元代数学家朱世杰简述
朱世杰
朱世杰中国科学院自然科学史研究所杜石然朱世杰字汉卿，号松庭．北京附近人．生卒年不详，生活于13—14世纪．数学．关于朱世杰的生平，流传下来的资料甚少，仅能从赵城、莫若、祖颐等人为他的著作《算学启蒙》和《四元玉鉴》所写的序言中找到一些线索．这些序言均称“燕山松庭朱君”、“燕山朱汉卿先生”．在《四元玉鉴》每卷之首也均署名为“寓燕松庭朱世杰汉卿编述”，可见他的籍贯当在现在的北京或其附近．莫若序中有“燕山松庭朱先生以数学名家周游湖海二十余年矣．四方之来学者日众，先生遂发明《九章》之妙，以淑后学，为书三卷……名曰《四元玉鉴》”，祖颐后序中亦有“汉卿，名世杰，松庭其自号也．周流四方，复游广陵，踵门而学者云集……．”这两篇序均写于元大德七年(1303)，以莫若序中所说的“以数学名家周游湖海二十余年矣”来推算，朱世杰从事数学教学和数学研究的年代当在13世纪末和14世纪初．1234年蒙古联宋灭金之后，又经过40余年，至1276年才攻占了南宋的都城临安，1279年南宋灭亡．朱世杰的青少年时代，大约相当于蒙古灭金之后．但早在灭金之前，蒙古军队便已攻占了金的中都(今北京，是1215年攻占的)．元世祖忽必烈继位之后，为便于对中原地区的攻略，便迁都于此地，改称燕京，后又改称为大都．到13世纪60年代，燕京不只是重要的政治中心，同时也是重要的文化中心．忽必烈为了巩固元朝的统治，网罗了一大批汉族的知识分子作为智囊团．其中有以编制《授时历》闻名的王恂(1235-1281)、郭守敬(1231—1316)以及编制历法的倡导者和主持者刘秉忠(1216—1274)、张文谦(1216—1283)、许衡(1209—1281)等人．这个集团中的人物，对数学和历法都很精通．他们未入朝之前，曾隐居于河北南部的武安紫金山中．受到忽必烈礼聘的，还有李治(1192—1279)，他也是一位著名的数学家．就当时的数学发展情况而论，在13世纪中叶，在河北南部和山西南部地区，出现了一个以“天元术”(一种带有中国古代数学特点的代数学)为代表的数学研究中心．按祖颐在“《四元玉鉴》后序”中叙述天元术发展情况时所说：“平阳(今山西临汾)蒋周撰《益古》，博陆(今河北蠡县)李文一撰《照胆》，鹿泉(今河北获鹿)石信道撰《钤经》，平水(今山西新绛)刘汝谐撰《如积释锁》，绛人(今山西新绛)元裕细草之，后人始知有天元也．平阳李德载因撰《两仪群英集臻》兼有地元，霍山(今山西临汾)邢先生颂不高弟刘大鉴润夫撰《乾坤括囊》末仅有人元二问．吾友燕山朱汉卿先生演数有年，探三才之赜，索《九章》之隐，按天地人物成立四元……．”这段序文叙述出朱世杰学术上的师承关系．毫无疑问，他较好地继承了当时北方数学的主要成就．当时的北方，正处于天元术逐渐发展成为二元、三元术的重要时期，正是朱世杰把这一成就拓展为四元术的．朱世杰除继承和发展了北方的数学成就之外，还吸收了当时南方的数学成就——各种日用、商用数学和口诀、歌诀等．本来，在元灭南宋之前，南北之间的数学交流是比较少的．朱世杰“周流四方，复游广陵(今扬州)”应是在1276年元军对南宋的大规模军事行动结束之后．朱世杰在经过长期游学、讲学之后，终于在1299年和1303年在扬州刊刻了他的两部数学著作——《算学启蒙》和《四元玉鉴》．隋唐以来，中原地区经济中心和文化中心逐渐南移．长江中下游一带，五代十国时期就比较稳定，北宋时期也有较大发展．随着金兵入侵和宋王朝的南迁，江南地区的农业、手工业、商业和城市建设等都有较大发展．在这样的社会条件下，中国数学中自晚唐以来不断发展的简化筹算的趋势有了进一步的发展，日用数学和商用数学更加普及．南宋时杨辉的著作可以作为这一倾向的代表，而朱世杰所著的《算学启蒙》，则是这一倾向的继承和发展．当然，以所取得的成就而论，《四元玉鉴》是远超《算学启蒙》的．清代罗士琳在评论朱世杰的数学成就时说：“汉卿在宋元间，与秦道古(九韶)、李仁卿(冶)可称鼎足而三．道古正负开方，仁卿天元如积，皆足上下千古，汉卿又兼包众有，充类尽量，神而明之，尤超越乎秦李之上”(罗士琳编《畴人传·续编·朱世杰条》)．清代另一位数学家王鉴也说：“朱松庭先生兼秦李之所长，成一家之著作”(王鉴《算学启蒙述义·自序》)．此外，朱世杰还继承发展了日用、商用数学．由此可见，朱世杰可以被看作是中国宋元时期数学发展的总结性人物，是宋元数学的代表，是中国以筹算为主要计算工具的古代数学发展的预峰．朱世杰的数学著作，如前所述，有《算学启蒙》、《四元玉鉴》二种，下面略加评介．1．《算学启蒙》《算学启蒙》全书共3卷、分为20门，收入了259个数学问题．全书由浅入深，从整数的四则运算直至开高次方、天元术等，包括了当时已有的数学各方面内容，形成了一个较完备的体系，可用作教材，它确实是一部较好的启蒙数学书．在全书之首，朱世杰首先给出了18条常用的数学歌诀和各种常用的数学常数．其中包括：乘法九九歌诀、除法九归歌诀(与后来的珠算归除口诀完全相同)、斤两化零歌诀(“一退六二五”之类)、筹算记数法则、大小数名称、度量衡换算、面积单位、正负数的四则运算法则、开方法等等．值得指出的是，朱世杰在这里，也是在中国数学史上首次记述了正负数的乘除运算法则．朱世杰把上述这些歌诀和数学常数等，作为“总括”而列在全书之首，这种写作的方式，在中国古算书中并不多见．《算学启蒙》正文分上、中、下三卷．卷上：共分为8门，收有数学问题113个，其内容为：乘数为一位数的乘法、乘数首位数为一的乘法、多位数乘法、首位除数为一的除法、多位除数的除法、各种比例问题(包括计算利息、税收等等)．其中“库司解税门”第7问题记有“今有税务法则三十贯纳税一贯”，同门第10、11两问中均载有“两务税”等，都是当时实际施行的税制．朱世杰在书中的自注中也常写有“而今有之”、“而今市舶司有之”等等，可见书中的各种数据大都来自当时的社会实际．因此，书中提到的物价(包括地价)、水稻单位面积产量等，对了解元代社会的经济情况也是有用的．卷中：共7门，71问．内容有各种田亩面积、仓窖容积、工程土方、复杂的比例计算等等．卷下：共5门，75问．内容包括各种分数计算、垛和问题、盈不足算法、一次方程解法、天元术等等．这样，《算学启蒙》全书从简单的四则运算入手，一直讲述到当时数学的重要成就——天元术(高次方程的数值解法)，为阅读《四元玉鉴》作了必要的准备，给出了各种预备知识．清代罗士琳说《算学启蒙》“似浅实深”，又说《算学启蒙》、《四元玉鉴》二书“相为表里”，这些话都是不错的．《算学启蒙》出版后不久即流传至朝鲜和日本．在朝鲜的李朝时期，《算学启蒙》和《详明算法》、《杨辉算法》一道被作为李朝选仕(算官)的基本书籍．在日本收藏有一部首尾残缺、未注明年代的《算学启蒙》，与此书一起，同时也藏有一部宣德八年(即李朝世宗十五年，1433)朝鲜庆州府刻版的《杨辉算法》．从版刻形式等方面来辨识，两部书是相同的，从而有人推断这部《算学启蒙》也是1433年朝鲜庆州府刻本．这可能要算是当今世界上最早的传世刻本．在《李朝实录》中也记有世宗本人曾向当时的副提学郑麟趾学习《算学启蒙》的史料．《算学启蒙》传入日本的时间也已不可考，是久田玄哲在京都的一个寺院中发现了这部书，之后他的学生土师道云进行了翻刻(日本万治元年，1658，京都)．宽文12年(1672)又在江户(今东京)出版了星野实宣注解的《新编算学启蒙注解》3卷，元禄三年(1690)还出版了著名的和算家建部贤弘注释的《算学启蒙谚解大成》7卷．《算学启蒙》对日本和算的发展有较大的影响．《算学启蒙》一书在朝鲜和日本虽屡有翻刻，但明末以来，在中国国内却失传了．清末道光年间罗士琳重新翻刻《四元玉鉴》时，《算学启蒙》尚无着落．后来罗士琳“闻朝鲜以是书为算科取士”，请人在北京找到顺治十七年(1660)朝鲜全州府尹金始振所刻的翻刻本，1839年在扬州重新刊印出版．这个本子，后来成为中国现存各种版本的母本．清代对《算学启蒙》进行注释的有王鉴所著《算学启蒙述义》(1884)和徐凤诰所著《算学启蒙通释》(1887)．2．《四元玉鉴》与《算学启蒙》相比，《四元玉鉴》则可以说是朱世杰阐述自己多年研究成果的一部力著．全书共分3卷，24门，288问．书中所有问题都与求解方程或求解方程组有关，其中四元的问题(需设立四个未知数者)有7问(“四象朝元” 6问，“假令四草”1问)；三元者13问(“三才变通”11问，“或问歌彖”和“假令四草”各1问)；二元者36问(“两仪合辙”12问，“左右逢元”21问，“或问歌彖”2问，“假令四草”1问)；一元者232问(其余各问皆为一元)．可见，四元术——多元高次方程组的解法是《四元玉鉴》的主要内容，也是全书的主要成就．《四元玉鉴》中的另一项突出的成就是关于高阶等差级数的求和问题．在此基础上，朱世杰还进一步解决了高次差的招差法问题．《四元玉鉴》一书的流传和《算学启蒙》一样，也曾几经波折．这部1303年初版的著作，在15和16两个世纪都还可以找到它流传的线索．吴敬所著《九章算法比类大全》(1450)中的一些算题，和《四元玉鉴》中的算题完全相同或部分相同．顾应祥在其所著《孤矢算术》序言(1552)中写道：“孤矢一术，古今算法载者绝少，……《四元玉鉴》所载数条。
