时，θ＝π2；③当x ＝0，y <0时，θ＝32π.1．极坐标系中，点A (2 016，2 017π)的直角坐标为( )A ．(2 016，π)B ．(2 016，0)C ．(0，2 016)D ．(－2 016，0)解析：选D.因为ρ＝2 016，θ＝2 017π，所以x ＝ρcos θ＝2 016cos π＝－2 016，y ＝ρsin θ＝2 016sin 2 017π＝2 016sin π ＝2 016×0＝0，所以A 点的直角坐标为A (－2 016，0)．2．极坐标系中，极轴的反向延长线上一点M 与极点的距离为2，则点M 的极坐标的下列表示：①(2，0)；②(2，π)；③(2，－π)；④(2，2k π)(k ∈Z)．其中，正确表示的序号为____________． 解析：因为|OM |＝2，即ρ＝2， 又M 点在极轴反向延长线上，所以θ＝π＋2k π(k ∈Z)，当k ＝0时，θ＝π，当k ＝－1时，θ＝－π. 所以M 点的极坐标为(2，π)或(2，－π)． 答案：②③3．(1)把点A 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，7π6化成直角坐标； (2)把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标．(ρ＞0，0≤θ＜2π)． 解：(1)x ＝2cos7π6＝－3， y ＝2sin7π6＝－1， 故点A 的直角坐标为(－3，－1)． (2)ρ＝12＋(－3)2＝2，tan θ＝－31＝－ 3. 又因为点P 在第四象限且0≤θ＜2π，得θ＝5π3.因此点P 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3. 4．在极坐标系中，如果A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C的极坐标．解：点A ，B 的直角坐标分别为(2，2)，(－2，－2)，设点C 的直角坐标为(x ，y )，由△ABC 为等边三角形，故|BC |＝|AC |＝|AB |，得(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝(x －2)2＋(y －2)2＝(2＋2)2＋(2＋2)2.即⎩⎨⎧(x －2)2＋(y －2)2＝16，(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16，解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝－6或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝ 6.点C 的直角坐标为(6，－6)或(－6，6)， 故ρ＝6＋6＝23，tan θ＝－1， 故θ＝7π4或3π4.故点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，7π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4.[A 基础达标]1．点M 的直角坐标是(3，－1)，在ρ≥0，0≤θ<2π的条件下，它的极坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6 D ．⎝⎛⎭⎪⎫2，11π6解析：选A.ρ＝ x 2＋y 2＝3＋1＝2，tan θ＝y x ＝－13＝－33.又因为点(3，－1)在第四象限，且0≤θ<2π. 所以θ＝11π6，所以M 点的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6.2．在极坐标系中，已知A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，B ⎝⎛⎭⎪⎫6，－π6，则OA ，OB 的夹角为( ) A.π6 B ．0 C.π3 D ．5π6解析：选C.OA 与OB 的夹角∠AOB ＝π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π3，故选C.3．在极坐标系中，已知点P 1⎝⎛⎭⎪⎫6，π4，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫8，3π4，则|P 1P 2|等于( ) A ．9 B ．10 C ．14 D ．2 解析：选B.因为∠P 1OP 2＝3π4－π4＝π2，所以△P 1OP 2为直角三角形，由勾股定理可得 |P 1P 2|＝OP 21＋OP 22＝62＋82＝10，故选B.4．在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3和圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心的距离为( )A. 3 B ．2 C.1＋π29D ．4＋π29解析：选A.法一：因为(x －1)2＋y 2＝1的圆心坐标为(1，0)，化为极坐标是(1，0)， 所以点(2，π3)到圆心的距离d ＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos(θ1－θ2)＝22＋12－2×2×1×cos π3＝4＋1－2＝ 3.法二：将点(2，π3)化为直角坐标是(1，3)又(x －1)2＋y 2＝1的圆心的坐标是(1，0)，所以点(2，π3)到圆心的距离d ＝(1－1)2＋(3－0)2＝ 3.5．在极坐标系中，点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，π12关于直线θ＝π4(ρ∈R)对称的点的一个极坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π12 D ．⎝⎛⎭⎪⎫3，7π12解析：选C.如图所示，设点M 关于直线θ＝π4(ρ∈R)对称的点为N ，则|ON |＝|OM |，∠xON ＝π4＋π4－π12＝5π12，所以点N 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，5π12.6．已知A ，B 两点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫8，4π3，则线段AB 中点的直角坐标为____________．解析：因为A ，B 两点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，⎝⎛⎭⎪⎫8，4π3， 所以A ，B 两点的直角坐标是(3，33)，(－4，－43)， 所以线段AB 中点的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－327．极坐标系中，点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，则 (1)点A 关于极轴的对称点的极坐标是________；(2)点A 关于极点的对称点的极坐标是________；(3)点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是________．(本题中规定ρ＞0，θ∈[0，2π))解析：(1)点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6关于极轴的对称点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，11π6；(2)点A 关于极点的对称点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，7π6； (3)点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，5π6.答案：(1)⎝⎛⎭⎪⎫3，11π6 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π68．