数列求和(错位相减法和列项相消法)
(完整版)数列求和常见的7种方法
∴
＝ （分组求和）
＝
＝
＝
[例16]已知数列{an}： 的值.
解：∵ （找通项及特征）
＝ （设制分组）
＝ （裂项）
∴ （分组、裂项求和）
＝
＝
提高练习：
1．已知数列 中， 是其前 项和，并且 ，
⑴设数列 ，求证：数列 是等比数列；
⑵设数列 ，求证：数列 是等差数列；
2．设二次方程 x - +1x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．
∴ 原等式成立
答案：
六、分段求和法（合并法求和）
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.
解：设Sn＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°
∴ ＝
＝ ＝
∴当 ，即n＝8时，
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.
[例3]求和： ………………………①
解：由题可知，{ }的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{ }的通项之积
…………..②（反序）
又因为
①+②得（反序相加）
＝89
∴S＝44.5
题1已知函数
（1）证明： ；
（2）求 的值.
错位相减与裂项相消
(1)裂项相消求和把数列的通项拆成两项之差再求和,正负相消剩下首尾若干项. 常见的拆项公式:1n×(n＋1) ＝1n －1n＋11n＋k＋n ＝1k(n＋k －n )2n(2n－1)(2n＋1－1) ＝12n－1－12n＋1－1特别提醒：(1)裂项相消法就是把数列的每一项分裂成一正一负的两项，使得相加后，前后的项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次相消，有的是间隔相消．在正负项抵消后，是否只剩下第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项，未消去的项有前后对称的特点．(2)一般地，若{a n}为等差数列，则求数列{1a n a n＋1}的前n项和可尝试此方法，事实上，1a n a n＋1＝dda n a n＋1＝a n＋1－a nda n a n＋1＝1d·(1a n－1a n＋1)．如求12×4 ＋13×5 ＋14×6 ＋…＋1(n＋1)×(n＋3) ＝？解：∵1(n＋1)×(n＋3) ＝12(1n＋1 －1n＋3 )∴12×4 ＋13×5 ＋14×6 ＋…＋1(n＋1)×(n＋3)＝12[(12 －14 )＋(13 －15 )＋(14 －16 )＋…＋(1n －1n＋2 )＋(1n＋1 －1n＋3 )]＝12(12 ＋13 －1n＋2 －1n＋3 )＝512－2 n＋52(n＋2)×(n＋3)12[例1](2011课标Ⅰ)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n 的前n 项和．解：(1)设数列{a n }的公比为q .由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19. 由条件可知q >0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n . (2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n＝－(1＋2＋…＋n ) ＝－n (n ＋1)2.故1b n ＝－2n (n ＋1)＝－2(1n －1n ＋1)，1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝－2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝－2nn ＋1. 所以数列{1b n }的前n 项和为－2nn ＋1.[练1](2013课标全国Ⅰ,17,0.466).已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0,S 5＝－5.(Ⅰ)求{a n }的通项公式； (Ⅱ)求数列{1 a 2n －1● a 2n ＋1}的前n 项和.解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，∵前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5，∴⎩⎨⎧3a 1＋3d ＝85a 1＋5×42 d ＝－5，4[练2]已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{b n }的前n 项和n T .解:（1）∵数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8．∴a 2a 3＝a 1a 4＝8．解得a 1＝1，a 4＝8或a 1＝8，a 4＝1（舍）， 解得q ＝2，即数列{a n }的通项公式a n ＝2n －1； （2）Sn ＝a 1(1－q n )1－q＝2n －1∴b n ＝a n+1 S n S n+1 ＝S n+1－S n S n S n+1 ＝ 1S n－1S n ＋1 ，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝(1S 1 －1S 2 )＋(1S 2 －1S 3 )＋…＋(1S n －1S n ＋1 )＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1．[思维发散] 利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.通过纽带：a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)，根据题目求解特点，消掉一个a n 或S n .然后再进行构造成等差或者等比数列进行求解.如需消掉S n ，利用已知递推式，把n 换成n －1得到递推式，两式相减即可. 若消掉a n ，只需把a n ＝S n －S n －1带入递推式即可.不论哪种形式，需要注意公式a n ＝S n －S n －1 成立的条件n ≥2[练1]若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23 a n ＋13 ,则{a n }的通项公式是a n ＝______. 答案： (－2)n －15[练2]设n S 为数列{n a }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1,则S n ＝答案：－1n例2.(2015课标Ⅰ, 0.624）S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n ＞0，a n 2＋2a n ＝4S n ＋3. （Ⅰ）求{a n }的通项公式：（Ⅱ）设b n ＝1a n a n ＋1 ,求数列{b n }的前n 项和. 解:（Ⅰ）由a n 2＋2a n ＝4S n ＋3可知当n ＝1时，a 12＋2a 1＝4S 1 ＋3＝4a 1 ＋3，因为a n >0，所以a 1＝3， 当n ≥2时，a n －12＋2a n －1＝4S n －1＋3两式相减得 a n 2－a n －12＋2(a n －a n －1)＝4a n即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝2(a n ＋a n －1)，因为a n >0，所以a n －a n －1＝2， 所以数列{a n }是首项为3，公差为2的等差数列， 通项公式为a n ＝2n ＋1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b n ＝1 a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3) ＝12 (1 2n ＋1 －12n ＋3 ) 所以数列{n b }前n 项和12n b b b +++＝12(13 －1 2n ＋3 )＝16 －1 4n ＋6练1[2020唐山高三二模]已知S n是数列{a n}的前n项和，S n＋1＝3S n＋1，a1＝1.(Ⅰ）求数列{a n}的通项公式：（Ⅱ）若b n＝log3a2n ，c n＝1b n b n＋1 ,求数列{c n}的前n项和T n.6练2[2017唐山一模]已知数列{a n}为单调递增数列，S n为其的前n项和，2 S n＝a n2＋n (Ⅰ）求数列{a n}的通项公式：（Ⅱ）若b n＝a n＋22n＋1•a n•a n＋1, T n为数列{b n}的前n项和，证明: T n<127(2)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．特别提醒：用乘公比错位相减法求等比数列的和时，应注意：(1) 在写出“S n”与“q·S n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－q·S n”的表达式；(2) “S n－q·S n”化简的关键是化为等比数列求和，一定要明确求和的是n项还是n－1项，一般是n－1项．用错位相减法解决数列求和的步骤：第一步：(判断结构)若数列{a n·b n}是由等差数列{a n}与等比数列{b n}(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和．第二步：(乘公比)设{a n·b n}的前n项和为T n，然后两边同乘以q.第三步：(错位相减)乘以公比q后，向后错开一位，使含有q k(k∈N *)的项对齐，然后两边同时作差．第四步：(求和)将作差后的结果求和化简，从而表示出T n89[例1]已知a n ＝(2n －1)•3n ，求数列{a n }的前n 项和S n .解法1：错位相减法解：S n ＝1•31＋3•32＋5•33＋…＋(2n －3)•3n －1＋(2n －1)•3n ，①3S n ＝ 1•32＋3•33＋5•34＋ … ＋(2n －3)•3n ＋(2n －1)•3n ＋1，② ①－②－2S n ＝1•31＋2•32＋2•33＋…＋2•3n －(2n －1)•3n ＋1＝1•3＋2•32 (1－3n －1)1－3 －(2n －1)•3n ＋1＝1•3＋32 (3n －1－1) －(2n －1)•3n ＋1＝－6＋(2－2n)•3n ＋1∴S n ＝3＋(n －1)•3n ＋1 解法2： 利用公式求解a n ＝(2n －1)•3n ＝(6n －3)•3n －1＝(a n ＋b)•q n －1 a ＝6,b ＝－3, q ＝3 A ＝a q －1 ＝63－1 ＝3, B ＝b －A q －1 ＝－3－3 3－1＝－3 ,C ＝－B ＝3 ∴S n ＝(An ＋B) q n ＋C ＝(3n －3) •3n ＋3 ＝(n －1)•3n ＋1＋3 [总结]第一步：把通项统一化成：c n ＝(a n ＋b)•q n －1． 第二步：把前n 项和化成：S n ＝(An ＋B) q n ＋C第三步：套公式即可：A ＝aq －1 ，B ＝b －A q －1，C ＝－B 第三步公式记不住的，可这样求A,B⎩⎨⎧ S 1＝(A ＋B) •3－B ＝3 S 2＝(2A ＋B) •32－B ＝3＋3•32整理为⎩⎨⎧ 3A ＋2B ＝3 18A ＋8B ＝30解得⎩⎨⎧A ＝3B ＝－310解法3：裂项相消解错位相减令a n ＝(2n －1)•3n ＝[k(n ＋1) ＋b ]•3n ＋1－(kn ＋b )•3n右式＝[2kn ＋(3k ＋2b )]•3n 整理后与左式比较 ∴⎩⎨⎧ 2k ＝2 3k ＋2b ＝－1解得⎩⎨⎧k ＝1 b ＝－2 ∴a n ＝(2n －1)•3n ＝(n －1)•3n ＋1－(n －2)•3n∴S n ＝[0•32－(－1)•31] ＋(1•33－0•32) ＋(2•34－1•33) ＋(3•35－2•34)＋…＋[(n －1)•3n ＋1－(n －2)•3n ] ＝(n －1)•3n ＋1＋311[例3]已知a n＝n3n，求数列{a n}的前n项和S n.