元代教学家朱世杰
常用数据 、 本运算法 则 、歌诀等共 １ 基 ８条．
“ 当三角形 的三边分别为 ３４ ５ ， 、 、 时 难道这 个三角形不是直角三角形 吗？” 小亮据 理力争．
“ 我说过这个三角形不是直角三角形吗 ？”
小 明毫不相让 ．
“ 到底错 在哪 里呢 ？” 那 小亮 问道．
“ 使这 个三角形 是直角 三角形 ， 要 第三 边 非等 于 ５不可 吗 ？” 明又一 次提 醒小亮 ． 小
和 ｌ 世 纪开头 的 １ ４ ０～ ２ ０年之 间。 《 算学 启蒙》 书共三 卷 ２ 全 ０门 ２ ９个 问 ５
题， 从简单 的四则运算入 手 ， 逐步深 入 ， 直至
高次开 方 、 天元术等 较高深 的内容 ， 成 了 形 比较完整 的体系 ， 当时是一部较好 的数 学 在
启蒙读本 ． 在全 书开 头 ， 朱世杰 列 出了各种
或√ ． ７ 小明为好友的进步而高兴． ”
（ 中版 ） 初
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“ 真 糟糕 ！我又把 第三边 当作斜边 了． 唉， ” 小亮 不好 意思 地说． “ 不错 ！斜边 还可 以是 ４这一边 嘛． ”
“ 那本题 还有 另一个 解是 ： ＝ ４ 一 ３ ＝
７Ｘ＝√７” ， ．小亮快 速地说 出 了答 案．
“ 这样才 全面 ，正确 答案应 是第三边 为 ５
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二 ：
一
一
朱世杰 是我 国元代数学家 ， 字汉 卿， 号松 庭， 著有 《 算学 启蒙》 四元玉 鉴》 书． 《 等 他和 秦九韶 、 冶 、 李 杨辉是 我 国宋 元 时期最著名
的数学 家． 关于朱世 杰 的生平 ， 留下 来的资料很 遗 少． 在别 人为他 的著作 所写 的序言 中有 ： 燕 “
消元法背景故事
消元法背景故事
用消元法解高次方程的科学首创
朱世杰，字汉卿，号松庭。
燕山（今北京附近）人，生卒年不详，中国元代著名数学家。
中国在两汉时期就能解一次方程，古时候称为“方程术”。
到了宋元时期又出现了具有世界意义的成就——天元术。
那么，当未知数不止一个的时候，如何列出高次联立方程组求解呢？有这样一道古代数学题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔及长各几步？答曰：阔二十四步，长三十六步”。
这就是说，长方形田地的面积等于八六四平方步，长与宽的和是六十步，长与宽各多少步？
此题列成方程式即是：xy＝864，x+y=60，其中x、y分别表示田的长和宽，这是一个二元二次方程组问题，此题选自我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》一书。
这说明，我国宋代数学家就已结合生产实践对多元高次方程组有了研究。
那么，有没有三元三次方程组，四元四次方程组呢？当然有。
早在宋、元时期，我国数学家就圆满地解决了这个问题。
元代数学家朱世杰，在与他同时代的数学家秦九韶、李治所创立的一
元高次方程的数值解法和天元术的基础上，进一步发展了“四元术”，创造了用消元法解二、三、四元高次方程组的方法。
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1．简述阿基米德的生活时代、代表著作以及在数学上的主要成就。
答：阿基米德生活在古希腊亚历山大前期，代表著作有：《论球与圆柱》，《圆的度量》，《劈锥曲面与回转椭圆体》，《论螺线》，《平面图形》，《数沙器》，《抛物线图形求积法》等，阿基米德的主要成就有：用力学方法求出球体积，抛物或弓形的面积，托球体、抛物或旋转体截体和球缺体积；用穷竭法求出圆面积和一系列曲边形面积与体积；得到的近似值为22/7。
2．朱世杰(什么朝代、什么地方的人、代表著作和数学创造)。
答：朱世杰是13 世纪至14 世纪元代数学家，燕山人。
代表著作是《四元玉鉴》，其主要数学成就是求解方程的四元术、高阶等差数列研究及其在内插法上的应用。
3．简述《九章算术》的主要内容及在中国数学史上的意义。
答：《九章算术》是我国古代的一本传世数学名著，一直作为我国传统数学的代表作。
《九章算术》是以应用问题集的形式表述的，一共收入246 个问题，分为九章，分别为方田，粟米，衰分，少广，商功，均输，盈不足，方程，勾股。
标志着中国传统数学的知识体系已初步形成，对中国数学的发展的历史作用如同《几何原本》对西方数学影响一样。
4．简述笛卡尔的生活年代、所在国家、代表著作以及在数学上的主要成就。
答：笛卡尔（1596-1650）出生于法国的拉哈耶。
主要著作有《方法论》其中包括：《折光学》、《大气现象》和《几何学》。
主要成就有：开创性地用代数方法研究几何问题，把代数方程和曲线、曲面联系起来；引出了变量和函数的概念。
5．简述运筹学的建立和发展过程。
答：运筹学是运用数学方法解决生产、国防、商业和其他领域中的安排、筹划、控制、管理等有关问题的音乐数学的分支。
最早产生于二战中的英国，用以解决空防雷达信息系统与战斗机系统的协同配合问题。
不久美军也开始了类似的研究，并在战争中建有奇功。
目前运筹学已包括有数学规划论、博弈论、排队论、决策分析、图论等。
6．花拉子米(什么时代、什么地方的数学家、代表著作和重要贡献)。
第六节 朱世杰及元代数学
第六节朱世杰及元代数学一、元初数学成就1．王恂的数学工作王恂(1235—1281)，元代数学家．字敬甫，唐县(今属河北)人．他“六岁就学，十三岁学九数，辄造其极”．后从刘秉忠学，官至太史令．至元十七年(1280)与天文学家郭守敬(1231—1316)等共同编成《授时历》，其中的数学工作主要是王恂作的．唐代张遂制订历法时，假定太阳作匀加速运动，所以使用二次内插法．但实际上，太阳运行的加速度是不断变化的．在《授时历》中，王恂把太阳、月亮及五星的视行度当作时间的三次函数，采用三次内插法来求函数值，收到更好效果．但确定天体位置需要使用赤道坐标和黄道坐标，王恂之前是直接通过天文观测来确定这两种坐标的．王恂首先注意到两种坐标的数学关系，提出如下问题：已知太阳的“黄道积度”，求“赤道积度”和“赤道内外度”．如图8．16，设A为春分点，D为夏至点，其中d为直径，BN⊥OC，CP⊥OE．只要测得黄道坐标，便可利用上述公式及其他有关知识推出相应的赤道坐标，从而使人们经过较少的实测，得到较多的结果．2．赵友钦的割圆术赵友钦，元代天文学家、数学家．字子公，号缘督先生，鄱阳(今江西鄱阳)人，生卒年不详．所著《革象新书》是一部天文数学著作．作圆内接正方形，然后不断倍增边数，依次求得各内接正多边形边长(图8．17)．“置第十二次之小弦以第十二次之曲数一万六千三百八十四乘之，得三千一百四十一寸五分九厘二毫有奇，即是千寸径之周围也．”周率近似值中最准确的一个．