平面直角坐标系中，若点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y 后的点为Q ，则极坐标系中，极坐标与Q 的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于________．解析：因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y 后的点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π6，则极坐标系中，极坐标与Q 的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于6⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin7π6＝3. 答案：39．在极坐标系中，O 为极点，已知两点M ，N 的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，求△MON 的面积．解：sin ∠MON ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π4＝sin 2π3cos π4－cos 2π3·sin π4＝32×22＋12×22＝6＋24. 故S △MON ＝12×4×2×6＋24＝3＋1.10．已知定点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π3. (1)将极点移至O ′⎝⎛⎭⎪⎫23，π6处极轴方向不变，求P 点的新坐标； (2)极点不变，将极轴顺时针转动π6角，求P 点的新坐标． 解：(1)设P 点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知|OO ′|＝23，|OP |＝4，∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6，所以∠POO ′＝π6. 在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos π6＝16＋12－24＝4，所以ρ＝2. 又因为sin ∠OPO ′23＝sin ∠POO ′2，所以sin ∠OPO ′＝sinπ62·23＝32，所以∠OPO ′＝π3. 所以∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3，所以∠PP ′x ＝2π3.所以∠PO ′x ′＝2π3. 所以P 点的新坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3. (2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)，则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2.所以P 点的新坐标为(4，π2)．[B 能力提升]11．设点P 对应的复数为－3＋3i ，以原点为极点，实轴的正半轴为极轴，则点P 的极坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫23，π4 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3π4 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π＋3π4(k ∈Z)解析：选C.因为点P 对应的复数为－3＋3i ，所以点P 的直角坐标为(－3，3)，点P 到原点的距离为32，且点P 在第二象限的角平分线上，故极角等于3π4，故点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，3π4，选C. 12．已知两点的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫3，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，则|AB |＝________，直线AB 的倾斜角为________．解析：在极坐标系Ox 中作出点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2和B ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，如图所示，则|OA |＝|OB |＝3，∠AOx ＝π2，∠BOx ＝π6， 所以∠AOB ＝π3.所以△AOB 为正三角形，从而|AB |＝3，直线AB 的倾斜角为π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3＝5π6.答案：35π613．如果对点的极坐标定义如下：当已知M (ρ，θ)(ρ>0，θ∈R)时，点M 关于极点O 的对称点M ′(－ρ，θ)． 例如，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3关于极点O 的对称点M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π3，就是说⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3＋π与⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π3表示的就是同一点．已知A 点的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫6，5π3，分别在下列给定条件下，写出A 点的极坐标： (1)ρ>0，－π<θ≤π. (2)ρ<0，0≤θ<2π. (3)ρ<0，－2π<θ≤0.解：如图所示，|OA |＝|OA ′|＝6，∠xOA ′＝2π3，∠xOA ＝5π3， 即点A 与A ′关于极点O 对称． 由极坐标的定义知(1)当ρ>0，－π<θ≤π时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－π3.(2)当ρ<0，0≤θ<2π时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6，2π3. (3)当ρ<0，－2π<θ≤0时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6，－4π3.14．(选做题)某大学校园的部分平面示意图为如图所示的矩形．其中|OC |＝600 m ．建立适当的极坐标系，写出点C 与点F 的极坐标并求点C 到点F 的直线距离．解：以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系，如图所示．由|OC |＝600，∠AOC ＝π6，所以点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫600，π6，由图形得|OF |＝|OD |＝|AC |＝600×sin π6＝300(m)． 所以点F 的极坐标为(300，π)． 在△COF 中，∠COF ＝π－π6＝56π.根据余弦定理，得 |CF |＝|OC |2＋|OF |2－2|OC |·|OF |·cos 56π＝6002＋3002－2×600×300×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝3005＋23(m)．所以点C 到点F 的直线距离为3005＋2 3 m.。
点的极坐标与直角坐标的互化
(2)∵ρ＝ 62＋－ 22＝2 2， tan θ＝xy＝－ 33，θ∈R. 由于点( 6，－ 2)在第四象限，所以 θ＝161π＋2kπ，(k ∈Z)． ∴点的直角坐标( 6，－ 2)化为极坐标为 (2 2，161π＋2kπ)，(k∈Z).