解：S n＝13＋232＋333＋…＋n－13n－1＋n3n，13S n＝132＋233＋…＋n－13n＋n3n＋1，两式相减得23S n＝13＋132＋133＋…＋13n－n3n＋1＝13(1－13n)1－13－n3n＋1＝12－12×3n－n3n＋1，∴S n＝34－14×3n－1－n2×3n＝34－2n＋34×3n.解法2：利用公式求解a n＝n3n＝(13n＋0)•13n－1＝(a n＋b)•q n－1a＝13, b＝0, q＝13A＝aq－1 ＝1313－1＝－12, B＝b－Aq－1 ＝0－(－12)13－1＝－34,C＝－B＝34∴S n＝(An＋B) q n＋C＝(－12n－34)•(13)n＋34＝34－2n＋34×3n.1213解法3：裂项相消解错位相减令a n ＝n3n ＝k(n ＋1)＋b 3n ＋1－k n ＋b3n化简比较左右 3n 3n ＋1＝－2k n ＋(k －2b)3n ＋1 ∴⎩⎨⎧－2k ＝3 k －2b ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－32 b ＝－34∴a n ＝n3n ＝－32(n ＋1) －343n ＋1－－32n －343n∴S n ＝(－32×2 －3432－－32×1－3431)＋(－32×3 －3433－－32×2－3432) ＋…＋(－32(n ＋1) －343n ＋1－－32n －343n )＝－32(n ＋1) －343n ＋1－－32×1－3431＝34－2n ＋34×3n.[2020唐山高三期末]解：（1）在S n＝2n＋1－2中，令n＝1，得a1＝S1＝21＋1－2＝2，当n≥2时，S n－1＝2n－2，则a n＝S n－S n－1＝2n＋1－2n＝2n．又因为a1＝2符合上式，所以，a n＝2n．…4分（2）由（1）得b n＝n＋1a n＝n＋12n，则T n＝ 22＋34＋…＋n2n－1＋n＋12n①，则12T n＝ 24＋38＋…＋n2n＋n＋12n＋1②，①－②，得12T n＝1＋ 14＋18＋…＋12n－n＋12n＋1＝32－n＋32n＋1，则T n＝3－n＋32n．…12分解法2：利用公式求解解法3：裂项相消解错位相减1415(2020·石家庄模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1 (I)求数列{a n }的通项公式;(II)设b n ＝na n，求数列{b n }的前n 项和T n解：(Ⅰ)由2S n ＝3a n －1 ①2S n －1＝3a n －1－1 ②(n ≥2)①－②得2a n ＝3a n －3a n －1，∴ a na n －1＝3，…………………3分又当n ＝1时，2S 1＝3a 1－1，即a 1＝1，∴{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴ a n ＝3n －1．…………6分(Ⅱ) 由(Ⅰ)得：b n ＝ n3n －1∴T n ＝ 1 30＋ 2 31＋ 3 32＋…＋ n3n －1，…………………③ 1 3T n ＝ 1 31＋ 232＋…＋ n －1 3n －1＋ n 3n ，…………④…………………8分③－④得： 2 3T n ＝ 1 30＋ 1 31＋ 1 32＋…＋ 1 3n －1－ n3n ………………10分＝1－ 1 3n1－ 1 3－ n 3n ＝ 3 2－2n ＋3 2×3n∴T n ＝ 9 4－ 6n ＋9 4×3n ． ……………………………………………12分解法2： 利用公式求解解法3：裂项相消解错位相减[练2]已知{a n}是递增．．的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根.（I）求{a n}的通项公式；（II）求数列2n na⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和.解法2：利用公式求解解法3：裂项相消解错位相减16。
习题课错位相减法、裂项相消法求和
高二数学选择性必修第二册校本作业习题课 错位相减法、裂项相消法求和 班级 姓名 座号 一、错位相减法 一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法． 用错位相减法求和时，应注意：①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．②在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式．例1 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)．跟踪训练1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是公差为1的等差数列，且a 2＝3. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n ·3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .二、裂项相消法常见的裂项求和的形式：①1n (n ＋k )＝1k )11(k n n +-； ②1(2n －1)(2n ＋1)＝12)121121(+--n n ； ③2n (2n ＋1)(2n ＋1＋1)＝12n ＋1－12n ＋1＋1； ④1n (n ＋1)(n ＋2)＝12])2)(1(1)1(1[++-+n n n n ；⑤1n ＋1＋n ＝n ＋1－n ； ⑥ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛+n 11＝ln(n ＋1)－ln n . 注意点：(1)裂项前要先研究分子与分母的两个因式的差的关系；(2)若相邻项无法相消，则采用裂项后分组求和，即正项一组，负项一组；(3)检验所留的正项与负项的个数是否相同．例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 2＝2，S 4＝16，{a n ＋1}是等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若a n >0，设b n ＝log 2(3a n ＋3)，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和．跟踪训练2 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝a 7，a 8－2a 3＝3.(1)求a n ；(2)设b n ＝1S n，求数列{b n }的前n 项和T n .1．数列214，418，6116，…的前n 项和S n 为( ) A ．n 2＋1＋12n ＋1 B ．n 2＋2－12n ＋1 C ．n (n ＋1)＋12－12n ＋1 D ．n (n ＋1)＋12n ＋12．等比数列{a n }中，a 5＝2，a 6＝5，则数列{lg a n }的前10项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．33．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝a 4＋7，a 10＝19，则数列{a n cos n π}的前2 020项和为( )A ．1 009B ．1 010C ．2 019D ．2 0204．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，那么数列{b n }＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 前n 项的和为( ) A ．4⎪⎭⎫ ⎝⎛+-111n B ．4⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1121n C ．1－1n ＋1D.12－1n ＋15．谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的《好玩的数学》一书中，有一篇文章《五分钟挑出埃及分数》，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数(称为埃及分数)．则下列埃及分数11×3，13×5，15×7，…，12 019×2 021的和是( ) A.2 0202 021 B.1 0102 021 C.1 0092 019 D.2 0182 0196．(多选)设等差数列{a n }满足a 2＝5，a 6＋a 8＝30，则下列说法正确的是( )A ．a n ＝2n ＋1B ．d ＝2C.1a 2n －1＝14)111(++n nD.⎭⎬⎫⎩⎨⎧-112n a 的前n 项和为n 4(n ＋1)7．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛+n 11，n ∈N *，则a n ＝________ 8．设数列{na n }的前n 项和为T n ，若na n ＝n ·121-⎪⎭⎫ ⎝⎛-n ，则T n ＝________.9．已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．10．已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 的前n 项和T n .11．在各项都为正数的等比数列{a n }中，若a 1＝2，且a 1·a 5＝64，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧--+)1)(1(1n n n a a a 的前n 项和是( ) A ．1－12n ＋1－1 B ．1－12n ＋1 C ．1－12n ＋1 D ．1－12n －112．设S ＝1＋112＋122＋1＋122＋132＋1＋132＋142＋…＋1＋12 0202＋12 0212，[S ]表示不大于S 的最大整数(例如：[2.34]＝2，[－π]＝－4)，则[S ]等于( )A ．2 019B ．2 020C ．2 021D ．2 02213．在数列{a n }中，a 1＝1，对于任意自然数n ，都有a n ＋1＝a n ＋n ·2n ，则a 15等于( )A ．14·215＋2B ．13·214＋2C ．14·215＋3D ．13·215＋314．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则数列{na n }的前n 项和T n 为________．15．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28,36,45，…这些数叫做三角形数．设第n 个三角形数为a n ，则下面结论错误的是( )A ．a n －a n －1＝n (n >1)B ．a 20＝210C ．1 024是三角形数 D.1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝2n n ＋116．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋λ(λ为常数)．(1)试探究数列{a n ＋λ}是不是等比数列，并求a n ； (2)当λ＝1时，求数列{n (a n ＋λ)}的前n 项和T n .。