赵友钦说：“自一、二次求之以至一十二次，可谓极其精密．若节节求之，虽至千万次，其数终不穷．”可见他不仅认识到圆内接正多边形的极限位置是圆，而且认识到极限是一个不可穷尽的过程，这种思想与现代极限观念相当接近．赵友钦还进一步揭示了方、圆关系，说：“要之方为数之始，圆为数之终．圆始于方，方终于圆．”这种“曲直互通”的思想是很深刻的，他已认识到方可转化为圆，而转化的条件便是取极限．二、朱世杰生平朱世杰，元代数学家．字汉卿，号松庭，燕山(今北京附近)人，生卒年不详．元统一中国后，朱世杰曾以数学家的身份周游各地二十余年，向他求学的人很多，他到广陵(今扬州)时“踵门而学者云集”．朱世杰全面继承前人的数学成果，他吸收了高次方程的数值解法，又吸收了北方的天元术及南方的各种日用算法、数学口诀等，在此基础上进行了创造性研究，写成以总结和普及当时各方面数学知识为宗旨的《算学启蒙》(三卷)和四元术的代表作《四元玉鉴》(三卷)，先后于1299年和1303年刊印．朱世杰是元代最杰出的数学家，清罗士琳(1774—1853)说他“兼包众有，充类尽量，神而明之尤超越乎秦(九韶)李(冶)之上．”《四元玉鉴》的成书则标志着宋元数学达到最高峰．美国科学史家萨顿(G．Sarton)称赞该书“是中国数学著作中最重要的一部，也是中世纪的杰出数学著作之一．”三、《算学启蒙》《算学启蒙》的内容由浅入深，次第谨严，从一位数乘法开始，一直讲到当时的最新数学成果——天元术，形成一个完整体系，内容包括多位数乘法、分数四则运算、面积和体积计算、比例问题、垛积术、盈不足术、线性方程组、高次方程解法等．尤其引人注目的是，卷首“总括”中给出一整套数学概念及运算法则，作为全书的理论基础．其中包括正负数乘法法则及倒数概念．朱世杰明确指出：“同名(号)相乘为正，异名相乘为负．”又指出：“平除长为小长，长除平为小平．……小长平相乘得一步为小积．”这便给出倒数的基本性质在《算学启蒙》中，朱世杰借助辅助未知数解线性方程组，这在数学史上还是首次．例如卷下“方程正负门”第五题，依术列方程组如下(改用现代符号)：这种方法对于简化运算程序是很有意义的，系数越复杂，设辅助未知数的方法就越有用．另外，书中把天元术广泛用于各种面积和体积问题，导出许多高次方程，这说明天元术在李冶的基础上有了进一步的发展．朱世杰还致力于算法研究，给出一些新的公式，如“开方释锁门”给出根式运算法则其中n，a，b为自然数，n≥2．《算学启蒙》为《四元玉鉴》提供了必要的预备知识，正如罗士琳所说，该书“似浅实深”，与《四元玉鉴》“相为表里”．四、《四元玉鉴》《四元玉鉴》的主要成就是四元术，即四元高次方程组的建立和求解方法．在他之前，已有李德载《两仪群英集臻》讨论二元术，刘大鉴《乾坤括囊》讨论三元术．在此基础上，朱世杰“演数有年，探三才之赜，索九章之隐，按天、地、人、物立成四元”(《四元玉鉴》后序)，创立了举世闻名的四元术．朱世杰的天、地、人、物，相当于现在的x，y，z，u，其摆法如图8 .18，例如方程-x2+3xy-2xz+x-y-z=0(卷下“三才变通”第1题)及2u 4-u3-u2+3u-8z2+2xz+2xy+6yz=0(卷下“四象朝元”第6题)分别摆成图8.19和图8.20的形状．《四元玉鉴》共24门288问，所有问题都与方程或方程组有关．题目顺序大体是先方程后方程组，先线性方程组后高次方程组．朱世杰创造了一套完整的消未知数方法，称为四元消法．这种方法在世界上长期处于领先地位，直到18世纪，法国数学家贝祖(E.Bezoub,1730—1783)提出一般的高次方程组解法，才超过朱世杰．但朱世杰的消法要点仅见于书首“假令四草”，其他各题均无草．书首还列有“今古开方会要之图”、“四元自乘演段之图”、“五和自乘演段之图”和“五较自乘演段之图”，这些图的作用也是统御全书．朱世杰说：“凡习四元者，以明理为务．必达乘除、升降、进退之理，乃尽性穷神之学也．”卷首各图便是为“明理”而作，他说：“夫算中玄妙，无过演段．如积幽微，莫越认图．其法奥妙，学者鲜能造其微．前明五和，次辨五较，自知优劣也．”《四元玉鉴》表明，朱世杰在方程领域取得重要成就．以前的方程都是有理方程，朱世杰则突破有理式的限制，开始讨论无理方程．他不化为有理方程(见“左右逢源”第21题，“拨换截田”第18题，“四象朝元”第1题)．四元消法是朱世杰方程理论的核心．他通过方程组中不同方程的配合，依次消掉未知数，化四元式为一元式，即一元高次方程．三元式和四元式的消法称为“剔而消之”，即把全式剔分为二，进行相消．二元式的消法称为“互隐通分相消”．下面以二元三行式为例说明其消法．其中各系数是关于另一个未知数的多项式(可以是常数)．欲消x2项，先以B2乘(1)式中x2项以外各项，再以A2乘(2)式中x2项以外各项，相减，得C1x＋C0＝0． (3)以x乘(3)，得C1x2＋C0x=0． (4)将(4)与(1)或(2)联立，用同样方法消去x2项，得D1x+D0＝0． (5)(3)与(5)联立，便为二元二行式．朱世杰称C1，D0为外二行，C0，D1为内二行．内二行乘积与外二行乘积相减，得C1D0-C0D1＝0．这便消去x，得到只含另一个未知数的一元方程了．《四元玉鉴》含二元问题36个，三元问题13个，四元问题7个．虽然用到四元术的题目不多，但它们却代表了全书，也代表了当时世界范围内方程组理论的最高水平．“四象朝元”第6题所导出的十四次方程是中国古算史上次数最高的方程．高阶等差级数理论是书中另一成就．沈括的隙积术开了研究高阶等差级数的先河，杨辉给出包括隙积术在内的一系列二阶等差级数求和公式．朱世杰在这一领域作了总结性工作．在中卷“茭草形段”和下卷“果垛叠藏”中，他依次研究了一阶至五阶等差级数求和问题，不仅给出相应的公式，而且发现其规律，掌握了如下的三角垛统一公式从而奠定了垛积术的理论基础．实际上，等差级数是几阶的，便可把上式中的p换为几．朱世杰给出了p＝1，2，…，5的特例．他还发现垛积术与内插法的内在联系，在“如象招数”第5题中利用垛积术导出四次内插公式(四次差为一非零常数，五次差为零)：其中Δ1，Δ2，Δ3，Δ4分别为一次差、二次差、三次差、四次差．由于朱世杰正确指出了公式中各项系数恰好是一系列三角垛的积，他显然能够解决更高次的内插问题，从而把中国古代的内插法推向一个新水平．在几何方面，朱世杰也有一定的贡献．自《九章算术》以来，中国就有了平面几何与立体几何，但一直到北宋，几何研究离不开勾股和面积、体积．李冶开始注意到圆城图式中各元素的关系，得到一些定理，但未能推广到更一般的情形．朱世杰在李冶思想的基础上，深入研究了勾股形内及圆内各几何元素的数量关系，发现了平面几何中的射影定理和特殊情形的弦幂定理．例如卷上“混积问元”第七题，如图8．21，朱世杰得到公式易证等号左面等于h2，所以此式与射影定理h2＝ef等价．再如卷中“拨换截田”第十四题，如图8．22，AB⊥CD于E，朱世杰给出公式4CE×ED＝AB2此式显然是弦幂定理CE×ED＝AE×EB在两弦垂直且有一弦为直径时的特殊情形．五、宋元数学的外传及衰落《算学启蒙》出版后不久即传到朝鲜和日本．在朝鲜李朝时期(14—16世纪)，《算学启蒙》及《杨辉算法》都被作为朝廷选拔算官的基本书籍．两书的朝鲜庆州府刻本(15世纪)一直保存至今．由于《算学启蒙》在明代失传，清罗士琳幸得朝鲜金始振翻刻本(1660)，于1839年在扬州重新出版，成为中国现存各版本的母本．《算学启蒙》对日本的影响也很大，不少日本学者在研究此书的基础上写出专著，比较著名的有星野实宣《新编算学启蒙注解》三卷(1672)、建部贤弘《算学启蒙谚解大全》七卷(1690)等．宋元数学还曾传到阿拉伯．13世纪旭烈兀①西征时，带走了一批中国天文学家和数学家．他征服波斯后支持纳西尔丁(Na－sirad－Din，1201—1274)在马拉盖(Maraghen，今伊朗境内)建立了一座规模宏大的天文台，并把带去的中国学者留在天文台和纳西尔丁一起工作，这是中国数学传入阿拉伯国家的一个途径．阿拉伯数学家卡西(al－kāsh ī，？