第4讲14表格单纯形法的计算步骤
第四节 单纯形法的计算步骤
上表中由于所有σ 上表中由于所有 j>0 ，表明已求得最优解 x1=4， x2=2， x3=0， x4=0， x5=0， x6=4， ， ， ， ， ， ， Z=14。 。 当确定x 为换入变量计算θ值时 值时， ◆当确定 6为换入变量计算 值时，有两个相 同的最小值： 同的最小值：2/0.5=4，8/2=4。任选其中一 ， 。 个作为换出变量时， 个作为换出变量时，则下面表中另一基变 量的值将等于0，这种现象称为退化 退化。 量的值将等于 ，这种现象称为退化。含有 一个或多个基变量为0的基可行解称为 的基可行解称为退化 一个或多个基变量为 的基可行解称为退化 的基可行解。 的基可行解。
18
迭代
xB
次数
cB
x1
x2
x3
x4
x5 bi
θi
50
x1
100
0
0
0
50 0 100
1 0 0
0
0 0 1
0
1 -2 0
- 50
0 1 0
0
-1 1 1
- 50
50 50 250 -27500
2
x4 x2
σj
2010年8月
管理工程学院
18
《运筹学》 运筹学》
19
所有的检验数 σ j ≤ 0, 此基本可行解： 此基本可行解：
2010年8月
管理工程学院
5
《运筹学》 运筹学》
6
c1 … cl b b1´
⋮
c j→ cB c1
⋮
… cm … xm …0 …⋮ 0 …1 …
⋮
…cj …xj …a1j´ …⋮ a2j´ …⋮ amj´
… ck … cn … xk …xn …0 …⋮ 1 …0
单纯形法表的解题步骤
单纯形法表的解题步骤单纯形法表结构如下：j c →对应变量的价值系数i θB Cb Xb1x 2x 3x " j x基变量的价值系数基变量 资源列θ规则求的值j σ检验数①一般形式若线性规划问题标准形式如下：123451231425max 23000284164120,1,2,5j z x x x x x x x x x x x x x j =++++++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥=⎩"取松弛变量345,,x x x 为基变量，它对应的单位矩阵为基。
这样就得到初始可行基解：()()00,0,8,16,12TX =。
将有关数字填入表中，得到初始单纯形表，如表1-1所示：表 1-1 ()()00,0,8,16,12TX =j c →2 3 0 0 0i θB C b X b1x 2x 3x 4x 5x0 3x 8 1 2 1 0 0 4 04x16 4 0 0 1 0 -5x12 0 [4] 0 0 1 3j σ2 3 0 0 0若检验数均未达到小于等于0，则对上表进行调整。
选择上表中检验数最大的列，该列对应的非变量为入基变量；再应用θ规则该列对应的各基变量对应的θ值，选出其中最小的一行，该行对应的基变量为出基变量。
修改单纯形表，对各行进行初等变换，确保基变量组成的矩阵为单为矩阵。
修改后的单纯形表如表1-2所示：表 1-2 ()()10,3,2,16,0TX =检验数12,0σσ>，则进行继续调整，调整后的单纯形法表如表1-3所示：表 1-3 ()()22,3,0,8,0TX =表1-3中， 50σ>，则继续进行调整，调整结果如表1-4所示：表 1-4 ()()34,2,0,0,4TX =检验数0j σ≤，这表示目标函数值已不可能再增大，于是得到最优解：()()3*4,2,0,0,4TX X ==*14z =②带人工变量现有线性规划问题：12312312313123min 321142321,,0z x x x x x x x x x x x x x x =−++−+≤⎧⎪−++≥⎪⎨−+=⎪⎪≥⎩ 将上述线性规划问题用大M 法求解，在约束条件中加入松弛变量4x ，剩余变量5x ，人工变量6x ，7x 得到：1234567123412356137min 300211423210,1,2,,7j z x x x x x Mx Mx x x x x x x x x x x x x x j =−++++++−++=⎧⎪−++−+=⎪⎨−++=⎪⎪≥=⎩"其中，M 是一个任意大的正数。
单纯形法的计算方法
第4章 单纯形法的计算方法单纯形法求解线性规划的思路: 一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数, 这时有不定的解。
