质点系角动量定理
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质点角动量定理 角动量守恒
v2
o
v1
4)角动量守恒定律是物理学的基本定律之一。不 仅适用于宏观体系，也适用于微观系统。
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
例1 一小球在光滑平面上作圆运动，小球被穿 过中心的线拉住 。开始时绳半径为r1 ，小球速 率为 v1 ；后来，往下拉绳子，使半径变为 r2 ， 小球速率变为 v2 ，求v2 =？
ri fi 0
i
有
dL M外 dt
质点系的角动量定理：质点系对某定点的角 动量的时间变化率等于质点系对该点的合外 力矩。
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
结论：
1）内力对定点的力矩之和为零。 2）只有外力矩才能改变系统的总角动量。 3.质点系的对轴的角动量
L Lx i Ly j Lz k
当质点系对某点的合外力矩为零时，则质点 系对该点的角动量保持不变，称为角动量守恒定 律。
角动量守 恒例题
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
盘状星系——角动量守恒的结果
质点系对o点的角动量
r2
o
r1
L Li ri Pi
i i
质点系对o点的角动量等于系统中各质点对 同一点角动量的矢量和。
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
2.质点系的角动量定理
用 f i 表示第i个质点所受内力之和
用 Fi 表示第i个质点所受外力之和
三、质点的角动量定理 dP 由牛顿第二定律 F dt
dP 两边用位矢叉乘 r F r dt dp d dr r (r p) p dt d dt t
由速度定义
dr v v p 0 dt
质点系角动量守恒定律
dL τ ，再考虑诸质点所受惯性力的力矩，即得 dt
dL τ i外 ri (mi ac ) dt 式中惯性力矩又可写作 mi ri dL ( mi ri) ac ( ) mac τ i外 m dt
此即质点系对质心的角动量定理，与惯性系中角动量定理具有完 全相同的形式。是表明质心系特殊和重要性的又一个例子。
第五章 角动量•关于对称性
前言 质点的角动量 质点系的角动量定理及角动量守恒定律 质点系对质心的角动量定理和守恒定律 对称性 • 对称性与守恒律 经典动力学的适用范围
§5.1 前
一、本章的基本内容及研究思路
言
角动量概念的建立和转动有密切联系，在研究物体的运动 时，人们经常可以遇到质点或质点系绕某一确定点或轴线运动 的情况，并且在这类运动中也存在着某些共同的重要规律。例 如，天文观测表明，行星绕日运动遵从开普勒第二定律，在近 日点附近绕行速度较快，远日点速度较慢，这个特点如果用角 动量及其规律很容易说明。特别是在有些过程中动量和机械能
当τ iz 0时,
Lz 常量.
§5.4 质点系对质心的角动量定理和 守 恒 定 律
前面给出的角动量定理和角动量守恒定律都相对于惯性系 而言，现在研究质心参考系中质点系角动量的变化规律。如图 （a），C xyz 即质心参考系。C 为质心，x ' , y ' 和 z 坐标轴
与惯性参考系 O xyz 的 x, y 和 z 轴总保持平行，而质心具有 加速度 ac 。 z
四、质点对轴的角动量定理和守恒定律（自阅）
§5.3 质点系的角动量定理及角动量守恒定 律
一、质点系角动量定理
设质点系由 N 个质点组成，对选定的某固定参考点，第 i 个 质 点的角动量定理的表达式为τ dLi
5.5 角动量守恒定律
例题1 ： 一粒子弹水平射入一静止悬杆的下端，穿出 后速度损失 3 / 4，求子弹穿出后棒的角速度 。已知轴处自由 。
解：以 f 代表杆对子弹的阻力，对子弹有: fdt m(v v0 ) 3mv0 / 4
子弹对杆的冲量矩为：
l f dt J f ldt
若 M 0 ，则
L J 常量
——刚体定轴转动的角动量守恒定律
讨论
内力矩不改变系统的角动量.
在冲击等问题中
M内 M外 L 常量
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律. 刚体（或刚体组系统）角动量守恒的三种情况： ①J 不变（刚体），角速度ω的大小和方向均不变 ②J 可变（质点系），ω亦可变，但Jω乘积不变 ③刚体组的角动量守恒
a
v
m
3mva 2 2 m' l 3ma
射入竿后，以子弹、细杆和 地球为系统 ，机械能守恒 .
