泛函分析题1.2完备化答案

泛函分析题1_2完备化p13

1.2.1 (空间S) 令S为一切实(或复)数列

x = ( ξ1, ξ2, ..., ξn, ... )

组成的集合，在S中定义距离为

ρ(x, y) = ∑k ≥ 1 (1/2k) · | ξk -ηk |/(1 + | ξk -ηk | )，

其中x = ( ξ1, ξ2, ..., ξk, ... )，y = ( η1, η2, ..., ηk, ... )．求证S为一个完备的距离空间．证明：(1) 首先证明ρ是S上的距离．

ρ的非负性和对称性是显然的；

因为实函数f (t) = t /(1 + t ) = 1 - 1/(1 + t )在[0, +∞)严格单调增，

故对任意a, b∈ ，有

| a |/(1 + | a |) + | b |/(1 + | b |)

≥ | a | /(1 + | a | + | b |) + | b |/(1 + | a | + | b |)

= ( | a | + | b | )/(1 + | a | + | b |)

≥ ( | a + b | )/(1 + | a + b |)，

由此可立即得知ρ在S上满足三角不等式．

所以，ρ是S上的距离，从而(S, ρ)为距离空间．

(2) 设{x n}是S中的一个Cauchy列，记x n = ( ξ1(n), ξ2(n), ..., ξk(n), ... )．

则∀k∈ +，(1/2k) · | ξk(n)-ξk(m)|/(1 + | ξk(n)-ξk(m)| ) ≤ρ(x n, x m) → 0 (m, n→∞)．，

因此| ξk(n)-ξk(m)| → 0 (m, n→∞)．

故{ξk(n)}n ≥ 1是 (或 )中的Cauchy列，因此也是收敛列．

设ξk(n)→ξk ( n→∞)，并设x = ( ξ1, ξ2, ..., ξk, ... )，则x∈S．

下面证明ρ(x n, x)→ 0 ( n→∞)．

∀ε > 0，存在K∈ +，使得∑k > K (1/2k) < ε /2．

又存在N∈ +，使得∀n∈ +，当n > N时，∀k≤K都有| ξk(n)-ξk | < ε /2．

此时，ρ(x n, x) = ∑k ≥ 1 (1/2k) · | ξk(n)-ξk |/(1 + | ξk(n)-ξk | )

= ∑k ≤K (1/2k)·| ξk(n)-ξk |/(1 + | ξk(n)-ξk | ) + ∑k > K (1/2k)·| ξk(n)-ξk |/(1 + | ξk(n)-ξk | ) ≤∑k ≤K (1/2k)·| ξk(n)-ξk | + ∑k > K (1/2k)

< (ε /2) ·∑k ≤K (1/2k) + ε /2

< ε /2 + ε /2 = ε．

所以，x n→x ( n→∞)．

因此S中的Cauchy列都是收敛列，故S为完备距离空间．

1.2.2 在一个度量空间(X, ρ)上，求证：基本列是收敛列，当且仅当其中存在一串收敛子列．

证明：必要性是显然的，只证明充分性．

设{x n}是X中的一个Cauchy列，且{x n}有一个收敛子列{x n(k)}，记x n(k) →x．

∀ε > 0，存在N∈ +，使得∀m, n≥N都有ρ(x n, x m) < ε /2．

令L = max{K, N}，则ρ(x n(L), x) < ε /2，且n(L) ≥L ≥N．

当n≥N时，ρ(x n, x n(L)) < ε /2．

故ρ(x n, x) ≤ρ(x n, x n(L)) + ρ(x n(L), x) < ε /2 + ε /2 = ε．

所以，x n→x ( n→∞)．

因此{x n}是X中的收敛列．

1.2.3 设F是只有有限项不为0的实数列全体，在F上引进距离

ρ(x, y) = sup k ≥ 1 | ξk -ηk |，

其中x = {ξk }∈F，y = {ηk }∈F．求证(F,ρ)不完备，并指出它的完备化空间．证明：(1) 首先，容易验证(F,ρ)是度量空间．

∀n∈ +，令x n = {1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, 0, 0, ...}，则x n∈F．

当m > n时，

ρ(x n, x m) = sup k ≥ 1 | ξk(n)-ξk(m)|

= max{1/(n + 1), 1/(n + 2), ..., 1/m}

= 1/(n + 1) → 0 ( n→∞)．

故{x n}为F中的Cauchy列．

下面证明{x n}不是F中的收敛列．

若不然，设x n →x∈F．记x = ( ξ1, ξ2, ..., ξN, 0, 0, ... )．

当n > N时，总有ρ(x n, x) ≥ | 1/(N + 1) – 0 | = 1/(N + 1)，

故ρ(x n, x)不收敛于0，这与前面的假设x n →x相矛盾．

因此，{x n}不是F中的收敛列．

这就说明了(F,ρ)不是完备的．

(2) 从前述的{x n}的构造可以看出，

我们可以任意选定一个收敛于0的实数列{u k}，

令y n = {u1, u2, ..., u n, 0, 0, ...}，则{y n}必为F中的Cauchy列．

我们设c0是收敛于0的实数列全体，在c0上引进距离

ρ(x, y) = sup k ≥ 1 | ξk -ηk |，

其中x = ( ξ1, ξ2, ..., ξk, ... )∈c0，y = ( η1, η2, ..., ηk, ... )∈c0．

首先我们证明(c0,ρ)是度量空间．事实上，我们只需要证明三角不等式．

设x = (ξk), y = (ηk ), y = (ζk )∈c0，则

ρ(x, y) = sup k ≥ 1 | ξk -ηk | ≤ sup k ≥ 1 (| ξk -ζk | + | ζk -ηk | )

≤ sup k ≥ 1 | ξk -ζk | + sup k ≥ 1 | ζk -ηk | = ρ(x, z) + ρ(z, y)．

所以，(c0,ρ)是度量空间．

显然，(F,ρ)是(c0,ρ)的一个子空间．

现在我们证明(c0,ρ)是完备度量空间．

设{x n}是(c0,ρ)中的一个Cauchy列，记x n = ( ξ1(n), ξ2(n), ..., ξk(n), ... )．

∀k∈ +，因为ρ(x n, x m) = sup k ≥ 1 | ξk(n)-ξk(m)| ≥ | ξk(n)-ξk(m)|，

故{ξk(n)}n是 中的Cauchy列，故为收敛列．

设ξk(n) →ξk ( n→∞)．并设x = ( ξ1, ξ2, ..., ξk, ... )．

下面证明x∈c0．