2021版新课标名师导学高考第一轮总复习同步测试卷(三)+基本初等函数Ⅰ

2021’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷数学(三)(基本初等函数Ⅰ)时间：60分钟 总分：100分[对应学生用书p 293]一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．其中多项选择题全部选对得5分，部分选对得3分，有选错或不选得0分．)1．设集合A ＝{y|y ＝log 2x ，0＜x ≤4}，集合B ＝{x|e x >1}，则A ∩B 等于( )A ．(0，2)B ．(0，2]C ．(－∞，2]D ．R[解析] ∵集合A ＝{y |y ＝log 2x ，0＜x ≤4}＝{y |y ≤2}，集合B ＝{x |e x ＞1}＝{x |x ＞0}， ∴A ∩B ＝{x |0＜x ≤2}＝(0，2]．故选B.[答案] B2．设3x ＝2，y ＝ln 2，z ＝5－12，则( ) A ．x<y<z B ．y<z<xC ．z<x<yD ．z<y<x[解析] 由3x ＝2有x ＝log 32，1x ＝log 23，1y ＝log 2e ，因为2>log 23>log 2e >1，所以2>1x >1y>1，12<x<y<1，而z ＝5－12＝1512＝15<12，所以z<x<y ，选C . [答案] C3．已知f ()x ＝x ＋1，g ()x ＝ln x ，若f(x 1)＝g(x 2)，则x 2－x 1的最小值为( )A ．1B ．2C ．2－ln 2D ．2＋ln 2[解析] 设f(x 1)＝g(x 2)＝t ，所以x 1＝t －1，x 2＝e t ，所以x 2－x 1＝e t －t ＋1，令h(t)＝e t －t ＋1，则h′(t)＝e t －1，所以h(t)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以h(t)min ＝h(0)＝2.[答案] B4．(多选)已知二次函数y ＝f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且函数图象截x 轴所得的线段长为8，则下列各数是函数y ＝f(x)的零点的是( )A ．－6B ．－2C ．2D ．6[解析] 由于函数y ＝f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，所以x ＝2为二次函数y ＝f(x)的对称轴，根据二次函数图象的性质，图象与x 轴的交点必关于x ＝2对称．而两交点间的距离为8，则必有x 1＝2＋4＝6，x 2＝2－4＝－2.故交点坐标为(6，0)和(－2，0)，则函数的零点为－2，6.[答案] BD5．(多选)若函数y ＝f(x)满足：①f(x)的图象是中心对称图形；②若x ∈D 时，f(x)图象上的点到其对称中心的距离不超过一个正数M ，则称f(x)是区间D 上的“M 对称函数”．若函数f(x)＝(x ＋1)3＋m(m>0)是区间[－4，2]上的“3m 对称函数”，则实数m 不可能是( )A ．8B ．9C ．10D ．11[解析] 函数f(x)＝(x ＋1)3＋m(m>0)的图象可由y ＝x 3的图象向左平移1个单位，再向上平移m 个单位得到，故函数f(x)的图象关于点A(－1，m)对称，如图所示，由图可知，当x ∈[－4，2]时，点A 到函数f(x)图象上的点(－4，m －27)或(2，m ＋27)的距离最大，最大距离为d ＝9＋（m －27－m ）2＝382，根据条件只需3m ≥382，故m ≥82>9.[答案] AB6．若对任意的x ∈[2，6]，存在实数a ，使4x ≤x 2＋ax ＋b ≤6x(a ∈R ，b >0)恒成立，则实数b 的最大值是( )A ．16B ．12C ．9D ．8[解析] 4x ≤x 2＋ax ＋b ≤6x ⇒4x －x 2≤ax ＋b ≤6x －x 2，如图，在平面直角坐标系中分别作出f (x )＝4x －x 2，g (x )＝6x －x 2的图象．如果要使b 最大，则直线y ＝ax ＋b 必定经过点A ()2，8且与f (x )的图象相切． 设此时的直线方程为y －8＝k (x －2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y －8＝k （x －2），y ＝4x －x2得x 2＋(k －4)x ＋8－2k ＝0， Δ＝()k －42－4(8－2k )＝0⇒k ＝－4(k ＝4舍去)，此时直线方程为y ＝－4x ＋16，故b 的最大值是16.[答案] A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．)7．计算：0.25×⎝⎛⎭⎫－12－4＋2log 24＝________． [解析] 0.25×⎝⎛⎭⎫－12－4＋2log 24＝14×16＋2log 2 16＝4＋16＝20. [答案] 208．已知f(x)＝log 12(x 2－ax ＋3a)在区间[2，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．[解析] 令t ＝x 2－ax ＋3a ，则由函数f(x)＝g(t)＝log 12t 在区间[2，＋∞)上为减函数，可得函数t 在区间[2，＋∞)上为增函数且t(2)＞0，故有⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，t （2）＝4－2a ＋3a>0，解得－4＜a ≤4. [答案] (－4，4]9．已知a>0且a ≠1，设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≤3，2＋log a x ，x>3的最大值为1，则实数a 的取值范围是________．[解析] 由题意知，函数y ＝f ()x 在(]－∞，3上单调递增，且f ()3＝1， 由于函数f ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≤3，2＋log a x ，x>3的最大值为1， 则函数f ()x ＝2＋log a x 在()3，＋∞上单调递减且2＋log a 3≤1，则有⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1，2＋log a 3≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1，log a 3≤－1，解得13≤a<1， 因此，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫13，1.