o
30
a
1 1 2 2 2 ( ml ma ) 2 3 l mga(1 cos 30) mg (1 cos 30) 2
2 2 v g (2 3 )( m l 2ma )( m l 3ma ) 6 ma
质点系的角动量定理：
t
t0
Mdt L L0
质点系的角动量定理：
t
t0
Mdt L L0
O
ri
mi
z
该矢量式向固定转轴（如 z轴） 的投影，得一个标量式，即
vi
t
t0
M z dt Lz L0 z
相对某固定轴，质点系所受的角冲量等于系统 角动量的增量。——质点系对定轴的角动量定理。
第5讲 质点的角动量角动量守恒定律
第5章 质点(系)的角动量 角动量守恒定律
5.1 质点的角动量定理 5.2 质点系的角动量定理 5.3 角动量守恒定律
Law of Conservation of Angular Momentum
在自然界中经常会遇到质点围绕着一定的中心运转 的情况。例如，行星绕太阳的公转，人造卫星绕地 球转动，电子绕原子核转动以及刚体的转动等等。 在这些问题中，动量定理及其守恒定律未必适用， 这时若采用角动量概念讨论问题就比较方便。
r F v mv r F 令 r F M ─力矩 dL 于是有 M 可见: 引起转动状态改变的原 dt 因是由于力矩的作用
dL M —角动量定理的微分形式 dt 质点所受的合力矩等于其角动量对时间的变化率。
例题4 用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速 率圆周运动，其半径为 r0 ，角速度为ω0 。 现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径 逐渐减小。求当半径缩为 r 时的角速度。 解： 以小孔 o 为原点 绳对小球的拉力为有心力，
r o
v
r0 m
其力矩为零。 则小球对o 点的角动量守恒。
初态
mv0r0 mr0 20
n ——各个质点所受的各内力矩 M int ri fij 的矢量和。 i 1 j i
考察一对内力矩的矢量和。内力是成对出现的
ri f ij rj f ji ri rj f ij
角动量也是一个重要概念。□
5.1 质点的角动量定理
一 质点的角动量 对于作匀速直线运动的质点，可以用动量也可用 角动量的概念进行描述。 设质点沿 AB 作匀速直线运动， 在相等的时间间隔Δt 内，走过的 距离 ΔS = vΔt 都相等。 选择O 为原点，从O 到质点处引 位矢 r 。 r 在单位时间内扫过的 面积，称为掠面速度。
5.1 质点的角动量定理 5.2 质点系的角动量定理 5.3 角动量守恒定律
Law of Conservation of Angular Momentum
在自然界中经常会遇到质点围绕着一定的中心运转 的情况。例如，行星绕太阳的公转，人造卫星绕地 球转动，电子绕原子核转动以及刚体的转动等等。 在这些问题中，动量定理及其守恒定律未必适用， 这时若采用角动量概念讨论问题就比较方便。
r F v mv r F 令 r F M ─力矩 dL 于是有 M 可见: 引起转动状态改变的原 dt 因是由于力矩的作用
dL M —角动量定理的微分形式 dt 质点所受的合力矩等于其角动量对时间的变化率。
例题4 用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速 率圆周运动，其半径为 r0 ，角速度为ω0 。 现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径 逐渐减小。求当半径缩为 r 时的角速度。 解： 以小孔 o 为原点 绳对小球的拉力为有心力，
r o
v
r0 m
其力矩为零。 则小球对o 点的角动量守恒。
初态
mv0r0 mr0 20
n ——各个质点所受的各内力矩 M int ri fij 的矢量和。 i 1 j i
考察一对内力矩的矢量和。内力是成对出现的
ri f ij rj f ji ri rj f ij
角动量也是一个重要概念。□
5.1 质点的角动量定理
一 质点的角动量 对于作匀速直线运动的质点，可以用动量也可用 角动量的概念进行描述。 设质点沿 AB 作匀速直线运动， 在相等的时间间隔Δt 内，走过的 距离 ΔS = vΔt 都相等。 选择O 为原点，从O 到质点处引 位矢 r 。 r 在单位时间内扫过的 面积，称为掠面速度。
质点系的角动量定理
质点系的角动量定理质点系的角动量定理引言角动量是物理学中一个非常重要的概念，它描述了物体围绕某一轴旋转时所具有的特定性质。
在实际应用中，我们经常需要研究由多个质点组成的系统的角动量变化，这就涉及到了质点系的角动量定理。
定义首先，我们来回顾一下单个质点的角动量定义：对于一个质量为m、速度为v、距离某一轴距离为r的质点，它的角动量L可以表示为L = mvr sinθ，其中θ是速度方向与轴线方向之间的夹角。
然后再考虑由N个质点组成的系统，每个质点都有自己的速度和位置。
此时，整个系统所具有的总角动量可以表示为L = Σi=1N L_i，即每个质点所具有的角动量之和。
推导接下来我们来推导一下质点系的角动量定理。
假设一个由N个质点组成的系统，在某一瞬间t1时刻它们所具有的总角动量为L1，在另一瞬间t2时刻它们所具有的总角动量为L2。
那么根据牛顿第二定律和牛顿运动定律，我们可以得到以下的式子：F = ma = m(dv/dt) = d(mv)/dt其中F是质点所受的合力，m是质量，v是速度。
将上式两边同时乘以r sinθ，再对所有质点的角动量求和，可以得到：Σi=1N (r_i x F_i) = d/dt (Σi=1N L_i)其中r_i是第i个质点距离某一轴的距离向量，F_i是它所受的合力向量。
右边表示总角动量随时间的变化率。
根据矢量积的性质，r_i x F_i可以表示为m_iv_ir_isinθ_i，其中θ_i是速度方向与轴线方向之间的夹角。
将其代入上式中可得：Σi=1N m_iv_ir_isinθ_i = d/dt (Σi=1N L_i)这就是质点系的角动量定理。
应用利用质点系的角动量定理，我们可以研究各种旋转系统中角动量随时间变化的规律。
例如，在自由陀螺运动中，陀螺在自身重力作用下绕着固定轴线旋转。
由于陀螺具有一定的自旋角速度，它的角动量会随时间变化。
根据质点系的角动量定理，我们可以推导出陀螺的进动和章动规律。
5-3 质点系对质心的角动量定理和守恒定律
守 恒
定
律
前面给出的角动量定理和角动量 守恒定律都相对于惯性系而言，现在 研究质心参考系中质点系角动量的变 化规律。如图（a），C xyz 即质心 参考系。C 为质心， x, y和 z 坐标轴 与惯性参考系 O xyz 的 x, y 和 z 轴 总保持平行，而质心具有加速度 ac 。 x
53质点系对质心的角动量定理和守恒定律守恒规律定理质心和质心守恒定律质点系角动量定理角动量守恒质心定理
§5. 3 质点系对质心的角动量定理和
守 恒
定
律
质点系对于质心参照系的角动量定理:
dLC Mc dt
• 各质点所受外力对质心的外力矩矢量 和等于质心参照系中该质点系对质心的角 动量的变化率.