但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形, 每一个单纯形可以求得一组解, 然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小, 决定下一步选择的单纯形。
这就是迭代,直到目标函数实现最大值或最小值为止。
4.1 初始基可行解的确定为了确定初始基可行解, 要首先找出初始可行基, 其方法如下。
（1）第一种情况：若线性规划问题max z =从Pj ( j = 1 , 2 , ⋯ , n)中一般能直接观察到存在一个初始可行基（2）第二种情况：对所有约束条件是“ ≤”形式的不等式, 可以利用化为标准型的方法, 在每个约束条件的左端加上一个松弛变量。
经过整理, 重新对 及 ( i = 1 , 2 , ⋯ , m; j = 1 , 2 , ⋯ , n)进行编号, 则可得下列方程组显然得到一个m×m单位矩阵以B 作为可行基。
将上面方程组的每个等式移项得令由上式得又因 ≥0, 所以得到一个初始基可行解（3）第三种情况：对所有约束条件是“ ≥”形式的不等式及等式约束情况, 若不存在单位矩阵时, 就采用人造基方法。
即对不等式约束减去一个非负的剩余变量后, 再加上一个非负的人工变量; 对于等式约束再加上一个非负的人工变量, 总能得到一个单位矩阵。
4.2 最优性检验和解的判别对线性规划问题的求解结果可能出现唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解四种情况, 为此需要建立对解的判别准则。
一般情况下, 经过迭代后可以得到：将上代入目标函数，整理后得令于是再令则(1) 最优解的判别定理若为对应于基B的一个基可行解，且对于一切 且有则 为最优解。
称为检验数。
(2) 无穷多最优解的判别定理若为一个基可行解， 且对于一切 且有 又存在某个非基变量的检验数，则线性规划问题有无穷多最优解。
(3) 无界解判别定理若为一个基可行解，有一个> 0 ,并且对i = 1 , 2 , ⋯, m,有≤0 , 那么该线性规划问题具有无界解(或称无最优解)。
运筹学单纯形法的计算步骤
b2
0… 0
a2,m+1
…
a2n
2
…
…
…
…
cm xm
bm
0… 1
am,m+1
…
amn
m
-z -z 值 0 … 0
m+1
…
n
XB 列——基变量， CB 列——基变量的价值系数(目标函数系数) cj 行——价值系数，b 列——方程组右侧常数 列——确定换入变量时的比率计算值
下面一行——检验数， 中间主要部分——约束方程系数
(4).根据max(j > 0) =k，拟定xk为换入变量，按 规则计算 =min{bi/aik\aik>0}
可拟定第l行旳基变量为换出变量。转入下一步。
(5).以 alk 为主元素进行迭代(即用高斯消去法或称为旋转变 换)，把 xk 所对应的列向量变换为(0，0，…，1，…，0)T，将
XB 列中的第 l 个基变量换为 xk，得到新的单纯形表，返回(2)。
b
x1
x2
x3
x4
x5
2 x1 2 0 x4 8 3 x2 3
1
0
1
0 -1/2 -
0 0 -4 1 (2 ) 4
0 1 0 0 1/4 12
-z
-13
0
0 -2
0 1/4
X(2)=(2，3，0，8，0)T， z2 =13
cj
2 30 0 0
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
2 x1 4 0 x5 4 3 x2 2
量，给出第一阶段的数学模型为：
min = x6+x7
x1-2x2+x3+x4
14单纯形法的计算步骤(精)
45 x2 3 3 45
24 x3 1 2 24
0 x4 1 0 0
0 x5 θ i 0 100/3 1 120/3 0
现用例1的标准型来说明上述计算步骤。
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
x1 2x 2 x 3 4x 2 xj 0 8 4x1 x4 16 x 5 12 j 1,2, ,5
i 1
θ列的数字是在确定换入变量后， 0 0 xi xl min a ij 0 按θ规则计算后填入， i a ij a lj 用以确定换出变量； 表1-2 称为初始单纯形表，每迭代一步构造一个新单纯形表。
例 ： 试列出下面线性规划问题的初始单纯型表
z c1 x 1 c m x m c m 1 x m 1 c n x n 0
线 性 规 划 的 方 程 组
为了便于迭代运算，将上述方程组写成增广矩阵形式
z
x1
x2
xm
x m 1
xn
b