数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减
一般地，若{an}为等差数列，则求数列ana1n＋1的前 n 项和 可 尝 试 此 方 法 ， 事 实 上 ， 1 ＝ d ＝ an＋1－an ＝
anan＋1 danan＋1 danan＋1 1d·a1n－an1＋1.
数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减 结 束
高考研究课（三 数列求和的 3 种方法——分组转化、裂项相消和错位相减
非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想： 1转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数 列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成. 2不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相 消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.
数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减
[即时训练]
结束
1．(2017·福州质检)已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝
fn＋11＋fn，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 016＝(
)
A. 2 015－1
B. 2 016－1
数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减 结 束
[方法技巧]
(1)若数列{cn}的通项公式为 cn＝an±bn，且{an}，{bn} 为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前 n 项和．
(2)若数列{cn}的通项公式为
cn＝
an，n为奇数， bn，n为偶数，
其
中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和
数列求和的3种方法——分组转化、裂项相消和错位相减 结 束
(2017·沈阳质检)已知数列an是递增的等比数列，且 a1＋a4＝9， a2a3＝8. (2)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，bn＝SanSn＋n＋1 1，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. [解] Sn＝(a111－－qqn)＝2n－1，又 bn＝SanSn＋n＋1 1＝SSn＋nS1－n＋S1 n ＝S1n－Sn1＋1，所以 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝S11－S12＋S12－S13＋…＋S1n－Sn1＋1＝S11－Sn1＋1 ＝1－2n＋11－1，n∈N*.
数列求和(分组求和、并项法、错位相减、裂项相消)综合经典例题(收藏版)含答案详解
数列求和综合（经典总结版）含答案详解包括四种题型：分组求和、并项法、错位相减、裂项相消一、分组求和例1．求和.练1已知数列{}n x 的首项13x =，通项2n n x p n q =⋅+⋅（*n ∈N ，,p q 是常数），且145,,x x x 成等差数列.（1）求,p q 的值；（2）求数列{}n x 的前n 项和n S .例2．（奇偶性）已知等差数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 2，a 4+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；（Ⅱ）设b n ＝，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．二、并项法例1．已知数列的前项和，求，的值以及Sn 的值.练1.求，，，，…，，…的前50项之和以及前项之和.三、错位相减例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a 1=2，3S n =11543(2)n n n a a S n ---+≥（I ）求数列a n 的通项公式； （Ⅱ）若b n =n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n 。
11111232482n n ⎛⎫+++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭{}n a n 1159131721...(1)(43)n n S n -=-+-+-++--15S 22S 21-2223-242(1)n n •-50S n n S练1 等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 1，S 3，S 2成等差数列．若a 1－a 3＝－32，求数列{n ·a n }的前n 项和T n .练2 设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .例2已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…． （Ⅰ）证明：数列1{1}na -是等比数列；（Ⅱ）数列{}n n a 的前n 项和n S ．练1 已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，首项为1a ，且n n S a ,,21等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n bn a )21(2=，设nnn a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T .练2、已知递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n .例3 在等比数列{a n }中，a 2a 3＝32，a 5＝32.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S 1＋2S 2＋…＋nS n .例4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ，数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1)(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)求数列{b n }的通项公式b n ；(3)若c n ＝a n ·b nn ，求数列{c n }的前n 项和T n .四、裂项相消裂项相消的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，以达到求和的目的. 常见的裂项相消形式有： 1. 111(1)1n a n n n n ==-++ 1111()(2)22n a n n n n ==-++ ┈┈1111()()n a n n k k n n k ==-++2n p a An Bn C ⇒=++（分母可分解为n 的系数相同的两个因式）2. 1111()(21)(21)22121n a n n n n ==--+-+ 1111()(21)(23)22123n a n n n n ==-++++1111()(65)(61)66561n a n n n n ==--+-+3. 1111(1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ⎡⎤==-⎢⎥+++++⎣⎦4.)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-n n n n n 5. 111211(21)(21)2121n n n n n n a ---==-++++ +1+1211(21)(21)2121nnn n n n a ==-++++122(1)111(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n a n n n n n n -++-==⋅=-++⋅+6.=┈┈12=1k=- 例1．正项数列}{n a 满足02)12(2=---n a n a n n ．(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)令,)1(1nn a n b +=求数列}{n b 的前n 项和n T ．练1.等比数列}{n a 的各项均为正数，且6223219,132a a a a a ==+．(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设,log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1{nb 的前n 项和．例2．已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ．(Ⅰ)求n a 及n S ； (Ⅱ)令),(11*2N n a b n n ∈-=求数列}{n b 的前n 项和n T ．例3．已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且421,,S S S 成等比数列．(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)令,4)1(112+--=n n n a a nb 求数列}{n b 的前n 项和n T .例4．正项数列}{n a 的前n 项和n S 满足：0)()1(222=+--+-n n S n n S n n .(1)求数列}{n a 的通项公式n a ；(2)令,)2(122n n a n n b ++=数列}{n b 的前n 项和为n T ，证明：对于,*N n ∈∀都有645<n T .练1、已知数列{}n a 是首相为1，公差为1的等差数列，21n n n b a a +=⋅，n S 为{}n b 的前n 项和，证明：1334n S ≤<.例5．已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1+a 4＝9，a 2a 3＝8．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝，求数列{b n }的前n 项和T n ．例6. （无理型）设数列{}n a 满足01=a 且111111=---+nn a a ，（1）求{}n a 的通项公式；（2）设na b n n 11+-=，记∑==nk kn bS 1，证明：1<n S .例7.（指数型）．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝8，S n ＝﹣n ﹣1．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n 项和T n ．例8．