§5. 3 质点系对质心的角动量定理和
z
m1 ac
x
O (a)
z
C
mn
mi
y
y
图（b）即表示质心参考系中的情 况，诸质点相对 C 系的角动量用 L 表 示，又用 i外 表示作用于各质点诸力 对 C 点外力矩的矢量和。此外，所有 质点各受惯性力 mi ac ，根据
m1
z
m1பைடு நூலகம்c
x
C
dL dt
mi mn ac
(b)
y
ma
mi ac
再考虑诸质点所受惯性力的力矩，即得
dL i外 ri (mi ac ) dt 式中惯性力矩又可写作 mi r dL ( mi ri ) ac ( ) mac i外 m dt
此即质点系对质心的角动量定理，与惯性系中角动量定理具有 完全相同的形式。是表明质心系特殊和重要性的又一个例子。
5-2 质点系的角动量定理及角动量守恒定律
若质点系的所有质点均分别在与 z 轴垂直的平 面内运动，且一共同的角速度绕 z 轴作圆周运动， 则质点系对 z 轴的角动量为
Lz ri mi vi mi ri
i i
2
当质点系对轴的角动量守恒时：
ri 变小，则
M z 0 ，Lz 常量
增大；
ri 变大，则
减小.
质点系对轴的角动量定理
质点系对轴的角动量定理
dLz Mz dt
如果在一个过程中，质点系所受的外力 对 z 轴的力矩始终保持为零，则质点系对该 轴的角动量守恒.
M z 0 ，Lz 常量
质点系对轴的角动量守恒定律
当内力矩远大于外力矩时，质点系对轴的角动量 也是守恒的. （例：P170例1）
在直角坐标系中，上式沿三个坐标轴的投影式为
dLy dLx dLz M x M ix , My , Mz . dt dt dt
• 如果只考虑上式中某一个分量，例如 z 分量，则 表现为对轴的特征：即质点系对于 z 轴的角动量对时 间的变化率等于质点系所受一切外力对 z 轴力矩的代 数和，叫做质点系对 z 轴的角动量定理。
ri fij rj f ji (ri rj ) fij 0
ri fij 0
i i j
成对出现的内力对参考点的力矩矢量和为零. 由于系统内力总是成对出现，则系统内力矩的矢量和为零. • 可见，系统的内力矩只能使系统内各质点的角动量改变， 但不能改变质点系总的角动量。
如果在一个过程中，始终无外力矩作用或所受 的外力矩为零，则质点系的总角动量守恒 .
M外 0 ，L 常矢量
质点系对某一固定点的角动量守恒定律
质点系的角动量定理
fi
j i
fij
ri
fi
i
ji
r
i
dLi
dt
fij
ddti
L
i
fi
mi fij
ri ri rj
fji
mj
fj
i
ji
ri
合fi内j 力12矩i,j为(i j零) ri
fij
rj
O f ji
即证。
1 2i, j(i j)
r i
rj
f 0
ij
rj
4
内力矩可影响质点系中某质点的角动量，但 合内力矩等于零，对总角动量无影响。
当质点系相对于惯性系中某定点所受的合外 力矩为零时，该质点系相对于该定点的角动量 将不随时间改变—质点系的角动量守恒定律
孤立或在有心力作用下的系统角动量守恒。
宇宙中的天体可以认为是孤立体系。它Βιβλιοθήκη 具 有旋转盘状结构，成因是角动量守恒。
5
盘状星系
6
L
球形原始气云具有初始角动量L，在垂直于L方向， 引力使气云收缩 角动量守恒 粒子的旋转速度 惯性离心力，离心力与引力达到平衡，维持一 定的半径。 但在与L平行的方向无此限制，所 以形成了旋转盘状结构。
7
例题
讨论行星运动
F与
r在一直线上
M rF 0
rF
L 常矢量
S
v
1面、LL方向不r 变m v 轨道面是平 v远
r远
2、 L = 常量= r m v sin r v sin = 常量
量矢径单位时间行扫过的面积是常量
v近
o
r近
S= 常
在近日点与远日点 sin =1
6-4质点系的角动量定理和角动量守恒定律
二、质点系在惯性系中对固定点和固定轴的 角动量定理 1. 质点系对固定点的角动量定理. 质点系对固定点 O 的角动量定理表述为: 在惯 性系中, 质点系对固定点 O 的角动量的时间变化率 等于质点系所受对 O 点的外力矩的矢量和, 与内力 矩无关, 即
n n (e) (e) Lo = M o = ∑ M io = ∑ ri × Fi ( e )
e (2) 若在某过程中, 质点系所受对固定 l 轴的
外力矩 之 和恒为 零 , 即 M l(e ) ≡ 0 , 则在 该 过 程 中质 e 点系对固定 l 轴的角动量守恒,
Ll = ∑ Lil = 常量
i =1 n
三、质点系在质心系中对质心的角动量定理 1. 质点系在质心系中对质心的角动量定理为
(i ) (i ) 由于 M i = ∑ ri × Fi = 0 ,
则
n (e) (e) Lo = ∑ ri × Fi = M o i =1
2. 质点系对固定轴的角动量定理.
