二次函数的存在性问题(面积问题)

二次函数的存在性问题(面积问题)

[08湖北荆州]已知：如图，R t △AOB 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的正半轴和y 轴的负

半轴上，C 为OA 上一点且OC ＝OB ，抛物线y=(x －2)(x －m )－(p-2)(p-m)（m 、p 为常数且m+2≥2p>0）经过A 、C 两点．

（1）用m 、p 分别表示OA 、OC 的长；

（2）当m 、p 满足什么关系时，△AOB

12220.(1)0

2)()(2)()0

)(2)0,222020

2,1(2),2

11

(2)

2211

(2)22

1

(2)

1

2(2)1

2

2()2

AOB AOB AO y x x m p p m x p x m p x p x m p

m p m p p OA m p OC P

OC OB S OA OB S OA OB P m p P m P

m p m S =-----=---+=∴==+-+>>∴+->>∴=+-===∴==+-=-+++∴=-=+⨯-令得：（整理得：（当时，.

B 最大 [08湖北荆州]如图，等腰直角三角形纸片AB

C 中，AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90º，直角边AC

在x 轴上，B 点在第二象限，A （1，0），AB 交y 轴于E ，将纸片过E 点折叠使BE 与EA 所在直线重合，得到折痕EF （F 在x 轴上），再展开还原沿EF 剪开得到四边形BCFE ，然后把四边形BCFE 从E 点开始沿射线EA 平移，至B 点到达A 点停止.设平移时间为t （s ），移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE 与△AEF 重叠的面积为S. （1）求折痕EF 的长； （2）是否存在某一时刻t 使平移中直角顶点C 经过抛物线243y x x =++的顶点？若存在，

求出t 值；若不存在，请说明理由；

（3）直接写出．．．．S 与t 的函数关系式及自变量t 25.145101ABC

BE EA FE EA

Rt

AC BC

CAB EF EA A OA OE AE EF ∴⊥=∴∠=︒∴=∴===∴=（）折叠后与所在直线重合又中（，）

，折痕

∥BA 交Y 轴于P ，

2（）存在.设CP 413

POC C CP AC OA OC OP ==∴==则为等腰直角三角形，直角顶点在射线上移动

，

2

43(2)12123 1.

21451cos 45(/2

x x x y x y CP C BCFE EA BAC BCFE ++=+-∴--=-=--=-∴--∠=︒

∴⨯︒=2抛物线:y=x 抛物线的顶点为（，）代入得点（，）在直线上

即直角顶点在移动中经过此抛物线的顶点

四边形沿射线移动速度为每秒一个单位长度，直角顶点向水平方向移动速度为长度单位

秒）

3021231

)C C t s ------=∴==直角顶点从（，）位置移动到（，）时，水平移动距离为（）（长度单位）直角顶点

从开始到经过此抛物线顶点移动的时间2

22

1(02(3)1414t t t s t t t t ⎧-+≤≤⎪⎪

≤≤⎪⎪

=⎨-+-≤≤⎪⎪⎪-+≤≤⎪⎩

[08湖北襄樊]如图,四边形OABC 是矩形,OA=4,OC=8,将

矩形OABC 沿直线AC 折叠,使点B 落在D 处,AD 交OC 于E. (1) 求OE 的长;

(2) 求过O 、D 、C 三点抛物线的解析式;

(3) 若F 为过O 、D 、C 三点抛物线的顶点,一动点P 从A 点 出发,沿射线AB 以每秒一个单位长度的速度匀速运动, 当运动时间t(秒)为何值时,直线PF 把△FAC 分成面积 之比为1:3的两部分? 解：（1）∵四边形OABC 为矩形，

∴∠CDE=∠AOE=90°，OA=BC=CD

又∵∠CED=∠OEA ，∴△CDE ≌△AOE ∴OE=DE.

222

(),

3 (3)

OE OA AD DE OE ∴+=-=解得分

（2） EC=8－3=5.如图4，过点D 作DG ⊥EC 于G ， ∴△DGE ∽△CDE

∴129,.,55DE DG DE EG DG EG EC CD EC DE ==∴== ∴2412

(,)55

D ∵O 点为坐标原点，故设过O 、C 、D 三点抛物线的解析式为2

y ax bx =+.

∴ 解得

∴255

(7324)

y x x =-

+（分）

（3）因为抛物线的对称轴为x=4，∴5

4.2

其顶点坐标为（，）

设直线AC 的解析式为y=kx+b ，则 解得 ∴1 4..............................................92y x =-（分）

设直线EP 交直线AC 于H 1

42

m m -（，），

过H 作HM ⊥OA 于M. ∴△AMH ∽△AOC.∴HM ：OC=AH ：AC.

13311434

FAH FHC S S HM OC AH AC ∆∆=∴∴==：：或：，AH ：HC=1：3或3：1

：：：或：

∴HM=2或6，即m=2或6

121117.4.42719.4.

42FH y x y FH y x y =

-=-=-+=-18

直线解析式为当时，x=1154

直线的解析式为当时，x=7

1854

117

t ∴=∆当秒或秒时，直线FP 把FAC 分成

面积比为1：3的两部分。...............（12分） 26480

242412().555a b a b +=+=3254.b =5a=，804

k b b +==-，1

24

k b ==-