—1429)的《算术之钥》(The Key of Arithmetic，1427)中有不少内容与中国数学相同，如贾宪三角形、增乘开方法，以及和“百鸡问题”极为类似的“百禽问题”等．他受到中国数学影响是可以肯定的，当然不排除其独立取得成果的可能性．在元代，阿拉伯数码曾传入中国，但并未被中国人接受．欧几里得《几何原本》也传到上都(今内蒙古正蓝旗)，可惜没有译成中文，所以影响不大，不久便散失了．朱世杰之后，元代数学便开始走下坡路．明代数学理论水平远不及宋元，天元术、四元术成为绝学．直到明末清初，由于西方数学的传入及中国学者的努力，数学才有所回升．那么，宋元数学衰落的原因是什么呢？首先，中国传统数学是依靠算筹的，虽然这是一种很有用的计算工具，但具有不可避免的局限性，因为它只适于计算而不适于证明，只能表示具体的量而不能表示抽象的量．这就限制了人们的抽象思维，限制了数学一般化程度的提高．宋元方程理论可以由天元术发展为四元术，但在筹算体系内却无法建立五元术或n元术，因为四个未知数已把“太”的上下左右占满．这个例子便说明了算筹的局限性．更重要的是，人们无法利用算筹进行逻辑推理，也很难在筹算体系内发展数学符号．但这些消极因素的总和，充其量是使数学停滞不前．而事实上，元末数学不仅没前进，反而后退．造成这种状况的原因就不在数学内部，而在于社会了．当时的政策是不利于科学发展的，尤其是八股取士制．1314年恢复科举考试后，内容以朱熹集注的《四书》为主，将数学内容完全取消．不久，这种考试发展为“以四书五经命题、八股文取士”的制度，引导知识分子远离自然科学，严重束缚了读书人的思想．知识分子们为了功名，纷纷埋头于《四书五经》，只会在儒家经典中寻章摘句，奢谈三纲五常之类的封建伦理，哪里还顾得上数学及其他有实用价值的科学技术呢？正如元末丁巨所说：“时尚浮辞，动言大纲……士类以科举故，未暇笃实．”八股取士制的危害，在明代愈演愈烈，顾炎武曾痛斥说：“开科取士，则天下之人日愚一日．”元末以后的社会思潮也不利于数学发展，成为官方哲学的理学完全摒弃了自然科学．理学家们大谈天理、人伦，认为科学技术乃雕虫小技，为君子所不齿，甚至讥笑研究数学的人是“玩物丧志”．在这种社会环境中，数学由盛而衰就不奇怪了．。
著名数学家朱世杰
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《四元玉鉴》出版 于1303年，共3卷， 分24门、288问，则 是中国宋元数学高峰 的又一个标志，其中 最杰出的数学创造有 “四元术”（多元高 次方程列式与消元解 法）、“垛积术” （高阶等差数列求和） 与“招差术”（高次 内插法）。
主要贡献
• 朱世杰突破了有理式的限制，开始处理无 理方程．其次是高阶等差级数的研究．沈 括的隙积术开研究高阶等差级数之先河， 杨辉给出包括隙积术在内的一系列二阶等 差级数求和公式．朱世杰则在此基础上依 次研究了二阶、三阶、四阶乃至五阶等差 级数的求和问题，从而发现其规律，掌握 了三角垛统一公式．他还发现了垛积术与 内插法的内在联系，利用垛积公式给出规 范的四次内插公式。
中国著名数学（1249年－1314年），字汉卿，号松庭，汉族， 燕山（今北京）人氏，元代平民数学家、教育家，毕生从 事数学教育。有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉。朱 世杰在当时天元术的基础上发展出“四元术”，也就是列
出四元高次多项式方程，以及消元求解的方法。此外他还
创造出“垛积法”，即高阶等差数列的求和方法，与“招 差术”，即高次内插法。主要著作是《算学启蒙》与《四 元玉鉴》。
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著作简介
• 《算术启蒙》出版于1299年， 共三卷，是一部通俗数学名著 ，曾流传海外，影响了朝鲜、 日本数学的发展。书中内容由 浅入深，从一位数乘法开始， 一直讲到当时的最新数学成果 ――天元术，俨然形成一个完 整体系，而且明确提出正负数 乘法法则，给出倒数的概念和 基本性质，概括出若干新的乘 法公式和根式运算法则，总结 了若干乘除捷算口诀，并把设 辅助未知数的方法用于解线性 方程组．
历史评价
• 朱世杰的主要贡献是创造了一套完整的消未知数 方法，称为四元消法．这种方法在世界上长期处 于领先地位，直到18世纪，法国数学家贝祖 (Bezout)提出一般的高次方程组解法，才超过朱 世杰。除了四元术以外，《四元玉鉴》中还有两 项重要成就，即创立了一般的高阶等差级数求和 公式及等间距四次内插法公式，后者通常称为招 差术．此书代表着宋元数学的最高水平，美国科 学史家萨顿(G．Sarton)称赞它“是中国数学著作 中最重要的一部，同时也是中世纪的杰出数学著 作之一”。
朱世杰及元代数学
第六节朱世杰及元代数学一、元初数学成就1．王恂的数学工作王恂(1235—1281)，元代数学家．字敬甫，唐县(今属河北)人．他“六岁就学，十三岁学九数，辄造其极”．后从刘秉忠学，官至太史令．至元十七年(1280)与天文学家郭守敬(1231—1316)等共同编成《授时历》，其中的数学工作主要是王恂作的．唐代张遂制订历法时，假定太阳作匀加速运动，所以使用二次内插法．但实际上，太阳运行的加速度是不断变化的．在《授时历》中，王恂把太阳、月亮及五星的视行度当作时间的三次函数，采用三次内插法来求函数值，收到更好效果．但确定天体位置需要使用赤道坐标和黄道坐标，王恂之前是直接通过天文观测来确定这两种坐标的．王恂首先注意到两种坐标的数学关系，提出如下问题：已知太阳的“黄道积度”，求“赤道积度”和“赤道内外度”．如图8．16，设A为春分点，D为夏至点，其中d为直径，BN⊥OC，CP⊥OE．只要测得黄道坐标，便可利用上述公式及其他有关知识推出相应的赤道坐标，从而使人们经过较少的实测，得到较多的结果．2．赵友钦的割圆术赵友钦，元代天文学家、数学家．字子公，号缘督先生，鄱阳(今江西鄱阳)人，生卒年不详．所著《革象新书》是一部天文数学著作．作圆内接正方形，然后不断倍增边数，依次求得各内接正多边形边长(图8．17)．“置第十二次之小弦以第十二次之曲数一万六千三百八十四乘之，得三千一百四十一寸五分九厘二毫有奇，即是千寸径之周围也．”周率近似值中最准确的一个．赵友钦说：“自一、二次求之以至一十二次，可谓极其精密．若节节求之，虽至千万次，其数终不穷．”可见他不仅认识到圆内接正多边形的极限位置是圆，而且认识到极限是一个不可穷尽的过程，这种思想与现代极限观念相当接近．赵友钦还进一步揭示了方、圆关系，说：“要之方为数之始，圆为数之终．圆始于方，方终于圆．”这种“曲直互通”的思想是很深刻的，他已认识到方可转化为圆，而转化的条件便是取极限．二、朱世杰生平朱世杰，元代数学家．字汉卿，号松庭，燕山(今北京附近)人，生卒年不详．元统一中国后，朱世杰曾以数学家的身份周游各地二十余年，向他求学的人很多，他到广陵(今扬州)时“踵门而学者云集”．朱世杰全面继承前人的数学成果，他吸收了高次方程的数值解法，又吸收了北方的天元术及南方的各种日用算法、数学口诀等，在此基础上进行了创造性研究，写成以总结和普及当时各方面数学知识为宗旨的《算学启蒙》(三卷)和四元术的代表作《四元玉鉴》(三卷)，先后于1299年和1303年刊印．朱世杰是元代最杰出的数学家，清罗士琳(1774—1853)说他“兼包众有，充类尽量，神而明之尤超越乎秦(九韶)李(冶)之上．”《四元玉鉴》的成书则标志着宋元数学达到最高峰．美国科学史家萨顿(G．Sarton)称赞该书“是中国数学著作中最重要的一部，也是中世纪的杰出数学著作之一．”三、《算学启蒙》《算学启蒙》的内容由浅入深，次第谨严，从一位数乘法开始，一直讲到当时的最新数学成果——天元术，形成一个完整体系，内容包括多位数乘法、分数四则运算、面积和体积计算、比例问题、垛积术、盈不足术、线性方程组、高次方程解法等．尤其引人注目的是，卷首“总括”中给出一整套数学概念及运算法则，作为全书的理论基础．