(e) e e 在固定 l 轴上取固定点 O , 用 l 点乘 Lo = M o ,
(e) 式中 Fi 为第 i 个质点所受合外力.
i =1
i =1
证明:
( e) (i ) Lio = ri × Fi + ri × Fi
n n ( e ) n (i ) Lo = ∑ Lio = ∑ ri × Fi + ∑ ri × Fi i =1 i =1 i =1
在质心系中对质心的角动量守恒定律可知 Lc′ = 常矢
量,
可 见 运 动中角速度 ω 保持
不变. 四、有关质心与内力的讨论 1. 利用质心系分解质点系的运动. 根据 质心 运 动定理 易 于 确 定质心的 运 动 ; 在 质心系中 以 质心为参考点 可以使问题得以简 化 ; 因此把 质点系的 运 动 分解 为 以 质心为 代 表的 “ 平 动”和相对质心系的运动给研究问题带来方便. 2.内力的作用. 质点系总动量 p 和总角动量 L0 的时间变化率与 内力无关决非表明内力对质点系的运动没有贡献, 也不表明内力对 p 和 L0 的演化过程没有影响. 质点间有内力相互作用是构成质点系的条件. 质点系内的质点是在外力与内力的 共同作 用 下运 动的 , 对质点系内 各 质点的 运 动 来说 , 内力 与外力有等同的作用. 质点系内一对对的内力 造 成 了各 质点间动量 与角动量的等量 转移 , 内力对质点系的 运 动 至 关 重要. 质点的动量 pi 和角动量 Li 0 分别从线运 动和角
质点系的角动量定理
质点系的角动量定理介绍质点系的角动量定理是力学中的一项基本原理，用于描述质点系在外力作用下角动量的变化规律。
本文将全面、详细、完整地探讨质点系的角动量定理。
角动量的定义角动量是描述物体旋转状态的物理量，表示物体围绕某一轴旋转时具有的转动能力。
对于一个质点，其角动量可以定义为质点的质量乘以质点的位置矢量与旋转轴之间的叉乘。
角动量的数学表达式为：L=r×p其中，L表示角动量，r表示质点相对于某一轴的位置矢量，p表示质点的动量。
角动量定理的表述质点系的角动量定理可以表示为：dLdt=M其中，dLdt表示角动量的变化率，M表示作用在质点系上的合外力矩。
角动量定理的推导为了推导角动量定理，我们需要使用牛顿第二定律和角动量的定义。
考虑一个质点系，由n个质点组成。
对于其中的第i个质点，根据牛顿第二定律，可以得到：m i d2r idt2=F i其中，m i表示第i个质点的质量，r i表示第i个质点的位置矢量，F i表示作用在第i个质点上的合外力。
将角动量的定义代入上式可得：m i d 2r i dt 2=d dt (r i ×m i dr i dt) 对上式进行展开和简化可以得到：m i d 2r i dt 2=m i dr i dt ×dr i dt +r i ×m i d 2r i dt 2 根据向量恒等式A ×(B ×C )=B (A ⋅C )−C (A ⋅B )，可以得到：m i d 2r i dt 2−r i ×m i d 2r i dt 2=m i dr i dt ×dr i dt将上式对所有质点求和，并利用质点系的总动量定义p =∑m in i=1dr i dt 和质点系的质心位置矢量定义R =1M ∑m i n i=1r i （其中M =∑m i n i=1），可以得到：dp dt=F −R ×F 其中，F 表示质点系的合外力。
质点角动量定理及角动量守恒定律
1．质点的角动量定理
角动量的定义为
L=r×mv
将角动量对时间求导，可得
因此上式可变为
所以
上式右方为质点所受合力对参考点的力矩，τ于是就得到
（3.6）
上式表明，在惯性系中，作用在质点上的合力对某参考点的力矩，等于质点对同一参考点角动量对时间的变化率．这个结论叫做质点的角动量定理．
把质点角动量定理在直角坐标系中表达，可得到三个分量方程：
解质点作圆周运动时，其速度v处处与位置矢量r垂直，r和mv
L的方向由右手螺旋法则确定，即将右手的四指由r的正向以小于π的角度转向mv的正向，则拇指所指即为L的方向．这里角动量L的方向垂直于圆平面向外．
设质点的角速度大小为ω，因v=rω，所以上式也可写作
L=mr2ω
（3.3）
如果写作矢量式，则有
L=mr2ω
质点角动量定理及角动量守恒定律
3.1.1质点的角动量
设一质量为m的质点相对于参考系中某参考点O的位置矢量为r，其瞬时速度为v，如图3-1a所示．则定义质点相对于O点的角动量L为
L=r×mv
（3.1）
上式表明：质点相对于O位置矢量r与其动量mv的矢量积称为质点相对于O点的角动量．由矢量积的定义可知，质点相对于某参考点的角动量是一个矢量，L的方向与r和mv所在的平面垂直，且r、mv和L构成一右手螺旋系统．L的大小等于以r和mv作邻边的平行四边形面积，即
例2质量为m的质点在xy平面内以速度v作匀速直线运动，如图3-3所示．求此质点相对于原点O的角动量．
解根据角动量的定义式L=r×mv，设k为沿z轴的单位矢量，则质点的角动量为
L=r×mv=rmvsinφ（k）
即L指向z轴负方向．由图3-3代入上式得
