高考数学专题 排列组合——选择合适的数学模型
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第81炼 排列组合——寻找合适的模型
在排列组合问题中,有一些问题如果直接从题目入手,处理起来比较繁琐。但若找到解决问题的合适模型,或将问题进行等价的转化。便可巧妙的解决问题
一、典型例题:
例1:设集合A 由n 个元素构成,即{}12,,,n A a a a =L ,则A 所有子集的个数为_______ 思路:可将组成子集的过程视为A 中的元素一个个进行选择,要不要进入到这个子集当中,所以第一步从1a 开始,有两种选择,同样后面的23,,,n a a a L 都有两种选择,所以总数
2222n n N =⨯⨯⨯=L 1442443个
个
答案:2n
例2:已知{}1,2,3,,40S =L ,A S ⊆且A 中有三个元素,若A 中的元素可构成等差数列,则这样的集合A 共有( )个
A. 460
B. 760
C. 380
D. 190
思路:设A 中构成等差数列的元素为,,a b c ,则有2b a c =+,由此可得,a c 应该同奇同偶,而当,a c 同奇同偶时,则必存在中间项b ,所以问题转变为只需在140-中寻找同奇同偶数的情况。,a c 同为奇数的可能的情况为220C ,同为偶数的可能的情况为2
20C ,所以一共有
2202380C ⋅=种 答案:C
例3:设集合(){}{}{}
12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=,那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为( )
A. 60
B. 90
C. 120
D. 130 思路:因为0i x =或1i x =,所以若1234513x x x x x ≤++++≤,则在()1,2,3,4,5i x i =中至少有一个1i x =,且不多于3个。所以可根据i x 中含0的个数进行分类讨论。
① 五个数中有2个0,则另外3个从1,1-中取,共有方法数为23152N C =⋅
② 五个数中有3个0,则另外2个从1,1-中取,共有方法数为32252N C =⋅
③ 五个数中有4个0,则另外1个从1,1-中取,共有方法数为4352N C =⋅
所以共有23324555222130N C C C =⋅+⋅+⋅=种
答案:D
例4:设集合{1,2,3,,10}A =L ,设A 的三元素子集中,三个元素的和分别为12,,,n a a a L ,求12n a a a +++L 的值
思路:A 的三元子集共有310C 个,若按照题目叙述一个个相加,则计算过于繁琐。所以不妨换个思路,考虑将这些子集中的1,2,,10L 各自加在一起,再进行汇总。则需要统计这310C 个子集中共含有多少个1,2,,10L 。以1为例,含1的子集可视为集合中有元素1,剩下两个元素从9个数中任取,不同的选取构成不同的含1的子集,共有29C 个,所以和为2
91C ⨯,同理,含2
的集合有29C ,其和为292C ⨯……,含10的集合有29C 个,其和为2910C ⨯所以()212912101980n a a a C +++=+++=L L
答案:1980
例5:身高互不相同的6个人排成2横行3纵列,在第一行的每个人都比他同列的身后的个子矮,则所有不同的排法种数是多少
思路:虽然表面上是排队问题,但分析实质可发现,只需要将这六个人平均分成三组,并且进行排列,即可完成任务。至于高矮问题,在分组之后只需让个子矮的站在前面即可。从而将问题转化为分组问题。则2223642333
90C C C N A A =⋅=(种) 答案:90
例6:四面体的顶点和各棱中点共10个点,则由这10点构成的直线中,有( )对异面直线
A. 450
B. 441
C. 432
D. 423
思路:首先要了解一个结论,就是在一个三棱锥中存在3对异面直线,而不共面的四个点便可构成一个三棱锥,寻找不共面的四点只需用总数减去共面的四点即可。所以将问题转化为
寻找这10个点中共面四点的情况。首先4个面上共面的情况共有46460C ⨯=,每条棱与对棱
中点共面情况共有6种,连结中点所成的中位线中有3对平行关系,所以共面,所以四点共
面的情况共有4646369C ++=种,所以四点不共面的情况有41069141C -=种,从而异面直
线的对数为1413423N =⨯=种
答案:D
小炼有话说:要熟悉异面直线问题的转化:即异面→三棱锥→四点不共面→四点共面,从而将所考虑的问题简单化
例7:设A 是整数集的一个非空子集,对于k A ∈,如果1k A -∉且1k A +∉,那么称k 是集合A 的一个“孤立元”,给定{}1,2,3,4,5,6,7,8S =,则S 的3个元素构成的所有集合中,其元素都是“孤立元”的集合个数是( )
A. 6
B. 15
C. 20
D. 25
思路:首先要理解“k A ∈,则1k A -∉且1k A +∉”,意味着“独立元”不含相邻的数,元素均为独立元,则说明3个元素彼此不相邻,从而将问题转化为不相邻取元素问题,利用插
空法可得:3620C =种
答案:C
例8:圆周上有20个点,过任意两点连接一条弦,这些弦在圆内的交点最多有多少个
思路:本题可从另一个角度考虑交点的来源,一个交点由两条弦构成,也就用去圆上4个点,而这四个点可以构成一个四边形,在这个四边形中,只有对角线的交点是在圆内,其余均在圆上,所以有多少个四边形就会有多少个对角线的交点,从而把交点问题转化为圆上的点可
组成多少个四边形的问题,所以共有4204845C =个
答案:4845个
例9:一个含有10项的数列{}n a 满足:11010,5,1,(1,2,,9)k k a a a a k +==-==L ,则符合这样条件的数列{}n a 有( )个
A. 30
B. 35
C. 36
D. 40 思路:以11k k a a +-=为入手点可得:11k k a a +=±,即可视为在数轴上,k a 向左或向右移动一个单位即可得到1k a +,则问题转化为从10a =开始,点向左或向右移动,总共9次达到105a =,所以在这9步中,有且只有2步向左移动1个单位,7步向右移动1个单位。所以
不同的走法共有2936C =种,即构成36种不同的数列