设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n （n ∈N *），{b n }是等差数列．已知a 1＝1，a 3＝a 2+2，a 4＝b 3+b 5，a 5＝b 4+2b 6．（Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式； （Ⅱ）设数列{S n }的前n 项和为T n （n ∈N *）， （i ）求T n ；（ii ）证明＝﹣2（n ∈N *）作业：1．设231()2222()n f n n N ++=++++∈，则()f n 等于（ ）A.21n -B.22n -C. 122n +-D. 222n +-2．满足*12121,log log 1()n n a a a n +==+∈N ，它的前n 项和为n S ，则满足1025n S >的最小n 值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．123．已知等差数列}{n a 的前n 项和为,15,5,55==S a S n 则数列}1{1+n n a a 的前100项和为( A ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．1011004．求和2345672223242526272+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= . 5．定义在上的函数满足， 则6．已知数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 满足S n ＝12－12a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设f (x )＝log 3x ，b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )，T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n ，求T 2 012；(3)若c n ＝a n ·f (a n )，求{c n }的前n 项和U n .7．已知数列{a n }为公差不为零的等差数列，a 1＝1，各项均为正数的等比数列{b n }的第1项，第3项，第5项分别是a 1，a 3，a 21.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和S n .8. 已知数列{an}的前n 项和Sn ＝－12n 2＋kn(其中k ∈N ＋)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和Tn.R )(x f 2)21()21(=-++x f x f )83()82()81(f f f ++67()()_______88f f +++=数列求和综合答案详解版一、分组求和例1．求和. 【解析】(1+2+3+…+n)+ =【总结升华】1. 一般数列求和，先认真理解分析所给数列的特征规律，联系所学，考虑化归为等差、等比数列或常数列，然后用熟知的公式求解.2. 一般地，如果等差数列与等比数列的对应项相加而形成的数列都用分组求和的办法来求前项之和.练1已知数列{}n x 的首项13x =，通项2n n x p n q =⋅+⋅（*n ∈N ，,p q 是常数），且145,,x x x 成等差数列.（1）求,p q 的值；（2）求数列{}n x 的前n 项和n S . 【解析】（1）232(164)2325p q p q p q p p +=⎧⎨+=+++⎩ 解得11q p =⎧⎨=⎩（2）12212(21)(22)+(2)n n S x x x n =+++=+++++………… =12(22+2)(123+n)n ++++++…………=1(1)222n n n ++-+ 例2．（奇偶性）已知等差数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 2，a 4+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； （Ⅱ）设b n ＝，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．【解答】解：（I ）设等差数列{a n }的过程为d ，∵a 1＝1，且a 1，a 2，a 4+2成等比数列． ∴＝a 1•（a 4+2），即（1+d ）2＝1×（1+3d +2），化为：d 2﹣d ﹣2＝0，解得d ＝2或﹣1．其中d ＝﹣1时，a 2＝0，舍去．∴d ＝2．a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，S n ＝＝n 2．（Ⅱ）设b n ＝＝，∴n 为偶数时，＝＝16，b 2＝8；11111232482n n ⎛⎫+++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭11111232482n n S n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅++= ⎪⎝⎭111242n ⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭(1)1122n n n ++-{}n a {}n b {}n n a b +n n Sn 为奇数时，＝＝，b 1＝．∴数列{b n }的奇数项是首项为，公比为．数列{b n }的偶数项是首项为8，公比为16．∴数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝+＝．二、并项法例1．已知数列的前项和，求，的值以及Sn 的值.【思路点拨】该数列{}n a 的特征：1(1)(43)n n a n -=--，既非等差亦非等比，但也有规律：所有奇数项构成以1为首项8为公差的等差数列，偶数项构成以-5为首项-8为公差的等差数列，因而可以对奇数项和偶数项分组求和；还有规律：1234561...4n n a a a a a a a a ++=+=+==+=-（n 为奇数），可以将相邻两项组合在一起. 【解析】（1）法1（分组）由可得，法2（并项）a1+a2=−4,a3+a4=−4（2）由∴当为奇数，时， ，Sn=( a1+a2)+ a3+a4……（a n-2-a n-1）+an=−4(n−12)+4n-3=2n-1当为偶数，时，，Sn=( a1+a2)+ a3+a4……（a n-1+an ）=−4×n2=−2n 【总结升华】1.对通项公式中含有或的一类数列，在求时要注意讨论的奇偶情况.2. 对正负相间的项中的相邻两项进行恰当的组合，可能会有意料之结. 举一反三：【变式1】求，，，，…，，…的前50项之和以及前项之和.{}n a n 1159131721...(1)(43)n n S n -=-+-+-++--15S 22S 1(1)(43)n n a n -=--158(157)7(553)[19...(4153)][513...(4143)]2922S ++=+++⨯--+++⨯-=-=2211(181)11(585)[19...(4213)][513...(4223)]4422S ++=+++⨯--+++⨯-=-=-1(1)(43)n n a n -=--n n N +∈1(43)(41)4n n a a n n ++=--+=-n n N +∈1(43)(41)4n n a a n n ++=--++=n )1(-1n )1(+-n S n 21-2223-242(1)n n •-50S n n S【解析】（1）设，则数列为等差数列，且是的前25项之和， 所以.（2）当为偶数即时，.当为奇数即时，.三、错位相减例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a 1=2，3S n =11543(2)n n n a a S n ---+≥ （I ）求数列a n 的通项公式；（Ⅱ）若b n =n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n 。
专题一 数列求和(2)裂项相消法+错位相减法
专题一（2）裂项相消法求数列前n 项和学习目标 1裂项相消法求和的步骤和注意事项 2使学生能用裂项相消法来解决分式数列的求和探究（一）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．例1、说明：（1）裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项或多项,使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。
即：把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项和变成首尾若干项之和． 适合于分式型数列的求和。
（2）利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．（3）一般地若{a n }是等差数列，则1a n a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)，1a n ·a n ＋2＝12d (1a n －1a n ＋2)．（4）此外根式在分母上时可考虑利用有理化因式相消求和．变式练习:项和的前)2(1，，531，421，311求数列n n n +⋅⋅⋅⨯⨯⨯.变式与拓展：1、项和的前)13)(23(1，，,741，411求数列n n n +-⋅⋅⋅⨯⨯例2、设{a n }是等差数列，且a n ≠0.求证1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1.证明：设{a n }的公差为d ，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2·1a 2－a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3·1a 3－a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1·1a n ＋1－a n＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝1d ·a 1＋nd －a 1a 1a n ＋1＝na 1a n ＋1. 所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1.常见的拆项公式有：例3、已知数列｛a n ｝：11，211+，3211++，…1123n+++，…，求它的前n 项和。
数列求和错位相减法,裂项相消法后附答案-精选.pdf
项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
11．已知数列 满足
，
，数列 满足
2 的等差数列．
（Ⅰ）求
和
的通项公式；
（Ⅱ）求
的前 n 项和 ．
考查数列的分组求和和裂
，且
是公差为
【答案】（Ⅰ）
，
（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用等差数列以及等比数列的通项公式，转化求
{an}和 {bn} 的通项公式；
的前 项的和为 ，
，
（ 1）求数列
的通项公式；
（ 2）设
，记数列 的前 项和 ，求使得
. 恒成立时 的最小正整数 .
【分析】
（ 1）先设设等差数列
的公差为 ，由
，
即可；
列出方程组求出首项和公差
（ 2）由 (1)先求出 ，再由裂项相消法求数列的前 项和即可 .