角动量守恒定律是物理学中最基本的定律之一，和动量守恒定律一样，它不仅适用于宏观物体的运动，而且对于牛顿第二定律不能适用的微观粒子的运动，它也适用．
角动量的定义为
L=r×mv
将角动量对时间求导，可得
因此上式可变为
所以
上式右方为质点所受合力对参考点的力矩，τ于是就得到
（3.6）
上式表明，在惯性系中，作用在质点上的合力对某参考点的力矩，等于质点对同一参考点角动量对时间的变化率．这个结论叫做质点的角动量定理．
把质点角动量定理在直角坐标系中表达，可得到三个分量方程：
解质点作圆周运动时，其速度v处处与位置矢量r垂直，r和mv
L的方向由右手螺旋法则确定，即将右手的四指由r的正向以小于π的角度转向mv的正向，则拇指所指即为L的方向．这里角动量L的方向垂直于圆平面向外．
设质点的角速度大小为ω，因v=rω，所以上式也可写作
L=mr2ω
（3.3）
如果写作矢量式，则有
L=mr2ω
质点角动量定理及角动量守恒定律
3.1.1质点的角动量
设一质量为m的质点相对于参考系中某参考点O的位置矢量为r，其瞬时速度为v，如图3-1a所示．则定义质点相对于O点的角动量L为
L=r×mv
（3.1）
上式表明：质点相对于O位置矢量r与其动量mv的矢量积称为质点相对于O点的角动量．由矢量积的定义可知，质点相对于某参考点的角动量是一个矢量，L的方向与r和mv所在的平面垂直，且r、mv和L构成一右手螺旋系统．L的大小等于以r和mv作邻边的平行四边形面积，即
例2质量为m的质点在xy平面内以速度v作匀速直线运动，如图3-3所示．求此质点相对于原点O的角动量．
解根据角动量的定义式L=r×mv，设k为沿z轴的单位矢量，则质点的角动量为
L=r×mv=rmvsinφ（k）
即L指向z轴负方向．由图3-3代入上式得
角动量守恒定律是物理学中最基本的定律之一，和动量守恒定律一样，它不仅适用于宏观物体的运动，而且对于牛顿第二定律不能适用的微观粒子的运动，它也适用．
5.2质点系的角动量定理及角动量守恒定律
守恒律
M 0
M外 0
有心力： 力的作用线始终通过某定点的力.
有心力对力心的力矩恒为零.
受有心力作用的质点作平面运动.
2013-9-17
第5章 角动量守恒定
8
作业：
5.11， 5.15
j j j
对质点系中的第 j 个质点,有
其中
M j M j外 M j 内
dL j Mj dt
M j内 M j外
对质点系，有
dL j dt
M j内 M j 外
dL j dt
O
d
rj
ri
i
i
Fij
j
j
2.内力的力矩 因质点i与质点 j 间的相互
§5.2质点系的角动量定理 及角动量守恒定律
§5.2.1质点系对参考点的角动量定理及守恒律 §5.2.2质点系对轴的角动量定理及守恒律
§5.2质点系的角动量定理 及角动量守恒定律
§5.2.1质点系对参考点的角动量定理及守恒律
1.质点系对参考点的角动量
对参考点
L L j rj p j rj m j v j
M z mA gr mB gr 0
图5-12质量相同小孩的爬绳比赛
再由于初始时刻系统静止,于是系统角动量为零,
rmVA rmVB 0
VA VB
可见,不论A、B对绳的速率vA、vB如何,二人对O的 速率相同,故将同时到达O点
2013-9-17 第5章 角动量守恒定 6
小结
L Lj
即质点系对给定点(参考点)的角动量的时间变化率
等于作用在体系上பைடு நூலகம்有外力对该点力矩矢量和. 4. 质点系对参考点角动量守恒定律
大学物理第5章角动量守恒定律
1 ml2 3
l
m
m 1.73
z2
o
l 2
G
JZ2
1 ml2 3
RGC G 不是质心
转动惯量的计算
例: 求半径为 R,总质量为 m的均匀圆盘绕垂直于盘面
通过中心轴的转动惯量 如下图:
解:
质量面密度
m R 2
J z r 2dm R r 2ds 0
Z ds
R r 2 2rdr 0
R r 2 m 2rdr
a 法向分量
an
v2 r
r 2
O
匀变速直线运动
匀变速定轴转动
v dS dt
a dv dt
v v0 at
S
v0t
1 2
at 2
v2 v02 2aS
d
dt
d
dt
0 t
0t
1t2
2
2 02 2
5.4 定轴转动刚体的角动量定理
1.刚体对转轴的力矩和角动量
z
角动量守恒
质点系的角动量定理
M J
4g
t
3 4
R
1 2
gt
2
LA
r
p
1 2
mpt3gmvg
mgt 0
orRA r源自（2） 对 O 点的角动量m
mv
r r R
LO r p (R r) p R p R mgt
Rg
LO Rmgt
2. 质点的角动量定理
角动量的时间变化率
dL
d
(r
p)
dr
p
r
dp
r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2
质点系的角动量定理及角动量守恒定律
对质点系
Mi内z
Mi外z
d dt
(ri
mi vi
sin
i
)
而
Mi内 0
Mi内z 0
Mi外z
d dt
(ri mivi
sin
i
)
d dt
Lz
——称质点系对z 轴的角动量定理.