其中包括正负数乘法法则及倒数概念．朱世杰明确指出：“同名(号)相乘为正，异名相乘为负．”又指出：“平除长为小长，长除平为小平．……小长平相乘得一步为小积．”这便给出倒数的基本性质在《算学启蒙》中，朱世杰借助辅助未知数解线性方程组，这在数学史上还是首次．例如卷下“方程正负门”第五题，依术列方程组如下(改用现代符号)：这种方法对于简化运算程序是很有意义的，系数越复杂，设辅助未知数的方法就越有用．另外，书中把天元术广泛用于各种面积和体积问题，导出许多高次方程，这说明天元术在李冶的基础上有了进一步的发展．朱世杰还致力于算法研究，给出一些新的公式，如“开方释锁门”给出根式运算法则其中n，a，b为自然数，n≥2．《算学启蒙》为《四元玉鉴》提供了必要的预备知识，正如罗士琳所说，该书“似浅实深”，与《四元玉鉴》“相为表里”．四、《四元玉鉴》《四元玉鉴》的主要成就是四元术，即四元高次方程组的建立和求解方法．在他之前，已有李德载《两仪群英集臻》讨论二元术，刘大鉴《乾坤括囊》讨论三元术．在此基础上，朱世杰“演数有年，探三才之赜，索九章之隐，按天、地、人、物立成四元”(《四元玉鉴》后序)，创立了举世闻名的四元术．朱世杰的天、地、人、物，相当于现在的x，y，z，u，其摆法如图8 .18，例如方程2+3xy-2xz+x-y-z=0-x(卷下“三才变通”第1题)及2u 4-u3-u2+3u-8z2+2xz+2xy+6yz=0(卷下“四象朝元”第6题)分别摆成图8.19和图8.20的形状．《四元玉鉴》共24门288问，所有问题都与方程或方程组有关．题目顺序大体是先方程后方程组，先线性方程组后高次方程组．朱世杰创造了一套完整的消未知数方法，称为四元消法．这种方法在世界上长期处于领先地位，直到18世纪，法国数学家贝祖(E.Bezoub,1730—1783)提出一般的高次方程组解法，才超过朱世杰．但朱世杰的消法要点仅见于书首“假令四草”，其他各题均无草．书首还列有“今古开方会要之图”、“四元自乘演段之图”、“五和自乘演段之图”和“五较自乘演段之图”，这些图的作用也是统御全书．朱世杰说：“凡习四元者，以明理为务．必达乘除、升降、进退之理，乃尽性穷神之学也．”卷首各图便是为“明理”而作，他说：“夫算中玄妙，无过演段．如积幽微，莫越认图．其法奥妙，学者鲜能造其微．前明五和，次辨五较，自知优劣也．”《四元玉鉴》表明，朱世杰在方程领域取得重要成就．以前的方程都是有理方程，朱世杰则突破有理式的限制，开始讨论无理方程．他不化为有理方程(见“左右逢源”第21题，“拨换截田”第18题，“四象朝元”第1题)．四元消法是朱世杰方程理论的核心．他通过方程组中不同方程的配合，依次消掉未知数，化四元式为一元式，即一元高次方程．三元式和四元式的消法称为“剔而消之”，即把全式剔分为二，进行相消．二元式的消法称为“互隐通分相消”．下面以二元三行式为例说明其消法．其中各系数是关于另一个未知数的多项式(可以是常数)．欲消x2项，先以B2乘(1)式中x2项以外各项，再以A2乘(2)式中x2项以外各项，相减，得C1x＋C0＝0． (3)以x乘(3)，得C1x2＋C0x=0． (4)将(4)与(1)或(2)联立，用同样方法消去x2项，得D1x+D0＝0． (5)(3)与(5)联立，便为二元二行式．朱世杰称C1，D0为外二行，C0，D1为内二行．内二行乘积与外二行乘积相减，得C1D0-C0D1＝0．这便消去x，得到只含另一个未知数的一元方程了．《四元玉鉴》含二元问题36个，三元问题13个，四元问题7个．虽然用到四元术的题目不多，但它们却代表了全书，也代表了当时世界范围内方程组理论的最高水平．“四象朝元”第6题所导出的十四次方程是中国古算史上次数最高的方程．高阶等差级数理论是书中另一成就．沈括的隙积术开了研究高阶等差级数的先河，杨辉给出包括隙积术在内的一系列二阶等差级数求和公式．朱世杰在这一领域作了总结性工作．在中卷“茭草形段”和下卷“果垛叠藏”中，他依次研究了一阶至五阶等差级数求和问题，不仅给出相应的公式，而且发现其规律，掌握了如下的三角垛统一公式从而奠定了垛积术的理论基础．实际上，等差级数是几阶的，便可把上式中的p换为几．朱世杰给出了p＝1，2，…，5的特例．他还发现垛积术与内插法的内在联系，在“如象招数”第5题中利用垛积术导出四次内插公式(四次差为一非零常数，五次差为零)：其中Δ1，Δ2，Δ3，Δ4分别为一次差、二次差、三次差、四次差．由于朱世杰正确指出了公式中各项系数恰好是一系列三角垛的积，他显然能够解决更高次的内插问题，从而把中国古代的内插法推向一个新水平．在几何方面，朱世杰也有一定的贡献．自《九章算术》以来，中国就有了平面几何与立体几何，但一直到北宋，几何研究离不开勾股和面积、体积．李冶开始注意到圆城图式中各元素的关系，得到一些定理，但未能推广到更一般的情形．朱世杰在李冶思想的基础上，深入研究了勾股形内及圆内各几何元素的数量关系，发现了平面几何中的射影定理和特殊情形的弦幂定理．例如卷上“混积问元”第七题，如图8．21，朱世杰得到公式易证等号左面等于h2，所以此式与射影定理h2＝ef等价．再如卷中“拨换截田”第十四题，如图8．22，AB⊥CD于E，朱世杰给出公式4CE×ED＝AB2此式显然是弦幂定理CE×ED＝AE×EB在两弦垂直且有一弦为直径时的特殊情形．五、宋元数学的外传及衰落《算学启蒙》出版后不久即传到朝鲜和日本．在朝鲜李朝时期(14—16世纪)，《算学启蒙》及《杨辉算法》都被作为朝廷选拔算官的基本书籍．两书的朝鲜庆州府刻本(15世纪)一直保存至今．由于《算学启蒙》在明代失传，清罗士琳幸得朝鲜金始振翻刻本(1660)，于1839年在扬州重新出版，成为中国现存各版本的母本．《算学启蒙》对日本的影响也很大，不少日本学者在研究此书的基础上写出专著，比较著名的有星野实宣《新编算学启蒙注解》三卷(1672)、建部贤弘《算学启蒙谚解大全》七卷(1690)等．宋元数学还曾传到阿拉伯．13世纪旭烈兀①西征时，带走了一批中国天文学家和数学家．他征服波斯后支持纳西尔丁(Na－sirad－Din，1201—1274)在马拉盖(Maraghen，今伊朗境内)建立了一座规模宏大的天文台，并把带去的中国学者留在天文台和纳西尔丁一起工作，这是中国数学传入阿拉伯国家的一个途径．阿拉伯数学家卡西(al－kāsh ī，？—1429)的《算术之钥》(The Key of Arithmetic，1427)中有不少内容与中国数学相同，如贾宪三角形、增乘开方法，以及和“百鸡问题”极为类似的“百禽问题”等．他受到中国数学影响是可以肯定的，当然不排除其独立取得成果的可能性．在元代，阿拉伯数码曾传入中国，但并未被中国人接受．欧几里得《几何原本》也传到上都(今内蒙古正蓝旗)，可惜没有译成中文，所以影响不大，不久便散失了．朱世杰之后，元代数学便开始走下坡路．明代数学理论水平远不及宋元，天元术、四元术成为绝学．直到明末清初，由于西方数学的传入及中国学者的努力，数学才有所回升．那么，宋元数学衰落的原因是什么呢？首先，中国传统数学是依靠算筹的，虽然这是一种很有用的计算工具，但具有不可避免的局限性，因为它只适于计算而不适于证明，只能表示具体的量而不能表示抽象的量．这就限制了人们的抽象思维，限制了数学一般化程度的提高．宋元方程理论可以由天元术发展为四元术，但在筹算体系内却无法建立五元术或n元术，因为四个未知数已把“太”的上下左右占满．这个例子便说明了算筹的局限性．更重要的是，人们无法利用算筹进行逻辑推理，也很难在筹算体系内发展数学符号．但这些消极因素的总和，充其量是使数学停滞不前．而事实上，元末数学不仅没前进，反而后退．造成这种状况的原因就不在数学内部，而在于社会了．当时的政策是不利于科学发展的，尤其是八股取士制．1314年恢复科举考试后，内容以朱熹集注的《四书》为主，将数学内容完全取消．不久，这种考试发展为“以四书五经命题、八股文取士”的制度，引导知识分子远离自然科学，严重束缚了读书人的思想．知识分子们为了功名，纷纷埋头于《四书五经》，只会在儒家经典中寻章摘句，奢谈三纲五常之类的封建伦理，哪里还顾得上数学及其他有实用价值的科学技术呢？正如元末丁巨所说：“时尚浮辞，动言大纲……士类以科举故，未暇笃实．”八股取士制的危害，在明代愈演愈烈，顾炎武曾痛斥说：“开科取士，则天下之人日愚一日．”元末以后的社会思潮也不利于数学发展，成为官方哲学的理学完全摒弃了自然科学．理学家们大谈天理、人伦，认为科学技术乃雕虫小技，为君子所不齿，甚至讥笑研究数学的人是“玩物丧志”．在这种社会环境中，数学由盛而衰就不奇怪了．。