[答案] ⎣⎡⎭⎫13，110．已知f(x)＝||log 3x ，若a ，b 满足f(a －1)＝f(2b －1)，且a ≠2b ，则a ＋b 的最小值为________．[解析] 由f(x)＝||log 3x ，且f ()a －1＝f ()2b －1，a ≠2b ，所以log 3(a －1)＝－log 3(2b －1)，即log 3(a －1)(2b －1)＝0，所以(a －1)(2b －1)＝1，得2a ＋1b ＝2，所以a ＋b ＝12()a ＋b ⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫3＋2b a ＋a b ≥32＋2，当且仅当2b a ＝a b ，即a ＝2b 时，等号成立，综上，a ＋b 的最小值为32＋ 2.[答案] 32＋ 2 三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)11．(16分)设f(x)是定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝－x ＋1；当x >1时，f (x )＝log 2x .(1)在平面直角坐标系中直接画出函数y ＝f (x )在R 上的草图；(2)当x ∈(－∞，－1)时，求满足方程f (x )＋log 4(－x )＝6的x 的值；(3)求y ＝f (x )在[0，t ](t >0)上的值域．[解析] (1)由单调性和过点(0，1)，(±1，0)，(±2，1)，(±4，2)，作出图象如图．(2)当x ∈(－∞，－1)时，f (x )＝log 2(－x )，∴f (x )＋log 4(－x )＝log 2(－x )＋log 2（－x ）log 2 4＝32log 2(－x )＝6， 即log 2(－x )＝4，即－x ＝24，得x ＝－16.(3)当0＜t ≤1时，值域为[－t ＋1，1]；当1<t ≤2时，值域为[0，1]；当t >2时，值域为[0，log 2t ]．12．(16分)已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋3.(1)若函数f(x)对任意实数t ∈R 都有f (1＋t )＝f (1－t )成立，求f (x )的解析式；(2)当函数f (x )在区间[－1，1]上的最小值为－3时，求实数a 的值．[解析] (1)∵f (1＋t )＝f (1－t )，∴函数f (x )图象的对称轴为x ＝1，∴－a 2＝1，解得a ＝－2. ∴函数的解析式为f (x )＝x 2－2x ＋3.(2)由题意得函数f (x )＝x 2＋ax ＋3图象的对称轴为x ＝－a 2. ①当1≤－a 2，即a ≤－2时，f (x )在[－1，1]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝1＋a ＋3＝a ＋4＝－3，解得a ＝－7，符合题意；②当－1＜－a 2＜1，即－2<a <2时， 由题意得f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝4×3－a 24＝－3. 解得a 2＝24，∴a ＝26或a ＝－26，又－2<a <2，不合题意，舍去；③当－a 2≤－1，即a ≥2时，f (x )在[－1，1]上单调递增， ∴f (x )min ＝f (－1)＝1－a ＋3＝4－a ＝－3，解得a ＝7，符合题意．综上可知a ＝7或a ＝－7.13.(18分)已知函数f(x)＝a －2x2x ＋1是定义域为R 的奇函数． (1)求实数a 的值，并判断函数f (x )的单调性；(2)当x ∈[3，9]时，不等式f (log 23x )＋f (2－m log 3x )≥0恒成立，求实数m 的取值范围．[解析] (1)法一：∵函数是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝a －2020＋1＝0，解得a ＝12. 经检验，当a ＝12时，函数f (x )为奇函数， 即所求实数a 的值为12. ∵f ′(x )＝0－2x ln 2·（2x ＋1）－2x ·2x ln 2（2x ＋1）2＝－2x ln 2（2x ＋1）2， f ′(x )<0在R 上恒成立，所以f (x )是R 上的减函数． 法二：∵函数是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝a －2020＋1＝0，解得a ＝12. 经检验，当a ＝12时，函数f (x )为奇函数， 即所求实数a 的值为12. 设∀x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝12－2x 12x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2x 22x 2＋1 ＝2x 2（2x 1＋1）－2x 1（2x 2＋1）（2x 1＋1）（2x 2＋1） ＝2x 2－2x 1（2x 1＋1）（2x 2＋1）， ∵x 1<x 2，∴2x 2－2x 1>0，(2x 1＋1)(2x 2＋1)>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )是R 上的减函数．(2)由f (log 23x )＋f (2－m log 3x )≥0，可得f (log 23x )≥－f (2－m log 3x )．∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (log 23x )≥f (m log 3x －2)， 又f (x )是R 上的减函数，所以log 23x －m log 3x ＋2≤0对x ∈[3，9]恒成立， 令t ＝log 3x ，∵x ∈[3，9]，∴t ∈[1，2]， ∴t 2－mt ＋2≤0对t ∈[1，2]恒成立，令g (t )＝t 2－mt ＋2，t ∈[1，2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝3－m ≤0，g （2）＝6－2m ≤0，解得m ≥3，所以实数m的取值范围是[3，＋∞)．。