0 1 0 0 a 1 ,m 1 0 1 0 a 2 ,m 1 0 0 0 0 1 a m ,m 1 cm 1 1 c1 c 2 c m -z+c1x1+c2x2+…+cmxm+cm+1xm+1+ …
0
X4 1/4 1/2 -1/8 -1/8
θ 4 12
c j→
CB 2 0 3 -z XB x1 x5 x2
0
x5 0 1 0 0 θ
表 1-5
1/2 -3/2
-14
单纯形法计算步骤
单纯形法计算步骤引言单纯形法是一种常用的数学优化方法，主要用于求解线性规划问题。
它的基本思想是通过不断地在可行解集合内移动，逐步靠近最优解，直到找到最优解。
本文将介绍单纯形法的基本步骤，以帮助读者了解如何使用该方法解决线性规划问题。
步骤一：建立线性规划模型在使用单纯形法之前，首先需要建立线性规划模型。
线性规划模型由决策变量、目标函数和约束条件组成。
决策变量是需要在问题中决策的变量，目标函数是需要最大化或最小化的目标，约束条件是限制决策变量取值范围的条件。
步骤二：将线性规划模型转化为标准形式单纯形法只适用于标准形式的线性规划模型。
标准形式要求目标函数为最大化，并且所有的约束条件都是等式形式。
如果初始线性规划模型不符合标准形式，我们可以通过适当的代数操作将其转化为标准形式。
步骤三：构造初始单纯形表初始单纯形表是单纯形法求解线性规划问题的起点。
它由决策变量、松弛变量、人工变量、目标函数系数和约束条件组成。
初始单纯形表的构造方法如下： 1. 将决策变量的系数及其对应的松弛变量、人工变量放在单纯形表的第一行。
2. 将目标函数的系数放在单纯形表的第一列。
3. 将约束条件的系数及其对应的松弛变量、人工变量放在单纯形表的其他行。
步骤四：确定基变量和非基变量基变量是单纯形表中拥有非零系数的变量，非基变量是单纯形表中拥有零系数的变量。
基变量和非基变量的确定方法如下： 1. 将目标函数的系数列中不为零的变量作为基变量。
2. 将约束条件中非零系数列中对应的变量作为基变量。
3. 剩余的变量作为非基变量。
步骤五：计算单纯形表中的系数根据基变量和非基变量的定义，我们可以计算单纯形表中的系数。
计算方法如下： 1. 将基变量的系数列除以对应的基变量系数。
2. 将非基变量的系数列减去对应的基变量系数列乘以非基变量所在行和基变量所在行之间的系数。
步骤六：检查是否达到最优解在每次迭代过程中，都需要检查是否达到最优解。
如果单纯形表中目标函数系数列的所有值都是非负的，表示已经达到最优解；否则，需要进行下一次迭代。
单纯形法的计算步骤
运筹学基础及应用
解：化标准型
max
z 2 x1 x2 0 x3 0 x4 0 x5 5 x2 x3 15 6 x 2 x x4 24 1 2 x5 5 x1 x2 x1 , , x5 0
运筹学基础及应用
表1：列初始单纯形表 （单位矩阵对应的变量为基变量）
运筹学基础及应用
单纯形表
- Z x1基变量 x 2 ... xm XB 0 1 1E 0 单位阵 ....... 0 1 1 c c 0... c 1 2 m xm xNn 非基变量 1 .... X a1m 1 ...a1n a 2 m 1N...a 2 n
非基阵 ......
在上一节单纯形法迭代原理中可 知，每一次迭代计算只要表示出当前的约 束方程组及目标函数即可。
a1m 1 xm 1 ..... a1n xn b1 x1 x a2 m 1 xm 1 ..... a2 n xn b2 2 .......... .......... .......... ..... xm amm 1 xm 1 ..... amn xn bm Z c1 x1 ... cm xm cm 1 xm 1 ... cn xn 0
3
0 1 5/4 -15/2 1*3/2 0 0 1/4 -1/2 +0*15/2 检验数<=0 1 0 -1/4 3/2
cj z j
8.5
0
0
-1/4
-1/2
最优解为X=(7/2,3/2,15/2,0,0) 目标函数值Z=8.5
cj
CB
0 0 0
2
1
0最小的值对应 0 0
单纯形法的表格解法
n
bi aij xj. i 1, 2,L , m
j m1
把以上的表达式带入目标函数，就有
m
n
z c1x1 c2 x2 L cn xn ci xi c j x j
i 1
j m 1
其中：
n
n
z0
c j z j x j z0 j x j
j m 1
j m 1
0 0 1 1 0 0 0 1 0 那么显然所求得的基本解一定是基本可行解，这个单位矩阵或由单位矩阵各列向 量组成的基一定是可行基。实际上这个基本可行解中的各个变量或等于某个bj或等 于零。
.
