2021版新课标名师导学高考第一轮总复习同步测试卷(三)+基本初等函数Ⅰ

2021’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷

数学(三)

(基本初等函数Ⅰ)

时间：60分钟 总分：100分[对应学生用书p 293]

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．其中多项选择题全部选对得5分，部分选对得3分，有选错或不选得0分．)

1．设集合A ＝{y|y ＝log 2x ，0＜x ≤4}，集合B ＝{x|e x >1}，则A ∩B 等于( )

A ．(0，2)

B ．(0，2]

C ．(－∞，2]

D ．R

[解析] ∵集合A ＝{y |y ＝log 2x ，0＜x ≤4}＝{y |y ≤2}，集合B ＝{x |e x ＞1}＝{x |x ＞0}， ∴A ∩B ＝{x |0＜x ≤2}＝(0，2]．故选B.

[答案] B

2．设3x ＝2，y ＝ln 2，z ＝5－12

，则( ) A ．x

C ．z

D ．z

[解析] 由3x ＝2有x ＝log 32，1x ＝log 23，1y ＝log 2e ，因为2>log 23>log 2e >1，所以2>1x >1y

>1，12

12＝15<12，所以z

3．已知f ()x ＝x ＋1，g ()x ＝ln x ，若f(x 1)＝g(x 2)，则x 2－x 1的最小值为( )

A ．1

B ．2

C ．2－ln 2

D ．2＋ln 2

[解析] 设f(x 1)＝g(x 2)＝t ，所以x 1＝t －1，x 2＝e t ，所以x 2－x 1＝e t －t ＋1，令h(t)＝e t －t ＋1，则h′(t)＝e t －1，所以h(t)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以h(t)min ＝h(0)＝2.

[答案] B

4．(多选)已知二次函数y ＝f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且函数图象截x 轴所得的线段长为8，则下列各数是函数y ＝f(x)的零点的是( )

A ．－6

B ．－2

C ．2

D ．6

[解析] 由于函数y ＝f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，所以x ＝2为二次函数y ＝f(x)的对称轴，根据二次函数图象的性质，图象与x 轴的交点必关于x ＝2对称．而两交点间的距离为8，则必有x 1＝2＋4＝6，x 2＝2－4＝－2.故交点坐标为(6，0)和(－2，0)，则函数的零点为－2，6.

[答案] BD

5．(多选)若函数y ＝f(x)满足：①f(x)的图象是中心对称图形；②若x ∈D 时，f(x)图象上的点到其对称中心的距离不超过一个正数M ，则称f(x)是区间D 上的“M 对称函数”．若函数f(x)＝(x ＋1)3＋m(m>0)是区间[－4，2]上的“3m 对称函数”，则实数m 不可能是( )

A ．8

B ．9

C ．10

D ．11

[解析] 函数f(x)＝(x ＋1)3＋m(m>0)的图象可由y ＝x 3的图象向左平移1个单位，再向上平移m 个单位得到，故函数f(x)的图象关于点A(－1，m)对称，如图所示，由图可知，当x ∈[－4，2]时，点A 到函数f(x)图象上的点(－4，m －27)或(2，m ＋27)的距离最大，最大距离为d ＝9＋（m －27－m ）2＝382，根据条件只需3m ≥382，故m ≥82>9.

[答案] AB

6．若对任意的x ∈[2，6]，存在实数a ，使4x ≤x 2＋ax ＋b ≤6x(a ∈R ，b >0)恒成立，则实数b 的最大值是( )

A ．16

B ．12

C ．9

D ．8

[解析] 4x ≤x 2＋ax ＋b ≤6x ⇒4x －x 2≤ax ＋b ≤6x －x 2，

如图，在平面直角坐标系中分别作出f (x )＝4x －x 2，g (x )＝6x －x 2的图象．

如果要使b 最大，则直线y ＝ax ＋b 必定经过点A ()

2，8且与f (x )的图象相切． 设此时的直线方程为y －8＝k (x －2)．

联立⎩⎪⎨⎪⎧y －8＝k （x －2），y ＝4x －x

2得x 2＋(k －4)x ＋8－2k ＝0， Δ＝()k －42

－4(8－2k )＝0⇒k ＝－4(k ＝4舍去)，

此时直线方程为y ＝－4x ＋16，故b 的最大值是16.

[答案] A

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．)

7．计算：0.25×⎝⎛⎭

⎫－12－4＋2log 24＝________． [解析] 0.25×⎝⎛⎭⎫－12－4＋2log 24＝14

×16＋2log 2 16＝4＋16＝20. [答案] 20

8．已知f(x)＝log 12(x 2－ax ＋3a)在区间[2，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是

________．

[解析] 令t ＝x 2－ax ＋3a ，

则由函数f(x)＝g(t)＝log 12

t 在区间[2，＋∞)上为减函数，

可得函数t 在区间[2，＋∞)上为增函数且t(2)＞0，

故有⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，

t （2）＝4－2a ＋3a>0，

解得－4＜a ≤4. [答案] (－4，4]

9．已知a>0且a ≠1，设函数f(x)＝⎩

⎪⎨⎪⎧x －2，x ≤3，2＋log a x ，x>3的最大值为1，则实数a 的取值范围是________．

[解析] 由题意知，函数y ＝f ()x 在(]

－∞，3上单调递增，且f ()3＝1， 由于函数f ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≤3，

2＋log a x ，x>3

的最大值为1， 则函数f ()x ＝2＋log a x 在()3，＋∞上单调递减且2＋log a 3≤1，

则有⎩⎪⎨⎪⎧0

解得13≤a<1， 因此，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫13，1.

[答案] ⎣⎡⎭⎫13，1

10．已知f(x)＝||log 3x ，若a ，b 满足f(a －1)＝f(2b －1)，且a ≠2b ，则a ＋b 的最小值为________．

[解析] 由f(x)＝||log 3x ，且f ()a －1＝f ()2b －1，a ≠2b ，所以log 3(a －1)＝－log 3(2b －1)，

即log 3(a －1)(2b －1)＝0，所以(a －1)(2b －1)＝1，得2a ＋1b ＝2，所以a ＋b ＝12

()a ＋b ⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫3＋2b a ＋a b ≥32＋2，当且仅当2b a ＝a b ，即a ＝2b 时，等号成立，综上，a ＋b 的最小值为32＋ 2.

[答案] 32＋ 2 三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)

11．(16分)设f(x)是定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝－x ＋1；当x >1时，f (x )＝log 2x .

(1)在平面直角坐标系中直接画出函数y ＝f (x )在R 上的草图；

(2)当x ∈(－∞，－1)时，求满足方程f (x )＋log 4(－x )＝6的x 的值；

(3)求y ＝f (x )在[0，t ](t >0)上的值域．

[解析] (1)由单调性和过点(0，1)，(±1，0)，(±2，1)，(±4，2)，作出图象如图．