第五章 向量空间(07.12)

2. 当α ⊥ β时, α + β = α + β .
2 2 2
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二、正交性与正交基
1 正交向量组的概念 定义:当两非零向量的内积等于零时称为两向量正交; 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组； 若其中每个向量的长度都是1, 则称为正交规范向量组(或标准正交向量组)． 注意 (1) 这里每个向量均要求非零; (2) 由单个非零向量组成的向量组也正交向量组．
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内积的运算性质 定理5.2:
(其中α , β ,γ 为n维向量 , k为实数 ) :
(1)
(α , β ) = ( β ,α );
(2)
( 3)
( kα , β ) = k (α , β ) ;
(α + β ,γ ) = (α ,γ ) + ( β ,γ );
(4)(α ,α ) ≥ 0, (α ,α ) = 0当且仅当 α = 0.
T 1
由 α 1 ≠ 0 ⇒ α α 1 = α 1 ≠ 0, 从而有 λ1 = 0 .
T 1 2
同理可得 λ2 =
= λ r = 0. 故 α 1 , α 2 ,
,α r 线性无关 .
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3 向量空间的正交基
推论 n维向量空间中，两两正交的非零向量的 个数不超过n.
定义 在 n 维欧氏空间中，由 n 个两两正交的非零 向量构成的向量组称为 正交基 .
⎧( ei , e j ) = 0, i ≠ j且i , j = 1,2,3,4. 由于 ⎨ ⎩ ( ei , e j ) = 1, i = j且i , j = 1,2,3,4.
所以 e1 , e 2 , e 3 , e4为 R 4的一个标准正交基 .
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同理可知
⎛ 1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ε1 = ⎜ ⎟, ε 2 = ⎜ ⎟, ε 3 = ⎜ ⎟, ε4 = ⎜ ⎟. 0 0 1 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Hale Waihona Puke Baidu ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
例1 已知三维向量空间 R 3中两个向量 ⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ α1 = ⎜ 1 ⎟, α2 = ⎜ − 2⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 正交，试求α 3 使α 1 ,α 2 ,α 3构成三维空间的一个正交 上页 基.
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解 设 α 3 = ( x1 , x 2 , x 3 ) ≠ 0, 且分别与 α 1 , α 2正交 .
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向量空间中向量的坐标运算
设 a1 , a 2 ,..., a n是 n维向量空间的一组基，对于 任意的 a , b ∈ Vn ，且有 T a = x1a1 + x2 a 2 + ... + xn a n = ( x1 , x2 ,..., xn ) ... + yn a n = ( y1 , y2 ,..., yn ) T b = y1a1 + y2 a 2 + 于是 a + b = ( x1 + y1 )a1 + ( x2 + y2 )a 2 + ... + ( xn + yn )a n = ( x1 + y1 , x2 + y2 ,..., xn + yn ) T T T = ( x1 , x2 ,..., xn ) + ( y1 , y2 ,..., yn ) λ a = (λ x1 )a1 + (λ x2 )a2 + ... + (λ xn )a n 上页 = (λ x1 , λ x2 ,..., λ xn ) T = λ ( x1 , x2 ,..., xn ) T
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⎛1 2 ⎞ ⎛1 2⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜1 2 ⎟ ⎜ − 1 2⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ e1 = ⎜ ⎟, e2 = ⎜ 0 ⎟, e3 = ⎜1 2 ⎟, e4 = ⎜ 1 2 ⎟. 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜1 2 ⎟ ⎟ ⎜ − 1 2⎟ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝
1. a + b = b + a 2. (a + b) + c = a + (b + c)
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3. a+0 =a 4. a+(−a) =0 5. μ(λa) =(μλ)a 6. (μ+λ)a =μa+λa 7. λ(a+b) =λa+λb 8. 1a =a
则集合V 叫做实数域上的向量空间.
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+ an bn
称 α , β 为向量α 与β 的内积.
.
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说明 1 n (n ≥ 4 ) 维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．
2 内积是向量的一种运算 , 如果α , β都是列 向量,内积可用矩阵记号表示 为 :
(α , β ) = α T β = β T α .
2 2 α = (α ,α ) = a1 + a2 + 2 + an .
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为引入夹角的概念 定理5.3 (3) Cauchy-Schwarz不等式
设V是欧氏空间 , ∀α , β ∈ V , 有
(α , β ) ≤ α β
其中等号成立的条件是 α与β线性相关 .
定义
在欧氏空间中 ,向量 α , β 之间的夹角
则a ⋅ b = a1b1 + a2b2 + a3b3
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Rn : 推广到n维实向量空间
定义
设有n 维向量 ⎛ a1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a2 ⎟ ⎜ b2 ⎟ α = ⎜ ⎟, β = ⎜ ⎟, ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ ⎜b ⎟ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠
令
α , β = a1b1 + a2 b2 +
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二、向量空间的基与维数 1.定义：在向量空间V 中，如果存在 r 个元素 a1,a2,…,ar 满足： 1)a1,a2,…,ar 线性无关； 2)V 中任一元素 a 总可由a1,a2,…,ar线性表示， 那么， a1,a2,…,ar就称为向量空间V 的一个 基，基中元素的个数 r称为向量空间V 的维数. 维数为 r 的向量空间称为 r 维向量空间，记 作Vr .
由上可知α 1 ,α 2 ,α 3构成三维空间的一个正交基.
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4 标准正交基
定义 在 n 维欧氏空间中，由单位 向量组成的
正交基称为标准正交基 .