【详解】
试卷第 3 页，总 7 页
解：（ 1）设等差数列
裂项相消法在数列求和
中的应用，属于中档题型．裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难
找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：
(1)
；（ 2 ）
； （ 3）
；（ 4）
；需注意裂项之后相消的过程
中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误
.
10．等差数列 的公差为正数，
∴
.
（Ⅱ）
，
∴
.
【点睛】 本题主要考查了
法的应用及等差数列概念，通项公式，还考查了数列裂项求和，属于
基础题。
9．已知等差数列
是递增数列，且
，
．
求数列 的通项公式；
数列求和的四种方法
) 1
3 n 1
n 3 n 1
3
数列求和
例5
求数列
， ， ， ， 22 42 62
13 35 57
(2n)2 ( 2 n 1)(2 n 1)
的前n项和
Sn
分析： 该数列的分子是偶数的平方，分母是奇数列相邻两项 的乘积；从例4的经验看：该数列求和使用“裂项相消法” 的可能性较大，那就看分子能否化为常数。
Sn
n(a1an ) 2
na1
n(n1) 2
d
等比数列的求和公式： Sn
na1
a1 (1qn ) 1q
(q 1) (q 1)
还有一些常用公式：
12
22
32
n2
n ( n 1) (2 n 1) 6
请看下面例子：
数列求 和
例1 求数列
1
1 2
，3 14
，5 81
，7 116
，9 312
，
的前n项和
的前n项和
分析：该数列可看作等差数列2n 1等比数列
1 2n
的积数列
解：
这里等比数列的公比
q
=
1 2
Sn
1 2
3 22
5 23
7 24
2n1 2n
1 2
Sn
1 3 5
22 23 24
2n3 2n
2n1 2n1
两式相减：(1
1 2
)Sn
1 2
2 22
2 23
2 24
2 2n
2n1 2n1
求法步骤如下：
1、在 Sn a1 a2 an 的两边同时乘于公比q
2、两式相减 ；左边为（1 q)Sn ，右边q的同次式相减 3、右边去掉最后一项（有时还得去掉第一项）剩下的
高中数学数列求和的七种方法
高中数学数列求和的七种方法
数列求和的七种方法：倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、乘公比错项相减(等差等比)、公式法、迭加法。
下面是小编给大家带来的数列求和的七种方法，希望能够帮助到大家!
高中数学数列求和的七种方法
1、倒序相加法
倒序相加法如果一个数列{an}满足与首末两项等距离的两项的和相等(或等于同一常数)，那么求这个数列的前n项和，可用倒序相加法。
2、分组求和法
分组求和法一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列的通项公式组成，求和时可用分组求和法，分别求和而后相加。
3、错位相减法
错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的。
4、裂项相消法
裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。
5、乘公比错项相减(等差等比)
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种
方法主要用于求数列{anbn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列。
6、公式法
对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。
运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
7、迭加法
主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an，从而求出Sn。
浅谈高中数列求和的常用方法
1浅谈高中数列求和的常用方法数列求和是高中阶段数学的重要内容，也是数与代数教学里的一大难点，更是高考喜欢考察的内容，随着数学的发展和数学的改革，这部分内容出现了新题型，需要彻底搞懂这部分内容的本质特点，才能熟练运用各种公式寻求方法，得出结论。
因此，本文从数列求和的问题入手，尽可能的总结不同数列求和的不同方法，开阔学生的思想，拓展公式的应用。
一、数列求和的概念和常用方法数列求和是求数列前项和的过程。
对于复杂数列求和应先观察；要掌握本质，找规律。
本文着重总结数列求和以下方法：倒序相加法、错位相减法、裂项相消法和数学归纳法。
二、数列求和的方法运用（一）倒序相加法如果一个数列中，与首、末两项“等距离”两项的和相等，那么，可倒写和正写和的式子再相加。
例题：已知为等差数列，求1+2+3+⋯+解：令=1+2+3+⋯+倒写：=+K1+K2+⋯12=1++2+K1+⋯+1得：2=1+=这个题正好采用的正序和倒序两个式子相加得出数列的和.在用倒序相加法之前，要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头。
（二）错位相减法例题：设≠0求数列、22、33…B …的前项和分析：这个数列的每一项都含有，而=1或不等于1，对数列求和方法上有本质的不同，所以解题时需要进行讨论.解：若=1，=1+2+3+⋯+=or1)2若≠1，=+22+33+⋯+B ，此时，该数列可以看成等差数列1、2、3…与等比数列、2、3…的积构成的数列，且公比=，在上述等号两边同时乘，有2B =2+23+33+⋯+B r1两式相减得：(1−p =+2+3+⋯+−B r1所以(1−p =o1−)1−−B r1从而得=o1−)(1−p 2−B r11−=B r2−(r1)r1+(1−p 2.这道题的中心是要识别出给出的是公比为负数的数列，是用错位相减法的类型；注意：写与B 的表达式时要特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步能够准确的写出−B 的表达式。
并且在错位相减后要数准形成的等比数列的项数。
数列求和(倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求合法等)教学提纲
考点4 数列求和（倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求合法等）1．（2015江苏苏州市高三上调考）已知数列{n a }共有2k 项（2≤k 且k ∈N *），数列{n a }的前n 项的和为n S ，满足1a =2，1n a + =（p －1）n S +2（n =1，2，3，…，2n －1），其中常数p ＞1（1）求证：数列{n a }是等比数列； （2）若p =2212k -，数列{n b }满足21log n b n=（12n a a a ⋯）（n =1，2，…，2n ），求数列{n b }的通项公式（3）对于（2）中的数列{ n b }，记3||2n n c b =－，求数列{n c }的前2k 项的和． 【考点】数列的求和；数列的应用．【解】（1）证明：当n =1时，2a =2p ，则21a p a =， 当2≤n 时，112n n a p S +=+（－），-112n n a p S =+（－）， ∴11n n n a a p a +=－（－），即1n n a pa +=， ∴1n na p a +=， 故数列{n a }是等比数列．（2）由（1），得12n n a p -=（n =1，2，…，2n ），∴(1)123121222n nn n nn a a a pp-+++⋯+-⋯==2(1)(1)21221222n nn n n nk k --⨯+--==， 2121log n nb a a a n =⋯（） =1(1)()21n nn n k -+- =(1)121n k -+-，（n =1，2，…，2n ）， 即数列{b n }的通项公式为(1)121n n b k -=+-，（n =1，2，…，2n ）．（3）3||2n n c b =-，设32n b ≤，解得n ≤12k +， 又n 为正整数，于是：当n ≤k 时，32n b ＜；当n ≥k +1时，32n b ＞，∴数列{n c }的前2k 项的和：2122123333 (2222)k k k T b b b b -=-+-++-+- 12122333333()()...()()()...()222222k k k k b b b b b b ++=-+-++-+-+-++- 12212b k k k k b b b b b ++=++⋯+++⋯+（）－（）[][]11(1)...(21)12...(1)2121k k k k k k =++++--+++--- 221k k =-． 2．（2015江苏高考冲刺压轴卷（三））设数列{n a }的前n 项和记为n S ，且234n S n n =-+．（1）求数列{n a }的通项公式； （2）设3n n na b =，记数列{n b }的前n 项和记为n T ，，求证：2536n T ≤＜. 