§1 单纯形法的基本思路和原理
在本例题中我们就找到了一个基是单位矩阵。
1 0 0
B2 0 1 0
0 0 1
m
z0 cibi , j c j z j ;
a1 j
i1 m
z j ciaij c1a1 j c2a2 j L
i 1
cmamj
c1, c2 ,L
, cm
a2
j
M
amj
c1, c2 ,L , cm p j .
§2 单纯形法的表格形式
上面假设x1,x2,…xm是基变量，即第i行约束方程的基变量正好是xi，而 经过迭代后，基将发生变化，计算zj的式子也会发生变化。如果迭代后的 第i行约束方程中的基变量为xBi，与xBi相应的目标函数系数为cBi，系数列
1. 最优性检验的依据——检验数σj 一般来说目标函数中既包括基变量，又包括非基变量。现在我们要求
只用非基变量来表示目标函数，这只要在约束等式中通过移项等处理就可 以用非基变量来表示基变量，然后用非基变量的表示式代替目标函数中基 变量，这样目标函数中只含有非基变量了，或者说目标函数中基变量的系 数都为零了。此时目标函数中所有变量的系数即为各变量的检验数，把变 量xi的检验数记为σi。显然所有基变量的检验数必为零。在本例题中目标 函数为50x1+100x2。由于初始可行解中x1，x2为非基变量，所以此目标函 数已经用非基变量表示了，不需要再代换出基变量了。这样我们可知 σ1=50，σ2=100，σ3=0，σ4=0，σ5=0。
14单纯形法计算步骤
j j 0 设 k max ，则 x 为入基变量。 k j
法则3 出基变量确定法则
bi bl min aik 0 i aik alk
第 6页
算
例
求解下列LP问题
max z x 2 3x3 2 x5 2 x5 7 x1 3x 2 x3 2x 4x x 12 2 3 4 8 x5 x6 10 4 x 2 3 x3 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 , x6 0
第16页
练 习
4.
min z 8 3x1 5 x2 8 s.t. x1 2 x2 x3 4 x1 2 x2 x4 16 4 x2 x5 12 x j 0( j 1, 2,3, 4,5)
第17页
a1m+1 a2m+1 amm+1
m i 1
… …
…
a1k a2k amk
m i 1
… a1n … a2n … amn
m i 1
0 0 … 0 c m1 ci aim1 c k ci aik c n ci ain
第 5页
单纯形法的基本法则
法则1 最优性判定法则 若对基可行解X1，所有检验数σj≤0，则X1为最 优解。 法则2 入基变量确定法则
第 7页
算
Cj
CB 0 0 XB x1 x4 b 7 12
例
-1
x2 3 -2
0
x1 1 0
3
x3 -1 [4]
0
x4 0 1
-2
x5 2 0
0
x6 0 0 3 10/3
运筹学单纯形法计算步骤
检验数>0
确定主行
确定主列 21
表3：基变换
（初等行变换，主列化为单位向量，主元为1）
2 1 000
0
15/2 0 0 1 5/4 -15/2
2 1
7/2 3/2
1 0
0 1
0 0
1/4 -1/4
-31/检/22 验数<=0
0 0 0 -1/4 -1/2
22
思考:
一般主列选择正检验数中最大者对应的 列,也可选择其它正检验数的列.以第2列
Page 34
单纯形法的解的情况
单纯形法求解线性规划问题，解的情况也 有四种：
唯一最优解：上面的情况，所有的检验数都小 于等于0，并且非基变量的检验数都小于零
无穷多解：所有的检验数都小于等于0，至少 有一个非基变量的检验数为0
无界解：如果某imp>0，而且对应列中所有的 系数都小于等于0，这时，变量可以增长到无 穷大，线性规划问题有无界解
230 0 0
最小的值对应 的行为主行
0
8
1 21 0 0 4
0
16 4 0 0 1 0 —
0
12 0 4 0 0 1 3
23
正检验数中最大者对 应的列为主位向量 换出 换入
表2：基变换
（初等行变换，主列化为单位向量，主元为1）
2
0
2
1
0
16 4
3
3
0
2
正检验数中最大者对 应的列为主列
单纯形表结构
2
主元
1 C0 0 0
— 24/6 5/1
检验数
10
用单纯形表求解例1
第一章 线性规划与单纯形法
11
