材料力学第二章详细讲解

第二章杆件的内力.截面法

一、基本要求

1．了解轴向拉伸与压缩、扭转、弯曲的概念；

2．掌握用截面法计算基本变形杆件截面上的内力；

3．熟练掌握基本变形杆件内力图的绘制方法。

表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。该图一般以平行于杆件轴线的横坐标x轴表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上轴力的大小。正的轴力画在x轴上方，负的轴力画在x轴下方。

当功率P单位为马力（PS），转速为n（r/min）时，外力偶矩为

的变形，则该力或力偶在截面上产生正的弯矩，反之为负的弯矩（上挑为正，下压为负）。4）剪力方程和弯矩方程

一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化。若以坐标x 表示横截面在梁轴线上的位置，则横截面上的剪力和弯矩可以表示为x 的函数，即)

()

(S S x M M x F F ==

上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。

5）剪力图和弯矩图

为了直观地表达剪力F S 和弯矩M 沿梁轴线的变化规律，以平行于梁轴线的横坐标x 表示横截面的位置，以纵坐标按适当的比例表示响应横截面上的剪力和弯矩，所绘出的图形分别称为剪力图和弯矩图。

剪力图和弯矩图的绘制方法有以下两种：

（1）剪力、弯矩方程法：即根据剪力方程和弯矩方程作图。其步骤为：

第一，求支座反力。

第二，根据截荷情况分段列出F S (x )和M (x )。

在集中力（包括支座反力）、集中力偶和分布载荷的起止点处，剪力方程和弯矩方程可能发生变化，所以这些点均为剪力方程和弯矩方程的分段点。

第三，求控制截面内力，作F S 、M 图。一般每段的两个端点截面为控制截面。在有均布载荷的段内，F S =0的截面处弯矩为极值，也作为控制截面求出其弯矩值。将控制截面的内力值标在的相应位置处。分段点之间的图形可根据剪力方程和弯矩方程绘出。并注明

ma x

ma x

M

F S

、的数值。

（2）微分关系法：即利用载荷集度、剪力与弯矩之间的关系绘制剪力图和弯矩图。 载荷集度q （x ）、剪力F S （x ）与弯矩M （x ）之间的关系为:

)()

(S x q dx

x dF = )()

(S x F dx

x dM = )()

()(S 2

2x q dx x dF dx

x M d == 根据上述微分关系，由梁上载荷的变化即可推知剪力图和弯矩图的形状。

(a)若某段梁上无分布载荷，即0)(=x q ，则该段梁的剪力F S （x ）为常量，剪力图为平行于x 轴的直线；而弯矩)(x M 为x 的一次函数，弯矩图为斜直线。

(b)若某段梁上的分布载荷q x q =)(（常量），则该段梁的剪力F S （x ）为x 的一次函数，剪力图为斜直线；而)(x M 为x 的二次函数，弯矩图为抛物线。当0>q （q 向上）时，弯矩图为向下凸的曲线；当0

(c)若某截面的剪力F S （x ）=0，根据0)

(=dx

x dM ，该截面的弯矩为极值。

利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下：

第一，求支座反力（对悬臂梁，若从自由端画起，可省去求支反力）；

第二，分段确定剪力图和弯矩图的形状；

第三，求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图； 第四，确定max

S

F 和max

M

。

max

S

F 可能出现的地方：①集中力F 作用处；②支座处。max

M

可能出现的地方：①剪力

F S =0的截面；②集中力F 作用处；③集中力偶M 作用处。

6）平面刚架和平面曲杆的弯曲内力

刚架：杆系结构若在节点处为刚性连接，则这种结构称为刚架。

平面刚架：由在同一平面内、不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而组成的结构。 各杆连接处称为刚节点。

刚架变形时，刚节点处各杆轴线之间的夹角保持不变。静定刚架：凡未知反力和内力能由静力学平衡条件确定的刚架。

平面刚架各杆的内力，除了剪力和弯矩外，一般还有轴力。作刚架内力图的方法和步骤与梁相同，但因刚架是由不同取向的杆件组成，习惯上按下列约定：弯矩图画在各杆的受压一侧，且不注明正、负号。剪力图及轴力图可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架外侧），且必须注明正负号；剪力正负号的规定与梁相同，轴力仍以拉伸为正，压缩为负。

平面曲杆：轴线为一平面曲线的杆。平面曲杆横截面上的内力情况及其内力图的绘制方法，与刚架相类似。

三、典型例题分析

例2-1 在图2-6

F 2、F 3、F 4。已知：F F 4=4kN 解：1AC 段：以截面（图（b ））。

由0=∑x F 得

1N F CD 段：以截面（图(c)）。

由0=∑x F 得

N F 2N F DB 段：以截面（图(d)）。

由0=∑x F 得

N F 3N F 2．绘轴力图

以横坐标x 表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上的轴力N F ，选取适当比例，绘出轴力图（图（e ））。在轴力图中正的轴力（拉力）画在x 轴上侧，负的轴力（压力）画在x 轴下侧。

例2-2

输出功率分别为P B ＝解：19549

=M A =M M B =M D 2．计算各段扭矩BC 段：以截面I 分（图(b)）得

负号说明1T 同理，在CA 在AD 段内，

03=-D M T m N 4463⋅==D M T

3．以横坐标x 表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上的扭矩大小，选取适当比例，绘

例2-3 弯矩图。解：1.由,0=∑∑F y F A =

2.在ＡＣ段内，

x F (S