【考点】错位相减法求和【解】（1）当n =1时，12a =，当n ≥2时，124n n n a S S n -=-=-，故2,124,2n n a n n =⎧=⎨-⎩≥，（2）2,13243,23n n n nn a b n n ⎧=⎪⎪==⎨-⎪≥⎪⎩，其中123T =，当n ≥2时，22024...333n nn T -=+++①，23112024...3333n n n T +-=+++②，∴①－②得，231222224 (33333)n n n T +-=-++-， ∴521623n nn T -=-⨯(2)n ≥，由于0n b ≥，∴2536n T ≤＜． 3．（2015江苏高考冲刺压轴卷（三））已知数列{}n a 中，11a =，二次函数211()(2)2n n n f x a x a x -+=⋅+-⋅的对称轴为x =12，（1）试证明{}2nn a 是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的前n 项和为n S ，试求使得3n S ＜成立的n 的值，并说明理由． 【考点】等差数列的通项公式；二次函数的性质；错位相减法求和． 【解】（1） ∵二次函数211()(2)2n n n f x a x a x -+=⋅+-⋅的对称轴为x =12， ∴n a ≠0，1211222n n n a a -+--=⨯，整理得11122n nna a +=+， 左右两边同时乘以12n +，得11222n n n n a a ++=+，即11222n n n n a a ++-= (常数)，∴{}2nn a 是以2为首项，2为公差的等差数列，∴222(1)2nn a n n =+-=，∴1222n n n n n a -==． （2）∵ 012211231...22222n n n n nS ---=+++++， ①12n S = 12311231 (22222)n n n n--++++， ②①-②得：1231111111121 (1222222212)n n n n n n n S --=++++-=--， 整理得 1242n n n S -+=-．∵ 113214(4)0222n n n n n n n n S S +-+++-=---=＞，∴ 数列{n S }是单调递增数列． ∴ 要使n S ＜3成立，即使12432n n -+-＜，整理得n +2>12n -， ∴ n =1，2，3．4．（2015江苏省南京市高三考前综合）公差不为零的等差数列{n a }的前n 项之和为n S ，且2()2n n a k S +＝对n ∈*N 成立． （1）求常数k 的值以及数列{n a }的通项公式；（2）设数列{n a }中的部分项123n k k k k a a a a ⋯，，，⋯，，恰成等比数列，其中1k ＝2，,3k ＝14，求1122n n a k a k a k ⋯＋＋＋的值．【考点】等差数列或等比数列中的基本量问题；错位相减法与裂项相消法．【解】（1）法一：条件化为na k＋对n∈*N成立．设等差数列公差为d，则1(1)a n d k ＋－＋．分别令n＝1，2，3得：1112a ka d ka d k⎧=+⎪⎪=++⎨⎪=++⎪⎩①②③由①＋③－2⨯②得，=．两边平方得，14a d＋＝．两边再平方得，2211440a a d d－＋＝．解得d＝21a．代入②得，13a k＋，④由④－①得，1a．所以1a＝0，或1a＝1．又当1a＝0时，d＝0不合题意．所以1a＝1，d＝2．代入①得k＝1．而当k＝1，1a＝1，d＝2时，221n nS n a n＝，＝－，等式2()2nna kS+＝对n∈*N成立．所以k＝1，21na n＝－．法二：设等差数列的首项为1a，公差为d，则211(1)()222nn n d dS na d n a n-＝＋＝＋－，11(1)()na a n d dn a d＝＋－＝＋－．．代入2()2nna kS+＝得，22111()[()]224d dn a n dn a k d＋－＝＋＋－，即22221112(42)2()()dn a d n d n d a k d n a k d＋－＝＋＋－＋＋－．因为上面等式对一切正整数n都成立，所以由多项式恒等可得，21112422()d da d d a k da k d⎧=⎪-=+-⎨⎪+-=⎩因为d ≠0，所以解得，1211d a k =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以常数k ＝1，通项公式21n a n ＝－． （2）设n n k c a ＝，则数列{n c }为等比数列，且1312314327k k c a a c a a ＝＝＝，＝＝＝． 故等比数列{n c }的公比q 满足2319c q c ＝＝． 又n c ＞0，所以q ＝3．所以111333n n n n c c q⨯－－＝＝＝．又21n n k n c a k ＝＝－，所以213nn k －＝．由此可得11322nn k ⨯＝＋．所以2121322n n n n n a k --⨯＝＋． 所以1122n n a k a k a k ⋯＋＋＋123113355(3)(3)(3)222222=⨯++⨯++⨯+2121(3)22n n n --++⨯+L 1231[133353(21)3]2n n =⨯+⨯+⨯++-⨯L1[135(21)]2n +++++-L 123211[133353(21)3]22n n n =⨯+⨯+⨯++-⨯+L ． 法一：令123133353(21)3nS n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ， 则3S =++++2311333(23)3(21)3nn n n +⨯⨯-⨯-⨯L ，两式相减得:=++++23123232323(21)3nn S n +-⨯⨯⨯--⨯L ，113(13)23(21)3213n n S n +⎡⎤-=-⨯---⨯⎢⎥-⎣⎦ 113(13)3(21)32n n n +⎡⎤=------⨯⎣⎦ 1112(1)36(1)332n n n n ++⎡⎤=---⨯-=-⨯+⎣⎦,代入得+++1122n n a k a k a k L 121211(1)33(1)33222n n n n n n ++-⋅++⎡⎤=⨯-⨯++=⎣⎦． 法二：因为1(21)3[(1)2]3(2)3kk k k k k +-⨯=+-⨯--⨯1(1)3k k +=-⨯-(2)3k k -⨯．所以213243[03(1)3][1303][2313]S =⨯--⨯+⨯-⨯+⨯-⨯ 1[(1)3(2)3]n n n n +++-⨯--⨯L 1(1)33n n ⨯＋＝－＋．代入得1122n n a k a k a k ⋯+++121211(1)33(1)33222n n n n n n ++-⋅++⎡⎤=⨯-⨯++=⎣⎦.5．(江苏省南京市2015届高三上学期9月调考数学试卷)已知{}n a 是等差数列，其前n 项的和为n S ，{}n b 是等比数列，且112a b ==，4421a b +=，4430S b +=. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记*,n n n c a b n =∈N ，求数列{}n c 的前n 项和.【考点】数列的求和，数列递推式.【解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由112a b ==，得4a =2+3d ，342b q =，486S d =+由条件4421a b +=，4430S b +=，得方程组332322186230d q d q ⎧++=⎨++=⎩解得12d q =⎧⎨=⎩ 所以*12n n n a n b n =+=∈N ，，. (2)由题意知，(1)2nn c n =+⨯.记123n n T c c c c =++++L .则123n n T c c c c =++++L =231223242212n n n n -⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L （）， 23412223242212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L （），所以2311=22(2222)(1)2n n n n T n -+-⨯+++++-+L ，1*2()n n T n n +=⨯∈N .6. （15淮安市金湖中学高三上学期第一次学情检测数学试卷）已知{n a }为等比数列，其中1a =1，且2354a a a a +，，成等差数列．（1）求数列{n a }的通项公式：（2）设21n n b n a =⋅（﹣），求数列{n b }的前n 项和n T ． 【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【解】（1）设在等比数列{n a }中，公比为q ， ∵11a =，且2354a a a a +，，成等差数列，∴35242a a a a +=+（），∴2432q q q q +=+（），和为________． 【答案】 75 8．