自动控制原理(11J-13)PDF

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3. 三阶系统的根轨迹
二阶系统增加一个开环极点，使系统成为三阶系统。 例：三阶系统结构图如下图所示。
要求：画该系统的根轨迹，分析极点环节引起的变化。 解：开环传递函数为：
Kg = a K k;a =
1 T
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Im
根轨迹方程：
Kg s ( s + 1) (s + a )
= −1
Re -a -1
根轨迹是什么形状？
由幅角条件:
∠( s + a ) − ∠s − ∠( s + 0.2) = 1
0
代入：s = σ + jω
可证明在复平面上根轨迹是一个圆方程:
(σ + a ) 2 + ω 2 = a 2 − 0.2a
圆心: 半径:
σ = − a, ω = 0
r = a − 0.2a
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性能比较: 在极点左侧增加1个开环零点后, 使根轨迹向左偏移。闭环系 统的稳定性、动态性得到改善，稳态特性不变（型不变）。
KK T
1 得系统开环放大系数调整关系： K K = 2T
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2．开环具有零点的二阶系统根轨迹
典型二阶系统前向通道增加一个零点，系统结构图如所示：
其
K > 0.2 中 ： g = K; a
要求：画该系统的根轨迹，分析零点环节引起的变化。
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根轨迹方程：
K g ( s + a) s ( s + 0.2)
1 a r sc c o =4 s 5 θ = a r c ςc= o 2
R是根轨迹上的点， 应满足幅值条件。
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极点矢量？零点矢量？ 令根轨迹增益：
图形关系： cos θ =
L 1 2T
1 2 1 2 2 T K g = L1 L2 = [ ] =( ) = 2 c o 2T θ s 2T
1
而： K g =
(k = 0 , 1 , 2 ,,n − m − 1)
根轨迹如图所示。
4
jω
-1/T
×
-1/2T
×
σ
0
闭环极点位置决定该系统的阶跃响应有几种工作模式？
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1 应用问题：若希望该系统工作在欠阻尼状态，使 ς = 2
应如何调整系统参数Kk？ 解：本问题是在已有的根轨迹上确定一个符合要求的状态点 （符合阻尼比要求的闭环极点）。 为此在根轨迹图上作阻尼线OR,使阻尼线与负实轴夹角满足：
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G (： 幅值条件：
=
= -1
Kg e
−τσ
1 =1 s ( s + 1)
s = σ + jω
幅角条件：
− τω −
π
2
− ∠( s + 1) = π (1 + 2 µ )
（设：τ = 1）
µ = 0,1,2,3,⋅ ⋅ ⋅ ⋅
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渐近线： ω = ±(1 + 2 µ ) π
4.2
1. 2. 3. 4． 5． 6. 7．
根轨迹的绘制法则
根轨迹关于实轴对称 根轨迹始于开环极点, 终于开环零点, 分支数为n. 实轴上的根轨迹 分离点和会合点 根轨迹的渐近线 根轨迹的起始角与终止角（出射角与入射角） 根轨迹与虚轴的交点
4.2.1 绘制根轨迹的一般法则
8． 根轨迹的走向
1
4.2.2 典型控制系统的根轨迹
令s=jω，K1=8.16代入上式，求得ω=±1.1 。 根轨迹的两条分支与虚轴交于ω=±1.1j处，对应的 K1=8.16， 系统根轨迹如图所示.