在极坐标系中， A(2，π4)，B(2，54π)，且△ABC 为等腰直角三角形，如何求直角顶点 C 的极坐标与该三角形 的面积？
2．互化公式
设 M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，
极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如
下表：
点 M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)
互化公式
x＝ρcos θ y＝ ρsin θ
ρ2＝ x2＋y2 tan θ＝xy(x≠0)
在一般情况下，由 tan θ 确定角时，可根据点 M 所在的
(2013·洛阳质检)把下列各点的极坐标化为直角坐标，并 判断所表示的点在第几象限．
(1)(2，43π)；(2)(2，23π)；(3)(2，－3π)；(4)(2，－2)．
【解】 (1)由题意知 x＝2cos43π＝2×(－12)＝－1，y＝ 2sin43π＝2×(－ 23)＝－ 3.
∴点(2，43π)的直角坐标为(－1，－ 3)，是第三象限内 的点．
2．将直角坐标化为极坐标时如何确定 ρ 和 θ 的值？
【提示】 由 ρ2＝x2＋y2 求 ρ 时，ρ 不取负值；由 tan θ ＝yx(x≠0)确定 θ 时，根据点(x，y)所在的象限取得最小正角．当 x≠0 时，θ 角才能由 tan θ＝yx按上述方法确定．当 x＝0 时， tan θ 没有意义，这时又分三种情况：(1)当 x＝0，y＝0 时，θ 可取任何值；(2)当 x＝0，y＞0 时，可取 θ＝2π；(3)当 x＝0， y＜0 时，可取 θ＝32π.
极坐标和直角坐标系的互化公式
极坐标和直角坐标系的互化公式1. 引言在数学中，坐标系是一种描述点的位置的系统。
常见的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
直角坐标系使用平面上的两个垂直轴表示点的位置，而极坐标系使用极径和极角来表示点的位置。
本文将介绍极坐标和直角坐标系之间的互化公式。
2. 极坐标系和直角坐标系简介2.1 极坐标系极坐标系是一种使用极径和极角来表示点的位置的坐标系。
极径（r）表示点到极点（如原点）的距离，而极角（θ）表示点与特定轴（如x轴）之间的夹角。
通常，极径为非负数，极角可以使用度数或弧度进行表示。
2.2 直角坐标系直角坐标系是一种使用平面上的两个垂直轴来表示点的位置的坐标系。
通常，水平轴表示为x轴，垂直轴表示为y轴。
一个点在直角坐标系下的位置由该点与x轴和y轴之间的水平和垂直距离确定。
3. 极坐标系转换为直角坐标系极坐标系可以通过以下公式转换为直角坐标系：•x = r * cos(θ)•y = r * sin(θ)其中，x和y分别是点在直角坐标系下的坐标，r是极径，θ是极角。
4. 直角坐标系转换为极坐标系直角坐标系可以通过以下公式转换为极坐标系：•r = sqrt(x^2 + y^2)•θ = atan2(y, x)其中，r是点到原点的距离，θ是点与x轴之间的夹角，atan2(y, x)是一个函数，表示点(x, y)与x轴正向的夹角。
需要注意的是，atan2函数可以得到完整的360度范围内的夹角。
5. 示例5.1 极坐标转换为直角坐标假设我们有一个点P，其极坐标为(r = 2, θ = π/4)。
我们可以使用公式：•x = 2 * cos(π/4) = √2•y = 2 * sin(π/4) = √2因此，点P在直角坐标系下的坐标为(x = √2, y = √2)。
5.2 直角坐标转换为极坐标假设我们有一个点Q，其直角坐标为(x = -3, y = 3)。
我们可以使用公式：•r = sqrt((-3)^2 + 3^2) = sqrt(18) = 3√2•θ = atan2(3, -3)根据实际计算结果，我们可以得到θ的值为π/4 + π = 5π/4。
二重积分极坐标与直角坐标的互化
二重积分极坐标与直角坐标的互化
二重积分是对二维平面上的一个区域上的函数进行积分。
常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
直角坐标系中，一个点的坐标由 x 和 y 坐标表示。