《单纯形法计算步骤》课件
单纯形法是一种常用的线性规划求解方法。
算法简介
单纯形法通过逐步迭代的方式逐步化问题的解。 它能够解决满足线性可行性和有解性条件的线性规划问题。
计算步骤
1
步骤一
对原问题进行初等变换化简，转化为标准
步骤二
形式。
构造初始可行基解系统。
3
步骤三
判断当前基解系统是否为最优解，若是则
当问题有多个最优解时，需 比较确定最终的最优解。
结论
强有力的求解方法
单纯形法是一种强有力的线性 规划求解方法。
相对简单易实现
它的计算步骤相对简单，容易 实现和应用。
计算复杂度
随问题规模增大，计算复杂度 也会增加，需考虑其他高效的 求解方法。
步骤四
4
输出。
找到目标函数最优化的进入变量。
5
步骤五
找到最优组合约束的离开变量。
步骤六
6
对基向量进行初等变换，更新基变量和非
基变量。
7
步骤七
重复步骤三到步骤六，直到找到最优解或 问题无解。
注意事项
1 维护线性可行性
2 选择变量
3 多个最优解
在每一步计算中，需要保持 线性可行性和有解性条件。
选择进入变量和离开变量时， 需要经过计算和判断。
单纯形法的计算步骤及应用
（4-16）
（4-17）
bi' bi
bl ai ,k ( i 1,2, , n; i l ) al ,k
这样经过变换以后就得到了新的增广矩阵 p1 … pl pm pm+1 pk pn b
a1,k 1 a l ,k 1 0 al ,k a m ,k 0 a l ,k 0 a
单纯形法介绍及相关问题
标准型线性规划问题 max s=c1x1+c2x2+…+cnxn s.t. a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
an1x1+an2x2+…+annxn=bn xj≥0(j=1,2,…,n)
单纯形法介绍及相关问题
例1 已知约束如下
（4-11）
单纯形法介绍及相关问题
2、基本可行解之间的迭代
在讨论中我们假设对方程组（4-10）的系数增广矩阵 p1 … pl pm pm+1 pk pn b
a1,m1 1 1 al ,m1 1 am ,m1
a1,m1 a1,n al ,m1 al ,n am ,m1 am ,n
' a1 ,m 1 ' 0 a1 ,n
' l ,m 1
0
1 al' ,n
1 a'm ,m 1 0 a'm ,n
' b1 bl' ' bm
1.4单纯形法计算步骤
第三步：从一个基可行解转换另一个目标函 数值更大的基可行解，列出新表。
▪ （1）确定换入基变量
只要有检验数 j 0，
对应变量x
可作为换入基的变量，
j
当有一个以上检验数大于零时，
一般从中选取一个最大的
。
k
k max{ j j 0}
对应的变量xk作为换入基的变量 （简称入基变量）
§4 单纯形法 的计算步骤
单纯形法计算步骤：
▪ 第一步：求出线性规划的初始基可行解，列出 初始单纯形表。 对于会有明显可行基的线性规划问题LP，直接 作出其单纯形表，得到第一个基可行解，单纯 形方法是与单纯形表相互对应的。
如果线性规划问题：
max z c1x1 c2 x2 cm xm cm1xm1 cn xn
▪ 有可能发生循环的情况，诶了避免循环， 人们选择了一种Bland方法，这是有效的避 免循环的方法。但同学照样可以使用本教材 中所介绍的方法，因为事实上出现循环的情 况是不多见的，而个别出现循环的情况都是 人为的构造的。
)0
当 当aaiikk
0，显然成立 z0
bl
k )
alk
z0 bl
k
alk
0
故目标函数值单调不减，
我们一定可以在有限步内求得
最优解或者判定LP无有界的最优解。
例：max z 3x1 5x2
x1
8
s.t
3x1
2x2 4x2
12 36
alk 到第i行上去，使新表中第k列除主元素 变为1以外，其余元素全化为零。
通过这样换基迭代， 一定可以做到以下两点：
▪ （1）从可行基迭代到可行基； ▪ （2）使目标函数值不断增加。
运筹学-单纯形法
单纯形法的计算步骤1°把LP问题化为标准形。
2°在系数阵中找出或构造一个m阶排列阵作为初始可行基，建立初始单纯形表。
3°最优性检验: 若所有检验数σj=c j-z j<=0，就得到一个最优基本解，停止计算；否则转4°。
4°解无界判断: 在所有σj> 0中, 只要有一个σr> 0所对应的系数列向量ar≤ 0，即一切a ir≤ 0 ，i=1, 2, … , m则该LP问题解无界，停止计算；否则转5°。
