圆锥曲线速算公式和结论系统梳理

3、其他公式、结论 ⑲ 顶点三角形结论：
已知抛物线 y2=2px（ p＞ 0），直线 L： y=kx+m与抛物线交于 A、 B两点， 且以 AB为直径的圆过抛物线的顶点，则直线 L过定点 (2p， 0)
⑳ 切点弦直径结论：
过抛物线 y2=2px（ p＞ 0）焦点的直线 L与抛物线交于 A、 B两点， 则过 A、 B两点的切线互相垂直且交点在准线上。
λ＋ 1 λ－ 1
]。
2、焦点相关公式、结论
⑬ 焦点三角形结论：
双曲线 x2 a2 － y2 b2 =1（ a＞ 0， b＞ 0）上一点 P(x0， y0 )， F1PF2 =θ，那么有结论： 2b2 PF1 PF2 b2 tan θ 2
（ 1） cos θ=1－ （ 4） S F PF = 1 2
且 AB中点为 M （ x0， y0 ），则有 k=
三、 抛物线 1、方程的公式、结论 ⑯ 切线方程、切点弦所在方程：
过抛物线 y2=2px（ p＞ 0）上一点 P(x0， y0)的切线方程为： y0y=p(x+x0)
过抛物线 y2=2px（ p＞ 0）外一点 P(x0， y0)往抛物线作两条切线 分别切抛物线于 A、 B，则 AB所在直线的方程为： y0y=p(x+x0)
( )
2、焦点相关公式、结论 ④ 焦半径倒数和： （三大圆锥曲线均满足，双曲线 AB 需在同一支）
过椭圆 x2 a2 + y2 b2 =1（ a＞ b＞ 0）焦点 F(c， 0)且不平行于坐标轴的弦为 AB， 1 AF + 1 BF = 4 L = 2a b2 (椭、双 )= 2 P (抛 )
则两条焦半径倒数和为：
⑧ 顶点三角形结论：
已知椭圆 x2 a2 + y2 b2 =1（ a＞ b＞ 0），直线 L： y=kx+m与椭圆交于 A、 B两点，
且以 AB为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线 L过定点
(
a(a2-b2) a2+b2
，0
)
⑨ 中点弦结论： x2 y2 已知椭圆 + =1（ a＞ b＞ 0），直线 L： y=kx+m与椭圆交于 A、 B两点， a2 b2 b2 x0 且 AB中点为 M （ x0， y0），则有 k=－ · a2 y0
二、 双曲线 1、方程、离心率的公式、结论 ⑩ 切线方程：
过双曲线
x2 a2
－
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y2 b2
=1上一点 P(x0， y0)的切线方程为：
x0x a2
－
y0y b2
=1
⑪ 焦点到渐近线距离：
双曲线
x2 a2
－
y2 b2
=1的一个焦点到其渐近线的距离为 b
⑫ 离心率取值范围：
若双曲线上存在点 P使得 PF1 =λ PF2 (λ＞ 1)，则有离心率 e （ 1，
【例题】
椭圆 + =1（ a＞ b＞ 0）的两个焦点分别是 F1、 F2， a2 b2 若椭圆上存在点 P使得 PF1 =2 PF2 ，则离心率 e 的取值范围 为 ________。
答案： [1/3， 1）
x2
y2
【变式题】
③ 过焦点直线倾斜角与离心率关系： （三大圆锥曲线均满足） x2 y2 过椭圆 + =1（ a＞ b＞ 0）焦点 F(c， 0)且倾斜角为 θ的直线与椭圆交 a2 b2 λ-1 于 A、 B两点，若 AF=λFB(λ＞ 0)，则有： cos θ = ， e (λ+1) λ+1 2 2 2 若直线斜率 k存在，则有 k =e · -1 λ-1
从椭圆 x2 a2 + y2 b2 =1（ a＞ b＞ 0）外一点 P(x0， y0 )往椭圆作两条切线分别交 x0x a2 + y0y b2 =1
椭圆于 A、 B两点，则 AB所在直线的方程为：
② 离心率取值范围：
若椭圆上存在点 P使得 PF1 =λ PF2 (λ＞ 0且 λ≠1)，则有离心率 e [ λ-1 λ+1 ， 1）。
【考纲解读】
15.圆锥曲线与方程（理） （1）圆锥曲线 ①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中 的作用。 ②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。 ③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质。 ④了解圆锥曲线的简单应用。 ⑤理解数形结合的思想。 （2）曲线与方程 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系。
（ 1） cos θ=
（ 2） PF1 PF2 [ b2， a2] （ 3） PF1 · PF2 [ 2b2-a2， b2] θ （ 4） S F PF =b2· tan 1 2 2
3、其他公式、结论 ⑦ 中心三角形结论
已知椭圆 + =1（ a＞ b＞ 0），直线 L与椭圆交于 A、 B两点，在 AOB中， a2 b2 AB边上的高为 OD，则有 1 1 1 （ 1） AOB＝ 90° 等价于 ＝ + ； OD 2 a2 b2 1 1 1 （ 2） AOB＞ 90° 等价于 ＞ + ； OD 2 a2 b2 1 1 1 （ 3） AOB＜ 90° 等价于 ＜ + 。 OD 2 a2 b2 x2 y2
15.圆锥曲线与方程（文） ①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中 的作用。 ②掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质。 ③了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性 质。 ④理解数形结合的思想。 ⑤了解圆锥曲线的简单应用。
一、 椭圆 1、方程、离心率的公式、结论 ① 切线方程、切点弦所在直线方程： x0x y0y x2 y2 过椭圆 + =1（ a＞ b＞ 0）上一点 P(x0， y0)的切线方程为： + =1 a2 b2 a2 b2
2、焦点相关公式、结论 ⑰ 焦点弦公式：
过抛物线 y2=2px（ p＞ 0）焦点 F且倾斜角为 θ的直线与抛物线交于 A、 B两点， 2p 则 AB = sin2θ
⑱ 焦点三角形结论：
过抛物线 y2=2px（ p＞ 0）焦点 F且倾斜角为 θ的直线与抛物线交于 A、 B两点， p2 则 S AOB= 2sinθ
⑤ 焦点弦垂直平分线结论： （三大圆锥曲线均满足）
过椭圆 x2 a2 + y2 b2 =1（ a＞ b＞ 0）焦点 F(c， 0)且不平行于坐标轴的弦为 AB， PF AB = e 2
AB的垂直平分线交 x轴于点 P，那么有结论：
⑥ 焦点三角形结论：
椭圆 x2 a2 + y2 b2 =1（ a＞ b＞ 0）上一点 P(x0， y0 )， F1 PF2=θ，那么有结论： 2b2 PF1 PF2 -1，故 θmax= F1 BF2
⑭ 顶点三角形结论：
已知双曲线 x2 a2 － y2 b2 =1（ a＞ 0， b＞ 0），直线 L： y=kx+m与双曲线交于 A、 B两点，
且以 AB为直径的圆过双曲线的右顶点，则直线 L过定点
(
a(a2 ＋ b2) a2－ b2
，0
)
⑮ 中点弦结论：
已知双曲线 x2 a2 － y2 b2 =1（ a＞ 0， b＞ 0），直线 L： y=kx+m与双曲线交于 A、 B两点， b2 x0 · a2 y0
【切记】 推过的才是你自己的东西，加油！