圆锥曲线三大难点解读

圆锥曲线三大难点解读
山东 王中华 李燕
2006年高考数学试题圆锥曲线部分全面考查曲线定义、简单性质等基础知识，还对最值与定值（定点）、求参数范围（或值）、存在与对称等问题加大了考查力度．本文对各地考题归类整理，并探讨这三大难点的求解策略． 难点一、最值与定值（定点）问题
圆锥曲线的最值与定值（定点）问题一直是高考的一大难点．
最值问题求解策略是：几何法与代数法，前者用于条件与结论有明显几何意义，利用图形性质来解决的类型；后者则将结论转化为目标函数，结合配方法、判别式法、基本不等式及函数的单调性等知识求解．
定值（定点）问题求解策略是：从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个点（值）与变量无关．也可以在推理、计算过程中消去变量，直接得到定点（或定值）．
例1 （江西卷理21）如图1，椭圆2222:1(0)
x y Q a b a b
+=>>的右焦点(0)F c ，，过点F 的一动直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A B ，两点，P 是线段AB 的中点． （1）求点P 的轨迹H 的方程；
（2）在Q 的方程中，令2
1cos sin a θθ=++，
2sin 0b θθπ⎛
⎫=< ⎪2⎝⎭≤，确定θ的值，使原点距椭圆Q 的右准线l 最远，此时，设l 与
x 轴交点为D ．当直线m 绕点F 转动到什么位置时，ABD △的面积最大？
分析：求轨迹方程可用“设而不求”法，考虑AB 的斜率是否存在，注意到AB 与PF
共线，得方程为2
2
2
2
2
0b x a y b cx +-=；在第（2）问中，由2
a 、
2b 不难得到满足要求的1c =，为避免讨论直线m 的斜率是否存在，可设m 的方程为1x ky =+，再利用三角函数求出θ，
ABD △的面积用A
B ，纵坐标可表示为121
2
S y y =-，
当直线m 垂直于x 轴时，ABD △的面积最大．
点评：本题集轨迹方程、最值问题、动态几何于一身，运用了点差法、分类讨论思想、二次方程根与系数的关系、三角函数的有界性、分离变量法、均值不等式法等，对各种能力的综合要求非常高．
注：与最值相关的试题，还有江西卷理科第9题、北京卷理科第19题、全国卷I 理科第20题、文科第21题、山东卷文科第21题等．
例2 （全国卷Ⅱ理21文22）已知抛物线2
4x y =的焦点为F ，A
B ，是抛物线上的两动点，且(0)AF FB λλ=>u u u r u u u r
．过A
B ，两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ． （1）证明FM u u u u r ·AB u u u r
为定值；
（2）设ABM △的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值．
简解：（1）(01)F ，，设点A
B ，的横坐标为12x x ，，则过点A B ，的切线分别为2111()42x x y x x -=-，222
2()42
x x y x x -=-，结合AF FB λ=u u u r u u u r ，求得0FM AB =u u u u r u u u r g 为定值；
（2）0FM AB =u u u u r u u u r g ，则ABM △的面积3
3
124222FM AB S λλ1⎛==+⨯= ⎪⎝⎭
≥． 难点二、求参数范围（或值）问题 求参数范围问题的求解策略是：根据题意结合图形列出所讨论参数适合的不等式（组），利用线性规划得出参数的取值范围．有时候需要研究由题设条件列出的目标函数的值域来确定参数的变化范围．
例3 （陕西卷理21）如图2，三定点(21)A ，、(01)B -，、(21)C -，；三动点D E M
，，满足AD t AB =u u u r u u u r ，BE tBC =u u u r u u u r ，DM tDE =u u u u r u u u r
，[01]t ∈，．
（1）求动直线DE 斜率的变化范围； （2）求动点M 的轨迹方程．
解：（1）设()D D D x y ，，()E E E x y ，，()M x y ，．
由AD t AB =u u u r u u u r
，知(21)(22)D D x y t --=--，，
， 即222 1.D D x t y t =-+⎧⎨=-+⎩，同理22 1.E E
x t y t =-⎧⎨=-⎩，
∵12E D
DE E D
y y k t x x -=
=--，且[01]t ∈，，∴[11]
DE k ∈-，； （2）∵DM tDE =u u u u r u u u r
，即2(2221)(242)x t y t t t t +-+-=--，，
． ∴2
2(12)(12)x t y t =-⎧⎨=-⎩，，
消去参数t ，得2
4x y =． ∵[01]t ∈，
，∴2(12)[22]x t =-∈-，． 故2
4x y =，[22]x ∈-，
． 点评：本题主要考查平面向量基本定理、斜率、轨迹等知识，以及依靠不变量（定点坐
标和不变的向量共线）与变量的关系相互转化，综合运用各种知识解决问题的能力．
注：求参数范围问题的考题还有四川卷文科第22题、辽宁卷文科第22题、江西卷文科第21题等．
难点三、存在与对称性问题
存在与对称性试题是近几年高考大力推行改革与探索的结果．
存在性问题的求解策略是：一般先假设某数学对象存在，按照合情推理或计算，得到存在的依据或导出矛盾，从而肯定或否定假设，有时也可由特殊情况探索可能的对象，作出猜想，然后加以论证．
对称性问题的求解策略是：结合轴对称或中心对称．考虑斜率与中点或向量的数量积（可避开斜率存在性的讨论），常用“设而不求”、待定系数法等方法解决问题．
例4 （湖南卷理21）如图3，已知椭圆22
1:143
x y C +=，抛物线2
2:()2(0)C y m px p -=>，且1C 、2C 的公共
弦AB 过椭圆1C 的右焦点．
（1）当AB x ⊥轴时，求m p ，的值，并判断抛物
线2C 的焦点是否在直线AB 上；
（2）是否存在m p ，的值，使抛物线2C 的焦点恰在直线AB 上？若存在，求出符合条件的m p ，的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）当AB x ⊥轴时，0m =，直线AB 的方程是1x =，点A 为31
2⎛⎫
⎪⎝⎭，或312⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，． 代入抛物线方程，得98
p =． 此时2C 的焦点为9016⎛⎫
⎪⎝⎭
，，且焦点不在直线AB 上； （2）设11()A x y ，、22()B x y ，，2C 的焦点2p F m ⎛⎫
'
⎪⎝⎭
，，弦AB 的两端点在抛物线上，也在椭圆上，所以1212112222AB x x p x x ⎛
⎫⎛⎫=++=-
+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即122
(4)3
x x p +=-． 由（1）知12x x ≠，2p ≠，故22
AB m
k p =
-． 直线AB 的方程是2(1)2m y x p =
--，则124(1)
3(2)
m p y y p -+=-． 因A B ，在1C 上，即221122
2234123412x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，
，
两式相减，得
211221123()
4()
y y x x x x y y -+=--+，
即2
2
3(4)(2)16(1)
p p m p --=-．①
又A B ，在2C 上，即2
112
22()2()2y m px y m px ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，
，
两式相减，得21122122x x y y m p y y -+-=-，即2
2
3(2)1610p p m p
-=-．②
由①、②，得2
320320p p +-=， 解得4
3
p =
或8p =-（舍）． 由4
3
p =
，得3m =
或3m =-．
故满足条件的m p ，
存在，且m =
或m =，4
3
p =． 点评：此题中抛物线的顶点不在原点，公共弦AB 既要与抛物线联系，也要用到椭圆的
焦点弦，特别是把存在与对称性结合在一起，使难度和运算量都大大增加，解决问题需要有很强的逻辑推理能力和运算能力．
注：存在与对称性问题还有江苏卷第17题、北京卷文科第19题等．。