朱世杰数学成就
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一、朱世杰生平事迹 (1)（一）朱世杰生平 (1)（二）朱世杰的数学思想 (1)（三）朱世杰的贡献 (2)二、《算学启蒙》 (2)（一）算学启蒙简介 (3)（二）学术价值 (3)（三）《算学启蒙》的流传与影响 (3)三、《四元玉鉴》 (3)（一）《四元玉鉴》的简介 (4)（二）学术价值 (4)（三）《四元玉鉴》的流传与影响 (4)论数学家朱世杰的重要数学成就摘要：众所周知，宋金元数学史中国传统数学的高峰，在世界数学史上占有重要地位，这一时期的数学发展主流是方程理论，呈现出一种连续发展的趋势。
而元朝的著名数学家朱世杰是宋金元数学家中重要的重要的代表，本文详细的阐述了朱世杰的生平事迹及其两部著作《算学启蒙》和《四元玉鉴》。
关键词：数学史；朱世杰；《算学启蒙》；《四元玉鉴》；宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦（九韶）、李（冶）、杨（辉）、朱（世杰）四大家”，朱世杰就是其中之一。
朱世杰是一位平民数学家和数学教育家。
朱世杰平生勤力研习《九章算术》，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家。
一、朱世杰生平事迹朱世杰（1249年－1314年），字汉卿，号松庭，汉族，燕山（今北京）人氏，元代数学家、教育家，毕生从事数学教育。
（一）朱世杰生平朱世杰的青少年时代，蒙古人在北方的势力日益增强。
至1279年，元灭南宋，建立起统一的元帝国。
朱世杰不失时机地来到南方，周游江淮各地，结识了许多精通数学的人。
朱世杰 简介
朱世杰人物生平：朱世杰（年－年），字汉卿，号松庭，汉族，燕山（今北京）人氏，元代数学家、教育家，毕生从事数学教育。
有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉。
朱世杰在当时天元术的基础上发展出“四元术”，也就是列出四元高次多项式方程，以及消元求解的方法。
此外他还创造出“垛积法”，即高阶等差数列的求和方法，与“招差术”，即高次内插法。
主要著作是《算学启蒙》与《四元玉鉴》。
朱世杰“以数学名家周游湖海二十余年”，“踵门而学者云集”(莫若、祖颐：《四元玉鉴》后序）。
朱世杰数学代表作有《算学启蒙》（）和《四元玉鉴》（）。
《算术启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发展。
《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志，其中最杰出的数学创造有“四元术”（多元高次方程列式与消元解法）、“垛积术”（高阶等差数列求和）与“招差术”（高次内插法）。
研究成果：朱世杰长期从事数学研究和教育事业，以数学名家周游各地多年，四方登门来学习的人很多。
朱世杰数学代表作有《算学启蒙》（）和《四元玉鉴》（）。
《算学启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发展。
《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志，其中最杰出的数学创作有“四元术”（多元高次方程列式与消元解法）、“垛积法”（高阶等差数列求和）与“招差术”（高次内插法）。
朱世杰在数学科学上，全面地继承了秦九韶、李冶、杨辉的数学成就，并给予创造性的发展，写出了《算学启蒙》、《四元玉鉴》等著名作品，把我国古代数学推向更高的境界，形成宋元时期中国数学的最高峰。
《算学启蒙》是朱世杰在元成宗大德三年（）刊印的，全书共三卷，门，总计个问题和相应的解答。
这部书从乘除运算起，一直讲到当时数学发展的最高成就“天元术”，全面介绍了当时数学所包含的各方面内容。
它的体系完整，内容深入浅出，通俗易懂，是一部很著名的启蒙读物。
这部著作后来流传到朝鲜、日本等国，出版过翻刻本和注释本，产生过一定的影响。
朱世杰与垛积招差
垛积术是高阶等差级数求和问题，是宋元数学的重要分支。
十一世纪沈括创造隙积术，开其先河。
沈括研究了坛、罐等堆垛起来的刍童形垛，因为积之有隙，称为隙积，不能用《九章算术》的刍童公式求其数目。
设隙积的上底宽a，长b，下底宽c，长d，共n层，沈括的隙积术是，比刍童体积多。
这是二阶等差级数求和问题。
十三世纪杨辉以各种子垛模拟《九章算术》的多面体，实际上，在沈括公式中令，便是杨辉的四隅垛公式；令，便是杨辉的方垛公式；令，除以2，便是三角垛公式。
朱世杰解决了更多及更高阶的等差级数求和问题。
他提出了一系列三角垛公式：茭草垛，三角垛（或落一形垛），撒星形垛（或三角落一形垛），三角撒星形垛（或撒星更落一形垛），三角撒星更落一形垛显然，上述各级数依次是贾宪三角的第2，3，4，5，6条斜线上的数字，而其和恰恰是第3，4，5，6，7条斜线上的第个数字。
这正是朱世杰有两组并行线将贾宪三角各个数联结起来的原因。
可见，朱世杰已经掌握了三角垛的一般公式朱世杰还解决了以四角垛为一般项高阶等差级数求和问题。
郭守敬、王恂等元朝历算学家在制定《授时历》曾用招差术推算日、月的按日经行度数。
朱世杰将他在高阶等差级数求和方面的知识用于解决高次招差法问题。
他在《四元玉鉴》“如象招数”门计算招兵数目求得上差、二差、三差，下差后，指出：“求兵者：今招为上积，又今招减一为茭草底子积，为二积，又今招减二为三角底子积，为三积，又今招减三为三角落一积，为下积。
以各差乘各积，四位并之，即招兵数也。
”因此，求招兵数就是使用了招差公式：这一公式与现代通用的公式完全一致。
欧洲同样的公式是牛顿在1676年创造的。
*朱世杰：朱世杰是中国宋元时期的数学家。
他的生平少有人知，就连他生卒日的资料也不详。
数学史试题答案(简答论述)
数学史题库填空题（填空题（每空2 分）1．古希腊著名的三大尺规作图问题分别是：化圆为方、倍立方体、三等分角2．.欧几里得是古希腊论证数学的集大成者，他通过继承和发展前人的研究成果，编撰出旷世巨著《原本》..3．中国古代把直角三角形的两条直角边分别称为勾和股，斜边称为弦4．“万物皆数”是毕达哥拉斯学派的基本信条..5．毕达哥拉斯学派的基本信条是万物皆数6．1687 年，牛顿的《自然哲学的数学原理》出版，它具有划时代的意义，是微积分创立的重要标志之一，被爱因斯坦盛赞为“无比辉煌的演绎成就”.7．1637 年，笛卡儿发表了他的哲学名著《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》，解析几何的发明包含在这本书的附录《几何学》中.8．非欧几何的创立主要归功于数学家高斯、波约、罗巴切夫斯基9．解析几何的发明归功于法国数学家笛卡尔和费马11．徽率、祖率(或密率)、约率分别是.. .、和12．《海岛算经》的作者是__刘徽__，《四元玉鉴》的作者是__朱世杰_____.13．秦九韶的代表作是《_数书九章》，他的提出__正负开方术_是求高次代数方程的完整算法，他提出的__大衍总数术___是求解一次同余方程组的一般方法.14．我国古代数学家刘徽用来推算圆周率的方法叫___割圆术____术，用来计算面积和体积的一条基本原理是___出入相补原理_原理.15．