3.质点系对轴的角动量守恒定律
若
Mi外z 0
Lz rimivi sin i 常量
若质点系各质点绕 z 作圆周运动
Liz ri mivi sin i
质点系对轴的角动量
Lz rimivi sin i
2.质点系对轴的角动量定理 质点在垂直于z 轴的平面内运动，第i个 质点
Miz
dLi dt
d dt
(ri
mivi
sin
i
)
M iz M i外z M i内z
M i内z
M
sin
i)
m 2gh v
2m m
本题也可以利用对点的角动量守恒求解，读者可自行完成.
§5.2质点系的角动量定理 及角动量守恒定律
§5.2.1质点系对参考点的角动量定理及守恒律
1.质点系对参考点的角动量
对参考点
L Li ri pi ri mivi
i
i
i
对质点系中的第 i 个质点,有
Mi
dLi dt
其中
Mi Mi外 Mi内
M i内
M i外
dLi dt
对质点系，有
M i内
M i外
dLi dt
2.内力的力矩
ri
Fij i
因质点i与质点 j 间的相互 作用力
i
5.2质点系的角动量定理Angularmomentumtheoremofa
外力对于O 点的角冲量
角冲量-角动量定理：
作用在质点系上的外力在一段时间间 隔内的角冲量等于质点系角动量在这 段时间间隔内的改变量
2008年12月2日 8:00-9:50
5.2 质点系的角动量定理
21
力学(Mechanics) 第五章 角动量
Angular momentum
5.3 质点系的角动量定理
v1
m1 m r1 r 2
O
2
质点相对于惯性参考系的速度: vi 合外力: Fi
mn rn
v2
vn
合内力:
fi fi1 fi 2
fi (i 1) fi (i 1)
f in f ij
j 1 j i
n
2008年12月2日 8:00-9:50
2008年12月2日 8:00-9:50 5.2 质点系的角动量定理 15
5.2.3 角动量定理 导出作用在质点系上的力矩与质点系的角动量间的关系：
•对于质点系中的第i个质点
M O i ( M O i )ext ( M O i )int dLO i dt
O:固定参考点
•对n个质点求和:
• 如果作用在质点系上的所有外力满足以下条件：
具有相同的方向；
Fi mi
例: 惯性力: -mi a ˆ 重力 : m gk i
则外力的合力矩等于作用在质点系的质心上的合外力的 力矩.
( M O i )ext ri Fi rC Fi
2008年12月2日 8:00-9:50 5.2 质点系的角动量定理 12
由于F 与 r1 r2 平行，因此
M OF 0
F
m1 r1 r2 m2
质点的角动量定理公式
质点的角动量定理公式
质点角动量定理是物理学的一条基本定理，它是由古老的天文学家兼物理学家们在18世纪早期发现的，它说明一个质点的角动量不可能有一个变化。
这条定理一直在物理学中有着重要意义。
它能够解释角动量在物理系统中的变化，以及系统中的角动量保持不变。
质点角动量定理的公式可以用来计算系统的角动量和内部总力的总和。
该公式的表达为：L = Iα + F(r)，其中L表示系统的角动量，Iα表示从力学角动量，而F(r)则是由外部力（或作用）所产生的角动量。
因此，角动量定理可以被用来解释角动量如何在物理学中变化。
它可以让我们看到影响角动量变化的力，也在物理计算中得到应用。
例如，当一个小物体在外力的作用下旋转时，我们可以用它来计算准确的角度变化。
还可以用它来研究外力的效应的大小，以及它们可能影响到系统的初始角动量。
总之，质点角动量定理是一条重要的定理，它可以提供有关角动量变化原理的信息，在物理学中有着重要意义。
它对于研究和理解外力对角动量变化的影响具有重要作用，也能被用于物理学计算中。
质点系角动量定理
质点系角动量定理
质点系的角动量定理有多种形式。
设质点系中第i个质点的质量为m i，位矢为r i，速度为，受的外力为F i，则对静点（惯性系的原点）的角动量定理为
(1)
这是基本形式。
还有对质心的角动量定理：
(2)
其中为质点i相对于质心C的位矢和速度。
质心是动点，但很特殊，因为它是系统的（以质量为权的）平均位置，或者说是质量空间位置分布的一阶原点矩。
式(2)右边的“对质心的角动量”可以视为某种二阶中心矩（如果其中的速度换为矢径的话）。
如果对其他动点P，角动量定理就没这么简单，会多出一项：
(3)
其中为质点i相对于动点P的位矢和速度，而r CP 为质心相对于P点的位矢。
这里多出来的一项是由于动点具有加速度，故而换到非惯性系中时各质点还受到惯性力。
正是这些惯性力力矩之和。
如果动点就是质心，那么r CP=0，惯性力力矩之和为0，式(3)右边第二项就不存在。
对于刚体情形，以上各定理都有更为具体形式，不赘述。
但此时还有一个对瞬心的角动量定理（或转动定律）。
文献[1]从刚体绕瞬心的动能定理
(4)
（P为瞬心，M P为刚体受到的绕瞬心的力矩，I P为刚体绕瞬心的转动惯量，ω为刚体的角速度）出发，得到刚体绕瞬心的转动定律（角动量定理）：。
3.4质点系的角动量定理
M =∑
r int F12
2
y
x
(
积分形式
r ext ri × F i r r t2 r L2 − L1 = ∫ M d t
t1
)