已知函数()22,n n f n n n ⎧⎨-⎩当为奇数时＝,当为偶数时，且()(1)n a f n f n ＝＋＋，则123100+a a a a +L ＋＋等于________． 【答案】 100【分析】 由题意，得123100+a a a a +L ＋＋＝2222222222221223344599100100101------L ＋＋＋＋＋＋＝(12)(32)(99100)(101100)--L ＋＋＋＋＋＋＋ ＝(1299100)(23100101)-L L ＋＋＋＋＋＋＋＋＋ ＝5010150103100-⨯⨯＋＝.9．数列12a ＋，L ，2k a k ＋，L ，1020a ＋共有十项，且其和为240，则1a L ＋＋10k a a L ＋＋的值为________．【答案】 130＝240－110＝130.10．(2015·泰州质检)已知数列{}n a 满足11a ＝，*12()n n n a a n ⋅∈N ＋＝，则2016S =________. 【答案】 1008323⋅-∴201612345620152016S a a a a a a a a L ＝＋＋＋＋＋＋＋＋ ＝13520152462016()()a a a a a a a a L L ＋＋＋＋＋＋＋＋＋那么数列{}n b 的前n 项和n S 为________．12．(2015·扬州测试)在数列{}n a 中，11a ＝，1(1)(1)n n n a a -＋＝＋，记n S 为{}n a 的前n 项和，则2013S ＝________. 【答案】 －1005【分析】 由11a ＝，1(1)(1)n n n a a -＋＝＋可得22a -＝，31a -＝，40a ＝，51a ＝, 该数列是周期为4的数列，所以20131234 2 013503()503(2)1S a a a a a ⨯-＝＋＋＋＋＝＋＝ 1005-.13．(2014·济南模拟)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3224S S ＝＋，536a ＝.(1)求n a ，n S ；【解】(1)因为3224S S ＝＋，所以14a d --＝， 又因为536a ＝，所以1436a d ＋＝.解得d ＝8，14a ＝，所以48(1)84n a n n --＝＋＝，(2)241(21)(21)n b n n n --＝＝＋，14．(2015·石家庄模拟)已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且122a a ⋅＝，3432a a ⋅＝.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的前n 项和为2*()n S n n ∈N ＝，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和．【解】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知得21251232a q a q ⎧=⎨=⎩，又∵10a ＞，0q ＞，解得112a q =⎧⎨=⎩，∴12n n a －＝.(2)由2n S n ＝得()21(1)2n S n n --＝≥，∴当2n ≥时，121n n n b S S n ---＝＝，当n ＝1时，11b ＝符合上式， ∴*21()n b n n -∈N ＝，∴1(21)2n n n a b n -⋅-⋅＝.12113252(21)2n n T n -=+⋅+⋅++-⋅L ，2312123252(23)2(21)2n n n T n n ⋅⋅⋅-⋅-⋅L －＝＋＋＋＋＋，两式相减得2112(222)(21)2(23)23n n n n T n n ----⋅--⋅-L ＝＋＋＋＋＝， ∴(23)23nn T n -＝＋.15．数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n --＋＋＝，则{}n a 的前60项和为________．【答案】 1830【分析】 ∵1(1)21nn n a a n --＋＋＝，∴211a a ＝＋，312a a -＝，417a a -＝，51a a ＝，619a a ＝＋，712a a -＝，8115a a -＝， 91a a ＝，10117a a ＝＋，1112a a -＝，12123a a -＝，L ，571a a ＝，581113a a ＝＋， 5912a a -＝，601119a a ＝－，所以111333n n nn a a q --⨯＝＝＝，n 项和，则21S ＝________. 【答案】 6偶数项分别相等，则2111a a ＝＝，211234()()S a a a a L ＝＋＋＋＋1920()a a ＋＋18．(2015·长沙模拟)已知函数()()2cos f n n n π＝，且()(1)n a f n f n ＝＋＋，则12a a ＋3100a a L ＋＋＋＝________.【答案】 －100【分析】 若n 为偶数，则()22(1)(1)(21)n a f n f n n n n --＝＋＋＝＋＝＋，为首项为25a -＝，公差为4-的等差数列；若n 为奇数，则()(1)n a f n f n ＝＋＋＝ 22(1)21n n n -＋＋＝＋，为首项为13a ＝，公差为4的等差数列． 所以123100139924100()()a a a a a a a a a a L L L ＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋＋________．【答案】 5即S ＝5. 20．在数列{}n a 中，15a -＝，22a -＝，记()12n A n a a a L ＝＋＋＋，()23B n a a ＝＋1n a L ＋＋＋，()*342()n C n a a a n ∈N L ＋＝＋＋＋，若对于任意*n ∈N ，A (n )，B (n )，C (n )成等差数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}||n a 的前n 项和．【解】(1)根据题意A (n )，B (n )，C (n )成等差数列，∴A (n )＋C (n )＝2B (n )，整理得2121253n n a a a a ---＋＋＝＝＋＝，∴数列{}n a 是首项为－5，公差为3的等差数列， ∴53(1)38n a n n ---＝＋＝.(2)38,2||=38,3n n n a n n -+⎧⎨-⎩≤≥， 记数列{}||n a 的前n 项和为n S .21. (2014·广州综测)已知等差数列{}n a 的前n 项和为2()n S n pn q p q ∈R ＝＋＋，，且2a ，3a ，5a 成等比数列． (1)求p ，q 的值；(2)若数列{}n b 满足22log log n n a n b ＋＝，求数列{}n b 的前n 项和n T .【解】(1)当n ＝1时，111a S p q ＝＝＋＋， 当2n ≥时，1n n n a S S -－＝＝22[(1)(1)]n pn q n p n q ---＋＋＋＋ ＝21n p -＋. ∵{}n a 是等差数列，∴1＋p ＋q ＝2×1－1＋p ，得q ＝0. 又23a p ＝＋，35a p ＝＋，59a p ＝＋， ∵2a ，3a ，5a 成等比数列，∴2325a a a =，即2(5)(3)(9)p p p ＋＝＋＋， 解得p ＝－1.(2)由(1)得22n a n -＝.∵22log log n n a n b ＋＝，∴221224n an n n b n n n --⋅⋅⋅＝＝＝.∴1231n n n T b b b b b -L ＝＋＋＋＋＋0122142434(1)44n n n n --⨯⨯⋅⋅L ＝＋＋＋＋－＋，① 1231442434(1)44n n n T n n -⨯⨯-⋅⋅L ＝＋＋＋＋＋，②①－②得0121344444n n n T n ---⋅L ＝＋＋＋＋。
求数列求和的考纲要求
求数列求和的考纲要求
数列求和是数学中的重要概念之一，在高考数学中，对数列求和的要求主要包括以下几个方面：
1. 等差数列和等比数列的求和公式：学生需要掌握等差数列和等比数列的求和公式，并能灵活运用这些公式进行数列求和。
2. 裂项相消法：这是数列求和的一种常用方法，学生需要掌握如何通过裂项相消法来求和。
3. 错位相减法：对于一些特殊的等差数列和等比数列，学生需要掌握如何使用错位相减法来进行求和。
4. 数列的极限：学生还需要了解数列极限的概念，掌握如何使用极限来表示无穷数列的和。
以上信息仅供参考，建议查阅考试大纲或者咨询高中数学教师了解更多有关数列求和的考纲要求。
数列求和错位相减法与列项相消法详解
1 n(n 2)
(n N ),
求数列an 的前n项和Tn .
解： an
1 n(n
2)
1 2
(1 n
n
1
) 2
Tn
1 2
(1
1) 3
(1 2
1) 4
(1 3
1) 5
(1 4
1) 6
...
(1 n 1
1) n 1
(1 n
n
1
2 )
1（1 1 1 1 ） 3 2n 3 2 2 n 1 n 2 4 2(n 1)(n 2)
第13页，共24页。
变式2、若数列an满足 : an
n 1 n2 (n 2)2
(n N ),
求数列an 的前n项和Tn .
