0-1背包问题四种不同算法的实现要点

兰州交通大学数理与软件工程学院

题目0-1背包问题算法实现

院系数理院

专业班级信计09

学生姓名雷雪艳

学号200905130

指导教师李秦

二Ｏ一二年六月五日

一、问题描述：

1、0—1背包问题：给定n 种物品和一个背包，背包最大容量为M ，物

品i 的重量是w i ,其价值是平P i ，问应当如何选择装入背包的物品，似的装入背包的物品的总价值最大？ 背包问题的数学描述如下：

2、要求找到一个n 元向量(x1，x2…xn)，在满足约束条件：

⎪⎩⎪⎨⎧

≤≤≤∑1

0i i i x M w x 情况下，使得目标函数

p

x i

i ∑max ，其中，1≤i ≤n ；M>0；

wi>0；pi>0。满足约束条件的任何向量都是一个可行解，而使得目标函数

达到最大的那个可行解则为最优解[1]。

给定n 种物品和1个背包。物品i 的重量是wi ，其价值为pi ，背包的容量为M 。问应如何装入背包中的物品，使得装人背包中物品的总价值最大？在选择装人背包的物品时，对每种物品i 只有两种选择，即装入背包、不装入背包。不能将物品i 装人背包多次，也不能只装入部分的物品i 。该问题称为0-1背包问题。

0-1背包问题的符号化表示是，给定M>0， w i >0， pi >0，1≤i ≤n ，要求找到一个n 元0-1向量向量(x1，x2…xn)， X i =0 或1 , 1≤i ≤n, 使得

M

w

x i

i

≤∑ ，而且

p

x i

i

∑达到最大[2]。

二、解决方案：

方案一：贪心算法

1、贪心算法的基本原理与分析

贪心算法总是作出在当前看来是最好的选择，即贪心算法并不从整体最优解上加以考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优解。贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，但对范围相当广的许多问题它能产生整体最优解。在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，但其最终结果却是最优解的很好近似解。

贪心算法求解的问题一般具有两个重要性质：贪心选择性质和最优子结构性质。所谓贪心选择性质是指所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优解的选择，即贪心选择来达到。这是贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动态规划算法的主要区别。当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，称此问题具有最优子结构性质。问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征。 2、0-1背包问题的实现

对于0-1背包问题，设A 是能装入容量为c 的背包的具有最大价值的物品集合，则Aj=A-{j}是n-1个物品1,2,...,j-1,j+1,...,n 可装入容量为c-wj 的背包的具有最大价值的物品集合。

用贪心算法求解0-1背包问题的步骤是，首先计算每种物品单位重量的价值vi/wi ；然后，将物品进行排序，依贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包。若将这种物品全部装入背包后，背包内的物品总量未超过c ，则选择单位重量价值次高的物品并尽可能多地装入背包。

依此策略一直进行下去，直到背包装满为止。

3、算法设计如下：

#include

#define max 100 //最多物品数

void sort (int n,float a[max],float b[max]) //按价值密度排序{

int j,h,k;

float t1,t2,t3,c[max];

for(k=0;k

c[k]=a[k]/b[k];

for(j=0;j

if(c[j]

{t1=a[j];a[j]=a[j+1];a[j+1]=t1;

t2=b[j];b[j]=b[j+1];b[j+1]=t2;

t3=c[j];c[j]=c[j+1];c[j+1]=t3;

}

}

void knapsack(int n,float limitw,float v[max],float w[max],int x[max])

{float c1; //c1为背包剩余可装载重量

int i;

sort(n,v,w);

//物品按价值密度排序

c1=limitw;

for(i=0;i

{

if(w[i]>c1)break;

x[i]=1;

//x[i]为1时，物品i在解中

c1=c1-w[i];

}

}

void main()

{int n,i,x[max]; float

v[max],w[max],totalv=0,totalw=0 ,limitw;

cout<<"请输入n和limitw:"; cin>>n >>limitw;

for(i=1;i<=n;i++)

x[i]=0;

//物品选择情况表初始化为0 cout<<"请依次输入物品的价值："<

for(i=1;i<=n;i++)

cin>>v[i];

cout<

cout<<"请依次输入物品的重量："<

for(i=1;i<=n;i++)

cin>>w[i];

cout<

knapsack (n,limitw,v,w,x);

cout<<"the selection is:";

for(i=1;i<=n;i++)

{

cout<

if(x[i]==1){

totalw=totalw+w[i];

totalv=totalv+v[i];

}

}

cout<

cout<<"背包的总重量为："<

cout<<"背包的总价值为："<

4、贪心算法运行结果如下图所示：