对数的发明者__纳皮尔_____是一位贵族数学家，_拉普拉斯_____曾赞誉道：“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命”.16.历史上第一篇系统的微积分文献《流数简论》的作者是__牛顿______，第一个公开发表微积分论文的数学家是__莱布尼茨____.17.古代美索不达米亚的数学常常记载在___泥版_____上，在代数与几何这两个传统领域，他们成就比较高的是__代数_______领域.18．阿拉伯数学家__花拉子米____的《还原与对消计算概要》第一次给出了__一元二次____方程的一般解法，并用几何方法对这一解法给出了证明.19.“非欧几何”理论的建立源于对欧几里得几何体系中__第五公设___的证明，最先建立“非欧几何”理论的数学家是___高斯___.20．起源于“英国海岸线长度”问题的一个数学分支是__分形几何____，它诞生于___20_世纪. 21．四色问题是英国青年大学生__古德里_____于___19_____世纪提出的.22．在代数和几何这两大传统的数学领域，古代埃及的数学成就主要在___几何_____方面，美索不达米亚的数学成就主要在__代数______方面.23．用圆圈符号“O”表示零，可以说是__印度数学___的一大发明，有零号的数码和十进位值记数在公元8 世纪传入阿拉伯国家，后又通过阿拉伯人传至___欧洲____.24．希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的原则，即：__相容性___、__独立性____、__完备性____.25．被称为“现代分析之父”的数学家是_魏斯特拉斯，被称为“数学之王”的数学家是_高斯__.26.“数学无王者之道”，这里的“王”是指捷径.27.被著名数学史家贝尔称为“最伟大的埃及金字塔”是指莫斯科纸草书中的截棱锥体28. 刘徽是中算史上第一个建立可靠理论来推算圆周率的数学家..简答或证明（简答或证明（每小题5 分）：1.请列举《九章算术》各章的名称和主要研究内容.3.请简述《几何原本》和《九章算术》的思想方法特点，并比较两者的异同.4.请简述微积分诞生的酝酿时期微分学的基本问题和积分学的基本问题.5.请简述开普勒利用“无限小元素和”推导球体积公式的方法.6.请给出勾股定理的两种证明方法，要求画图并写出简要推导过程.7.用《九章算术》中的盈不足术解下面问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何”？8.推导三次方程x3=px+q 的求根公式——卡尔丹公式. 9.简述费马大定理的具体内容，并指出它是哪一年被提出的，又在何时被解决.10.在牛顿和莱布尼茨之前有许多数学家曾对微积分的创立作出过重要贡献，请列举其中的两位，并指出他们的主要贡献.11.简述莱布尼茨生活在哪个世纪、所在国家及在数学上的主要成就.12.花拉子米是什么时代、什么地方的数学家，简述他的代表著作和重要数学贡献.13.写出数学基础探讨过程中所出现的“三大学派”的名称、代表人物、主要观点.14.朱世杰是什么时代、什么地方的数学家，简述他的代表著作和重要数学贡献.15.秦九韶是什么时代、什么地方的数学家，简述他的代表著作和重要数学贡献.16.简述笛卡尔的生活年代、所在国家、代表著作以及在数学上的主要成就.17.已知三角形三边长为a,b,c，请推导秦九韶公式，并将该公式变形为海伦公式.18.请简述阿基米德推导球体积公式的方法.19.请简述刘徽证明阳马的体积公式为其三条直角边乘积的三分之一的过程.20.试证明素数有无穷多个.21.试证明2 不是有理数.22.写出斐波那契数列及其通项公式，并说明这个数列与“黄金分割率”的关系.23.三次数学危机分别发生在何时？主要内容是什么？是如何解决的？24. 牛顿、莱布尼兹微积分思想的异同有哪些？25.数系扩充的原则是什么？26.《几何原本》中的5 条公理和5 条公设分别是什么27.四元数系的发现者是谁？这一发现的意义是什么？28.简述阿波罗尼奥斯的生活时代及主要数学成就？29.解方程y 3 ? 3 y 2 ? 3 y ? 14 = 0 .30.试论述“论证几何学的鼻祖”的主要数学成就.31.设最初的正三角形的边长为1，试推导科奇雪花经过n 次变换以后的周长公式，以及当n→∞时科奇雪花面积的极限值.论述题（论述题（20 分）：1.论述数学史对数学教育的意义和作用.2.论述东方古代数学和西方古代数学各自的主要特征、对现代数学的影响，及其对数学教育的启示. 3. 试论述三角学的发展历史及其对高中三角函数教学的启示.4. 集合论的发展经历了哪几个阶段？5. 中国古代最早对勾股定理作出证明的数学家是三国时期的赵爽。
关于数列的名人故事
关于数列的名人故事
一、朱世杰（1249年－1314年），字汉卿，号松庭，汉族，燕山（今北京）人氏，元代数学家、教育家，毕生从事数学教育。
有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉。
朱世杰在当时天元术的基础上发展出“四元术”，也就是列出四元高次多项式方程，以及消元求解的方法。
此外他还创造出“垛积法”，即高阶等差数列的求和方法，与“招差术”，即高次内插法。
主要著作是《算学启蒙》与《四元玉鉴》。
二、‘李锐，中国清代数学家。
字尚之，号四香。
江苏元和（今苏州）人。
清乾隆三十三年十二月八日（1769年1月15日）生；嘉庆二十二年六月三十日（1817年8月12日）卒。
数学、天文学。
曾受业于钱大昕门下，后入阮元幕府，整理数学典籍。
实际主持《畴人传》的编写工作。
著有《弧矢算术细草》、《勾股算术细草》、《方程新术草》，阐发中国古代数学的精粹。
还曾对多部历法进行注释和数理上的考证，著成《日法朔余强弱考》。
数学家 朱世杰
朱世杰突破了有理式的限制，开始处理 无理方程．其次是高阶等差级数的研究．沈 括的隙积术开研究高阶等差级数之先河，杨 辉给出包括隙积术在内的一系列二阶等差级 数求和公式．朱世杰则在此基础上依次研究 了二阶、三阶、四阶乃至五阶等差级数的求 和问题，从而发现其规律，掌握了三角垛统 一公式．他还发现了垛积术与内插法的内在 联系，利用垛积公式给出规范的四次内插公 式。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在宋元时期的数学群英中，朱世杰的工作具 有特殊重要的意义．如果把诸多数学家比作群山 ，则朱世杰是最高大、最雄伟的山峰．站在朱世 杰数学思想的高度俯嫩传统数学，会有“一览众 山小”之感．朱世杰工作的意义就在于总结了宋 元数学，使之在理论上达到新的高度。朱世杰的 四元术正是对二元术、三元术的总结与提高．由 于四元已把常数项的上下左右占满，方程理论发 展到这里，显然就告一段落了．从方程种类看， 天元术产生之前的方程都是整式方程。
朱世杰的主要贡献是创造了一套完整的消未 知数方法，称为四元消法．这种方法在世界上长 期处于领先地位，直到18世纪，法国数学家贝祖 (Bezout)提出一般的高次方程组解法，才超过朱 世杰。除了四元术以外，《四元玉鉴》中还有两 项重要成就，即创立了一般的高阶等差级数求和 公式及等间距四次内插法公式，后者通常称为招 差术．此书代表着宋元数学的最高水平，美国科 学史家萨顿(G．Sarton)称赞它“是中国数学著 作中最重要的一部，同时也是中世纪的杰出数学 著作之一”。
《算术启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传海 外，影响了朝鲜、日本数学的发展。 《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个 标志，其中最杰出的数学创造有“四元术”（多元 高次方程列式与消元解法）、“垛积术”（高阶等 差数列求和）与“招差术”（高次内插法）。 宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家 有“秦﹝九韶﹞、李﹝冶﹞、杨﹝辉﹞、朱﹝世杰 ﹞四大家”，朱世杰就是其中之一。朱世杰是一位 平民数学家和数学教育家。朱世杰平生勤力研习《 九章算术》，旁通其它各种算法，成为元代著名数 学家。