角动量定理： 角动量定理：对同一个固定点O，质点系的 角动量的增量等于 等于合外力矩的冲量 角动量的增量等于合外力矩的冲量
3.4 质点系的角动量定理和角动量守恒 3.4质点系的角动量定理和角动量守恒 质点系的角动量定理和角动量守恒
一对内力的力矩
r r int r r int r r r int r r int r1 × F12 + r2 × F21 = (r1 − r2 ) × F12 = r12 × F12 = 0
r int r int F12 = − F21
z
r int F21
•
• •
1• d r1
O
r12 • r2
质点系中, 质点系中,一对内力矩之和总 是为零,总力矩就只是外力矩 是为零,总力矩就只是外力矩 的矢量和ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ-合外力矩. 的矢量和--合外力矩. 合外力矩 r r
3.4.2 质点系的角动量守恒 作用于质点系的合外力矩为零, 对定点O：作用于质点系的合外力矩为零, 点的角动量守恒。 则质点系对O点的角动量守恒。
r r r M = 0 L = ∑ Li =恒矢量
i
角动量矢量的方向固定和数值不变 作用于质点系的外力矩代数和为零 的外力矩代数和为零， 对z轴：作用于质点系的外力矩代数和为零， 的角动量守恒。 则质点系对z轴的角动量守恒。
r dL = d
(
)
( )
r r 微分形式 dL = Mdt
i
角动量定理： 角动量定理：对同一个固定点O，质点系的 角动量的元增量等于合外力矩的元冲量。 等于合外力矩的 角动量的元增量等于合外力矩的元冲量。
r int F12
2
y
x
(
积分形式
r ext ri × F i r r t2 r L2 − L1 = ∫ M d t
t1
)
角动量定理： 角动量定理：对同一个固定点O，质点系的 角动量的增量等于 等于合外力矩的冲量 角动量的增量等于合外力矩的冲量
3.4 质点系的角动量定理和角动量守恒 3.4质点系的角动量定理和角动量守恒 质点系的角动量定理和角动量守恒
一对内力的力矩
r r int r r int r r r int r r int r1 × F12 + r2 × F21 = (r1 − r2 ) × F12 = r12 × F12 = 0
r int r int F12 = − F21
z
r int F21
•
• •
1• d r1
O
r12 • r2
质点系中, 质点系中,一对内力矩之和总 是为零,总力矩就只是外力矩 是为零,总力矩就只是外力矩 的矢量和ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ-合外力矩. 的矢量和--合外力矩. 合外力矩 r r
3.4.2 质点系的角动量守恒 作用于质点系的合外力矩为零, 对定点O：作用于质点系的合外力矩为零, 点的角动量守恒。 则质点系对O点的角动量守恒。
r r r M = 0 L = ∑ Li =恒矢量
i
角动量矢量的方向固定和数值不变 作用于质点系的外力矩代数和为零 的外力矩代数和为零， 对z轴：作用于质点系的外力矩代数和为零， 的角动量守恒。 则质点系对z轴的角动量守恒。
r dL = d
(
)
( )
r r 微分形式 dL = Mdt
i
角动量定理： 角动量定理：对同一个固定点O，质点系的 角动量的元增量等于合外力矩的元冲量。 等于合外力矩的 角动量的元增量等于合外力矩的元冲量。
质点系的角动量定理
系统角动量对时间的变化率
—— 系统受到的外力矩 —— 系统内各质点受到的内力矩之和
03_09_质点系的角动量定理 —— 动量与角动量
—— 对任意第i个和第j个两个 质点的内力矩和
—— 两个质点相互作用的内力总是沿 因此
方向
—— 系统内各质点受到的内力矩之和为零
03_09_质点系
dt
i
ri Fi M ext
M extdt dL
—— 质点系的角动量定理
—— 如果系统受到的合外力矩为零
质点系的角动量守恒 L C
03_09_质点系的角动量定理 —— 动量与角动量
例题10 质量为m1和m2的两个小钢球固定在一个长度为a 的轻质硬杆的两端，杆可以绕通过中心O的轴在水平面自由 转动，杆原来静止。有一个质量为m3的泥球，以水平速度 垂直于杆的方向与m2发生碰撞，并粘在一起。计算碰撞后 杆转动的角速度
三个质点构成的系统碰撞前后 的瞬时对于O的合外力矩为零，对 于O的角动量守恒 —— 碰撞后三个质点以相同速率 绕O点转动
03_09_质点系的角动量定理 —— 动量与角动量
碰撞前系统的角动量 角动量大小
—— 方向垂直向外 碰撞后系统的角动量
角动量大小 —— 方向垂直向外
03_09_质点系的角动量定理 —— 动量与角动量
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v
0 vdv 0 Rg cos d A
1 v2 Rg sin
2
v 2Rg sin
yBiblioteka FNmg x
FN
mg
sin
m
v2 R
FN
mg sin
m
2Rg sin R
3mg sin
例3 由地面沿铅直方向发射质量为m的宇宙飞船。求 宇宙飞船能脱离地球引力所需的最小初速度。（不计 空气阻力及其他作用力，设地球半径为6378000m）
R RT 2 T 2
