数列求和(错位相减法和列项相消法)

栏目导航
第4页
人教版理科数学
第七部分 数列
变式 1、已知数列{ an }满足： an ＝ (2n 1) 2n ，n∈N*
求数列{ an }的前 n 项和 Tn.
栏目导航
第5页
人教版理科数学
第七部分 数列
解 an (2n 1) 2n
Tn a1 a2 a3 ...... an 1 2 3 22 5 23 ...... (2n 1) 2n ①

2n 1
2n ，
Tn＝
a1

a2

a3

......
an
=12＋232＋
5 ＋…＋2n－1，①
23
2n
12Tn＝212＋233＋…＋2n2－n 3＋22nn－＋11.
②
由①-②式，得
12Tn＝12＋
2 ＋ 2 ＋…＋ 2
22 23
2n
－22nn－＋11＝32－2n1－1－22nn－＋11，
所以 Tn＝3－2n2＋n 3.
人教版理科数学
第七部分 数列
[考情展望] 错位相减法求和、裂项相消法求和是历年高考的重点， 命题角度凸显灵活多变，在解题中要善于利用错位相减与裂 项相消的基本思想，变换数列 an 的通项公式，达到求解目的.
栏目导航
第1页
人教版理科数学
第七部分 数列
问题：等比数n列 项的 和前 公式是怎么？推
解：设等比数列的通项
人教版理科数学
第七部分 数列
变式1、若数列an满足 : an

1 n(n 2)
(n N ),
求数列an 的前n项和Tn .
解： ann(n12)12(1nn 12) Tn12(113)(1214)(1315)(1416)...(n11n11)(1nn 12)
第10页
【解】∵an＝2n，∴bn＝log2an＝n.
1 1 1 1 bnbn1 n(n 1) n n 1
(n 1,2,..., n),
Tn

(1
1) 2
(1 2

1) 3

(1 3

1) 4
......
(1 n

1) n 1
1 1 n . n1 n1
Tn

a1

anq n
1 q
,q 1 ,q 1
栏目导航
第2页
人教版理科数学
第七部分 数列
考点一 错位相减法求和
wenku.baidu.com
例如 1、已知数列{ an }满足： an ＝2n2－n 1，n∈N* 求数列{ an }的前 n 项和 Tn.
栏目导航
第3页
人教版理科数学
第七部分 数列
解
an

q q 1

4(1 qn ) (1 q)2

(2n 1)qn1 1 q
当n 1时，an 2n 1
Tn

n(a1 2
an )

n(1 2n 1) 2

n2
Tn

q

q
1

4(1 qn ) (1 q)2

(2n 1)qn1 1 q
,q 1
n2
,q 1
qTn 1 q2 3 q3 5 q4 ...... (2n 1) qn1 ②
由①-②式，得
第七部分 数列
(1 q)Tn q 2 q2 2 q3 ...... 2 qn (2n 1) qn1 2 2(1 qn ) q (2n 1) qn1 1 q
④
1 n＋
n＋1＝_____n_＋__1_－___n____.
栏目导航
第9页
人教版理科数学
第七部分 数列
例 2、已知数列{ an }满足：an＝2n , n∈N* .且数列{bn}满足 bn＝log2an，求 Tn＝b11b2＋b21b3＋…＋bnb1n＋1的表达式(用含 n 的代 数式表示)
栏目导航
1（ 11 1 1 ） 3 2n3 2 2 n1 n2 4 2(n1)(n2)
栏目导航
第12页
人教版理科数学
第七部分 数列
变式2、若数列an满足 : an

n 1 n2 (n 2)2
(n N ),
求数列an 的前n项和Tn .
2Tn 1 22 3 23 5 24 ...... (2n 1) 2n1 ②
由①-②式，得
Tn 2 2 22 2 23 ...... 2 2n (2n 1) 2n1 2 2(1 2n ) 2 (2n 1) 2n1 6 (2n 3) 2n1 1 2
由① -②得
(1 q )T n a1 a n q n

Tn

a1 anq n 1 q
当 n 1时， a n a 1 , T n a 1 a 2 a 3 ... a n
a 1 a 1 a 1 ... a 1 na 1
na 1

栏目导航
第8页
人教版理科数学
第七部分 数列
考点二 裂项相消法求和
常用的裂项公式有：
① n
1 n＋1
＝___1n_－__n_＋_1_1____；
②
1 2n－1 2n＋1
＝___12_2_n_1－__1_－__2_n_1＋__1_；
1
1 (1 1 ) (k N )
③ n(n k) ＝___k___n__n___k_______；
Tn 6 (2n 3) 2n1
栏目导航
第6页
人教版理科数学
第七部分 数列
变式 2、已知数列{ an }满足： an ＝ (2n 1) qn (q 0) ，
n∈N* .求数列{ an }的前 n 项和 Tn.
栏目导航
第7页
人教版理科数学
解：当q 1时，Tn a1 a2 a3 ...... an 1 q 3 q2 5 q3 ...... (2n 1) qn ①
公式为 a n a 1q n 1 ( q 1),
则 T n a 1 a 2 a 3 ... a n
a 1 a 1 q 1 a 3 q 2 ... a n q n 1 ①
qT n a 1q 1 a 3 q 2 a 3 q 3 ... a n q n ②