解： an
n 1 n2 (n 2)2
11 4 (n2
（n
1 2）2 )
Tn
1 [(1 4
1) 9
(1 4
1) 16
（1 9
1 ）（ 1 25 16
1 ） ... 36
n∈N* .求数列{ an }的前 n 项和 Tn.
第8页，共24页。
解：当q 1时，Tn a1 a2 a3 ...... an 1 q 3 q2 5 q3 ...... (2n 1) qn ①
qTn 1 q2 3 q3 5 q4 ...... (2n 1) qn1 ②
求数列{ an }的前 n 项和 Tn.
第6页，共24页。
解an (2n 1) 2n
Tn a1 a2 a3 ...... an 1 2 3 22 5 23 ...... (2n 1) 2n ①
2Tn 1 22 3 23 5 24 ...... (2n 1) 2n1 ②
数列求和 错位相减法与列项相消法
数列求和错位相减法与列项相消法----764c0b58-715f-11ec-9c00-7cb59b590d7d数列求和错位相减法与列项相消法序列和LPAR；位错减法和列消除&rPar；授课人:邱展民多年来高考的重点是错位减法和分项消去法。
命题角度灵活多变。
在解题时，要善于运用位错减法和分裂项消去法的基本思想，对数列的通项公式进行变换，以达到解题要点的目的：位错减法求和法和分裂项消去法求和法难点：错位相减法求和与裂项相消法求和的方法与技巧。
新课讲授：问题：等比数列的前n项和公式是怎么推导的？位错减法求和a例1、已知数列{n}满足：an＝2，n∈n*求序列{an}和TN的前n项之和变式1、已知数列{an}满足：an＝(2n-1)⋅2，n∈n*求序列{an}和TN的前n项之和aa(2n-1)⋅q(q≠0)，变式2、已知数列{n}满足：n＝N∈n*。
求序列{an}和TN的前n项之和考点二裂项相消法求和常用的裂项公式有：11①_______________; ②____________； n（n＋1）（2n－1）（2n＋1）③n(n+k)＝______________；1nn＋1________________.例2、已知数列{an}满足：an＝2n,n∈n*.且数列{bn}满足logbn=的表达式（查找TN=bbbbbb+…+bnbn+11223，代数公式2包含n）变式3、已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝f（n＋1）＋f（n）n∈n*.记数列{an}的前n项和为sn，则s2014＝()a．2013－1b2014－1c．2015－1d．2015＋11.已知{an}是等差递增序列，A2和A4是方程x2-5x+6=0的根(1)求{an}的通项公式；(2)求数列⎨2的前n项和．2.（2022·国家课程标准卷一）已知算术序列{an}的前n项和Sn满足S3=0和S5=-5 (1)求{an}的通项公式；(2)求数列⎨aa⎨的前n项和．⎨2n－12n＋1⎨{an}的前n项和，已知an>0,3、(2021全国1)sn为数列n+2an=4sn+3。
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人教版理科数学
第七部分 数列
变式1、若数列an满足 : an
1 n(n 2)(n N ),求数列an 的前n项和Tn .
解： ann(n12)12(1nn 12) Tn12(113)(1214)(1315)(1416)...(n11n11)(1nn 12)
公式为 a n a 1q n 1 ( q 1),
则 T n a 1 a 2 a 3 ... a n
a 1 a 1 q 1 a 3 q 2 ... a n q n 1 ①
qT n a 1q 1 a 3 q 2 a 3 q 3 ... a n q n ②
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【解】∵an＝2n，∴bn＝log2an＝n.
1 1 1 1 bnbn1 n(n 1) n n 1
(n 1,2,..., n),
Tn
(1
1) 2
(1 2
1) 3
(1 3
1) 4
......
(1 n
1) n 1
1 1 n . n1 n1
Tn 6 (2n 3) 2n1
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第七部分 数列
变式 2、已知数列{ an }满足： an ＝ (2n 1) qn (q 0) ，
n∈N* .求数列{ an }的前 n 项和 Tn.
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解：当q 1时，Tn a1 a2 a3 ...... an 1 q 3 q2 5 q3 ...... (2n 1) qn ①
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第七部分 数列
变式 1、已知数列{ an }满足： an ＝ (2n 1) 2n ，n∈N*
求数列{ an }的前 n 项和 Tn.
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第七部分 数列
解 an (2n 1) 2n
Tn a1 a2 a3 ...... an 1 2 3 22 5 23 ...... (2n 1) 2n ①
qTn 1 q2 3 q3 5 q4 ...... (2n 1) qn1 ②
由①-②式，得
第七部分 数列
(1 q)Tn q 2 q2 2 q3 ...... 2 qn (2n 1) qn1 2 2(1 qn ) q (2n 1) qn1 1 q
q q 1
4(1 qn ) (1 q)2
(2n 1)qn1 1 q
当n 1时，an 2n 1
Tn
n(a1 2
an )
n(1 2n 1) 2
n2
Tn
q
q
1
4(1 qn ) (1 q)2
(2n 1)qn1 1 q
,q 1
n2
,q 1
2Tn 1 22 3 23 5 24 ...... (2n 1) 2n1 ②
由①-②式，得
Tn 2 2 22 2 23 ...... 2 2n (2n 1) 2n1 2 2(1 2n ) 2 (2n 1) 2n1 6 (2n 3) 2n1 1 2
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第七部分 数列
考点二 裂项相消法求和
常用的裂项公式有：
① n
1 n＋1
＝___1n_－__n_＋_1_1____；
②
1 2n－1 2n＋1
＝___12_2_n_1－__1_－__2_n_1＋__1_；
1
1 (1 1 ) (k N )
③ n(n k) ＝___k___n__n___k_______；
Tn
a1
anq n
1 q
,q 1 ,q 1
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第七部分 数列
考点一 错位相减法求和
例如 1、已知数列{ an }满足： an ＝2n2－n 1，n∈N* 求数列{ an }的前 n 项和 Tn.
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第七部分 数列
解
an
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第七部分 数列
[考情展望] 错位相减法求和、裂项相消法求和是历年高考的重点， 命题角度凸显灵活多变，在解题中要善于利用错位相减与裂 项相消的基本思想，变换数列 an 的通项公式，达到求解目的.
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第七部分 数列
问题：等比数n列 项的 和前 公式是怎么？推
解：设等比数列的通项
④
1 n＋
n＋1＝_____n_＋__1_－___n____.
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第七部分 数列
例 2、已知数列{ an }满足：an＝2n , n∈N* .且数列{bn}满足 bn＝log2an，求 Tn＝b11b2＋b21b3＋…＋bnb1n＋1的表达式(用含 n 的代 数式表示)
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2n 1
2n ，
Tn＝
a1
a2
a3
......
an
=12＋232＋
5 ＋…＋2n－1，①
23
2n
12Tn＝212＋233＋…＋2n2－n 3＋22nn－＋11.
②
由①-②式，得
12Tn＝12＋
2 ＋ 2 ＋…＋ 2
22 23
2n
－22nn－＋11＝32－2n1－1－22nn－＋11，
所以 Tn＝3－2n2＋n 3.
1（ 11 1 1 ） 3 2n3 2 2 n1 n2 4 2(n1)(n2)
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第七部分 数列
变式2、若数列an满足 : an
n 1 n2 (n 2)2
(n N ),
求数列an 的前n项和Tn .
由① -②得
(1 q )T n a1 a n q n
Tn
a1 anq n 1 q
当 n 1时， a n a 1 , T n a 1 a 2 a 3 ... a n
a 1 a 1 a 1 ... a 1 na 1
na 1