极坐标系中，一个点的坐标由 r 和θ 表示，其中 r 表示点到原点的距离，θ
表示点与正 x 轴之间的夹角。
在进行二重积分时，可以根据问题的特点选择使用直角坐标系或极坐标系。
而在直角坐标系和极坐标系之间进行互化，可以通过以下的转换关系实现：
由直角坐标系转换到极坐标系：
r = √(x^2 + y^2)
θ = arctan(y/x)
由极坐标系转换到直角坐标系：
x = r * cos(θ)
y = r * sin(θ)
在进行积分时，需要注意变量的变换，以及面积元素的变换。
在直角坐标系中，面积元素为 dA = dx * dy；在极坐标系中，
面积元素为dA = r * dr * dθ。
通过这些转换关系，可以将原本在直角坐标系下的积分问题转换到极坐标系下进行计算，或者将原本在极坐标系下的积分问题转换到直角坐标系下进行计算，以便于求解。
直角坐标和极坐标的互化公式
直角坐标和极坐标的互化公式1. 引言在数学和物理学中，直角坐标系和极坐标系是两种常用的坐标系。
它们可以相互转化，通过互化公式可以方便地在不同坐标系下描述出同一个点。
2. 直角坐标系直角坐标系是平面上最常见的坐标系。
它由两个相互垂直的坐标轴组成，通常表示为x轴和y轴。
每个点都可以由一个有序数对(x, y)来表示，其中x代表点在x轴上的位置，y代表点在y轴上的位置。
3. 极坐标系极坐标系是另一种描述平面上点位置的坐标系。
在极坐标系中，每个点由一个有序数对(r, θ)表示，其中r代表点到原点的距离，θ代表从x轴逆时针旋转到点所需的角度。
4. 直角坐标和极坐标的转化公式4.1 极坐标转直角坐标给定一个极坐标点P(r, θ)，要将其转化为直角坐标系下的点(x, y)，可以使用以下公式：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中，cos和sin分别是余弦和正弦函数。
4.2 直角坐标转极坐标给定一个直角坐标系下的点(x, y)，要将其转化为极坐标系下的点P(r, θ)，可以使用以下公式：r = sqrt(x² + y²)θ = arctan(y / x)其中，sqrt代表平方根，arctan代表反正切函数。
5. 举例说明为了更好地理解直角坐标和极坐标的互化公式，以下举例说明。
例1：将极坐标点P(3, π/4)转换为直角坐标系下的点。
根据公式可得：x = 3 * cos(π/4) ≈ 2.12y = 3 * sin(π/4) ≈ 2.12因此，极坐标点P(3, π/4)在直角坐标系下的表示为(x, y) ≈ (2.12, 2.12)。
例2：将直角坐标系下的点(-1, -1)转换为极坐标系下的点。
根据公式可得：r = sqrt((-1)² + (-1)²) ≈ 1.41θ = arctan((-1) / (-1)) ≈ π + π/4 ≈ 5π/4因此，直角坐标点(-1, -1)在极坐标系下的表示为P(1.41, 5π/4)。
1.2.2极坐标和直角坐标的互化
O X
？思考： 平面内的一个点既可以用直角坐标表 示，也可以用极坐标表示，那么，这两种 坐标之间有什么关系呢？
y
M
0
x
极坐标和直角坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作 为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。 设M是平面内任意一点，它的直角坐标（x，y）， 极坐标是（，）。从图 — 14可以得出他们之 1 间的关系：
1.2.2
极坐标和直角坐标的互化
复习回顾 极坐标系定义：
①在平面内取一个定点O，叫做极点； ②自极点O引一条射线ox，叫做极轴；
③再选定一个长度单位、 一个角度单位（通常取弧 度）及其正方向（通常取 逆时针方向）。 这样就建立了一个极坐标系。
O
X
复习回顾 极坐标系内点的极坐标定义： 设M是平面内一点
①极点O与点M的距离︱OM︱叫做点M的极径，记为
②以极轴ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的 极角，记为. M 有序数对（，）叫做点M的极坐 标,记为M(，)