预备步骤迭代步骤进基变量的相持•选择进基变量时，如果出现两个或更多个σj>0同时达到最大而相持时,则应：•任选一个最大的检验数所对应的变量作为进基变量。
离基变量的相持——退化与循环•如果在单纯形法的计算过程中，在确定离基变量时，存在两个及以上的相同的最小比值，必然导致一个退化的基本可行解，可能造成迭代过程循环。
•避免循环的方法：摄动法、辞典序法、布兰德法•如摄动法：从相持的离基变量中，选择下标最大者离基。
多重最优解•在最优单纯形表中：⑴若有一个或更多个非基变量x j 的检验数σj = 0，则该问题有无穷多个最优解；⑵若该x j 在该表中的系数列向量a j ≤0，则按单纯形法另作几次迭代，每次都选一个这样的x j 进基，就能得到其它最优基本解；⑶若问题有r个最优极点解X i *，则该LP问题有无穷多个最优解，且其中任一最优解X*都能表示成这r个最优极点解的凸组合：0≤ μi ≤1 ，i =1, 2, … , r,且∑u i =1X*=μ1X 1*+μ2X 2*+… +μr X r *其中：人工变量法•基于LP问题的标准型，可能找不到初始的基本可行解，可采用人工变量法。
如大M法和两阶段法。
•人造解X不是原LP问题的基本可行解。
•但若能通过单纯形法的迭代步骤，将虚拟的人工变量都替换出去，都变为非基变量（即人工变量xn+1=xn+2=… =x n+m =0），则X的前n个分量就构成原LP问题的一个基本可行解。
单纯型法的计算步骤
3.2 单纯形法的计算步骤由于单纯形)12.2(的目标函数和约束函数中含有基变量和非基变量,为了设计出方便,有效的计算方法,我们将简化单纯形的表达形式,称其为单纯形表格。
比如,下述单纯形:2136x x --=η114x s -= 21223x x s --=的简化单纯形表格如下(参见表3.2)。
这种格式使得我们非常容易识别基变量,我们只要将仅表:简单单纯形表有1个"1"的列(1s 和2s )为基变量。
1.3.2 标准最大化线性规划的单纯型法为了设计标准最大化线性规划问题)15.1(的初始单纯形表,我们首先将它的等价问题)11.2(改写为:max ∑∑=+=⨯+=mi i n nj j jx x c110η..t s ⎪⎩⎪⎨⎧++=≥==++=∑m n n n j x m i b xx a j i i n nj j ij ,...,1,,...,2,1,0,...,2,1,1 )16.2(那么标准最大化线性规划问题)15.1(的初始单纯形表被表示为(参见表4.2): 表:标准最大化线性规划的初始单纯形表其中:j c ,n j ,...,2,1=为原问题目标函数的系数,},...,2,1{m n n n B +++=为基变量下标集合,},...,2,1{n N =为非基变量下标集合,B x 为基变量,B c 为基变量在原问题目标函数系数,B b 为基变量的解,那么初始基可行解为),...,,0,...,0(10m b b x =,η为对应初始目标函数值。
我们将解释表6.2中j sac 和j imp 行的计算方法和经济涵义。
由于标准最大化线性规划问题可被看成是利用m 种资源生产n 种产品,决策变量j x 在线性规划约束条件中的系数ij a 可以被理解为,为了生产一件产品j ),...,2,1(n j =需要消耗原材料i ),...,2,1(m i =的数量;决策变量j x 在目标函数中的系数j c 是一件产品j 的利润;松弛变量i n x +则表示第i 种原材料的剩余量。
单纯行法的计算步骤
max c j c j 0 ck ，对应的 xk 为进基变量。 选择进基变量：
选择出基变量： min
bi bl ，对应的第 l 个基变量 aik 0 aik alk
为出基变量。
max z 2 x1 x2 5 x2 x3 15 6 x 2 x x 24 2 4 s.t. 1 x1 x2 x5 5 x15 0
max z 3 x1 4 x2 2 x1 x2 x3 40 x1 3 x2 x4 30 x , x , x , x 0 1 2 3 4
alk为主元素
2 1 1 0 A 1 3 0 1
1 0 B1 0 1 a12
4 x2
1
1 2 c2 c3 c4 a13 4 0 0 4 a 0 3 c3 c3 c4 0 0 0 0 a 3 14 22 0 0 0 4 c4 c3 c4 a 0 23 0