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32
补充习题： 已知系统
根轨迹方程 :
K g ( s + z1 ) s ( s + p1 )
2
= −1
(z1=-1;p1=-3)
要求：画该系统的根轨迹，分析增加零点环节引起的变化。
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练习题
无零点四阶系统开环传递函数为
*
K G ( s) H ( s) = 2 s( s + 3)( s + 2s + 2)
• 试绘制闭环系统的概略根轨迹。
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解 按照以下步骤绘制系统的根轨迹：
（1）开环极点为p1=0，p2=-3， p1=-1±j, 无开环零点； （2）根轨迹分支数n=4条； （3）在实轴上[-3，0]之间为根轨迹段； （4）渐近线, n-m = 4条：
Im
= −1
Re -a -0.2
根轨迹起点： P0=0, - P1= - 0.2
根轨迹终点： 1个有限零点 -z1= -a ; 1个无限远零点 根轨迹分支数：n=2 实轴上的根轨迹： 0 ～ - 0.2 , -a ~ -∞ 分离点和会合点: 各1个 根轨迹分离点坐标： 方法（1）
dK g ds
=0
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因为在 -1～-4 之间不可能有根轨迹，故分离点应为 s1= -0.467 。
根轨迹的渐进线:
n - m = 3 （条）
2 k+1 渐进线倾角： ϕ a = π n− m π 3π 5π = ; ; 3 3 3
渐进线交点:（设a=4）
(k = 0 , 1 , 2 ,,n − m − 1)
σa =
33
D( s ) = s ( s + 3)( s + 2 s + 2) + K = 0
2 *
令s
解得
= jω
代入上式
*
ω= ±1.095, K = 8.16
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用劳斯判据法： 由特征方程并列出劳斯表： 令劳斯表中S1行的首项 为零，求得K1=8.16。 为了求临界状态时的闭环 极点位置，可根据表中S2 行的系数写出辅助方程：
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临 界 根 轨 迹 增 Kg = 2 0
根轨迹是什么形状？
增加极点P＝－4
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4. 开环具有零点的三阶系统根轨迹
已知系统如图所示:
xr(s)
K (τ d s + 1) τ d Ti s 2 (T s + 1)
xc (s)
开环传递函数为:
Wk ( s ) =
K g ( s + z1 ) s 2 ( s + p1 )
-1/T
×
×
σ
0
dK g 令： = 0 ds
得分离点: s =-1/2T
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根轨迹的渐进线: 渐进线交点：
n - m = 2 （条）
σa =
∑P −∑Z
j =1 j i =1
n
m
i
n−m
0 + ( −1 / T ) − 0 1 = =− 2 2T
渐进线倾角： ϕ = 2 k + 1 π a
n− m π 3π = ; 2 2
∑P −∑Z
j =1 j i =1
n
m
i
n−m
0 + ( −1) + ( −4) − 0 5 = =− 3 3
Im
确定根轨迹与虚轴的交点： 据根轨迹方程： 令：
Kg s ( s + 1) (s + a)
= −1
Re -a -1
s = jω
得：ω
= ±2 0
临界开环放大系数 Kg 20 KK = = =5 a 4
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（5）由特征方程求分离点
K1 = K* 解得s1=-2.3，s2,3=0.725±j0.365。s1为分离点。 利用根轨迹的幅值条件可求得对应于分离点s1=-2.3的K1 值为4.33 。
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（6）求出射角
根据对称性可知：θp4 =71.6°
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( 7 ) 确定根轨迹与虚轴的交点 闭环系统的特征方程为
1 1 K ; z1 = ; p1 = 其 中: K g = τd TiT T
根
轨
K g ( s + z1 ) : 2 方 程 = −1 迹 s ( s + p1 )
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增加零点之后，根轨迹呈现向左侧伸展。
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5．具有时滞环节系统的根轨迹
设时滞系统的结构如图所示
τ 为延迟时间
其开环传递函数为: 时滞环节的存在，使系统的开环传递函数以及闭环传 递函数不再是线性代数方程，根轨迹的绘制出现了新的变 化 : 对于一定的Kg, 特征根不再是n个，相应的根轨迹有无 群多条。
µ = 0,1,2,3,⋅ ⋅ ⋅ ⋅
K g = 0.161
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时
滞
(τ系 = 1)
µ =1 µ =0
µ =1
=
时滞环节应用结论: (1) 时滞环节的存在，使系统的稳定性变的复杂。 为了稳定工作，只能将Kg 限制在较小范围（对应于 主分支区内）。 (2) 当滞后时间τ很小时（为毫秒级），常把时滞环节的传 递函数近似处理：e-τs≈1/(1+τs) ，把它等效成为一个 惯性环节。
根轨迹起点：P0=0, - P1= - 1， - P2= - a 根轨迹终点： 3个无限远零点 根轨迹分支数：n=3
实轴上的根轨迹： 0 ～ - 1 , -a ~ -∞ （设：a=4） 根轨迹的分离点： 分离点和会合点满足:
dK g ds
=0
在 a=4 时，分离点为： s1= -0.467 ， s2=-2.87。
结合典型系统熟悉根轨迹绘制法则、根轨迹的初步应用
1.典型二阶系统 的根轨迹
二阶系统如图所示 试画该系统的根轨迹 解： 开环特性：
s
KK （K g = ） T
1型系统，两个开环极点、无零点。
根轨迹方程：
Kg s( s + )
1 T
= −1
jω
根轨迹起点：P0=0, - P1= - 1/T 根轨迹终点：两无限远零点 根轨迹分支数：n=2 实轴上的根轨迹：0～（- 1/T） 实轴上根轨迹的分离点： 由于：Kg = - s(s+1/T)