含参不等式的解法

含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答，但遗憾的是这类问题始终成为绝大多数学生学习的难点，此现象出现的根本原因是不清楚该如何对参数进行讨论，而参数的讨论实际上就是参数的分类，而参数该如何进行分类？下面我们通过几个例子体会一下。

一． 二次项系数为常数
例1、解关于x 的不等式：0)1(2>--+m x m x
解：原不等式可化为：（x-1）（x+m ）>0(两根是1和-m ，谁大？)
（1）当1<-m 即m<-1时,解得：x<1或x>-m
（2）当1=-m 即m=-1时,不等式化为：0122
>+-x x ∴x ≠1
（3）当1>-m 即m>-1时,解得：x<-m 或x>1
综上，不等式的解集为： (){}m x x x m -><-<或时当1|,11
(){}1|,12≠-=x x m 时当
(){}1-|,13><->x m x x m 或时当
例2:解关于x 的不等式：.0)2(2>+-+a x a x （不能因式分解） 解：()a a 422--=∆（方程有没有根，取决于谁？）
()()R a a a 时，解集为即当32432404212+<<-<--=∆
()()32432
404222+=-==--=∆a a a a 或时当
（i ）13324-≠-=x a 时，解得：当
（ii ）13-324-≠+=x a 时，解得：当
()()时或即当32432
404232+>-<>--=∆a a a a 两根为()242)2(21a a a x --+-=
，()242)2(22a a a x ----=. ()()242)2(242)2(22a
a a x a
a a x --+->----<或此时解得：
综上，不等式的解集为： （1）当324324+<<-a 时，解集为R ； （2）当324-=a 时，解集为(13,-∞-)⋃(+∞-,13)； （3）当324+=a 时，解集为(13,--∞-)⋃(+∞--,13)； （4）当324-<a 或324+>a 时， 解集为(248)2(,2+---∞-a a a )⋃(+∞+-+-,2
48)2(2a a a )； 二．二次项系数含参数
例3、解关于x 的不等式：.01)1(2<++-x a ax
解：若0=a ，原不等式.101>⇔<+-⇔x x 若0<a ，原不等式a
x x a x 1
0)1)(1(<⇔>--⇔或.1>x
若0>a ，原不等式.0)1)(1(<--⇔x a x )(* 其解的情况应由a 1与1的大小关系决定，故 （1）当1=a 时，式)(*的解集为φ；
（2）当1>a 时，式)(*11<<⇔
x a
； （3）当10<<a 时，式)(*a x 11<<⇔. 综上所述，不等式的解集为：
①当0<a 时，{11><x a x x 或}；
②当0=a 时，{1>x x }；
③当10<<a 时，{a x x 11<<}；
④当1=a 时，φ；
⑤当1>a 时，{11<<x a
x
}.
例4、解关于x 的不等式：.012<-+ax ax
解：.012<-+ax ax
（1）当0=a 时，.01R x ∈∴<-原式可化为
（2）当0>a 时，此时a a 42+=∆>0 两根为a a a a x 2421++-=，a
a a a x 2422+--=. 解得：a a a a 242+--a a a a x 242++-<< （3）当a<0时,原式可化为：012>-+a
x x
a a 4+=∆此时 ①当0<∆即04<<-a 时，解集为R ；
②当0=∆即4-=a 时，解得：2
1-≠x ;
③当0>∆即4-<a 时解得：或a a a a x 242+-->a
a a a x 242++-< 综上，（1）当0>a 时，解集为(a a a a 242+--,a a a a 242++-)； （2）当04≤<-a 时，解集为R ；
（3）当4-=a 时，解集为(21,-∞-)⋃(+∞-,2
1);
（4）当4-<a 时，解集为(a a a a 24,2+--∞-)⋃(+∞++-,242a a a a ). 上面四个例子，尽管分别代表了四种不同的类型，但它们对参数a 都进行了讨论，看起来比较复杂，特别是对参数a 的分类，对于初学者确实是一个难点，但通过对它们解题过程的分析，我们可以发现一个规律：参数a 的分类是根据不等式中二次项系数等于零和判别式0=∆时所得到的a 的值为数轴的分点进行分类，如：
解关于x 的不等式：033)1(22>++-ax x a
解：033)1(22>++-ax x a )(*
1012=⇒=-a a 或1-=a ；
203)1(4922=⇒=⨯-⨯-=∆a a a 或2-=a ；
∴当2-<a 时，012>-a 且0<∆，)(*解集为R ；
当2-=a 时，012>-a 且0=∆，)(*解集为(1,∞-)⋃(+∞,1)；
当12-<<-a 时，012>-a 且0>∆，
)(*解集为(223123,22----∞-a a a )⋃(+∞--+-,2
2312322
a a a )； 当1-=a 时，)(*1033<⇔>+-⇔x x ，)(*解集为(1,∞-)；
当11<<-a 时，012<-a 且0>∆，
)(*解集为(22312322----a a a ,2
2312322
--+-a a a )； 当1=a 时，)(*1033->⇔>+⇔x x ，)(*解集为(+∞-,1)；
当21<<a 时，012>-a 且0>∆，
)(*解集为(223123,22----∞-a a a )⋃(+∞--+-,2
2312322
a a a )； 当2=a 时，012>-a 且0=∆，)(*解集为(1,-∞-)⋃(+∞-,1)；
当2>a 时，012>-a 且0<∆，)(*解集为R .
综上，可知当2-<a 或2>a 时，解集为R ；当2-=a 时，(1,∞-)⋃(+∞,1)； 当12-<<-a 或21<<a 时，解集为 (223123,22----∞-a a a )⋃(+∞--+-,2
2312322
a a a )；当1-=a 时，解集为(1,∞-)； 当11<<-a 时，)(*解集为(22312322----a a a ,2
2312322--+-a a a )；当1=a 时，)(*解集为(+∞-,1)；当2=a 时，解集为(1,-∞-)⋃(+∞-,1).
通过此例我们知道原来解任意含参数的一元二次不等式对参数进行分类讨论时只需求出二次项系数等于零和判别式0=∆时所得到的参数的值，然后依此进行分类即可，这样这类问题便有了“通法”，都可迎刃而解了。