x1 x2 X x n
a11 a12 a a22 21 A am1 am 2
b1 b2 b b m
线性规划数学模型的标准型：
C c1, c2 , c3 ,, cn
max z 2 x1 x2 5 x2 x3 15 6 x 2 x x 24 2 4 s.t. 1 x1 x2 x5 5 x15 0
1 1 max z 8 x2 x4 3 3 5 x2 x3 15 1 1 x x x 4 1 3 2 6 4 s.t. 2 1 x2 x4 x5 1 6 3 x1 5 0
线性规划 第四讲 单纯形法的计算步骤
amj
检验数 j
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基本步骤
1、标准化（构造初始可行基）； 2、列出初始单纯形表； 3、最优性检验：判断是否最优解
根据最大检验数原则：if σj≦0 是：计算结束；否：转入下一步 4、从一个基可行解转到相邻的另一个基可行解，然 后转3。要保证目标函数值比原来更优。 （1）进基 （2）出基
am,k
j
检验数 if k max j j 0
k
xk进基
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单纯形表
单纯形表结构
c j
2
CX
B
B
b
x1
c1 x1 b1
cm xm bm
z c z
j
j0
主元，主元变成1， 主元所在列其他数变
成0
1 C0 0 0
x2 xmxn min
a1,k
c1 x1 b1
—
A
cm xm bm
24/6 5/1
j
检验数
上页 下页 返回
单纯形表
单纯形表结构
c j
2
CX
B
B
b
x1
c1 x1 b1
cm xm bm
j cj zj
基可行解：
X (b1, , bm , 0, , 0)
1 C0
x2
A
0 0
xm xn min
— 24/6 5/1
根据最大检验数原则：if σj≦0 是：计算结束；否：转入下一步 4、从一个基可行解转到相邻的另一个基可行解，然 后转3。要保证目标函数值比原来更优。 （1）进基 （2）出基
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-z
02 3 0 0 0 0
cj
230000
cB XB b
x1 x2 x3 x4 x5 x6
i
0 x3 6 2 0 1 0 0 -1/2
0 x4 2 1 0 0 1 0 -1/2
0 x5 16 4 0 0 0 1 0 3 x2 3 0 1 0 0 0 1/4
-z
cj
23000 0
i
cB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6
(4) 根据max(σj＞0)=σk，确定xk为换入变量，按θ 规则计算
minabiik aik0abllk
(5) 以alk为主元素进行迭代(即用高斯消去法或称为旋
转运算)，把xk所对应的列向量
a1k
0
a2k
0
Pk
a lk
变换
1
第
l行
a mk
0
将XB列中的xl换为xk，得到新的单纯形表。重复 (2)～(5)，直到终止。
x4 x5
12 8 16
4 x2
x6 12
x1, x2, x3, x4, x5, x6 0
cj
230000
cB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 i
0 x3 12 2 2 1 0 0 0 12/2
0 x4 8 1 2 0 1 0 0 8/2 0 x5 16 4 0 0 0 1 0 － 0 x6 12 0 4 0 0 0 1 12/4
计算步骤
对于目标函数求极大情形
(1) 按数学模型确定初始可行基和初始基可行解，建
立初始单纯形表。
m
(2) 计算各非基变量的检验数，j cj ciaij,
检查检验数，若所有检验数
i1
j 0, j1,2,n
则已得到最优解，可停止计算。否则转入下一步。
(3) 在σj＞0,j=m+1,…,n中，若有某个σk对应xk的 系数列向量Pk≤0，则此问题是无界，停止计算。 否则，转入下一步。
xm1
0
a1,m1
0
a2,m1
1
am,m1
m
0 cm1－ ciai,m1 i＝1
xn
b