数学史课件—朱世杰
它的体系完整，内容深入浅出，通俗
易懂，是一部很著名的启蒙读物。这部著作后来流传
到朝鲜、日本等国，出版过翻刻本和注释本，产生过
一定的影响。
四元玉鉴》中还有两项 重要成就，即创立了一 般的高阶等差级数求和 公式及等间距四次内插 法公式，后者通常称为 招差术．此书代表着宋 元数学的最高水平，
03
Part Three
数学问题及方法
朱世杰给出的几何图（演段图）：
领 跑 世 界 四 百 年 四 元 消 法 ——
下图为四元自乘演段图的现代形式：
立四元
领 跑 世 界 四 百 年 四 元 消 法 ——
四元自乘
中见为“太”， 上为x,下为z,左 为y,右为w：
04
Part Four
我的启发
“燕山朱松庭先生”，是元朝时代的一位杰出的数学家。所写 的《四元玉鉴》和《算学启蒙》，是中国古代数学发展进程中 的一个重要的里程碑，是中国古代数学的一份宝贵的遗产。13 世纪中叶，朱世杰除了接受北方的数学成就之外，他也吸收了 南方的数学成就，尤其是各种日用算法、商用算术和通俗化的 歌诀等等。 朱世杰全面继承了并创造性地发扬了天元术、正负开方法等秦、 李书中所载的数学成就之外，还囊括了杨辉书中的日用、商用、 归除歌诀之类与当时社会生活密切相关的各种算法，并作了新 的发展。
个 人 资 料
中文名:朱世杰 松庭 国 籍:元 出生地:燕山（今北京） 逝世日期:1314年 信 仰:科学
别 名:字汉卿，号 民 族:汉族 出生日期:1249年 职 业:数学家
主要成就:创造“四元术”、创造“垛积法” 与“招差术”
代表作品：《算学启蒙》和《四元玉鉴》
朱世杰的《四元玉鉴》
朱世杰的《四元玉鉴》朱世杰是元朝一位杰出的数学科学家。
朱世杰，字汉卿，号松庭，燕山（今北京）人氏。
他长期从事数学研究和教育事业，以数学名家周游各地20多年，四方登门来学习的人很多。
他的主要著作有《算学启蒙》三卷和《四元玉鉴》三卷。
说起朱世杰周游各地，这里还有一段鲜为人知的佳话，我们把这段佳话介绍给读者。
13世纪末，历经战乱的祖国为元王朝所统一，遭到破坏的经济和文化又很快繁荣起来。
蒙古统治者为了兴邦安国，便尊重知识，选拔人才，把各门科学推向新的高峰。
有一天，风景秀丽的扬州瘦西湖畔，来了一位教书先生，在寓所门前挂起一块招牌，上面用大字写着：“燕山朱松庭先生，专门教授四元术”。
不几天，朱世杰门前门庭若市，求知者络绎不绝，就在朱世杰在接待学生报名之时，突然一声声叫骂声引起他的注意。
只见一穿绸戴银半老徐娘，追着一年轻的姑娘，边打边骂：“你这贱女人，大把的银子你不抓，难道想做大家闺秀，只怕你投错了胎，下辈子也别想了。
”那姑娘被打得皮开肉绽，连内身衣服都被撕坏了。
姑娘蜷成一团，任凭她打，也不跟她回去。
朱世杰路见不平，便上前询问，那半老徐娘见冒出一个爱管闲事之人，就嘲笑道：“你难道想抱打不平，你送上50两银子，这姑娘就归你了！”朱世杰见此情景，大怒道：“难道我掏不出50两银子。
光天化日之下，竟胡作非为，难道没有王法不成？”那半老徐娘讽刺道：“你这穷鬼，还谈什么王法，银子就是王法，你若能掏出50两银子，我便不打了。
”朱世杰愤怒已极，从口袋里抓出50两银子，摔在半老徐娘面前，拉起姑娘就回到自己的教书之地。
原来，那半老徐娘是妓女院的鸨母，而这姑娘的父亲因借鸨母的10两银子，由于天灾，还不起银子，只好卖女儿抵债。
今天碰巧遇上朱世杰，才把姑娘救出苦海。
后来，在朱世杰的精心教导下，这姑娘也颇懂些数学知识，成了朱世杰的得力助手，不几年，两人便结成夫妻。
所以，扬州民间至今还流传着这样一句话：元朝朱汉卿教书又育人救人出苦海婚姻大事成上面这段佳话是不是事实，已不好考证，但说明了朱世杰在做学问的同时，还有着一颗慈爱的心。
四元玉鉴是什么时代朱世杰的著作
四元玉鉴是什么时代朱世杰的著作
1、四元玉鉴是元代数学家朱世杰所著，于1303年刊行。
2、日本三上义夫曾将本书介绍到国外，其后康南兹也做过英文介绍，比利时赫师慎(L. Van Hee)曾将假令四草(本书的一部分)译成法文。
3、陈在新曾将本书译成英文。
4、重要内容是多元高次方程组和高阶等差级数，在三个方面创立或发展了数学理论，即“四元术”、“垛积术”和“招差术”。
5、扩展资料：《四元玉鉴》的主要成就是四元术，即四元高次方程组的建立和求解方法。
6、其用“天”、“地”、人”、“物”四字代表四个未知数，系统地介绍了二元、三元、四元高次方程组的布列和解法。
7、解法的关键是消元，将多元高次方程组化成一元高次方程，然后应用增成开方法来解。
8、《四元玉鉴》中的另一杰出成就是垛积招差术。
9、垛积即高阶等差数列求和，招差即高次内插法，在这两个方面取得了相当重要的结果，比西方同类工作要早400年以上。
四元玉鉴是哪个朝代朱世杰的著作
四元玉鉴是哪个朝代朱世杰的著作
《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，元代数学家朱世杰所著。
《四元玉鉴》分卷首、上卷、中卷、下卷，24门，收录288问，包括天元术232问，二元术36问，三元术13问，四元术7问。
卷首四问是例题，有草（解题步骤），其他284问只有术而没有草。
1837年，清代数学家罗士琳补草，刊行《四元玉鉴细草》三卷。
所有问题都与方程式或方程组有关。
介绍了朱世杰在多元高次方程组的解法─”四元术”、高阶等差级数的计算─”垛积术”以及”招差术”（有限差分）等方面的研究成果。
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究所得，于大德三年（１２９９）写出《算学启蒙》一书。
在《算学启蒙》中，朱世杰分２０门列举了２５９道实用数学问
题，加以详解。内容从乘、除、开方，一直讲到当时最先进的
“天元术”，全面而系统地介绍了各方面的实用数学成就，深入
浅出，通俗易懂，其中所记“九归法除法口诀”，和现在流传的
人、物，立成四元，既有纵列，又有横列，摆成一个方阵模样，
用以表示一个可以包含四个未知数的多项式或方程，并有一整套
多元多项式的运算方法。朱世杰在书中收有四元方程组问题７
则，三元者１３则，二元者３６则。他用“消去法”解多元方程，将
四元四式消去一元后变为三元三式，再消去一元变为二元二式。
更消去一元就得一元方程式，然后用增乘开方法求得正根。
家牛顿所得的同一公式，要早出３７０余年。
朱世杰在《四元玉鉴》中，还首次提出正负数乘法的正确法
则。
上述数学成就，使朱世杰赢得了莫大的荣誉，人们把他与秦
九韶、李冶、杨辉并称为金元四大数学家，而且特别指出，他不
仅是四大家中最杰出的数学家，雅俗共赏；同时他也是中世纪世
界上最杰出的数学家。
珠算归除口诀几乎完全一致。这部普及的启蒙数学教科书，后来
还流传到朝鲜、日本，印行多次，在民间有一定的影响。
大德七年，朱世杰游广陵（今扬州），在这南北通衢的商业
名城讲授实用算学，听者云集，颇受欢迎。他积自己研究所得，
发展了前人的果，在授徒之余撰成《四元玉鉴》。
《四元玉鉴》根据“天元 术”，即设“Ｘ”解题，按天、地、
朱世杰，字汉卿，号松庭。燕山（今北京附近）人。元代数
学家。
他长期从事数学研究，注重实学，云游南北，授徒自给。当
时随着经济的发展，实用数学也有了很大的进步，宋末元初出现
了秦九韶《数学九章》、李冶《测圆海镜》、杨辉《日用算法》、
《详解九章算法》等数学名家和名著。朱世杰在此基础上，兼收
朱世杰首次解决了多元高次方程组问题，比法国数学家别朱
要早出４７０余年。
此外，朱世杰还在《四元玉鉴》中对宋元以来数学家没有完
成的“垛积招差”问题进行研究，得出关于高次招差的一般公
式，可以用来计算日月星辰在宇宙中视运动速度和方位，在天文
学中得到广泛的应用。朱世杰的公式，为世界首创，较英国科学