注：不作特殊说明时，我们认为 ≥0， 可取任意实数. 特别强调：表示线段OM的长度， 即点M到极点O的距离；表示从 OX到OM的角度，即以OX（极轴） 为始边，OM 为终边的角。
2 2 5 3 解：x 5 cos ，y 5 sin 3 3 2 5 5 3 所以，点M的直角坐标（ ， ）。 2 2
坐标互化公式：
x cos ，y sin y 2 2 2 x y ， ( x 0) tan x
2 解： （ 3） 1 2 3 1 2， （ ）
例4：将点M的直角坐标（ 3， 1 ）化成极坐标。
1 1 3 tan 。 3 3 3 7 因为点M在第三象限，所以 。 6 7 因此，点M的极坐标为（2， ）。 6
高三数学极坐标和直角坐标的互化
牛 刀 小 试
半径为a的圆的圆心坐标为C (a , 0)(a 0). 求它的极坐标方程。 2 2 2 解：直角坐标系下( x a ) y a
x cos , y sin ( cos a ) ( sin ) a 化简得
又 极坐标方程是曲线上 任意点( , )满足的关系式
根据前面直角坐标与 极坐标的转化公式
1( 1) x y 1 此圆的极坐标方程为 1
2 2
x cos , y sin
2
思考
刚才的求圆的极坐标方程的解题 思想是什么？它是如何实施的？
故所求射线的极坐标方程为 o
x
4
( 0)
思考：
5 1、求过极点，倾斜角为 的射线的极坐标方程。 4
易得
5 ( 0) 4
2、求过极点，倾斜角为 的直线的极坐标方程。 4 5 ( 0) 和 ( 0) 4 4
和前面的直角坐标系里直线方程的表示形 式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不 方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？
思考：
平面内一点M的直角坐标是 (1, 3) ， 其极坐标如何表示? 2 点Q的极坐标为 (5, ) ，其直角坐 3 标如何表示？
互化公式的三个前提条件：
1、极点与直角坐标系的原点重合;
2、极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
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极坐标与直角坐标的互化公式：
设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
sin 1 0
2 2
（３）直角坐标方程x y ９的极坐标
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[0,2π )内的角θ 0,再表示为θ 0+2kπ ,k∈Z.
【归纳总结】 1.直角坐标与极坐标的关系
三角函数是点的直角坐标与极坐标的联系纽带,根据三
角函数定义,角θ 的顶点在原点O(极点),始边为横轴的 正半轴,M(x,y)为角θ 终边上的一点,|OM|= x 2 y2 ,
则sinθ = y ,cosθ = x ,所以y=ρ sinθ ,x=ρ cosθ .
类型一
点的极坐标与直角坐标的转化
【典例】在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的非 负半轴为极轴,ρ ≥0,θ ∈R完成下列各题:
7 化为直角坐标. (1)将极坐标M (6， ) 6
(2)将直角坐标N(-2016,2016)化为极坐标.
【解题探究】将点的极坐标化为直角坐标的公式是什 么?将点的直角坐标化为极坐标的公式是什么?
所以(1, 3 )即为所求.
5 ,求点P关于极点 2.若已知极坐标平面内的点P (2， ) 3
对称的点的极坐标及直角坐标.
【解析】点P关于极点的对称点P′到极点的距离仍为2, 即ρ=2. 又P与P′的极角间相差π+2kπ,k∈Z, 故θ=- 5 +π+2kπ,k∈Z,
2 故P′的极坐标可以为 (2， ), 3 3
x cos, 提示:由公式 将点的极坐标化为直角坐标,由 y sin 2 x 2 y 2 , 公式 将点的直角坐标化为极坐标. y tan (x 0) x
7 代入公式 【解析】(1)将点M的极坐标 (6， )
所以点的直角坐标为(-3
【方法技巧】极坐标与直角坐标互化的策略 (1)点的直角坐标化为极坐标的注意事项.