如果抛射速度足够大，则物体 将绕地球转动，而永不落地。
行星1：轨道半径为R1，加速度为a1，运行周期为T1 行星2：轨道半径为R2，加速度为a2，运行周期为T2
a1 : a2
4π 2 R1 T12
:
4π 2 R2 T22
R1T22 R2T12
根据开普勒第三定律：
2
3
解得：
F 13.2 N
例2 质量为m的小球最初位于A点，然后沿半径为R
的光滑圆弧面下滑。求小球在任一位置时的速度和对
圆弧面的作用。
解： mg cos m dv
dt A
FN
mg sin
m
v2 R
y FN
dv dvds v dv
dt dsdt Rd
x mg
vdv Rg cos d
线上，大小相等，方向相反。
数学形式： F F
说明：（1）作用力和反作用力总是成对出现，任
何一方不能单独存在。
（2）作用力和反作用力分别作用于两个物体，因 此不能平衡或抵消。
（3）作用力和反作用力属于同一种性质的力。
2-1-2 力学中常见的几种力 1. 万有引力
行星绕太阳的运动
a v2 2π R2 4π2R
质量成反比，加速度的方向与合外力的方向
相同。
数学形式：
F
ma
或
F
m
dv
dt
力的叠加原理: 几个力同时作用在一个物体上 所产生的加速度a，等于各个力单独作用时所 产生加速度的矢量和。
在直角坐标系Oxyz中：
Fix max Fiy may
Fiz maz
— 近代科学的先
如果把水平面制作得越光
驱。
滑，则小球会滚得越远。
实验二
如果斜面的倾角无限小（平面），那么小球将 沿平面几乎可以一直滚动过下去。
力不是维持运动的原因。
伽利略对力学的贡献在于把有目的的实验和逻辑 推理和谐地结合在一起，构成了一套完整的科学研究 方法。
2-1-1 牛顿定律
牛顿（Isaac Newton， 1642 - 1727），英国伟大 的物理学家，一生对科学事 业所做的贡献，遍及物理学、 数学和天文学等领域。在物 理学上，牛顿在伽利略、开 普勒等人工作的基础上，建 立了牛顿三定律和万有引力 定律，并建立了经典力学的 理论体系。
T1 T2
R1 R2
a1 : a2 R22 : R12 引力与距离的平方成反比。
万有引力定律： 任何两个质点之间都存在互相作用的引力,引力
的方向沿着两个质点的连线方向；其大小与两个质 点质量ml和m2的乘积成正比，与两质点之间的距离 R的平方成反比。
F G m1m2 R2
引力常量: G 6.6726 1011 N m2 kg2
2. 重力
重力是物体所受地球 引力的一个分量。
F
mg
引力
重力
3. 弹性力
物体在外力作用下因发生形变而产生欲使其 恢复原来形状的力 。
F
O
x
F
k
x
（k 称为劲度系数）
4. 摩擦力
（1）静摩擦力
当物体与接触面存在相对滑动趋势时，物体所
在自然坐标系中 ：
Ft
mat
mdv dt
Fn
man
m
v2
说明：
（1）牛顿运动方程只适用于质点的运动。
（2）牛顿第二定律中
F
和
a
的关系为瞬时关系。
牛顿第三定律（作用力和反作用力定律）
定同当时物以体力AF以作力用F在 作物用体在A物上，体两B上力时作，用物在体同B一也直必
B
FN2
x
A：Ff1 FT mAa B：F Ff1 Ff 2 FT mBa
FN1 mA g 0
FN2 FN1 mBg 0
f1 1N1
f2 2N2
由A式： 1mA g FT mAa
由B式：F 1mAg 2 (mA mB)g FT mBa
2.0kg。A、B间的摩擦因数1= 0.20。B与桌面的摩擦 因数2= 0.30。若木块滑动后它们的加速度大小均为
0.15 m·s-2。求作用在B物上的拉力？
解： FT
y
mAg
A
Ff1
FN1
A
F
B
x
mBg Ff1
FN1
F
T Ff2
B
FN2
mAg
mBg Ff1
FN1
F
FT
A
Ff1
FN1
yT Ff2
第二章
动力学基本定律
§2-1 牛顿定律
古希腊哲学家亚里士多 德（Aristotle，公元前384 至公元前322)认为：
力是维持物体运动的原因。
古代物理学的形式是属 于经验总结性的，对事物的 认识主要是凭直觉的观察， 凭猜测和臆想。
伽利略的斜面实验：
实验一
伽利略（Galileo，
1564 -1642）—
受到接触面对它的阻力。其方向与相对滑动趋势方
向相反。
mg
F
Ff F
Ff
FN
静摩擦力的大小随外力的变化而变化。
最大静摩擦力：Fmax FN 为静摩擦因数
（2）滑动摩擦
当物体相对于接触面滑动时，物体所受到接触 面对它的阻力。其方向与滑动方向相反。
Ff FN
v
为滑动摩擦因数
牛顿第一定律（惯性定律）
任何物体都将保持静止或匀速直线运动的
状态直到其他物体所作用的力迫使它改变这种
状态为止。
数学形式： v 恒矢量
，F 0
惯性： 任何物体保持其运动状态不变的性质。
牛顿第二定律（牛顿运动方程）
物体受到外力作用时，它所获得的加速 度的大小与合外力的大小成正比，与物体的
mg
Ff FN
2-1-3 牛顿定律的应用
质点动力学基本运动方程
F
ma
解题步骤：
（1）确定研究对象。对于物体系，画出隔离图。 （2）进行受力分析，画出受力图。
（3）建立坐标系。 （4）对各隔离体建立牛顿运动方程（分量式）。 （5）解方程，进行符号运算，然后代入数据。
例1 如图所示，两木块质量分别为mA=1.0kg, mB=