(完整版)苏教版七年级数学-有理数整理、修订篇

苏教版 七年级数学《有理数》1.1正数和负数负数：以前学过的0以外的数前面加上负号“－”的数叫做负数。

正数：以前学过的０以外的数叫做正数。

０既不是正数也不是负数，０是正数与负数的分界。

在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义 注：-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数； 1.2.1有理数：凡能写成)0,(≠p q p pq为整数且形式的数，都是有理数。

(1)正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.(2)有理数的分类:① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 注意：1) 0不是正数，也不是负数；2) π不是有理数；无限不循环小数不是有理数。

无限循环小数是有理数； 3) 小数也归为分数。

4) 自然数⇔ 0和正整数；5) a ＞0 ⇔ a 是正数；a ＜0 ⇔ a 是负数； 6) a ≥0 ⇔ a 是正数或0 ⇔ a 是非负数； 7) a ≤ 0 ⇔ a 是负数或0 ⇔ a 是非正数.1.2.2数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。

注意事项：⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素，缺一不可。

⑵同一根数轴，单位长度不能改变。

一般地，设a 是一个正数，则数轴上表示a 的点在原点的右边，与原点的距离是a 个单位长度；表示数－a 的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度。

1.2.3．相反数：只有符号不同的两个数叫做相反数。

注意：(1)一般地，a 和-a 互为相反数，特别地，0的相反数还是0；(2) a-b+c 的相反数是-a+b-c ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是-a-b ； (3)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.一般地，设a 是一个正数，数轴上与原点的距离是a 的点有两个，它们分别在原点左右，表示-a 和a ，我们说这两点关于原点对称 1.2.4.绝对值：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值。

（1）一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

注：绝对值的意义是数轴上表示某数的点到原点的距离。

(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a ；（3）绝对值的问题经常分类讨论；01>⇔=a aa ；a 1aa <⇔-=；(4) |a|是重要的非负数，即|a|≥0；注意：|a|·|b|=|a ·b|,baba =. (5）有理数比大小：①正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数和0。

②两个负数，绝对值大的反而小。

③正数的绝对值越大，这个数越大； ④大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0；⑤在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，所以左边的数永远小于右边的数。

即数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大补充：倒数：乘积为1的两个数互为倒数； 注（1）0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a1；（2）倒数是本身的数是±1；（3）若ab=1⇔ a、b互为倒数；若ab=-1⇔ a、b互为负倒数.1.3.1 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的饿异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0。

（3）一个数与0相加，仍得这个数.有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。

a+b=b+a（2）加法的结合律：三个数相加，先把前面两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

（a+b）+c=a+（b+c）.补充：去括号法则：（1）括号前是“＋”，把括号和括号前的“＋”去掉，括号里各项都不改变符号。

（2）括号前是“－”，把括号和括号前的“－”去掉，括号里各项都改变符号。

（3）括号外的因数是正数，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。

1.3.2有理数减法法则：（有理数的减法可以转化为加法来进行）减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.1.4.1有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。

（4）乘积是1的两个数互为倒数。

有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。

ab＝ba（2）乘法的结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。

（ab）c＝a（bc）（3）乘法的分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。

a （b ＋c ）＝ab ＋ac1.4.2有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

a ÷b ＝a ·b1(b ≠0) 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的数，都得0。

因为有理数的除法可以化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算。

乘除混合运算往往 先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

注：零不能做除数，无意义即0a.1.5.1有理数乘方的法则：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

在a n 中，a 叫做底数，叫做指数，当a n 看作a 的n 次方的结果时，也可以读作a 的n 次幂。

（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

（3）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或(a-b)n =(b-a)n . 有理数混合运算的运算顺序： ⑴先乘方，再乘除，最后加减； ⑵同极运算，从左到右进行；⑶如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行 （4）a 2是重要的非负数，即a 2≥0；若a 2+|b|=0 ⇔ a=0,b=0；（5）据规律 ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅===100101101.01.0222底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位.1.5.2科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.注：用科学记数法表示一个n 位整数，其中10的指数是n －1。

1.5.3近似数和有效数字接近实际数目，但与实际数目还有差别的数叫做近似数。

精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就说精确到哪一位。

从一个数的左边第一个非0 数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。

对于用科学记数法表示的数a ×10n ，规定它的有效数字就是a 中的有效数字。

补充：（1）混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减； 注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则.（2）特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.知识点1.负数代表相反意义的量例：（1）下列有正数和负数表示相反意义的量，其中正确的是（ ） A. 一天凌晨的气温是—50C ，中午比凌晨上升100C ，所以中午的气温是+100C B. 如果生产成本增加12%，记作+12%，那么—12%表示生产成本降低12% C. 如果+5.2米表示比海平面高5.2米，那么—6米表示比海平面低—6米 D. 如果收入增加10元记作+10元，那么—8表示支出减少8元（2）某粮店出售三种品牌的面粉，袋上分别标有质量为（50±0.1）kg 、（50±0.2）kg 、（50±0.3）kg 的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相 差 . 知识点2.有理数的定义例：把下列各数填在相应的大括号内-7，3.5，12，3.3333,0，3π，+29,1.362109…,-1.15，-0.1010010001… 非负数集合{ }； 整数集合{ }； 负分数集合{ }； 有理数集合{ }。

知识点3.数轴与相反数1.（1）数轴上到-2点的距离是3的点是（2）在数轴上表示数a 的点到原点的距离为3，则._________3=-a 2.-3的相反数是 ，3-π的相反数是 3.a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，a+b -cd= 4.比较大小45-89-5.（1） 有理数a 对应点在数轴上的位置如下图所示，则a ，-a ，1的大小关系是。

（2）有理数a 、b 在数轴上的对应的位置如图所示： 则（ ）A ．a + b ＜0B ．a + b ＞0;C ．a －b = 0D ．a －b ＞0 知识点4.绝对值1.若∣a ∣=-a ，则a ，若∣a ∣=a ，则a若a 为有理数，且1,a b c a b c ++==1，则a 0，若a ∠0，则1,a b c a b c++== 2. ∣3-π∣=若用A 、B 、C 分别表示有理数a ，b ，c ，O 为原点，如下图所示：化简= 。

3.绝对值为2的数是 ，绝对值小于6的所有整数是4.若∣x ∣=3，∣-y ∣=3，则x+y=5.若∣a ∣=3,∣b ∣=5, 且ab>0，则∣a+b ∣=若|X|=2，则X=______,若|X —3|=0，则X=______，|X —3|=6，则X=______ 若∣a ∣=∣b ∣，则a 与b ，即 。

6. ∣a+2∣+∣b-3∣=0，a+b= 知识点5.加减运算1.加减混合运算：先去括号，再把同号的相加，最后异号两数相加例：38+（－22）+（+62）+（－78） （－8）+（－10）+2+（－1）0.5+（－41）－（－2.75）+21 （+4.3）－（－4）+（－2.3）－（+4）-11ab||||||2a c b c b a c ---+++知识点6：有理数乘除运算法则乘法运算法则a：只要有一个因数为0，则积为0。

b：几个不为零的数相乘，积的符号由负数的个数决定，当负数的个数为奇数，则积为负，当负数的个数为偶数，则积为正。

例1、计算：（1）()()3275-⨯-⨯-⨯（2）5411511654⎛⎫⎛⎫⨯-⨯⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭除法是乘法的逆运算1、有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数与零相乘都得零。