第3讲 牛顿插值公式
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第8讲 牛顿插值公式
§1.4 差商与差分及其性质 1 差商的概念:
称
10110)()(],[x x x f x f x x f --=
为函数f (x )的一阶差商；
称
21021210]
,[],[],,[x x x x f x x f x x x f --=
为函数f (x )的二阶差商；
一般地，称0
10110]
,...,[],...,[],...,,[x x x x f x x f x x x f n n n n --=
-为函数f (x )的n 阶
差商；
特别地，定义
)(][00x f x f =为函数f (x )关于x o 的零阶差商。
由此可知，高阶差商总是由比它低一阶的的两个差商组合而成。 2
（a ）n 阶差商可以表示成n +1个函数值01
,,,n y y y 的线性组合,即
∑
-----==+-k
i n i i i i i i i i k x x x x x x x x x x x f x x f 011100)())(())(()
(],...,[
该性质说明：k 阶差商
],...,,[10n x x x f 计算是由函数值f (x 0
),f (x 1
),…f (x k )线
性组合而。
如:
],,[],,[],,[012201210x x x f x x x f x x x f ==；
011100010110)
()()()(],[x x x f x x x f x x x f x f x x f -+
-=--=
))(()
())(()())(()()()()()()()()
()()()(],[],[],,[1202221011201000
21
221210111000
11100020
10112120
21021210x x x x x f x x x x x f x x x x x f x x x x x f x x x f x x x f x x x f x x x f x x x f x x x x x f x f x x x f x f x x x x f x x f x x x f --+
--+--=
--+
------=-+
-=----
--=--=
对称性): 差商与节点的顺序无关。即
0110[,][,]f x x f x x =，
012102021[,,][,,][,,]f x x x f x x x f x x x ==
这一点可以从性质1看出。 3 利用差商表计算差商
利用差商的递推定义,可以用递推来计算差商。
4 差分的概念定义设函数y=f (x )在等距节点),,1,0(0n i ih x x i =+=上的函数值f (x i )=f i ,
其中，h 为常数称作步长。称△f i =f i+1-f i ▽f i =f i -f i-1
δf i =f (x i +h /2)-f (x i -h /2)=
212
1-
+
-i i f
f
分别为f (x )在i x
处以h 为步长的一阶向前差分，一阶向后差分和一阶中心差分。称符号△、▽、δ分别为向前差分算子，向后差分算子和中心差分算子。
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=∇-∇=∇∆-∆=∆-+-+211-n 211-n n 11
-n 1-n n 1-n 11-n n i i i i i i i i i f
f f f f f f f f δδδ 在节点等距情况下，差商可用差分表示，设步长i i x x h -=+1，有 i i i i i i i y h
x x x f x f x x f ∆=--=+++1
)()(),(111
i i i i i i i i i i i i y h
y y h x x x x f x x f x x x f 221221212121
)(21),(),(),,(∆=∆-∆=--=
+++++++
一般形式(数学归纳法可证)
i k
k k i i i y h k x x x f ∆=++!1),...,,(1
§1.5 牛顿插值公式
1. 牛顿插值公式的构造
Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数 l i (x ) 都需重新算过。本节介绍另外一种方法-牛顿插值法，并用它解决上面所述问题。 由线性插值
)()(0010101x x x x y y y x N ---+
=，令)()(,,01010
10
1100x x a a x N x x y y a y a -+=--== 二次插值能否写成
))(()()(1020102x x x x a x x a a x N --+-+=
由条件222112002)(,)(,)(y x N y x N y x N ===得
120
10
1020220101100,,x x x x y y x x y y a x x y y a y a ----
--=
--== 推广得
)
)...((...)
)(()()(10102010---++--+-+=n n n x x x x a x x x x a x x a a x N ,
其中，n a a a ,,,10 为待定系数。如何求n a a a ,,,10 ?
解: 因为000
()()
[,]f x f x f x x x x -=
-,
所以
000()()[,]()f x f x f x x x x =+-
(0)
又001011
[,][,]
[,,]f x x f x x f x x x x x -=
-,有
001011[,][,][,,]()f x x f x x f x x x x x =+- (1)
又