a1n a2n
b1 b2
amn
bm
m
m
cn－ ciai,n － cibi
i＝1
i＝1
根据增广矩阵设计计算表
cj
C B XB
c1 x1
b c x 1 1 c x m m c x m m 1 1 c x n n i
0 x5 8 0 0 0 -4 1 2
4
3 x2 3 0 1 0 0 0 1/4 12
-z -13 0 0 0 -2 0 1/4
cj
2 3 00 0 0
i
cB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6
0 x6 4 0 0 2 -4 0 1 2 x1 4 1 0 1 -1 0 0 0 x5 0 0 0 -4 4 1 0 3 x2 2 0 1 -1/2 1 0 0
2 x1 2 1 0 0 1 0 -1/2 －
0 x5 8 0 0 0 -4 1 2
4
3 x2 3 0 1 0 0 0 1/4 12
-z -13 0 0 0 -2 0 1/4
cj
230000
cB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6
i
0 x3 2 0 0 1 -2 0 1/2 4
2 x1 2 1 0 0 1 0 -1/2 －
-z -14 0
cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6
i
0 x3 2 0 0 1 -2 0 1/2 4 2 x1 2 1 0 0 1 0 -1/2 －
0 x5 8 0 0 0 -4 1 2
4
3 x2 3 0 1 0 0 0 1/4 12
-z -13 0 0 0 -2 0 1/4
练习
MaxZ 2x1 x2
3x1 5x2 15 6x1 2x2 24 x1 , x2 0
MaxZ 2 x1 x2
3 x1 5 x2 x3 15
6 x1 2 x2 x4 24
x1
,
x2 ,
x3 ,
x4
0
cj
21 0 0
cB xB b x1 x2 x3 x4
i
1 x2 3/4 0 1 1/4 -1/8 2 x1 15/4 1 0 -1/12 5/24
-z -33/4 0 0 -1/12 -7/24
0 x3 6 2 0 1 0 0 -1/2 6/2
0 x4 2 1 0 0 1 0 -1/2 2
0 x5 16 4 0 0 0 1 0 3 x2 3 0 1 0 0 0 1/4
16/4 －
-z
-9 2 0 0 0 0 -3/4
cj
230000
cB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6
i
0 x3 2 0 0 1 -2 0 1/2 4
§1.4（表格）单纯形法的计算步骤
为了便于理解计算关系，现设计一种计算表， 称为单纯形表，其功能与增广矩阵相似，下面 来建立这种计算表。
线性规划的方程组
x1
x2
a1m1xm1 a1nxn b1 a2m1xm1 a2nxn b2
xm amm1xm1 amnxn bm
z c1x1 cmxm cm1xm1 cnxn 0
b 1 1 0 a1,m1 a1n 1
c m x m b m 0 1 am,m1 amn m
z cibi 00 j cj ciaij
minb(i akj
akj
0)
例 题：
maxZ 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5 0x6
2x1 2x2 x3
4xx11 2x2
cj
2 3 00 0 0
i
cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6
0 x3 0 0 0 1 -1 -1/4 0 2 x1 4 1 0 0 0 1/4 0 0 x6 4 0 0 0 -2 1/2 1 3 x2 2 0 1 0 1/2 -1/8 0
-z -14 0 0 0 -3/2 -1/8 0
为了便于迭代运算，可将上述方程组写成
增广矩阵形式
z x1 x2
xm xm1
xn b
0 1 0
0
0
1
0 0 0
1 c1 c2
0 a1,m1 0 a2,m1
1 am,m1 cm cm1
a1n a2n
b1 b2
amn bm
cn 0
z x1 x2
0 1 0
0
0
1
0 0 0
1 0 0
xm