化点的直角坐标为极坐标时,一般取ρ ≥0,θ ∈[0,
y 2π ),即θ 取最小正角,由tanθ = (x≠0)求θ 时,必须 x
根据角θ 的终边经过点(x,y)所在的象限来确定θ 的值.
(2)掌握特殊角的三角函数值,还需要掌握一些常用的 三角变换公式,如半角公式 cos 1 cos，
A.(1,0)
C.(0,1)
B.(-1,0)
D.(0,-1)
x cos, x 1, 【解析】选B.由公式 得 所以点(1,π ) y sin, y 0，
对应的点的直角坐标为(-1,0).
2.在直角坐标系中,点(2016,-2016)的极坐标为 ________(ρ >0,0≤θ <2π ).
第2课时
极坐标和直角坐标的互化
【自主预习】
极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示,把直角坐标系的原点作为
极点,x轴的正半轴作为极轴,且长度单位
相同,设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x,y), (ρ ,θ ).
ρ cosθ ρ sinθ
x2+y2
y x
【即时小测】 1.极坐标系中,点(1,π )的直角坐标为 ( )
由x=2cos ( 2 ) =-1,y=2sin ( 2 ) =- 3 ,
3 3
故点P′的直角坐标为(-1,- 3 ).
类型二
极坐标与直角坐标转化的应用
π 4π (6, )和(8, )，求线段 3 3
【典例】已知A,B两点的极坐标为 AB中点的直角坐标.
【解题探究】怎样求线段中点的直角坐标? 提示:先求出端点的直角坐标,再利用中点坐标公式求 中点的直角坐标.
1－cos sin 等. 2 2 2 2
【变式训练】1.(2016·绵阳高二检测)将点M的极坐标
化成直角坐标是 (2, ) 3
(
)
A.(-1,-1) C.(1, 3 )
B.(1,1) D.( 3 ,1)
x 1, x cos , 【解析】选C.由公式 得 y sin y 3,
2.特殊角的三角函数值 θ
6
1 2
4
3
2
sinθ
cosθ tanθ
2 2 2 2
3 2
1 2
1
0 不存在
3 2 3 3
1
3
3.由点的直角坐标确定极角 当点不在y轴上时,由tanθ = y 求出[0,2π )上的θ ;
x
当点在y轴正半轴上时,θ =
当点在y轴负半轴上时,θ =
; 2 3 . 2
7 x 6cos 3 3, x cos, 6 得 y sin, y 6sin 7 3, 6
3
6
,-3).
(2)由点的直角坐标N(-2016,2016)与公式
2 x 2 y 2 , y 2 2 得 x y 2 016 2 ， tan 1， x tan yx(x 0), 且θ的终边经过点N(-2016,2016),所以θ= 3 , 4 3 所以点N的极坐标为 (2 016 2， 2k),k∈Z. 4
1.点与极坐标是一一对应的吗?
提示:在直角坐标系和极坐标系中,点M与直角坐标(x,y) 是一一对应的,点M与极坐标(ρ ,θ )不是一一对应的,
即点M的极坐标不唯一.
2.将点的直角坐标化为极坐标的关键是什么?
提示:将点的直角坐标化为极坐标的关键是运用公式
2 x 2 y 2， 分别计算极径和极角,求极角时先计算 y tan (x 0) x
【解析】因为A点的极坐标为 （6, ）， 3
所以 x A 6 cos 3，y A 6 sin 3 3，
3 3
所以A(3, 3 3 ), 同理可得B(-4, 4 3 ). 设线段AB的中点为M(m,n),由线段的中点坐标公式可得
4 3 1 m ， 2 2 n 4 3 3 3 3 ， 2 2
【解析】在直角坐标系中,点(2016,-2016)到原点(极 点)的距离为2016 2 ,极角θ= 7 +2kπ,k∈Z, 4
因为0≤θ<2π,所以θ= 7 .
7 . 所以点(2016,-2016)的极坐标为 (2 016 2， ) 7 答案: (2 016 2， ) 4 4 4
【知识探究】 探究点 极坐标和直角坐标的互化