例如
⎛1 2 ⎞ ⎛1 2⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜1 2⎟ ⎜ − 1 2⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ e1 = ⎜ ⎟, e2 = ⎜ 0 ⎟, e3 = ⎜1 2 ⎟, e4 = ⎜ 1 2 ⎟. 0 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜1 2⎟ ⎜ − 1 2⎟ ⎟ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝
T
则有 即 解之得
(α 1 ,α 3 ) = (α 2 ,α 3 ) = 0
⎧ (α 1 ,α 3 ) = x1 + x2 + x3 = 0 ⎨ ⎩(α 2 ,α 3 ) = x1 − 2 x2 + x3 = 0
x1 = − x3 , x2 = 0. ⎛ x1 ⎞ ⎛ − 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ α 3 = ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ 若令 x3 = 1, 则有 ⎜x ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠
α , β = arccos
(α , β )
α β
( α β ≠ 0)
定义 设V是欧氏空间 , 对α , β ∈ V , 若(α , β ) = 0,
则称 α与β正交 , 记作 α ⊥ β .
注： 零向量与任何向量都正交.
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定理5.3 (4) 在n维向量空间中,成立三角不等式
1. α + β ≤ α + β ;
注：这里向量空间的概念可以推广. 前面所介 绍的Rn只是我们常见的一种向量空间，它不 是向量空间的全部。在这里，向量也不一定 只是有序数组，向量空间中的运算只要满足 八条运算规律，当然也就不一定是有序数组 的加法和数乘。
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例 1.次数不超过n的多项式的全体，记作P [ x]n， n n−1 即：P [ x]n = {an x + an−1 x + ... + a1 x + a0 | ai ∈ R} 对通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成 向量空间。 例 2.n 次多项式的全体，记作Q [ x]n，即 Q [ x]n = {an x n + an−1 x n−1 + ... + a1 x + a0 | ai ∈ R且an ≠ 0} 对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法也 构成向量空间。
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第二节 向量的内积与正交性
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第二节 向量的内积与正交性
• 一、内积 • 二、正交性与正交基 • 施密特正交化
• 三、正交矩阵与正交变换
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一、内积
回忆:
R
3
a ⋅ b = a b cosθ , θ表示 a , b 的夹角.
a = a⋅a
若a = a1i + a2 j + a3 k , b = b1i + b2 j + b3 k ,
也为R 4的一个标准正交基 .
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Schmidt 正交化法
设 α 1 ,α 2 , 位向量 e1 , e2 ,
,α r 是向量空间 V的一个基 , 要求 V , er , 使e1 , e2 , , e r 与 α 1 ,α 2 , ,α r 等
第五章 向量空间
本章主要介绍向量空间、向量的内积与 向量的正交性等有关概念。它是线性代数的 基本内容之一。
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第一节
向 量 空 间
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一、向量空间的定义 定义5.1 设V 是若干向量组成的一个非空集 合，如果集合V 满足: (1)集合V 对加法运算封闭, 即对于V 中的任意 两个元素 a , b 相加的和a +b 仍在V 中； (2)集合V 对数乘运算封闭，即对于V 中任一元 素a与任一实数λ的乘积λa仍在V 中， 且上述 两种运算满足下列八条法则:
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2.生成子空间 给定V 中一组向量 a1 , a2 ,…,am，那么它的一切 可能的线性组合显然也构成子空间，把这样的子 空间就称为由向量 a1,a2,…,am 所生成的子空间， 记作：L(a1,a2,…,am) 或 Span(a1,a2,…,am). 定理5.1 等价的向量组生成同一个向量空间. 3.齐次线性方程组的解空间 AX=0 解集 V 关于向量的线性运算构成的向量 空间称为它的解空间，其基础解系就是一个基， 它的维数为未知量的个数减去系数矩阵的秩。 上页
R n 中定义1的内积有时称为标准内积.
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定义
令
α = (α ,α ),
称 α 为 n 维向量 α 的 范数 (或 长度 ).
定理5.3 (1)向量的范数具有非负性：
即当α ≠ 0时, α > 0;当α = 0时, α = 0;
(2)向量长度具有齐次性:即 kα = k α . β 对任一非零向量可将其单位化: η = . β n R 中,在标准内积下向量的长度为:
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三、向量空间的子空间 1.定义：设 S 为向量空间V 的一个非空子集，如 果 S 对于V 中的加法运算与数乘运算也能构成向 量空间，则S 称为V 的子空间。 结论1：向量空间V 的非空子集 S 是V 的子空 间的充要条件是S 对V 中的加法运算和数乘运算 是封闭的。 结论2：向量空间V 的非空子集S 是V 的子空 间的充要条件是：对 于 任意的实数 x、y 和S 中 的任意两个向量 a、b 均有 x a + y b ∈S 上页
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2 正交向量组的性质
定理5.4 若n维向量α1, 2, , r是一组两两正交的 α α 非零向量, α1, 2, , r线性无关. 则 α α
证明 设有 λ1 , λ2 , , λr 使 λ1α 1 + λ2α 2 + + λα r = 0
λ1α 1T α 1 = 0 以 a 左乘上式两端 , 得
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若a1,a2,…,ar为向量空间Vn的一个基，则由基 的定义，Vr可表示为
Vr = {a = x1a1 + ... + xrar | xi ∈ R}
2.定义：设a1, a2 ,..., ar是向量空间Vr的一个基， 对于任一元素a ∈ Vr，总有且仅有一组有序数 x1, x2 ,..., xr，使 a = x1a1 + ... + xr ar x1, x2 ,..., xr这组有序数就称为元素a在基a1, a2 ,... ar下的坐标，并记为 T a = ( x1, x2 ,..., xr )